26.2.1 二次函数 y=ax²的图象和性质（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，通过基础题、变式题及综合题型构建知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数图象性质（顶点、开口、对称轴）及表达式|基础题+变式题（如变式1、2）巩固核心概念，含作图题培养几何直观| |能力提升|函数图象综合判断、对称点、与几何图形结合|图象辨析、正方形边界问题等综合题型，发展空间观念与推理能力| |思维拓展|一次函数与二次函数综合应用|含参数求解、面积问题等探究性任务，提升模型意识与创新意识|

26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数的图象和性质 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 4. 若点和点都在函数的图象上，则________．（填“＞”或“＜”） 【变式1】 5. 已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】 6. 已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 7. 在同一坐标系中，画出、、和的图象． 知识点二 二次函数的表达式 8. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 9. 已知抛物线过点(1，3)，则的值是__________，当时，随的增大而__________. 10. 已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 易错点 不能准确地掌握二次函数的图象和性质 11. 已知二次函数，在范围内，求函数的最值． 02 能力提升 12. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 13. 在抛物线上，点关于对称轴的对称点的坐标是________，点关于对称轴的对称点的坐标是________，当________时，抛物线和的形状相同． 14. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 【变式】 15. 二次函数，，，的图象如图所示，则、、、的大小关系是_______________（用“>”号连接）． 16. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线上纵坐标等于3的点的坐标，并在图象上描出符合条件的点； （3）求当在什么范围内时，． 03 思维拓展 17. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）______，______，______． （2）求的面积； （3）点P是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点P的坐标． 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数的图象和性质 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标的求解，将给定二次函数整理为顶点式，即可直接得到顶点坐标. 【详解】解：∵ 二次函数 可化为顶点式 又∵ 顶点式 的顶点坐标为 ∴ 可得 ，，即该二次函数的顶点坐标为 . 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质直接回答即可． 【详解】解：抛物线，的开口向上，的开口向下，故错误； 抛物线，，的顶点为，对称轴为y轴，故正确，错误； 其中正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质． 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象开口向下可知，解之，即可求得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 解得：， 故答案为：． 【4题答案】 【答案】＞ 【解析】 【分析】先判断二次函数的开口方向与增减性，再根据两个点横坐标的大小关系，比较和的大小即可． 【详解】解：对于二次函数， 二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 已知两点横坐标分别为和，满足， 因此． 【变式1】 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并能运用数形结合的思想解题． 【变式2】 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由函数形式可知其为二次函数，根据当时，有，判断函数在时递减，故，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：当时， 可得：， 无论为何值，均有， 不符合题意； 当时，函数是二次函数， 其图象为抛物线， 当时，有， ， 解得：． 故答案为：． 【7题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】用描点法分别画出四个二次函数的图象，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据绝对值大小判断开口宽窄． 【详解】解：函数图象如图所示： 知识点二 二次函数的表达式 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 【9题答案】 【答案】 ①. 3 ②. 减小 【解析】 【分析】把（﹣1，3）代入抛物线y=ax2（a≠0），可得a；根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性． 【详解】解：把（﹣1，3）代入抛物线，有（﹣1）2a=3，即a=3． ∵a=3＞0，∴抛物线开口向上． ∵对称轴x=0，∴当x≤0时，y随x的增大而减小． 故答案为3，减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握a决定开口方向，a和对称轴决定增减性是解答此题的关键． 【10题答案】 【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0． 【解析】 【分析】根据二次函数定义，m2+m＝2，以及 性质解答即可． 【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）开心向下，顶点（0,0） 当x＝0时，y最大＝0． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及性质，属于基础题． 易错点 不能准确地掌握二次函数的图象和性质 【11题答案】 【答案】函数的最小值为0，最大值为16． 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，结合给定范围，先判断顶点是否在范围内，再比较端点和顶点处的函数值，确定最值． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为 ∵包含， ∴当时， ∵时，时，且， ∴ 综上，最小值为，最大值为． 02 能力提升 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 【13题答案】 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴为轴，根据关于轴对称的点的坐标特征求解前两个空，再根据抛物线形状相同的条件求解的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，即直线． 根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得： 点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为． 抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值相等， 因此：，解得． 【14题答案】 【答案】≤a≤3 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，3）时，a＝3， 当抛物线经过（3，1）时，a＝， 观察图象可知≤a≤3， 故答案为：≤a≤3． 【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键． 【变式】 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和开口大小判断系数的正负和大小关系． 【详解】解：∵抛物线和  开口向上， ∴ ，  ∵抛物线 和 开口向下， ∴， ∵对于二次函数， 越大，开口越小， ∴由图可知的开口比小，得； 的开口比小，得 ∵， ，且 ， ∴ ∵正数大于负数， ∴ 综上所述，． 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）当时， 【解析】 【分析】(1)把已知坐标代入解析式计算即可． (2)令函数值等于3，解方程计算即可． （3）利用数形结合思想解答即可． 【小问1详解】 把代入解析式得， 解得：， 则抛物线的解析式是． 【小问2详解】 当时， ， 解得：或， 则纵坐标是3的点是或， 【小问3详解】 由（2）得当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求坐标，数形结合思想求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 03 思维拓展 【17题答案】 【答案】（1）1，2， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，先将代入，求出a的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出k，b的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积； （3）由题意，设，利用三角形的面积公式求出n，可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：． ∴二次函数关系式为：， 将代入得：， ∴． ∵点，在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1，2，； 【小问2详解】 解：由（1）可知一次函数关系式， 当时，， 则一次函数与y轴交点坐标为， ∴，点A横坐标为，点B的横坐标为， ∴，, ∴， ∴的面积为3； 【小问3详解】 解：当时，,， 则一次函数与x轴交点坐标为， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图像，一次函数图像上的点的坐标特征，待定系数求二次函数，一次函数的解析式解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $