1.1 正数和负数同步讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数入门核心知识点，系统梳理正数负数概念、相反意义的量及基准量，构建从概念定义到实际应用的学习支架，通过易错警示强化对“0的特殊性”“-a的符号判断”等关键问题的理解。 资料以情境化典例（如水位记录、盈亏计算）培养抽象能力与模型意识，通过辨析题（如“带负号的数是否为负数”）发展推理意识，课中辅助教师突破重难点，课后通过分层训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第1章有理数 1.1正数和负数 【知识清单】 一、正数和负数的概念 1.正数：大于0的数叫做正数。正数前面可以加上正号"＋"，正号通常省略不写。例如：＋3、5、＋1.2等都是正数。 2.负数：在正数前面加上负号"－"的数叫做负数。负数都小于0。例如：－3、－5、－1.2等都是负数。 3.0的特殊性：0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。 二、具有相反意义的量 1.在实际生活中，常用正数和负数表示具有相反意义的量。 2.表示步骤：①确定哪种意义的量为正；②另一种相反意义的量就为负。 3.常见的相反意义对：收入与支出、上升与下降、向东与向西、盈利与亏损、高于与低于等。 三、基准量 1.基准量是衡量变化的标准值，通常以0点作为参考。 2.超出基准的部分记为正，不足基准的部分记为负。 3.实际值=基准＋记录值。 【易错警示】 ①“－a”不一定是负数。当a为负数时，－a为正数；当a=0时，－a=0。 ②并非所有带"＋"号的数都是正数（如＋0=0），也并非所有带"－"号的数都是负数（如－(－5)=5）。 ③0不是最小的数，负数中存在比0小的数。 ④表示相反意义的量时，必须明确正方向和基准，两者缺一不可。 知识点一：正数和负数的概念与识别 【典例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？－2，＋5，0，－0.3，，，＋1.8。 【典例2】判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）一个数不是正数就是负数； （2）0°C表示没有温度； （3）带有负号的数一定是负数。 【典例3】在－(－2)，－|－3|，0，－(＋5)，＋(－1)中，负数有哪些？ 跟踪训练 1.在数2，－3，0，＋0.5，，8中，正数有______个，负数有______个。 2.下列说法正确的是（ ） A.带"＋"号的数都是正数 B.带"－"号的数都是负数 C.0是正数 D.0既不是正数也不是负数 3.如果－a是正数，那么a一定是（ ） A.正数　　B.负数　　C.0　　D.无法确定 4.在－(－3)、－|2|、0、＋(－2)、－(＋4)中，正数的个数是（ ） A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 知识点二：具有相反意义的量与基准 题型二：具有相反意义的量与基准 【典例4】如果规定向东走5m记作＋5m，那么向西走8m应记作什么？若某人的位置记作0m，表示什么含义？ 【典例5】某水库的正常水位为50m，记录员把某天水位52m记作＋2m。 （1）某天水位为47m，应记作多少？ （2）某天水位记录为＋5m，实际水位是多少？ 【典例6】某品牌大米包装袋上标注"净含量：10kg±0.15kg"，则下列重量合格的是（ ） A.9.80kg　 B.10.20kg　 C.9.90kg　 D.10.16kg 跟踪训练 5.如果＋3吨表示运进粮食3吨，那么运出粮食5吨应记作______吨。 6.某天最高气温为6°C，最低气温为－4°C，则这一天的温差是______°C。 7.某次数学考试以90分为标准，超过的分数记为正，不足的分数记为负。小明的成绩记作＋8分，他的实际得分是______分。 8.某地一天四个时刻的气温记录如下（单位：°C）：－5，0，3，－2。气温最低的时刻是______°C，最高的时刻是______°C。 知识点三：正负数的综合应用 【典例7】某电动车厂本周计划每日生产200辆电动车。实际每日产量与计划量相差如下（增加为正，减少为负）：－5、＋7、－3、＋4、＋10、－9、－15。 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多多少辆？ （2）本周总产量是多少？ 【典例8】某天早晨气温为－3°C，上午上升了5°C，下午又下降了7°C。下午的气温是多少？ 【典例9】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负。某天自A地出发到收工时所走路程（单位：km）为：＋10、－3、＋4、－2、＋8、－5。 （1）收工时距A地多远？在A地什么方向？ （2）若汽车每千米耗油0.12L，共耗油多少升？ 跟踪训练 9.某粮库运进粮食记为正。周一运进18t，周二运出9t，周三运进6t，周四运出13t，周五运进10t。这五天粮食的净变化量为______t。 10.已知某地海拔高度为－30m，乙地海拔为－10m，则______地海拔更高，高出______m。 11.直升机从海拔500m处上升300m，又下降800m，此时直升机的海拔为______m。 12.小卖部一周盈亏如下（盈利为正，单位：元）：128.3、－25.6、－15、27、－7、36.5、98。这一周总体盈亏情况是______元（填“盈”或“亏”及金额）。 【随堂演练】 1.下列各数中，是负数的为（ ） A.0 B.－(－2) C.－|－1| D.＋3 2.在－2，0，－0.5，3中，最接近0的数是（ ）。 A.－2 B.0 C.－0.5 D.3 3.如果收入200元记作＋200元，那么支出150元记作______元。 4.某日四个城市最低气温：北京－6°C，上海1°C，哈尔滨－18°C，广州12°C。气温最高的城市是______。 5.某班5名同学的体重记录如下（以45kg为基准，超过记正，不足记负）：＋2，－1，0，＋5，－3。 （1）求这5名同学的实际体重； （2）求他们的平均体重。 6.观察下列一组数：1，－2，3，－4，5，－6，… （1）第10个数是什么？ （2）第n个数如何表示？ 【课后巩固】 一、选择题（每题5分，共30分） 1.在－(－1)、－|－2|、3.14、(－2)²中，负数的个数是（ ） A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 2.下列说法中，正确的是（ ） A.正整数和负整数统称整数 B.最大的负整数是－1 C.0°C表示没有温度 D.一个数不是正数就是负数 3.质检员抽查零件，标准长度为30mm，允许误差±0.1mm。合格的是（ ） A.30.12mm　 B.29.88mm　 C.29.92mm　 D.29.85mm 4.下列各组量中，不是具有相反意义的量的是（ ） A.向东5m和向西3m B.盈利100元和亏损50元 C.身高增加2cm和体重减少3kg D.气温上升5°C和下降3°C 5.若－a是负数，则a一定是（ ） A.正数　　B.负数　　C.0　　D.以上都不一定 6.在－3，－1，0，2四个数中，比0小的数有（ ）。 A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 二、填空题（每题5分，共30分） 7.某地早晨气温－2°C，中午上升8°C，中午气温为______°C。 8.在－0.5，0，1，－2，中，最大的数是______。 9.甲地海拔－30m，乙地海拔－10m，______地海拔更高，高出______m。 10.某公交车从始发站出发，各站上下客记录（上车为正，下车为负）：＋15、－7、＋12、－5、＋9。此时车上共有______人。（不计司机） 11.某食品包装标注"200g±3g"，则合格产品的质量x的取值范围为______g。 三、解答题（共40分） 12.（8分）将下列各数按要求分类：－3.5，4，0，，＋2，－0.6，7，－100。 正整数：{ …}；负分数：{ …}。 13.（8分）某公交车始发站上车15人，之后各站变化如下（上车为正，下车为负）：－7、＋12、－5、＋9、－18、＋6、－2。 （1）中途一共上车多少人？下车多少人？ （2）到终点站时车上还有多少人？ 14.（10分）下表记录的是某河流一周内每天的水位变化情况（以30m为基准，超过记正，不足记负，单位：cm）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位 －5 ＋8 －3 ＋6 －2 ＋10 －7 （1）本周哪天的水位最高？哪天的水位最低？ （2）最高水位和最低水位的差是多少？ （3）本周的平均水位相对于基准是高还是低？高了（或低了）多少厘米？ 15.（14分）观察下列各组数，探究其中规律： 第1组：1，，，，，… 第2组：－2，4，－6，8，－10，12，… （1）分别写出第1组和第2组的第10个数。 （2）用含n（n为正整数）的式子分别表示第1组和第2组的第n个数。 （3）第2组中，第15个数与第20个数的和是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章有理数 1.1正数和负数 【知识清单】 一、正数和负数的概念 1.正数：大于0的数叫做正数。正数前面可以加上正号"＋"，正号通常省略不写。例如：＋3、5、＋1.2等都是正数。 2.负数：在正数前面加上负号"－"的数叫做负数。负数都小于0。例如：－3、－5、－1.2等都是负数。 3.0的特殊性：0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。 二、具有相反意义的量 1.在实际生活中，常用正数和负数表示具有相反意义的量。 2.表示步骤：①确定哪种意义的量为正；②另一种相反意义的量就为负。 3.常见的相反意义对：收入与支出、上升与下降、向东与向西、盈利与亏损、高于与低于等。 三、基准量 1.基准量是衡量变化的标准值，通常以0点作为参考。 2.超出基准的部分记为正，不足基准的部分记为负。 3.实际值=基准＋记录值。 【易错警示】 ①“－a”不一定是负数。当a为负数时，－a为正数；当a=0时，－a=0。 ②并非所有带"＋"号的数都是正数（如＋0=0），也并非所有带"－"号的数都是负数（如－(－5)=5）。 ③0不是最小的数，负数中存在比0小的数。 ④表示相反意义的量时，必须明确正方向和基准，两者缺一不可。 知识点一：正数和负数的概念与识别 【典例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些既不是正数也不是负数？－2，＋5，0，－0.3，，，＋1.8。 解：正数：＋5、、＋1.8（均大于0）。负数：－2、－0.3、（均小于0）。0既不是正数也不是负数。 故答案为：正数：＋5、、＋1.8；负数：－2、－0.3、；0既不是正数也不是负数。 【典例2】判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）一个数不是正数就是负数； （2）0°C表示没有温度； （3）带有负号的数一定是负数。 解：（1）错误。0既不是正数也不是负数。 （2）错误。0°C是冰水混合物的温度，是一个确定的温度值。 （3）错误。如－(－5)=5是正数，－0=0既不是正数也不是负数。 故答案为：（1）×；（2）×；（3）×。均错误。 【典例3】在－(－2)，－|－3|，0，－(＋5)，＋(－1)中，负数有哪些？ 解：化简结果：－(－2)=2（正数），－|－3|=－3（负数），0（既非正也非负），－(＋5)=－5（负数），＋(－1)=－1（负数）。负数有3个。 故答案为：负数有－|－3|、－(＋5)、＋(－1)，共3个。 跟踪训练 1.在数2，－3，0，＋0.5，，8中，正数有______个，负数有______个。 解：正数有2、＋0.5、8，共3个；负数有－3、，共2个。 2.下列说法正确的是（ ） A.带"＋"号的数都是正数 B.带"－"号的数都是负数 C.0是正数 D.0既不是正数也不是负数 解：A错（＋0不是正数），B错（－(－5)=5不是负数），C错（0不是正数）。 故选：D。 3.如果－a是正数，那么a一定是（ ） A.正数　　B.负数　　C.0　　D.无法确定 解：若－a>0，则a<0，即a为负数。故选：B. 4.在－(－3)、－|2|、0、＋(－2)、－(＋4)中，正数的个数是（ ） A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 解：－(－3)=3（正），－|2|=－2（负），0（既非），＋(－2)=－2（负），－(＋4)=－4（负）。正数仅1个。故选：A。 知识点二：具有相反意义的量与基准 题型二：具有相反意义的量与基准 【典例4】如果规定向东走5m记作＋5m，那么向西走8m应记作什么？若某人的位置记作0m，表示什么含义？ 解：由题意，向东为正，向西为负。向西走8m应记作－8m。0m表示此人正好在出发点，既没有向东走也没有向西走。 故答案：向西走8m记作－8m；0m表示在出发位置。 【典例5】某水库的正常水位为50m，记录员把某天水位52m记作＋2m。 （1）某天水位为47m，应记作多少？ （2）某天水位记录为＋5m，实际水位是多少？ 解：（1）47－50=－3，比基准低3m，应记作－3m。 （2）50＋5=55，实际水位为55m。 【典例6】某品牌大米包装袋上标注"净含量：10kg±0.15kg"，则下列重量合格的是（ ） A.9.80kg　 B.10.20kg　 C.9.90kg　 D.10.16kg 解：A：9.80<9.85，不合格。B：10.20>10.15，不合格。C：9.85≤9.90≤10.15，合格。D：10.16>10.15，不合格。故选：C。 跟踪训练 5.如果＋3吨表示运进粮食3吨，那么运出粮食5吨应记作______吨。 解：－5。故答案为：-5 6.某天最高气温为6°C，最低气温为－4°C，则这一天的温差是______°C。 解：温差=6－(－4)=6＋4=10。故答案为：10。 7.某次数学考试以90分为标准，超过的分数记为正，不足的分数记为负。小明的成绩记作＋8分，他的实际得分是______分。 解：实际得分=90＋8=98。故答案为：98。 8.某地一天四个时刻的气温记录如下（单位：°C）：－5，0，3，－2。气温最低的时刻是______°C，最高的时刻是______°C。 解：最低－5°C，最高3°C。故答案为－5°C，3°C。 知识点三：正负数的综合应用 【典例7】某电动车厂本周计划每日生产200辆电动车。实际每日产量与计划量相差如下（增加为正，减少为负）：－5、＋7、－3、＋4、＋10、－9、－15。 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多多少辆？ （2）本周总产量是多少？ 解：（1）记录值最大是＋10（星期五），最小是－15（星期日），相差10－(－15)=25辆。 （2）记录值之和=(－5)＋7＋(－3)＋4＋10＋(－9)＋(－15)=－11。总产量=200×7＋(－11)=1400－11=1389辆。 【典例8】某天早晨气温为－3°C，上午上升了5°C，下午又下降了7°C。下午的气温是多少？ 解：－3＋5＋(－7)=－3＋5－7=－5（°C）。 【典例9】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负。某天自A地出发到收工时所走路程（单位：km）为：＋10、－3、＋4、－2、＋8、－5。 （1）收工时距A地多远？在A地什么方向？ （2）若汽车每千米耗油0.12L，共耗油多少升？ 解：（1）总位移=10＋(－3)＋4＋(－2)＋8＋(－5)=12（km）。结果为正，在A的前进方向12km处。 （2）总路程=|＋10|＋|－3|＋|＋4|＋|－2|＋|＋8|＋|－5|=10＋3＋4＋2＋8＋5=32（km）。耗油量=32×0.12=3.84（L）。 跟踪训练 9.某粮库运进粮食记为正。周一运进18t，周二运出9t，周三运进6t，周四运出13t，周五运进10t。这五天粮食的净变化量为______t。 解：18－9＋6－13＋10=12。故答案为：＋12。 10.已知某地海拔高度为－30m，乙地海拔为－10m，则______地海拔更高，高出______m。 解：－10－(－30)=20。故答案为：乙。 11.直升机从海拔500m处上升300m，又下降800m，此时直升机的海拔为______m。 解：500＋300－800=0。故答案为：0。 12.小卖部一周盈亏如下（盈利为正，单位：元）：128.3、－25.6、－15、27、－7、36.5、98。这一周总体盈亏情况是______元（填“盈”或“亏”及金额）。 解：128.3－25.6－15＋27－7＋36.5＋98=242.2。故答案为：盈242.2。 【随堂演练】 1.下列各数中，是负数的为（ ） A.0 B.－(－2) C.－|－1| D.＋3 解：－|－1|=－1，是负数。A是0；B：－(－2)=2（正）；D：＋3（正）。故选：C。 2.在－2，0，－0.5，3中，最接近0的数是（ ）。 A.－2 B.0 C.－0.5 D.3 解：0与0的距离为0，是最近的。故选：B。 3.如果收入200元记作＋200元，那么支出150元记作______元。 解：－150。故答案为：－150。 4.某日四个城市最低气温：北京－6°C，上海1°C，哈尔滨－18°C，广州12°C。气温最高的城市是______。 解：广州（12°C）。故答案为：广州（12°C）。 5.某班5名同学的体重记录如下（以45kg为基准，超过记正，不足记负）：＋2，－1，0，＋5，－3。 （1）求这5名同学的实际体重； （2）求他们的平均体重。 解：（1）实际体重：47kg，44kg，45kg，50kg，42kg。 （2）平均体重=(47＋44＋45＋50＋42)÷5=228÷5=45.6（kg）。 6.观察下列一组数：1，－2，3，－4，5，－6，… （1）第10个数是什么？ （2）第n个数如何表示？ 解：（1）规律：奇数位为正，偶数位为负，第n个数的数值为n。第10个数为－10。 （2）第n个数为(－1)ⁿ⁺¹·n。 【课后巩固】 一、选择题（每题5分，共30分） 1.在－(－1)、－|－2|、3.14、(－2)²中，负数的个数是（ ） A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 解：－|－2|=－2是唯一的负数。－(－1)=1（正），(－2)²=4（正）。故选：A。 2.下列说法中，正确的是（ ） A.正整数和负整数统称整数 B.最大的负整数是－1 C.0°C表示没有温度 D.一个数不是正数就是负数 解：A漏掉0；C错，0°C是确定的温度；D忽略0。故选：B。 3.质检员抽查零件，标准长度为30mm，允许误差±0.1mm。合格的是（ ） A.30.12mm　 B.29.88mm　 C.29.92mm　 D.29.85mm 解：合格范围29.9 mm≤x≤30.1 mm，29.92在范围内。故选：C。 4.下列各组量中，不是具有相反意义的量的是（ ） A.向东5m和向西3m B.盈利100元和亏损50元 C.身高增加2cm和体重减少3kg D.气温上升5°C和下降3°C 解：身高和体重是不同的量，不具有相反意义。故选：C。 5.若－a是负数，则a一定是（ ） A.正数　　B.负数　　C.0　　D.以上都不一定 解：－a为负数，说明a的相反数为负，故a为正数。故选：A。 6.在－3，－1，0，2四个数中，比0小的数有（ ）。 A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 解：－3和－1比0小，共2个。故选：B。 二、填空题（每题5分，共30分） 7.某地早晨气温－2°C，中午上升8°C，中午气温为______°C。 解：－2＋8=6。故答案为：6。 8.在－0.5，0，1，－2，中，最大的数是______。 解：排序：－2<－0.5<－⅓<0<1，最大是1。故答案为：1。 9.甲地海拔－30m，乙地海拔－10m，______地海拔更高，高出______m。 解：－10－(－30)=20。故答案为：乙，20。 10.某公交车从始发站出发，各站上下客记录（上车为正，下车为负）：＋15、－7、＋12、－5、＋9。此时车上共有______人。（不计司机） 解：15－7＋12－5＋9=24。故答案为：24。 11.某食品包装标注"200g±3g"，则合格产品的质量x的取值范围为______g。 解：由题意知：197≤x≤203。故答案为：197≤x≤203。 三、解答题（共40分） 12.（8分）将下列各数按要求分类：－3.5，4，0，，＋2，－0.6，7，－100。 正整数：{ …}；负分数：{ …}。 解：正整数：{4，＋2，7，…}；负分数：{－3.5，－½，－0.6，…}。 13.（8分）某公交车始发站上车15人，之后各站变化如下（上车为正，下车为负）：－7、＋12、－5、＋9、－18、＋6、－2。 （1）中途一共上车多少人？下车多少人？ （2）到终点站时车上还有多少人？ 解：（1）上车总人数=12＋9＋6=27（人）；下车总人数=|－7|＋|－5|＋|－18|＋|－2|=7＋5＋18＋2=32（人）。 （2）终点站人数=15－7＋12－5＋9－18＋6－2=10（人）。 答：中途上车27人，下车32人；终点站剩10人。 14.（10分）下表记录的是某河流一周内每天的水位变化情况（以30m为基准，超过记正，不足记负，单位：cm）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位 －5 ＋8 －3 ＋6 －2 ＋10 －7 （1）本周哪天的水位最高？哪天的水位最低？ （2）最高水位和最低水位的差是多少？ （3）本周的平均水位相对于基准是高还是低？高了（或低了）多少厘米？ 解：（1）最高水位记录为＋10（周六），实际水位=30＋0.10=30.10m；最低水位记录为－7（周日），实际水位=30－0.07=29.93m。 （2）最高与最低之差=10－(－7)=17（cm）。 （3）一周记录值之和=(－5)＋8＋(－3)＋6＋(－2)＋10＋(－7)=7。平均值=7÷7=1（cm）。平均水位比基准高1cm。 15.（14分）观察下列各组数，探究其中规律： 第1组：1，，，，，… 第2组：－2，4，－6，8，－10，12，… （1）分别写出第1组和第2组的第10个数。 （2）用含n（n为正整数）的式子分别表示第1组和第2组的第n个数。 （3）第2组中，第15个数与第20个数的和是多少？ 解：（1）第1组：符号规律(－1)ⁿ+¹，数值为。 第10个数（n=10，偶数）：(－1)¹¹=－1，数值为，结果是。 第2组：符号规律(－1)ⁿ，数值为2n。第10个数=(－1)¹⁰×20=20。 （2）第1组第n项：an=(－1)ⁿ+¹·；第2组第n项：bn=(－1)ⁿ·2n。 （3）第15个数：b15=(－1)15×30=－30；第20个数：b20=(－1)20×40=40。 和为－30＋40=10。 学科网（北京）股份有限公司 $