1.1 正数和负数（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“正数和负数”核心知识点，从定义（大于0的数为正数，带负号的为负数，0既非正也非负）出发，到用正负数表示相反意义的量（温度、收支等），再延伸至实际应用（基准值、误差分析），构建递进式学习支架。 资料以《九章算术》等历史情境和生活实例（如温度、海拔）激发兴趣，通过“随学随练”“题型分类”培养抽象能力与运算能力，用规范语言强化表达，课中助教师突破重难点，课后分层练习帮学生查漏补缺。

第一章 有理数 1.1 正数和负数 课标要点 1. 理解正数、负数概念，明确0既不是正数也不是负数，能正确区分正、负、零三类数。 2. 掌握正负数核心用途：用来表示生活中具有相反意义的量，会结合实际情境书写正负数值。 3. 体会引入负数的必要性，会运用正负数解决温度、海拔、收支、方向等简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.掌握正数、负数定义，牢记 0 既不是正数也不是负数，能准确辨别正、负数。 2.会用正负数表示生活中相反意义的量，读懂温度、海拔、收支等实际场景符号含义。 3.能对一组数进行分类，分清整数、分数、正数、负数。 难点： 1.理解引入负数的意义，区分 “相反意义的量”，判断哪些场景能用正负表示。 2.容易混淆 0 的属性，误以为 0 是正数或负数。 3.带符号字母的判断，分不清-a不一定是负数、+a不一定是正数。 知识点 正数与负数的定义 基础定义： 大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 举个简单的例子：12、3.6、1.2%这些大于0的数都是正数；-3、-0.25、-15%这些带负号且小于0的数都是负数。 特别提醒 1.正数前面的“+”号可以省略不写，比如+8可以直接写成8，二者表示的含义完全相同，所以我们平时见到的不带符号的正整数、正分数默认都是正数。 2.负数前面的“-”号绝对不能省略，如果省略负号就会变成正数，含义完全改变，比如-5省略负号后变成5，一个是负数一个是正数，数值和性质都不一样。 随学随练 1．下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 2．下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 3．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 4．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 知识点 用正负数表示具有相反意义的量 核心原理： 在实际生活中，存在大量一对一对意义相反的量，为了准确区分这两种相反的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么另一种和它意义相反的量就可以用负数表示。 常见实例： 1.表示温度：零上温度规定为正，那么零下温度就用负表示，比如零上3摄氏度记作+3℃（或者直接记作3℃），零下2摄氏度记作-2℃。 2.表示收支：收入规定为正，那么支出就用负表示，收入1000元记作+1000元，支出800元记作-800元。 3.表示升降：上升规定为正，下降就用负表示，水位上升0.5米记作+0.5米，水位下降0.3米记作-0.3米。 4.表示增减：增产规定为正，减产就用负表示，粮食增产20吨记作+20吨，减产15吨记作-15吨。 5.表示方向：向东走规定为正，向西走就用负表示，向东走100米记作+100米，向西走80米记作-80米。 关键要点： 1.相反意义的量包含两个要素：第一，意义必须相反，比如向东和向西、收入和支出；第二，它们都得是数量，而且一般是同类的数量，不同类的量不能算作相反意义的量。 2.哪一种意义的量规定为正不是固定的，是可以人为选择的，只不过生活中我们一般习惯把上升、收入、增加、向东这些方向规定为正，反过来就是负，但是题目如果反过来规定，我们也要能正确识别，比如题目把向西走规定为正，那么向东走就要用负数表示。特别提醒 不是所有带“-”号的数都是负数，比如当a本身是负数时，-a就是正数，判断正负必须看这个数和0的大小关系，不能只看符号。 随学随练 1．中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 2．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（     ） A． B． C． D． 4．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 5．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 知识点 正负数在实际生活中的应用 基准值问题 很多实际问题中会给一个标准值，把超过标准的部分用正数表示，不足标准的部分用负数表示，这种题型是考试中的高频考点。 举个例子：某种食品包装袋上标有净含量“(250±5)g”，这里的±5g是什么意思？标准净含量是250g，+5g表示比250g最多多5g，也就是最多255g，-5g表示比250g最少少5g，也就是最少245g，所以合格产品的净含量范围是245g~255g之间。 误差分析 工业生产中，零件的合格范围常用正负数表示误差，比如一种零件的直径要求是(10±0.02)mm，意思就是合格零件的直径最小是10-0.02=9.98mm，最大是10+0.02=10.02mm，落在这个区间内的零件才合格特别提醒 计算范围的时候，不要把符号搞反，“±a”表示的范围是“基准值-a 到 基准值+a”。 随学随练 1．一箱橘子的标准质量为，如果超过标准质量表示为，那么比标准质量少可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示乒乓球的质量（   ） A．增加 B．减少 C．高于标准质量 D．低于标准质量 3．某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 4．在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 拓展 探究正负数的本质属性 正负数的定义不是由符号本身绝对决定，而是由参考基准（零点）的选取决定。例如，若我们以海平面为基准，高于海平面100米记作+100米，低于海平面50米记作-50米；但若我们以海拔-50米的位置为新的测量基准，原位置的海平面就变成了+50米，原本的-50米就变成了零点。这个探究过程可以帮助我们打破“符号决定属性”的思维定势，理解正负数是描述相对关系的工具，而非对数值本身的绝对分类。 活学活用 1．有一种记分方法：以80分为标准，88分记为分，某同学得分为74分，则该同学分数应记为（     ） A．分 B．0分 C．2分 D．分 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 题型 正负数的识别与分类 解题贴士 1.先牢记定义：大于0的数是正数，在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数，0既不是正数也不是负数； 2.遇到需要化简的数（比如多重符号的数），一定要先化简，再根据结果判断类别，比如-(-2)化简后是2，属于正数，不能直接看到负号就判定为负数； 3.整数包含正整数、0、负整数，不要漏写0。 ▌例1 在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌例2．下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-2．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． ▌对点练1-3．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． ▌对点练1-4．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 题型 用正负数表示相反意义的量 解题贴士 1.首先确定题目中规定的正方向，相反意义的两个量，一个用正数表示，另一个就用负数表示； 2.常见的相反意义场景：向东/向西、向北/向南、收入/支出、升高/降低、盈利/亏损、上升/下降、进球/失球，答题时先找对对应的相反关系； 3.不要漏写单位，题干有实际单位要求的，结果要带上对应单位。 ▌例1《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 ▌例2如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练1-12026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． ▌对点练1-3临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 题型 求符合要求的数 解题贴士 注意题干是否包含端点，比如“大于等于-2”包含-2，“小于3”不包含3，审题时圈出关键词；不要漏掉负整数和0，很多同学会只写正整数，导致漏答 ▌例1某种生物适合生长的温度t满足，该生物适合生长的温度范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2某工厂生产一批标准尺寸为的零件，其中尺寸在范围内的零件为合格零件，则下列尺寸的零件中不合格的零件是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在所有大于负数的数中最小的数是________；在所有小于正数的数中最大的数是________． ▌对点练1-2某种药品的说明书上标有保存温度是，该药品保存温度的范围是_______． ▌对点练1-3生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度：_________． ▌对点练1-4某食品包装上标有“净含量克”，这袋食品的合格率含量范围是______克至_______克． 题型 正负数在计分/排名中的应用 解题贴士 计算实际分数直接用基准分加上给出的带符号数值即可，比如基准分为80分，某学生成绩记作-5，75分 ▌例1某话题只用一周时间登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升10名．若热搜榜排名上升10名记作，则热搜榜排名下降5名记作（   ） A． B． C． D． ▌例2年巴黎奥运会上随着赛程的持续，金牌榜不断发生变化．若金牌榜排名上升位记作位，则金牌榜排名下降位应记为（   ） A．位 B．位 C．位 D．位 ▌对点练1-1张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作分；小丽被记作分，则小丽的实际分数为（    ） A．93 B．92 C．87 D．88 ▌对点练1-2有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为______分． 题型 正负数在温度计量中的应用 解题贴士 零上温度记为正，零下温度记为负，0℃是冰点，不是没有温度，这个概念经常考。题型包括读写温度、比较温度高低、计算温差。比较零下温度高低时，负号后面的数越大，温度越低，比如-10℃比-5℃温度更低，不要搞反大小关系。 ▌例1在我国气象标准里，是认定高温天气的起始温度．如果气温高于起始温度记作，那么“”表示气温（     ） A．低于起始温度 B．低于起始温度 C．高于起始温度 D．高于起始温度 ▌例2某实验室有一台可设置温度的冰箱，在设定温度的基础上，如果温度升高记为，那么温度降低记为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2年月日，微博话题#云南文旅持续上分，花式“内卷”为家乡代言#登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升名．若“热搜榜排名上升名”记作“”，则“热搜榜排名下降名”记作_____________． ▌对点练1-3鸡蛋的最佳孵化温度是在左右，若低于最佳孵化温度记作℃，则高于最佳孵化温度应该记作______． ▌对点练1-4国家航天局消息，6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，随后成功进入预定环月轨道，圆满完成世界首次月球背面采样和起飞．月球表面白天的温度可达，记作( )，夜间的温度可达零下，记作( )． 题型 正负数在路程/位置中的应用 解题贴士 通常以出发点为基准，向东、向北、前进这类方向记为正，相反方向记为负，最后计算总路程或者最终位置。计算最终位置直接把所有数值相加，结果为正就在出发点对应正方向一侧，结果为负就在相反一侧 ▌例1我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 ▌例2如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（     ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 ▌对点练1-2负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． ▌对点练1-32025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． ▌对点练1-4若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 题型 正负数在路程/位置中的应用 解题贴士 通常以出发点为基准，向东、向北、前进这类方向记为正，相反方向记为负，最后计算总路程或者最终位置。计算最终位置直接把所有数值相加，结果为正就在出发点对应正方向一侧，结果为负就在相反一侧 ▌例1我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 ▌例2如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（     ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 ▌对点练1-2负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． ▌对点练1-32025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． ▌对点练1-4若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 题型 正负数在经济问题中的应用 解题贴士 常见场景是商品涨跌价、营业额增减、盈亏计算。比如“某股票原价10元，第一天跌2元记作-2，第二天涨3元记作+3 ▌例1中国是最早认识和应用负数的国家，比西方国家早一千多年．在我国古代数学专著《九章算术》中首次引入负数．若把盈利50元记作元，则元表示（   ） A．盈利70元 B．亏损70元 C．盈利20元 D．亏损20元 ▌例2若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示（ ） A．亏损6元 B．亏损20元 C．盈利6元 D．盈利8元 ▌对点练1-1若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把甲商品涨价100元，记作元，则乙商品降价40元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌对点练1-3如果某商品每件盈利30元记作+30元，那么该商品每件亏损15元记作_______元． ▌对点练1-4若商品的价格上涨5%记为＋5%，则价格下跌3%记为________． 基础通关 1．在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 2．某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 3．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 4．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 5．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 6．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 7．冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 8．在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载了粮食买卖的相关问题，若买入粮食10斛，记作斛，那么卖出粮食斛可记作（     ） A．斛 B．斛 C．斛 D．斛 10．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（     ） A．元 B．元 C． 元 D．元 11．在、、、中，负数有___________个． 12．下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 13．正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 14．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 15．若收入3元记为元，则支出2元记为______元． 素养提升 1．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 2．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 3．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 4．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 5．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 6．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 7．在一次测量身高中，5位六年级同学的身高如表，如果将六年级学生平均身高米记为“0米”，小王的身高则记为“米”．那么，小美的身高记为______米，小红的身高记为______米，这5位同学的身高达标率是______． 姓名 小王 小美 小红 小明 小强 成绩 米 米 米 米 米 8．薯片袋上标有“”的字样中，表示___________，表示为___________．说明每袋薯片的质量在___________和___________之间． 9．某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作________分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是________分． 10．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为______分． 迁移创新 1．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 2．如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是___________； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是___________． 3．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.1 正数和负数 课标要点 1. 理解正数、负数概念，明确0既不是正数也不是负数，能正确区分正、负、零三类数。 2. 掌握正负数核心用途：用来表示生活中具有相反意义的量，会结合实际情境书写正负数值。 3. 体会引入负数的必要性，会运用正负数解决温度、海拔、收支、方向等简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.掌握正数、负数定义，牢记 0 既不是正数也不是负数，能准确辨别正、负数。 2.会用正负数表示生活中相反意义的量，读懂温度、海拔、收支等实际场景符号含义。 3.能对一组数进行分类，分清整数、分数、正数、负数。 难点： 1.理解引入负数的意义，区分 “相反意义的量”，判断哪些场景能用正负表示。 2.容易混淆 0 的属性，误以为 0 是正数或负数。 3.带符号字母的判断，分不清-a不一定是负数、+a不一定是正数。 知识点 正数与负数的定义 基础定义： 大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 举个简单的例子：12、3.6、1.2%这些大于0的数都是正数；-3、-0.25、-15%这些带负号且小于0的数都是负数。 特别提醒 1.正数前面的“+”号可以省略不写，比如+8可以直接写成8，二者表示的含义完全相同，所以我们平时见到的不带符号的正整数、正分数默认都是正数。 2.负数前面的“-”号绝对不能省略，如果省略负号就会变成正数，含义完全改变，比如-5省略负号后变成5，一个是负数一个是正数，数值和性质都不一样。 随学随练 1．下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是负数，符合要求； C、0既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是正数，不符合要求． 2．下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 3．在、、、0、、、1和这些数中，正数有( )个，负数有( )个． 【答案】 4 3 【分析】根据正负数的定义解答即可． 【详解】解：正数有：、、、1，共4个， 负数有：、、，共3个． 4．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 知识点 用正负数表示具有相反意义的量 核心原理： 在实际生活中，存在大量一对一对意义相反的量，为了准确区分这两种相反的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么另一种和它意义相反的量就可以用负数表示。 常见实例： 1.表示温度：零上温度规定为正，那么零下温度就用负表示，比如零上3摄氏度记作+3℃（或者直接记作3℃），零下2摄氏度记作-2℃。 2.表示收支：收入规定为正，那么支出就用负表示，收入1000元记作+1000元，支出800元记作-800元。 3.表示升降：上升规定为正，下降就用负表示，水位上升0.5米记作+0.5米，水位下降0.3米记作-0.3米。 4.表示增减：增产规定为正，减产就用负表示，粮食增产20吨记作+20吨，减产15吨记作-15吨。 5.表示方向：向东走规定为正，向西走就用负表示，向东走100米记作+100米，向西走80米记作-80米。 关键要点： 1.相反意义的量包含两个要素：第一，意义必须相反，比如向东和向西、收入和支出；第二，它们都得是数量，而且一般是同类的数量，不同类的量不能算作相反意义的量。 2.哪一种意义的量规定为正不是固定的，是可以人为选择的，只不过生活中我们一般习惯把上升、收入、增加、向东这些方向规定为正，反过来就是负，但是题目如果反过来规定，我们也要能正确识别，比如题目把向西走规定为正，那么向东走就要用负数表示。特别提醒 不是所有带“-”号的数都是负数，比如当a本身是负数时，-a就是正数，判断正负必须看这个数和0的大小关系，不能只看符号。 随学随练 1．中国古代数学著作《九章算术》中最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算．若向东走记作，则向西走可记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵向东记为正， ∴向西记为负， ∴向西走记作． 2．我国自主研制的“海斗一号”潜水器最大下潜深度为10907米，“极目一号”型浮空艇最高升空至海拔9050米．若将海平面以下10907米记作米，则海平面以上9050米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：根据正数和负数表示具有相反意义的量，可知海平面以上9050米记作米． 3．如果电梯上行6层记为，则电梯下行3层记为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，已知上行的记法，即可推导出下行的记法． 【详解】解：∵题目规定电梯上行层记为，即上行方向用正数表示， ∴与上行意义相反的下行方向，应用负数表示， 因此电梯下行层记为． 4．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 5．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 【答案】 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，已知零上温度记为正，可推得零下温度的表示方法． 【详解】解：由题意得，零上温度记为正，则零下温度记为负， 最低气温为零下，因此最低气温记为． 知识点 正负数在实际生活中的应用 基准值问题 很多实际问题中会给一个标准值，把超过标准的部分用正数表示，不足标准的部分用负数表示，这种题型是考试中的高频考点。 举个例子：某种食品包装袋上标有净含量“(250±5)g”，这里的±5g是什么意思？标准净含量是250g，+5g表示比250g最多多5g，也就是最多255g，-5g表示比250g最少少5g，也就是最少245g，所以合格产品的净含量范围是245g~255g之间。 误差分析 工业生产中，零件的合格范围常用正负数表示误差，比如一种零件的直径要求是(10±0.02)mm，意思就是合格零件的直径最小是10-0.02=9.98mm，最大是10+0.02=10.02mm，落在这个区间内的零件才合格特别提醒 计算范围的时候，不要把符号搞反，“±a”表示的范围是“基准值-a 到 基准值+a”。 随学随练 1．一箱橘子的标准质量为，如果超过标准质量表示为，那么比标准质量少可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据题意，超过标准质量用正数表示，少于标准质量用负数表示． 【详解】解：∵超过标准质量表示为， ∴比标准质量少应表示为， 故选：A． 2．在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示乒乓球的质量（   ） A．增加 B．减少 C．高于标准质量 D．低于标准质量 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一个乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么表示乒乓球的质量低于标准质量， 故选：D． 3．某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目对正偏差的规定，即可推出负偏差的表示方法。 【详解】∵题目规定比标准质量多记为正，即比标准多表示为， ∴比标准质量少是与“比标准质量多”相反的意义，应该记为负， 因此比标准质量少表示为． 4．在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 拓展 探究正负数的本质属性 正负数的定义不是由符号本身绝对决定，而是由参考基准（零点）的选取决定。例如，若我们以海平面为基准，高于海平面100米记作+100米，低于海平面50米记作-50米；但若我们以海拔-50米的位置为新的测量基准，原位置的海平面就变成了+50米，原本的-50米就变成了零点。这个探究过程可以帮助我们打破“符号决定属性”的思维定势，理解正负数是描述相对关系的工具，而非对数值本身的绝对分类。 活学活用 1．有一种记分方法：以80分为标准，88分记为分，某同学得分为74分，则该同学分数应记为（     ） A．分 B．0分 C．2分 D．分 【答案】D 【详解】解：∵以80分为标准，88分记为分，即， ∴记分规则为：实际分数减去标准分，所得结果即为最终记分． ∵， ∴ 74分应记为分． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 题型 正负数的识别与分类 解题贴士 1.先牢记定义：大于0的数是正数，在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数，0既不是正数也不是负数； 2.遇到需要化简的数（比如多重符号的数），一定要先化简，再根据结果判断类别，比如-(-2)化简后是2，属于正数，不能直接看到负号就判定为负数； 3.整数包含正整数、0、负整数，不要漏写0。 ▌例1 在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，判断给出的数中小于0的数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； ，是负数. ∴负数共有2个． ▌例2．下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 【详解】根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． ▌对点练1-1．，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． ▌对点练1-2．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：是负数，选项A不符合要求； 0既不是正数也不是负数，选项B不符合要求； 是正数，选项C符合要求； 是负数，选项D不符合要求． 综上，答案选C． ▌对点练1-3．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． ▌对点练1-4．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：把各数分别填入相应的圈内如下： ． 题型 用正负数表示相反意义的量 解题贴士 1.首先确定题目中规定的正方向，相反意义的两个量，一个用正数表示，另一个就用负数表示； 2.常见的相反意义场景：向东/向西、向北/向南、收入/支出、升高/降低、盈利/亏损、上升/下降、进球/失球，答题时先找对对应的相反关系； 3.不要漏写单位，题干有实际单位要求的，结果要带上对应单位。 ▌例1《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 【详解】解：因为表示向东走，则向东走用正数表示，负数表示与向东相反的方向，即向西，即可得到 表示向西走． ▌例2如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． ▌对点练1-12026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正，零上记作， ∴与零上意义相反的零下温度记为负， 因此零下记作． ▌对点练1-2若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 【答案】 【详解】解：根据相反意义的量可知，收入记为元，则花费即支出应记为元 ▌对点练1-3临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【答案】元 【详解】解：如果收入380元记作元，那么支出290元记作元． 题型 求符合要求的数 解题贴士 注意题干是否包含端点，比如“大于等于-2”包含-2，“小于3”不包含3，审题时圈出关键词；不要漏掉负整数和0，很多同学会只写正整数，导致漏答 ▌例1某种生物适合生长的温度t满足，该生物适合生长的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，解题的关键是理解“”表示的范围是到. 根据“”的含义，先计算出适合生长的最低温度和最高温度，确定温度范围后，对比选项得出答案． 【详解】解：“”表示最低温度为，最高温度为，即该生物适合生长的温度范围是； 故选：B． ▌例2某工厂生产一批标准尺寸为的零件，其中尺寸在范围内的零件为合格零件，则下列尺寸的零件中不合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数的实际运用，根据已知条件确定合格尺寸的范围是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为 ，观察四个选项，不在尺寸范围内． 故选：C． ▌对点练1-1在所有大于负数的数中最小的数是________；在所有小于正数的数中最大的数是________． 【答案】 0 0 【分析】本题主要考查了对正数、负数的认识，正确理解正负数的定义是解题的关键． 根据正数、负数的意义，大于0的数是正数，小于0的数是负数即可求解． 【详解】解：在所有大于负数的数中最小的数是0；在所有小于正数的数中最大的数是0， 故答案为：0，0． ▌对点练1-2某种药品的说明书上标有保存温度是，该药品保存温度的范围是_______． 【答案】到之间 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是明确正负数的意义，求出药品保存温度的范围． 【详解】解：某种药品的说明书上标有保存温度是， 所以，最高温度为，最低温度为， 该药品保存温度的范围是到之间． 故答案为：到之间． ▌对点练1-3生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度：_________． 【答案】25（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据给出的范围写出符合题的温度即可． 【详解】因为某种食品的说明书上标明保存温度是， 所以适合该食品保存的温度可以是， 故答案为：25（答案不唯一）． ▌对点练1-4某食品包装上标有“净含量克”，这袋食品的合格率含量范围是______克至_______克． 【答案】 380 390 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵，， ∴这袋食品的合格率含量范围是380克至390克． 故答案为：380；390． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型 正负数在计分/排名中的应用 解题贴士 计算实际分数直接用基准分加上给出的带符号数值即可，比如基准分为80分，某学生成绩记作-5，75分 ▌例1某话题只用一周时间登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升10名．若热搜榜排名上升10名记作，则热搜榜排名下降5名记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若排名上升用“”表示，那么排名下降就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若热搜榜排名上升10名记作，则热搜榜排名下降5名记作， 故选：B． ▌例2年巴黎奥运会上随着赛程的持续，金牌榜不断发生变化．若金牌榜排名上升位记作位，则金牌榜排名下降位应记为（   ） A．位 B．位 C．位 D．位 【答案】B 【分析】此题考查了正负数表示相反意义的量，根据金牌榜排名上升位记作位，由此即可求解，理解并掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键， 【详解】解：∵金牌榜排名上升位记作位， ∴金牌榜排名下降位应记为位， 故选：． ▌对点练1-1张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作分；小丽被记作分，则小丽的实际分数为（    ） A．93 B．92 C．87 D．88 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数表示意义相反的两种量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性． 【详解】解：∵以90分为标准计分，小明得95分，记作分； ∴小丽被记作分，则小丽的实际分数为分， 故选：C． ▌对点练1-2有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为______分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义解答即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵分记为分，分记为分， ∴小明同学得了分应记为分， 故答案为：． 题型 正负数在温度计量中的应用 解题贴士 零上温度记为正，零下温度记为负，0℃是冰点，不是没有温度，这个概念经常考。题型包括读写温度、比较温度高低、计算温差。比较零下温度高低时，负号后面的数越大，温度越低，比如-10℃比-5℃温度更低，不要搞反大小关系。 ▌例1在我国气象标准里，是认定高温天气的起始温度．如果气温高于起始温度记作，那么“”表示气温（     ） A．低于起始温度 B．低于起始温度 C．高于起始温度 D．高于起始温度 【答案】B 【分析】根据题目给定的正的含义，推出负数对应的相反含义即可得出结果． 【详解】解：题目规定气温高于起始温度记为正，高于起始温度记作， 负数表示与规定相反的意义，即低于起始温度， 表示低于起始温度． ▌例2某实验室有一台可设置温度的冰箱，在设定温度的基础上，如果温度升高记为，那么温度降低记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵温度升高记为，说明规定升高用正数表示， ∴与升高意义相反的温度降低，需要用负数表示， ∴温度降低记为． ▌对点练1-1“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数表示相反意义的量即可求解，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵茶水温度比低记作， ∴茶水温度比高记作， 故选：． ▌对点练1-2年月日，微博话题#云南文旅持续上分，花式“内卷”为家乡代言#登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升名．若“热搜榜排名上升名”记作“”，则“热搜榜排名下降名”记作_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的实际意义，理解并掌握正负数的意义是解题的关键，根据上升名记作“”，由此即可求解． 【详解】解：排名上升名记作“”， ∴排名下降名记为， 故答案为：． ▌对点练1-3鸡蛋的最佳孵化温度是在左右，若低于最佳孵化温度记作℃，则高于最佳孵化温度应该记作______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义和实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，比较简单． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：如果低于最佳孵化温度记作，那么高于最佳孵化温度应该记作， 故答案为：． ▌对点练1-4国家航天局消息，6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，随后成功进入预定环月轨道，圆满完成世界首次月球背面采样和起飞．月球表面白天的温度可达，记作( )，夜间的温度可达零下，记作( )． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，高于记作正数，低于记作负数，即可求解． 【详解】解：月球表面白天的温度可达，记作，夜间的温度可达零下，记作 故答案为：，． 题型 正负数在路程/位置中的应用 解题贴士 通常以出发点为基准，向东、向北、前进这类方向记为正，相反方向记为负，最后计算总路程或者最终位置。计算最终位置直接把所有数值相加，结果为正就在出发点对应正方向一侧，结果为负就在相反一侧 ▌例1我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． ▌例2如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法． 【详解】无人机上升记作，那么下降记作． ▌对点练1-1中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（     ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 【答案】A 【详解】∵向西走30米记作米， ∴正数表示与西相反方向的行走，即向东走， 因此米表示向东走20米. ▌对点练1-2负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． 【答案】 /50 【详解】解：根据题意，水位下降被记作负，上升与下降是具有相反意义的量，所以上升米记作米． ▌对点练1-32025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． ▌对点练1-4若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个意义相反的量用负表示，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵数轴上一点向右移动6个单位长度记作， ∴向左移动2个单位长度记作． 题型 正负数在路程/位置中的应用 解题贴士 通常以出发点为基准，向东、向北、前进这类方向记为正，相反方向记为负，最后计算总路程或者最终位置。计算最终位置直接把所有数值相加，结果为正就在出发点对应正方向一侧，结果为负就在相反一侧 ▌例1我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走5步记作“”，则“”表示（     ） A．向东行走7步 B．向南行走7步 C．向北行走7步 D．向西行走7步 【答案】C 【详解】解：∵题目规定向南行走步记作， 又∵向南与向北是一对相反意义的方向， ∴表示向北行走步． ▌例2如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法． 【详解】无人机上升记作，那么下降记作． ▌对点练1-1中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（     ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 【答案】A 【详解】∵向西走30米记作米， ∴正数表示与西相反方向的行走，即向东走， 因此米表示向东走20米. ▌对点练1-2负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30米记作米，那么上升50米记作________米． 【答案】 /50 【详解】解：根据题意，水位下降被记作负，上升与下降是具有相反意义的量，所以上升米记作米． ▌对点练1-32025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． ▌对点练1-4若数轴上一点向右移动6个单位长度记作，则这点向左移动2个单位长度记作______． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个意义相反的量用负表示，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵数轴上一点向右移动6个单位长度记作， ∴向左移动2个单位长度记作． 题型 正负数在经济问题中的应用 解题贴士 常见场景是商品涨跌价、营业额增减、盈亏计算。比如“某股票原价10元，第一天跌2元记作-2，第二天涨3元记作+3 ▌例1中国是最早认识和应用负数的国家，比西方国家早一千多年．在我国古代数学专著《九章算术》中首次引入负数．若把盈利50元记作元，则元表示（   ） A．盈利70元 B．亏损70元 C．盈利20元 D．亏损20元 【答案】B 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据正负数的定义，可得：收入记作“”，则支出记作“”，据此求解即可． 【详解】解：若把盈利50元记作元，则元表示亏损70元， 故选：B． ▌例2若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示（ ） A．亏损6元 B．亏损20元 C．盈利6元 D．盈利8元 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示亏损6元， 故选：A． ▌对点练1-1若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． ▌对点练1-2中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把甲商品涨价100元，记作元，则乙商品降价40元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量， 若涨价用“”表示，那么降价就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：把甲商品涨价100元，记作元，则乙商品降价40元记作元； 故选：B． ▌对点练1-3如果某商品每件盈利30元记作+30元，那么该商品每件亏损15元记作_______元． 【答案】 【分析】根据具有相反意义的量分析即可得出答案 【详解】盈利30元记作+30元，那么该商品每件亏损15元记作元 故答案为： 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解题意是解题的关键． ▌对点练1-4若商品的价格上涨5%记为＋5%，则价格下跌3%记为________． 【答案】－3% 【分析】根据具有相反意义的量的性质即可求出答案． 【详解】解：∵上涨和下跌是具有相反意义的量， ∴价格下跌3%记为：－3%． 故答案为：－3%． 【点睛】本题主要考查的是具有相反意义的量，属于基础题型．理解表达方式是解决这个问题的关键． 基础通关 1．在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，根据题目给定的记法即可推导结果． 【详解】解：∵把收集到个塑料瓶记作个，收集和捐赠出去是一对相反意义的量， ∴相反意义的量需要用相反符号表示， 因此捐赠出去个塑料瓶记作个． 2．某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 3．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 4．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】根据题意，零上温度记为正，相反意义的零下温度就记为负，由此可得出结论． 【详解】解：∵将气温零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负， ∴表示气温为零下． 5．我国很早就开始使用负数，《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据红色算筹的表示规则确定横线、竖线代表的数字，再结合黑色算筹代表负数的规则求解． 【详解】 解：已知红色算筹表示， 可得：3条横线代表十位数字3，2条竖线代表个位数字2， 因此黑色算筹：4条横线是十位4，3条竖线是个位3， 又因为黑色算筹表示负数，所以该数为． 6．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知高于海平面记为正，那么低于海平面应记为负，按规则写出对应标注即可． 【详解】解：∵已知高于海平面标注为，即规定高于海平面用正数表示， ∴低于海平面应用负数表示，标注为． 7．冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目规定的记法，对应写出两个温度即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正数， ∴零上可表示为， ∵零下温度与零上温度是相反意义的量， ∴零下可表示为， 因此该日呼和浩特的最高气温与最低气温分别为． 8．在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定赢球用正数表示，赢球与输球是相反意义的量， ∴输球需要用负数表示， 因此输球可表示为． 9．《九章算术》中记载了粮食买卖的相关问题，若买入粮食10斛，记作斛，那么卖出粮食斛可记作（     ） A．斛 B．斛 C．斛 D．斛 【答案】B 【详解】解：∵买入粮食和卖出粮食是一对相反意义的量，题目规定买入粮食记为正， ∴卖出粮食应该记为负 ∴卖出粮食斛可记作斛． 10．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（     ） A．元 B．元 C． 元 D．元 【答案】A 【分析】根据正负数表示相反意义的量，即可得到答案． 【详解】解：∵ 盈利与亏本是意义相反的两种量，且盈利元记作元，即盈利记为正，那么亏本记为负， ∴ 亏本元记作元． 11．在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 12．下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 13．正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【答案】 【详解】解：存入银行元记作元， 从银行取出元记作元． 14．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 【答案】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，已知温度上升记为正数，可得温度下降记为负数，据此即可求解． 【详解】解： 温度上升记作， 温度下降记作． 15．若收入3元记为元，则支出2元记为______元． 【答案】 【分析】收入和支出是一对具有相反意义的量，由收入记为正，可推出支出记为负． 【详解】解：∵收入元记为元， ∴支出元记为元． 素养提升 1．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红为正，黑为负，个红算筹记作， ∴个黑算筹应记作． 2．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 3．小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 4．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 5．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 6．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 【详解】 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 7．在一次测量身高中，5位六年级同学的身高如表，如果将六年级学生平均身高米记为“0米”，小王的身高则记为“米”．那么，小美的身高记为______米，小红的身高记为______米，这5位同学的身高达标率是______． 姓名 小王 小美 小红 小明 小强 成绩 米 米 米 米 米 【答案】 60 【分析】本题主要考查正负数的意义及百分率的计算，熟练掌握正负数表示相反意义的量以及达标率的计算公式是解题的关键． 先根据平均身高与小王身高的记法，确定身高的记数规则，即实际身高减平均身高，再据此计算小美、小红的身高，最后统计达标人数计算达标率． 【详解】解：小美的身高记为米，小红的身高记为米， ∵这5位同学中达标的同学有：小王，小红，小明3人， ∴身高达标率为：， 故答案为：，，60． 8．薯片袋上标有“”的字样中，表示___________，表示为___________．说明每袋薯片的质量在___________和___________之间． 【答案】 比多 比少 245 255 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：薯片袋上标有“”的字样中，表示比多，表示为比少．说明每袋薯片的质量在和之间． 故答案为：比多；比少；245；255． 9．某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作________分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是________分． 【答案】 88 【分析】本题考查了正数、负数的应用，熟练掌握其意义是解题的关键． 【详解】解：平均成绩为95分，把平均成绩记为0分， ，超出3， 故记作：； 小兰的成绩记作分，她的实际得分是， 故答案为：，88． 10．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为______分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 迁移创新 1．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 2．如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是___________； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是___________． 【答案】 8 25 【分析】本题考查了正负数的意义，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键．根据开锁密码的意义即可得解， 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是7．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是8， ∴开锁密码为“”，表示先按顺时针方向转10格，再按逆时针方向转15格，再按顺时针方向转20格， 所以标记线按顺时针转了15格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为25． 故答案为：8；25． 3．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $