26.1 二次函数（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 初中数学 第二十六章26.1二次函数 同步练 新授课。分层设计清晰，从概念理解到实际应用再到动态综合，梯度合理，巩固路径完整，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数概念（定义、一般形式、系数）及简单实际问题|以选择、填空为主，强化概念辨析（如第2题一次与二次函数区分）| |能力提升|几何图形中的二次函数关系、含参数函数类型判断及实际应用|结合图形与实际情境（如第10题三角形面积、14题篱笆问题）| |思维拓展|动态几何与二次函数结合的综合问题|含动态过程分析与存在性探究（如第15题重叠面积随时间变化）|

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数 01 基础达标 知识点一 二次函数的概念 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当 时，x，y之间是二次函数关系； (2)当 时，x，y之间是一次函数关系． 3. 把下列二次函数解析式化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项． （1）． （2）． 知识点二 实际问题中的二次函数的关系式 4. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率均为x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y与x的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 5. 在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数． 易错点 忽视二次函数的概念中的条件 8. 当______时，函数是关于的二次函数． 【变式】 9. 已知是二次函数，则m的值为______． 02 能力提升 10. 如图，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 11. 某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ） A. 40 m/s B. 20 m/s C. 10 m/s D. 5 m/s 12. 如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 13. 若． （1）m取什么值时，此函数是二次函数？ （2）m取什么值时，此函数是一次函数？ 14. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是）．围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是，面积是． （1）求S与x的函数关系式及x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 03 思维拓展 15. 如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度向左运动，最终点A与点M重合， （1）求重叠部分的面积与时间之间的函数关系式及自变量t的取值范围． （2）重叠部分的面积能否等于？若能，求出运动的时间，若不能，说明理由． 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数 01 基础达标 知识点一 二次函数的概念 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据二次函数的定义判断即可，二次函数的定义为：形如（为常数，且）的整式函数叫做二次函数，化简各选项后根据定义判断即可. 【详解】解：A、，最高次数为，是一次函数，不符合二次函数定义，不符合题意； B、不是整式函数，不符合二次函数定义，不符合题意； C、，符合（，为常数）的形式，属于二次函数，符合题意； D、不是整式函数，不符合二次函数定义，不符合题意； 故选：C. 【2题答案】 【答案】(1)a≠2；(2)a＝2且b≠－2 【解析】 【详解】（1）根据二次函数的定义，易得a－2 ； （2）根据一次函数的定义，易得 ，得a＝2且b≠－2. 【3题答案】 【答案】（1），二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1． （2），二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2． 【解析】 【分析】（1）（2）二次函数的一般形式为 ，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，由此即可求解． 【小问1详解】 解：展开并合并同类项： ， ∴一般形式为：， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 【小问2详解】 解：展开并合并同类项： ，  ∴一般形式为： 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 知识点二 实际问题中的二次函数的关系式 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：原价为60，一年后的价格是60×（1-x），二年后的价格是为：60×（1-x）×（1-x）=60（1-x）2，则函数解析式求得． 二年后的价格是为： 60×（1-x）×（1-x）=60（1-x）2， 则函数解析式是：y=60（1-x）2． 故选A． 考点：本题考查根据实际问题列二次函数关系式 点评：解答本题的关键是需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选D． 【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 【7题答案】 【答案】 ①. y＝x2－ ②. 是 【解析】 【详解】试题分析：设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手x(x−1) 次，所以y＝x(x−1)＝x2－，是二次函数． 故答案为y＝x2－，是． 点睛：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次． 易错点 忽视二次函数的概念中的条件 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得且根据上式计算即可得到答案． 【详解】是关于的二次函数 且 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零是解题关键 【变式】 【9题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：1． 02 能力提升 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，可先确定直线的解析式，找到直线与的交点坐标，得到阴影部分是等腰直角三角形，利用三角形面积公式建立与的函数关系式． 【详解】解：在，，， 是等腰直角三角形，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与交于点， ∴阴影部分是直角边长为的等腰直角三角形， ，其中， 因此函数关系式为． 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去． 【详解】解：当刹车距离为5m时，即可得y=5， 代入二次函数解析式得： 解得x=±10，（x=-10舍）， 故开始刹车时的速度为10 m/s． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 【13题答案】 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解； （2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：(1)当是二次函数时， 有， 解得， ∴当时，此函数是二次函数； 【小问2详解】 当是一次函数时， 有， 解得或， ∴或时，此函数是一次函数． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键． 【14题答案】 【答案】（1） （2）要围成面积为的花圃，的长为9米． 【解析】 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解； 【小问1详解】 解：根据题目数量关系得，， 根据题意，， ∴， ∴． 【小问2详解】 将代入得， ∴（舍去）， ∴要围成面积为的花圃，的长为9米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，正确列出函数表达式是解题的关键． 03 思维拓展 【15题答案】 【答案】（1），． （2）能．8秒 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据等量关系：重叠部分面积等于，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形． 又， ， ， ∴重叠部分的面积为， 自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：能．理由如下： 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 故当秒时，重叠部分的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $