26.2.2 第1课时 二次函数 y=ax²+k 的图象和性质（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到综合应用再到拓展探究，梯度递进，适配新授课知识内化与能力提升，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数平移关系、图象性质（开口、对称轴、顶点）|含易错点提示（如平移与坐标轴平移混淆），题型以选择、填空为主，强化概念理解| |能力提升|综合应用（平移变换、最值、几何图形结合）|融入中考真题，设置动态问题（如抛物线与正方形结合），培养运算与推理能力| |思维拓展|拓展探究（面积最值、定点距离问题）|创设情境探究题（如动点面积计算），发展创新意识与模型观念|

26.2.2 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数与之间的平移关系 1. 将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____． 2. 抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 易错点1 将图象平移与坐标轴平移混淆 3. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而坐标轴向上平移2个单位长度，那么新坐标系中抛物线的解析式是_______________． 知识点二 二次函数的图象和性质 4. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 最小值是2 B. 图象与y轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 其图象关于y轴对称 6. 已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A. x＜2 B. x＞0 C. x＞﹣2 D. x＜0 【变式1】 7. 已知点，在二次函数（）的图象上，若，则________．（填“”“”或“”） 【变式2】 8. 已知点，在抛物线上，则________． 9. 填写下列函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 易错点2 求函数值的范围时忽视顶点处的取值 10. 对于二次函数，当时，y的取值范围是_______________． 02 能力提升 11. 给任意实数n，得到不同的抛物线，当，时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向不同；②对称轴不同；③都有最低点；④可以通过平移一个抛物线得到另一个．其中正确结论的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 已知拋物线，当时，y的最大值是（　　） A. 2 B. C. D. （南宁中考） 13. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 若二次函数中，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为________． 15. 若抛物线y=ax2+k（a≠0）与y=﹣2x2+4关于x轴对称，则a=__，k=__． 16. 能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点，若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 17. 如图，抛物线与直线相交于点A，B，与y轴交于点，． （1）求出a，c的值． （2）求出抛物线与x轴的交点坐标． 03 思维拓展 18. 已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点． （1）当面积为4时，则点P的坐标为_______________． （2）当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 26.2.2 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数与之间的平移关系 【1题答案】 【答案】y=x2+2 【解析】 【详解】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2． 故答案为y=x2+2． 点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度． 【详解】解：∵的顶点坐标为（0，5）， 而抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴把抛物线向下平移5个单位可得到抛物线． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）． 易错点1 将图象平移与坐标轴平移混淆 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，掌握平移规律是解题关键，坐标轴向上平移个单位长度，抛物线不动，等价于坐标轴不动，抛物线向下平移个单位长度，根据平移规律即可得到结果． 【详解】解：抛物线不动，坐标轴向上平移个单位长度，相当于坐标轴不动，将抛物线向下平移个单位长度， 原抛物线解析式为，根据二次函数平移“上加下减”的规律， 得新解析式为：． 知识点二 二次函数的图象和性质 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的基本性质，开口向下，顶点坐标为直接判断即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，， ∴ 抛物线开口向下，故排除 B、D； ∵ 抛物线的顶点坐标为，故排除 A； ∴C选项符合题意． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向、对称轴、最值、单调性以及与坐标轴交点的特点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，函数有最小值，A选项说法正确． 当时，，即函数图象与轴交于点，存在公共点，因此B选项说法错误． ∵二次函数的对称轴为，即轴，图象关于轴对称，且开口向上， ∴当时，随的增大而减小，C、D选项说法正确． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵y=x2-2， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键． 【变式1】 【7题答案】 【答案】＞ 【解析】 【分析】先判断二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性比较与的大小. 【详解】解：对于二次函数，由可知，抛物线开口向上. 该抛物线的对称轴为轴，即直线. 根据二次函数的性质，当时，在对称轴右侧，即时，随的增大而增大. 已知，因此可得. 【变式2】 【8题答案】 【答案】＞ 【解析】 【分析】将点，的横坐标分别代入抛物线解析式，求出与的值，再比较两个值的大小即可. 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ， ． 【9题答案】 【答案】 见解析 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定对称轴，由和确定顶点坐标，将所给函数转化为顶点式对应求解即可. 【详解】对于抛物线， 可变形为， 其中，，， 因此开口向上，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线， 可变形为， 其中，，， 因此开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为． 填写表格如下： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线（轴） 向下 直线（轴） 易错点2 求函数值的范围时忽视顶点处的取值 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的开口方向和增减性，即可求出给定区间内的取值范围. 【详解】解： 二次函数 中，， 该函数图象开口向下，对称轴为轴， 当时，取得最大值. 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 当时，， 当时，， ，且，不能取， 的取值范围是. 02 能力提升 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数中，决定抛物线的开口方向和形状，对称轴为轴，常数项仅改变抛物线上下位置，据此逐一判断结论即可. 【详解】解：∵ 抛物线解析式为，对任意实数，二次项系数保持不变， ∴ ① ，所有抛物线开口都向下，开口方向相同，故结论①错误； ② 所有抛物线的对称轴都是轴（即），对称轴相同，故结论②错误； ③ ∵，抛物线开口向下，所有抛物线都有最高点，没有最低点，故结论③错误； ④ 所有抛物线形状相同，仅顶点上下位置不同，平移一个抛物线即可得到另一个，故结论④正确； 综上，正确结论的个数是个． 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴，从而可根据函数的增减性求解． 【详解】解：∵拋物线y=-x2+2的二次项系数a=-＜0， ∴该抛物线图象的开口向下； 而对称轴就是y轴， ∴当1≤x≤5时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤5时，y最大值=-+2=． 故选C． （南宁中考） 【13题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： 当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 【14题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】先判断出二次函数的对称轴为y轴，然后根据二次函数的对称性确定出，然后代入函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，当分别取，时，函数值相等， ∴，即， ∴则当取时，即取0，函数值， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质并求出是解题的关键． 【15题答案】 【答案】 ①. .2， ②. ﹣4． 【解析】 【详解】∵y=−2x²+4的顶点坐标为(0,4)，对称轴x=0， 又∵y=ax²+k(a≠0)与y=−2x²+4关于x轴对称，开口向下， ∴抛物线y=ax²+k(a≠0)的顶点坐标为(0,−4)，对称轴为x=0，开口向上， ∴抛物线的解析式为y=2(x−0)²−4， ∴a=2，k=−4， 故答案为2，−4. 【16题答案】 【答案】能，向下平移6个单位长度，理由见解析． 【解析】 【分析】设平移后对应的函数解析式为，把代入求解即可． 【详解】解：设平移后对应的函数解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴把的图象向下平移6个单位长度，得到新函数的图象经过点． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 【17题答案】 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为轴，，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到，进而求出，再将代入中利用待定系数法可得的值； （2）令得到关于的一元二次方程，求解方程得到的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵抛物线的对称轴为轴，， ∴为等腰直角三角形，点为的中点， ∴ ∴， 将代入中可得 ，解得． 【小问2详解】 解：令得：，解得 ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 03 思维拓展 【18题答案】 【答案】（1）或 （2）最小值为，的面积为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据三角形面积公式得到关于的方程，求出的值即可求得点的坐标； （2）要使取最小值，即转化为点到轴的距离与的和取最小值，根据垂线段最短的性质，过点作轴于点，交抛物线于点，与抛物线的交点即为所求的点，求出点坐标，再根据三角形的面积公式求出此时的面积． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， 点的坐标为， ， 当面积为时，， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为：或． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，交抛物线于点， 此时最小，最小值为． 当时，， ∴点坐标为， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $