25.3 第1课时 数字、面积与图形问题（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

### **基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础达标（数字、面积、图形问题）到能力提升（综合应用）再到思维拓展（实际创新），构建“单一知识点→综合运用→跨情境创新”的巩固路径，适配新授课教学目标。 ### **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|数字、面积、图形单一知识点应用|月历数字问题、矩形绿地面积题，培养抽象能力与模型意识| |能力提升|综合知识运用（方程与几何、运动问题）|仪仗方队方阵、动点等腰三角形题，发展推理能力与运算能力| |思维拓展|跨情境创新应用（实际优化问题）|电动车车棚扩建题，强化应用意识与批判性思维|

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字、面积与图形问题 01 基础达标 知识点一 数字问题 1. 如图是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8、14、15、16、17、24）．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为________________． 2. 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 知识点二 面积问题 3. 学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（　　　） A. B. C. D. 4. [新考法・情景题]如图是某停车场的平面示意图．停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为．设车道的宽为，可列方程为_______________． 5. 如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________． 知识点三 图形问题 6. 如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，是等边三角形，求的长． 02 能力提升 7. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在分列式中，高擎国旗、党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步方队，接受检阅．已知仪仗方队共213人，其中擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人，求仪仗方队有多少排多少列． 8. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 9. 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；同时，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后，是等腰三角形？ （2）几秒后，P、Q两点相距？ 03 思维拓展 10. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 数字、面积与图形问题 01 基础达标 知识点一 数字问题 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先找出月历中圈出的数里最大数与最小数的差，再根据最大数为表示出最小数，最后结合两数的积列方程． 【详解】解：∵在月历表中，按图示形状圈出的个数，其最大数与最小数的差恒为， ∴当最大数为 时，最小数为， ∵最大数与最小数的积为， ∴可列方程为 ． 【2题答案】 【答案】36 【解析】 【分析】设个位数字，则十位数字为，根据个位平方与寿符，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， 当时，两位数为：；当时，两位数为， ∵而立之年， ∴25不合题意，舍去； ∴周瑜去世时的年龄是岁； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 知识点二 面积问题 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】通过平移拼接停车位，将其转化为一个长方形，用含车道宽的式子表示长方形的长和宽，再根据面积列方程． 【详解】解：停车场外围长为，宽为，车道宽为； 将图中的两个停车位平移拼接在一起，可形成一个长方形； 拼接后的长方形的长为 ，宽为； 停车位总占地面积为； 根据长方形面积公式，可列方程为：． 【5题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为xm， 由题意得（30-3x）（24-2x）=480， 解得x1=2，x2=20（舍去）， ∴人行通道的宽度为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 知识点三 图形问题 【6题答案】 【答案】的长为． 【解析】 【分析】先利用正方形和等边三角形的性质证明三角形全等，再设未知数，用勾股定理列方程求解，最后结合线段长度的取值范围确定结果． 【详解】解：∵ 四边形是正方形， ， 是等边三角形， 在和中， ​ 设，则， 在中，由勾股定理得：  在中，由勾股定理得：  ， ，即 展开并整理得： 解得： 点在边上，， 不合题意，舍去 即的长为． 02 能力提升 【7题答案】 【答案】仪仗方队有12排，17列 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设仪仗方队有x排，则有列，再根据方阵的人数建立方程求解即可． 【详解】解：设仪仗方队有x排，则有列， 由题意得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：仪仗方队有12排，17列． 【8题答案】 【答案】(1) 李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为scm²， 则， 即(其中0<x<40）， 当s=58时， ， 解得，， ∴应将之剪成12cm和28cm的两段； （2）两正方形面积之和为48时， ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm²，李明的说法正确． 视频 【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键． 【9题答案】 【答案】（1）秒． （2）10秒后P，Q两点相距． 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，用表示出和的长度，根据等腰三角形的定义列方程求解； （2）同样用表示出和的长度，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒 则， ， 要使为等腰三角形，需 ，解得 即秒后是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵在中，由勾股定理得， 整理得，解得（舍去） 即秒后、两点相距． 03 思维拓展 【10题答案】 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2）不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $