精品解析：安徽省合肥市五十中天鹅湖校区2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分．共40分） 1. 下列是最简二次根式的为（　　） A. B. （a＞0） C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，6，7 D. 1，， 4. 若一组数据的方差，则这组数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 7. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程（），当时，方程的解为（ ） A. ， B. ， C. D. 9. 如图，四边形中，，E、F分别为对角线，的中点，若，，则的长度为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 10. 对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分．共20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是______； 12. 一个多边形从它的一个顶点出发可以画条对角线，则这个多边形的内角和为_________ 13. 如图，有一块长宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：_______________________． 14. 已知四边形是平行四边形，，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点F落在上时（如图2），则的长为______； （2）当取最大值时，则此时的长为______． 三、解答题：（本题共9小题，15～18题每题8分、19～20题每题10分、21～22题每题12分、23题14分；共90分） 15. 计算： 16. 解方程： 17. 观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）写出第4个等式：__________________ （2）写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 18. 如图，以的三边为边长分别在的同侧作三个等边三角形，即，，． （1）写出线段与线段的关系并证明． （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 19. 如图，在由单位长度均为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点上， （1）若以为顶点的四边形是平行四边形（点D在网格内），则的长度为________． （2）若线段与x轴交于点M，则M的坐标为__________；连接，请仅用无刻度的直尺作出线段的中点P（保留作图痕迹）． 20. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 21. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日．合肥市蜀山区某中学为了让同学们更好地了解“国家安全”，开展了“国家安全”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：60，70，70，80，87，89，91，94，95，97，99，100； 八年级：70，78，79，81，87，89，91，92，93，93，95，96． ①抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 86 ② 157.5 60 75 ③ ④ 100 八年级 ① 93 61 70 80 90 93 96 ②抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填______，②处应填______，③处应填______，④处应填______． （2）请补全箱线图． （3）基于上述材料分析，可以发现______年级学生成绩更稳定． （4）若该校八年级有1200名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 22. 四边形中，，、分别是边、的中垂线，连接，，，，如图1，若， （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）如图2，延长交于点H，延长交于点G，若， ①求的度数； ②若，求的值． 23. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分．共40分） 1. 下列是最简二次根式的为（　　） A. B. （a＞0） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义可直接进行求解． 【详解】解：A.是最简二次根式，故A符合题意； B.，不是最简二次根式，故B不符合题意； C.，不是最简二次根式，故C不符合题意； D.，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式满足的条件：一是被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，二是被开方数不能含有分母． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列四组数据中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，6，7 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，5，12，13都是正整数，且，∴是勾股数； 对于选项B，0.3，0.4，0.5都不是正整数，∴不是勾股数； 对于选项C，，，，∴不是勾股数； 对于选项D，，不是正整数，∴不是勾股数． 4. 若一组数据的方差，则这组数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的定义，结合题目给出的方差表达式得到这组数据的所有数值，再根据平均数计算公式计算即可． 【详解】解：已知， ∴这组数据为， ∴， ∴这组数据的平均数为． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定，逐个判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理， ∴ A选项正确； ∵ 对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定是菱形， ∴ B选项错误； ∵ 一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，等腰梯形满足一组对边平行另一组对边相等，不是平行四边形， ∴ C选项错误； ∵ 对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等无法判定是正方形， ∴ D选项错误． 6. 如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，（舍去），根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 根据勾股定理得：，， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴． 7. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， ∴， 故选：D． 8. 已知关于x的方程（），当时，方程的解为（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，四边形中，，E、F分别为对角线，的中点，若，，则的长度为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质可得，从而判定为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，为中点， ， ，为中点， ， ， 是中点， ，， ，， ，， 在中，． 10. 对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①若，则是方程的根，方程有实根，因此判别式，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即； 对于方程，其判别式， ，， 因此方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的一个根，代入得，整理得； 当时，等式成立，但不一定等于，故③错误； ④若是方程的根，则，两边同乘得， 配方整理得，故④正确； ⑤若方程有两个不相等的实数根，则； 当时，方程变为，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误； 综上，正确的说法共个． 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分．共20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【详解】解：若二次根式有意义，则被开方数为非负数，据此得， 解得． 12. 一个多边形从它的一个顶点出发可以画条对角线，则这个多边形的内角和为_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵一个多边形从它的一个顶点出发可以画条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的内角和为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线的条数公式、多边形的内角和公式，根据多边形的对角线的条数公式，求出多边形的边数是解题的关键． 13. 如图，有一块长宽的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，根据题意可列方程：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质求解即可； 【详解】根据题意可知：宽为，长为， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 14. 已知四边形是平行四边形，，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点F落在上时（如图2），则的长为______； （2）当取最大值时，则此时的长为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，，由菱形的判定得到四边形是菱形，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则当最小时，的值最大，即当时，的值最小，如图所示，过点C作于点G，得到，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵沿将翻折至， ∴，，， ∵四边形是平行四边形，点F落在上， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； （2）如图所示，，所在的直线与交于点H， ∵折叠， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ∴当时，的值最小， 如图所示，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，则， 在中，， ∴； 故答案为：①；② ． 三、解答题：（本题共9小题，15～18题每题8分、19～20题每题10分、21～22题每题12分、23题14分；共90分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 移项整理得， 因式分解得， 因此可得或， 解得，． 17. 观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）写出第4个等式：__________________ （2）写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 【答案】（1） （2）， 证明：∵ ， 又∵ ， ∴． 【解析】 【分析】（1）仿照题意写出第4个等式即可； （2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为； 【小问2详解】 略 18. 如图，以的三边为边长分别在的同侧作三个等边三角形，即，，． （1）写出线段与线段的关系并证明． （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）解：，证明如下： ∵，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）得四边形是平行四边形， 由等边三角形的性质可得， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用证明，得到，即可证明，同理证明，则可证明四边形是平行四边形，得到，； （2）当时，四边形是矩形，可求出，而有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在由单位长度均为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点上， （1）若以为顶点的四边形是平行四边形（点D在网格内），则的长度为________． （2）若线段与x轴交于点M，则M的坐标为__________；连接，请仅用无刻度的直尺作出线段的中点P（保留作图痕迹）． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，进而根据勾股定理计算即可； （2）根据全等三角形的判定和性质和中点坐标公式可知M的坐标，构造矩形，连接交于点P即可． 【小问1详解】 解：∵以为顶点的四边形是平行四边形（点D在网格内） ∴是以为对角线， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴M的坐标为，即； 作图略， 由作图可知四边形是矩形， ∴． 20. 新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． （1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ （2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】（1）4个 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【小问1详解】 解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； 【小问2详解】 解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 21. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日．合肥市蜀山区某中学为了让同学们更好地了解“国家安全”，开展了“国家安全”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：60，70，70，80，87，89，91，94，95，97，99，100； 八年级：70，78，79，81，87，89，91，92，93，93，95，96． ①抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 86 ② 157.5 60 75 ③ ④ 100 八年级 ① 93 61 70 80 90 93 96 ②抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填______，②处应填______，③处应填______，④处应填______． （2）请补全箱线图． （3）基于上述材料分析，可以发现______年级学生成绩更稳定． （4）若该校八年级有1200名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】（1），，， （2）补全箱线图，如图所示， 或 （3）八 （4）该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数约为200人 【解析】 【分析】（1）根据平均数，众数，四分位数的计算方法求解即可； （2）根据箱线图的画法，结合（1）中确定的上四分位数、中位数作图即可； （3）根据方差大小判定即可； （4）由样本百分比估算总体数量的计算求解即可． 【小问1详解】 解：八年级的平均数， ∴①处应填 ∵七年级学生成绩中出现次数最多的是， ∴②处应填， 七年级：60，70，70，80，87，89，91，94，95，97，99，100， 方法一： ∴七年级学生成绩的中位数为第6，7位同学成绩的平均数， ∴， ∴③处应填， 七年级学生成绩中位数右侧的数据为：91，94，95，97，99，100， ∴是上述数据中第3，4位同学成绩的平均数， ∴， ∴④处应填， 画箱线图：略； 方法二： ∵， ∴是第6，7位同学成绩的平均数，即， ∴③处应填， ∵， ∴是第9，10位同学成绩的平均数，即， ∴④处应填， 画箱线图：略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：七年级学生成绩的方差为，八年级学生成绩的方差为， ∵， ∴八年级学生成绩更稳定； 【小问4详解】 解：（人）， ∴该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数约为200人． 22. 四边形中，，、分别是边、的中垂线，连接，，，，如图1，若， （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）如图2，延长交于点H，延长交于点G，若， ①求的度数； ②若，求的值． 【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵、分别是边、的中垂线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由中垂线的性质得到，则；证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，得到，据此可证明四边形是菱形； （2）①可证明，，由菱形的性质得到，则可证明，进而推出，则可求出，据此可得答案；②根据中垂线的性质得到，，设，则，则可得到，可证明，由勾股定理可得，，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵是边的中垂线， ∴， ∴，， 由（1）得四边形是菱形，， ∴，；， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵、分别是边、的中垂线， ∴，， ∴； 设，则 ∵， ∴， ∴， 由（2）①可知， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则______，______； （2）已知实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两根为，， ，； 【小问2详解】 解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； 【小问3详解】 解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $