专题11.2 乘法公式【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题11.2 乘法公式（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握平方差公式的结构特征，能熟练运用平方差公式进行化简和计算。 · 掌握完全平方公式的结构特征，能熟练运用完全平方公式进行化简和计算。 · 理解乘法公式的几何背景，能利用面积模型验证公式。 · 能灵活运用乘法公式进行简便运算，体会整体思想、转化思想。 · 能解决与乘法公式相关的规律探究、新定义等综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b) = a² − b² · 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 · 结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 · 逆用：a² − b² = (a+b)(a−b)，用于因式分解。 ※ 典型例题 1 题目：下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（  ） A. (4a+b)(4a−b)   B. (a−2b)(3b−a)   C. (2a−b)(−2a+2b)   D. (a−2b)(b+a) 解析：平方差公式要求两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。A选项中4a相同，b与−b互为相反数，符合条件。 答案：A ☆ 2. 完全平方公式 公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍。 · 结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式。 · 常用变形：a²+b² = (a+b)² − 2ab = (a−b)² + 2ab；(a−b)² = (a+b)² − 4ab。 ※ 典型例题 2 题目：下列运算正确的是（  ） A. 2m+3n=5mn   B. m²·m³=m⁶   C. (m−n)²=m²−2mn+n²   D. (2m²)³=6m⁶ 解析：A中两项不是同类项不能合并；B应为m⁵；C正确，符合完全平方公式；D应为8m⁶。 答案：C ☆ 3. 乘法公式的几何解释 利用面积模型可以直观地验证乘法公式。 · 平方差公式：边长为a的正方形去掉边长为b的正方形，剩余面积可拼成矩形，验证 a²−b²=(a+b)(a−b)。 · 完全平方公式：边长为a+b的正方形可分割成两个小正方形和两个矩形，验证 (a+b)²=a²+2ab+b²。 ※ 典型例题 3 题目：如图，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一个长方形，则得到的等式为（  ） A. a²−b²=(a+b)(a−b)   B. (a+b)²=a²+2ab+b²   C. (a−b)²=a²−2ab+b² 解析：图中阴影面积为a²−b²，拼成的长方形长为a+b，宽为a−b，面积为(a+b)(a−b)，两者相等，得到平方差公式。 答案：A ☆ 4. 乘法公式的变形与巧算 灵活运用公式的变形，可以进行简便计算和整体代入求值。 · 利用平方差公式将形如 (a+b)(a−b) 的乘法转化为平方差。 · 利用完全平方公式进行配方或化简。 · 整体思想：将某些式子看作一个整体，使用公式简化。 ※ 典型例题 4 题目：计算 2026² − 2024×2028 的结果是（  ） A. 4   B. 8   C. 16   D. 2 解析：2024×2028 = (2026−2)(2026+2) = 2026² − 4，所以原式 = 2026² − (2026² − 4) = 4。 答案：A ☑ 知识总结表 公式 表达式 结构特征 常见变形 平方差公式 (a+b)(a−b)=a²−b² 两项相同，两项相反 a²−b²=(a+b)(a−b) 完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b² 二项式平方，三项式 a²+b²=(a+b)²−2ab=(a−b)²+2ab；(a−b)²=(a+b)²−4ab 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】平方差公式（第1–9题） ※方法总结 · 识别平方差公式：寻找相同项和相反项。 · 直接应用：(a+b)(a−b)=a²−b²。 · 逆用：a²−b²=(a+b)(a−b)，用于因式分解或简化计算。 · 注意符号，如 (−a+b)(−a−b) = a²−b²。 1．（2026春•龙岗区期中）若等式（2a+3b）（　　）＝4a2﹣9b2成立，则括号内所填的代数式是（　　） A．2a+3b B．﹣2a+3b C．﹣2a﹣3b D．2a﹣3b 2．（2026春•碑林区校级期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（4a+b）（4a﹣b） B．（a﹣2b）（3b﹣a） C．（2a﹣b）（﹣2a+2b） D．（a﹣2b）（b+a） 3．（2026春•宣城期中）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2a﹣b） B．（﹣3a+b）（b﹣3a） C．（﹣x﹣4y）（x﹣4y） D．（﹣m+3n）（﹣m﹣3n） 4．（2024秋•邯郸校级期末）若，，则a﹣b的值为 　 　 ． 5．（2025秋•西和县期末）计算：11862﹣1185×1187＝　 　 ． 6．（2026春•重庆期中）用乘法公式简便计算： （1）1992； （2）20262﹣2024×2028． 7．（2025秋•船营区校级期末）计算：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）． 8．（2026春•同步）计算： （1）； （2）（2a+3）2•（2a﹣3）2； （3）（x+1）（x﹣1）（x2+1）； （4）12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002． 9．（2025秋•淇滨区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”． 例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）说明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积． 【考点2】完全平方公式（第10–21题） ※方法总结 · 直接应用：(a±b)²=a²±2ab+b²。 · 常用变形：a²+b² = (a+b)²−2ab = (a−b)²+2ab；(a−b)² = (a+b)²−4ab。 · 注意完全平方公式展开后的三项结构，中间项系数的正负。 · 配方问题：形如 x²+mx+n 为完全平方式，则 m=±2√n。 10．（2026春•天桥区校级期中）下列运算正确的是（　　） A．2m+3n＝5mn B．m2•m3＝m6 C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．（2m2）3＝6m6 11．（2025秋•安陆市期末）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 12．（2026春•梁溪区校级期中）若m是大于0的整数，则（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是（　　） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 13．（2025秋•内江期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 14．（2026春•莲湖区校级期中）若多项式x2+（k﹣2）x+9是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣4或8 C．﹣8 D．4或﹣8 15．（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　 　 ． 16．（2025秋•大英县期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　 　 ． 17．（2025春•山亭区期末）已知（m+n）2＝18，（m﹣n）2＝2，那么m2+n2＝ 　 　 ． 18．（2026春•新城区期中）已知：x3，求x4的值． 19．（2026春•新城区校级月考）已知a﹣b＝7，ab＝﹣10．求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）（a+b）2+2（a﹣b）2． 20．（2026春•同步）运用乘法公式计算： （1）（a+2b﹣1）2； （2）（2x﹣y+1）2． 21．（2026春•石家庄校级期中）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：①　 　 ，图2中阴影部分面积可表示为②　 　 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：③　 　 ； 【拓展】 （2）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式④　 　 ； 【迁移】 （3）若a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2与a2+b2的值． 【考点3】乘法公式与图形（第22–25题） ※方法总结 · 利用面积相等验证公式，常用“割补法”。 · 通过图形面积关系建立代数恒等式。 · 注意观察图形中边长与面积的关系，灵活运用公式变形。 22．（2026春•裕华区校级月考）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：①　 　 ，图2中阴影部分面积可表示为②　 　 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：③　 　 ． 【拓展】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式④　 　 ． 【迁移】 若a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2与a2+b2的值． 23．（2025秋•镇江期末）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32﹣22＝3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3， （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：　 　 ． （2）请再写出第n幅图对应的算式：　 　 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）． 【问题解决】 （3）（20262﹣20252+20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12）+1013＝　 　 ． 24．（2025春•郑州校级期末）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ； （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　 　 ； ②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 25．（2025春•金溪县校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若（2023﹣x）（x﹣2018）＝4，求（2023﹣x）2+（x﹣2018）2的值． 解：设2023﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2023﹣x）（x﹣2018）＝ab＝4，a+b＝（2023﹣x）+（x﹣2018）＝5，所以（2023﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝28，求xy的值； （2）填空： ①若（5﹣x）x＝6，则（5﹣x）2+x2＝　 　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　 ； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积． 【考点4】乘法公式与巧算（第26–33题） ※方法总结 · 将数拆成两数和或差的形式，利用平方差或完全平方公式简化计算。 · 整体代入：将已知等式整体代入求值。 · 灵活运用公式的逆用和变形。 26．（2026•青岛校级开学）用乘法公式进行简便计算． （1）700.12； （2）； （3）799×801+1； （4）20322﹣2031×2033． 27．（2026春•鼓楼区校级月考）（1）（a+b﹣c）（﹣a+b+c）； （2）（2x﹣y+z）2． 28．（2025秋•肇源县月考）运用乘法公式简便计算： （1）； （2）1992； （3）20242﹣2026×2022． 29．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知m﹣n＝10，mn＝24． （1）求（3+m）（3﹣n）的值； （2）求m2﹣3mn+n2的值． 30．（2025秋•徐汇区期中）计算：（x﹣y+2）（x+y﹣2）． 31．（2024春•溆浦县期中）已知：（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7．求： （1）a2+b2； （2）ab． 32．（2016春•锦江区校级同步）已知n满足（n﹣2009）2+（2010﹣n）2＝2，求（n﹣2009）（2010﹣n）的值． 33．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题 （1）填空：x2（x）2﹣　 　 ＝（x）2+　 　 （2）若a5，则a2　 　 ； （3）若a2﹣3a+1＝0，求a2的值． 【考点5】创新及压轴题（第34–37题） ※方法总结 · 杨辉三角：掌握展开式系数的规律。 · 规律探究：从特殊到一般，归纳公式。 · 整体换元：设元转化，利用完全平方公式变形求解。 34．（2020•于都县模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式． （2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． 35．（2022春•双牌县校级期中）观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … （1）分解因式：x5﹣1＝　 　 ； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝　 　 （其中n为正整数）； （3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）； （4）计算：（﹣2）1999+（﹣2）1998+（﹣2）1997+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1． 36．（2018秋•雁江区期末）已知x2，求x2，x4的值． 37．（2017秋•德惠市校级月考）化简求值 （1）已知（a+b+1）（a+b﹣1）＝63，求a+b的值； （2）已知（a+b）2＝9，ab，求a2+b2的值； （3）a+b＝7，ab＝12，求a2﹣ab+b2的值． 随堂检测 · 精选练习 练习1：平方差公式识别练习2：平方差公式判断练习3：平方差公式填空练习4：平方差公式计算练习5：完全平方公式变形 【练习1】（2026春•市南区校级期中）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　） A．（﹣a﹣b）（﹣b+a） B．（xy+z）（﹣xy+z） C．（﹣2x﹣y）（2x+y） D．（0.5x﹣y）（﹣y﹣0.5x） 【练习2】（2026春•济阳区期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣3n）（2m+3n） B．（a﹣b+c）（a+b+c） C．（﹣a﹣b）（b﹣a） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 【练习3】（2026•正定县一模）已知（x+3y）（______）＝﹣x²+9y²，则横线上应填的代数式是（　　）x+3y）（______）＝﹣x2+9y2，则横线上应填的代数式是（　　） A．x+3y B．x﹣3y C．﹣x﹣3y D．﹣x+3y 【练习4】（2025秋•南开区期末）计算25²﹣23×27的结果为　 　 ．2﹣23×27的结果为　 　 ． 【练习5】（2026春•徐州期中）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：（a+b）²＝a²+2ab+b²⇔a²+b²＝（a+b）²﹣2ab．a+b）2＝a2+2ab+b2⇔a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 类比推导：（a﹣b）2＝　 　 ⇔a2+b2＝　 　 ． 初步尝试：已知a﹣b＝5，ab＝2，求a2+b2的值． 迁移应用：已知（2027﹣x）（2026﹣x）＝2025，求（2027﹣x）2+（x﹣2026）2的值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：平方差公式判断作业2：平方差公式计算作业3：平方差公式与乘方作业4：完全平方公式整除作业5：完全平方公式变形作业6：完全平方公式求值作业7：完全平方公式整体作业8：完全平方公式巧算作业9：乘法公式综合计算作业10：面积模型与公式 ❤ 复习建议 熟记两个公式：平方差公式和完全平方公式，注意结构特征和符号。 灵活运用变形：熟练进行公式的正用、逆用和变形，如a²+b²=(a+b)²−2ab等。 几何直观辅助：利用面积模型理解公式，帮助记忆和应用。 巧算策略：观察数字特点，拆分成适合公式的形式，简化运算。 整体思想：在复杂问题中，将某些式子看作整体，运用公式求解。 【作业1】（2026春•青山区校级期中）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　） ①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业2】（2025秋•陇南期末）利用平方差公式计算2026²﹣2027×2025的结果是（　　）2﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【作业3】（2025秋•铁岭县期末）计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1＝（　　）2+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 【作业4】（2025秋•黄冈月考）已知n为正整数，计算发现代数式（4n+3）²﹣（2n+3）²能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（　　）n为正整数，计算发现代数式（4n+3）2﹣（2n+3）2能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【作业5】（2025秋•衡阳县校级月考）（x+2y）²＝（x-2y）²+A，则A＝（　　）x+2y）2＝（x﹣2y）2+A，则A＝（　　） A．2xy B．4xy C．6xy D．8xy 【作业6】（2026春•沛县期中）若x²+y²＝10，xy＝1，则（x+y）²的值是 　 　 ．x2+y2＝10，xy＝1，则（x+y）2的值是 　 　 ． 【作业7】（2025秋•南康区期末）若a²+ab＝7，b²+ab＝9，则（a+b）²＝　 　 ．a2+ab＝7，b2+ab＝9，则（a+b）2＝　 　 ． 【作业8】（2025秋•微山县校级月考）计算：2026²﹣2026×4050+2025²＝　 　 ．2﹣2026×4050+20252＝　 　 ． 【作业9】（2026春•同步）计算： （1）（3x﹣4y）2； （2）（3x﹣2）2﹣（2x+4）（2x﹣4）； （3）（5﹣4x）2﹣（2x+3）2； （4）（3x﹣2y）2﹣（3x+2y）2； （5）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）； （6）（x﹣2y+1）2； （7）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y）2． 【作业10】（2025春•高新区校级期中）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）　 　 ； （2）请你帮助小明计算（2a+b）（a+2b），并用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，m+n＝6．求图中阴影部分的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 乘法公式（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握平方差公式的结构特征，能熟练运用平方差公式进行化简和计算。 · 掌握完全平方公式的结构特征，能熟练运用完全平方公式进行化简和计算。 · 理解乘法公式的几何背景，能利用面积模型验证公式。 · 能灵活运用乘法公式进行简便运算，体会整体思想、转化思想。 · 能解决与乘法公式相关的规律探究、新定义等综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b) = a² − b² · 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 · 结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 · 逆用：a² − b² = (a+b)(a−b)，用于因式分解。 ※ 典型例题 1 题目：下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（  ） A. (4a+b)(4a−b)   B. (a−2b)(3b−a)   C. (2a−b)(−2a+2b)   D. (a−2b)(b+a) 解析：平方差公式要求两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。A选项中4a相同，b与−b互为相反数，符合条件。 答案：A ☆ 2. 完全平方公式 公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍。 · 结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式。 · 常用变形：a²+b² = (a+b)² − 2ab = (a−b)² + 2ab；(a−b)² = (a+b)² − 4ab。 ※ 典型例题 2 题目：下列运算正确的是（  ） A. 2m+3n=5mn   B. m²·m³=m⁶   C. (m−n)²=m²−2mn+n²   D. (2m²)³=6m⁶ 解析：A中两项不是同类项不能合并；B应为m⁵；C正确，符合完全平方公式；D应为8m⁶。 答案：C ☆ 3. 乘法公式的几何解释 利用面积模型可以直观地验证乘法公式。 · 平方差公式：边长为a的正方形去掉边长为b的正方形，剩余面积可拼成矩形，验证 a²−b²=(a+b)(a−b)。 · 完全平方公式：边长为a+b的正方形可分割成两个小正方形和两个矩形，验证 (a+b)²=a²+2ab+b²。 ※ 典型例题 3 题目：如图，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分拼成一个长方形，则得到的等式为（  ） A. a²−b²=(a+b)(a−b)   B. (a+b)²=a²+2ab+b²   C. (a−b)²=a²−2ab+b² 解析：图中阴影面积为a²−b²，拼成的长方形长为a+b，宽为a−b，面积为(a+b)(a−b)，两者相等，得到平方差公式。 答案：A ☆ 4. 乘法公式的变形与巧算 灵活运用公式的变形，可以进行简便计算和整体代入求值。 · 利用平方差公式将形如 (a+b)(a−b) 的乘法转化为平方差。 · 利用完全平方公式进行配方或化简。 · 整体思想：将某些式子看作一个整体，使用公式简化。 ※ 典型例题 4 题目：计算 2026² − 2024×2028 的结果是（  ） A. 4   B. 8   C. 16   D. 2 解析：2024×2028 = (2026−2)(2026+2) = 2026² − 4，所以原式 = 2026² − (2026² − 4) = 4。 答案：A ☑ 知识总结表 公式 表达式 结构特征 常见变形 平方差公式 (a+b)(a−b)=a²−b² 两项相同，两项相反 a²−b²=(a+b)(a−b) 完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b² 二项式平方，三项式 a²+b²=(a+b)²−2ab=(a−b)²+2ab；(a−b)²=(a+b)²−4ab 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】平方差公式（第1–9题） ※方法总结 · 识别平方差公式：寻找相同项和相反项。 · 直接应用：(a+b)(a−b)=a²−b²。 · 逆用：a²−b²=(a+b)(a−b)，用于因式分解或简化计算。 · 注意符号，如 (−a+b)(−a−b) = a²−b²。 1．（2026春•龙岗区期中）若等式（2a+3b）（　　）＝4a2﹣9b2成立，则括号内所填的代数式是（　　） A．2a+3b B．﹣2a+3b C．﹣2a﹣3b D．2a﹣3b 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）， 所以括号内所填的代数式是2a﹣3b． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 2．（2026春•碑林区校级期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（4a+b）（4a﹣b） B．（a﹣2b）（3b﹣a） C．（2a﹣b）（﹣2a+2b） D．（a﹣2b）（b+a） 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可． 【解答】解：根据平方差公式的适用条件，逐项分析判断如下： A选项：（4a+b）（4a﹣b）中，相同项为4a，b与﹣b互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算，符合题意； B选项：（a﹣2b）（3b﹣a）中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项：（2a﹣b）（﹣2a+2b）中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项：（a﹣2b）（b+a）中，虽然有相同项a，但﹣2b与b不是互为相反数，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查平方差公式的适用条件，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026春•宣城期中）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2a﹣b） B．（﹣3a+b）（b﹣3a） C．（﹣x﹣4y）（x﹣4y） D．（﹣m+3n）（﹣m﹣3n） 【分析】结合平方差公式的结构特征：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，左边需满足两数的和与这两数的差的积，即相乘两式有相同项和相反项，逐项分析判断即可． 【解答】解：A、相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； B、相乘两式只有相同项，不符合公式特征，故选项符合题意； C、相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； D、相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键． 4．（2024秋•邯郸校级期末）若，，则a﹣b的值为 　　 ． 【分析】由平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 5．（2025秋•西和县期末）计算：11862﹣1185×1187＝　1　 ． 【分析】利用平方差公式进行简算即可． 【解答】解：原式＝11862﹣（1186﹣1）×（1186+1） ＝11862﹣（11862﹣1） ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键． 6．（2026春•重庆期中）用乘法公式简便计算： （1）1992； （2）20262﹣2024×2028． 【分析】（1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2002﹣2×200×1+12 ＝40000﹣400+1 ＝39601； （2）原式＝20262﹣（2026﹣2）（2026+2） ＝20262﹣（20262﹣22） ＝20262﹣20262+4 ＝4． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025秋•船营区校级期末）计算：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）． 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，即可求解． 【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣4x2+1 ＝4x+2． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，正确进行计算是解题关键． 8．（2026春•同步）计算： （1）； （2）（2a+3）2•（2a﹣3）2； （3）（x+1）（x﹣1）（x2+1）； （4）12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式进行计算即可； （4）利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝[（2a+3）（2a﹣3）]2 ＝（4a2﹣9）2 ＝16a4﹣72a2+81； （3）原式＝（x2﹣1）（x2+1） ＝x4﹣1； （4）原式＝（1+2）×（1﹣2）+（3+4）×（3﹣4）+…+（99+100）×（99﹣100） ＝﹣1﹣2﹣3﹣4﹣…﹣99﹣100 ＝﹣（1+2+3+4+…+99+100） ＝﹣5050． 【点评】本题主要考查了平方差公式及完全平方公式，熟知平方差公式及完全平方公式是解题的关键 9．（2025秋•淇滨区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”． 例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）说明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积． 【分析】（1）把2036写成510和508的平方差即可； （2）设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出4（2n+1），最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为42﹣22+82﹣62+…322﹣302，然后根据平方差公式求解即可． 【解答】（1）解：2036 ＝5102﹣5082； （2）证明：设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为正整数，则完美数为[2（n+1）]2﹣（2n）2， ∴[2（n+1）]2﹣（2n）2 ＝[2（n+1）﹣2n][2（n+1）+2n] ＝4（2n+1）， 由条件可知2n+1为奇数， ∴4（2n+1）能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； （3）解：根据题意，得42﹣22+82﹣62+…322﹣302 ＝（4﹣2）（4+2）+（8﹣6）（8+6）+…+（32﹣30）（32+30） ＝2（4+2）+2（8+6）+…+2（32+30） ＝2（2+4+6+8+…+30+32） ＝2 ＝544． 【点评】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点2】完全平方公式（第10–21题） ※方法总结 · 直接应用：(a±b)²=a²±2ab+b²。 · 常用变形：a²+b² = (a+b)²−2ab = (a−b)²+2ab；(a−b)² = (a+b)²−4ab。 · 注意完全平方公式展开后的三项结构，中间项系数的正负。 · 配方问题：形如 x²+mx+n 为完全平方式，则 m=±2√n。 10．（2026春•天桥区校级期中）下列运算正确的是（　　） A．2m+3n＝5mn B．m2•m3＝m6 C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．（2m2）3＝6m6 【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可． 【解答】解：∵2 m与3n不是同类项，不能合并， ∴A选项错误，不符合题意； ∵根据同底数幂乘法法则，m2•m3＝m2+3＝m5≠m6， ∴B选项错误，不符合题意； ∵根据完全平方公式，（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，与选项内容一致， ∴C选项正确，符合题意； ∵根据积的乘方法则，（2m2）3＝23•（m2）3＝8m6≠6m6， ∴D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 11．（2025秋•安陆市期末）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】将两式展开后再相减即可得到结果． 【解答】解：∵（x+2y）2＝10， ∴x2+4xy+4y2＝10①， ∵（x﹣2y）2＝18， ∴x2﹣4xy+4y2＝18②， ②﹣①得：﹣8xy＝8， ∴xy＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 12．（2026春•梁溪区校级期中）若m是大于0的整数，则（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是（　　） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 【分析】原式利用完全平方公式化简，即可作出判断． 【解答】解：原式＝m2+2m+1﹣m2+2m﹣1＝4m， ∵m是大于0的整数， ∴（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是4的倍数． 故选：A． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（2025秋•内江期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 【分析】根据题意，设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，将原式中的两个平方项转化为关于t的表达式，展开化简得出t2＝15，把x＝t+2025代入（x﹣2025）2进而得出答案． 【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025， ∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38， ∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38， ∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38， ∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38， ∴2t2+8＝38， 解得：t2＝15， ∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15． 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 14．（2026春•莲湖区校级期中）若多项式x2+（k﹣2）x+9是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣4或8 C．﹣8 D．4或﹣8 【分析】根据完全平方公式的结构，将多项式与标准形式对比，确定中间项的系数关系，进而求解参数k的值． 【解答】解：由条件可得x2+（k﹣2）x+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， ∴k﹣2＝6时，解得k＝8． k﹣2＝﹣6时，解得k＝﹣4． 则k的值为﹣4或8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　40000　 ． 【分析】通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【解答】解：原式＝1032+2×103×97+972 ＝（103+97）2 ＝2002 ＝40000， 故答案为：40000． 【点评】本题考查了完全平方公式的运算，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2025秋•大英县期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　3　 ． 【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3， 故答案为：3 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．（2025春•山亭区期末）已知（m+n）2＝18，（m﹣n）2＝2，那么m2+n2＝ 　10　 ． 【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出所求． 【解答】解：根据完全平方公式及条件可得： （m+n）2＝m2+n2+2mn＝18①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝2②， 两式相加可得2（m2+n2）＝20， ∴m2+n2＝10． 故答案为：10． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18．（2026春•新城区期中）已知：x3，求x4的值． 【分析】利用完全平方公式得原式＝（x2）2﹣2＝[（x）2﹣2]2﹣2，然后利用整体代入的思想计算． 【解答】解：原式＝（x2）2﹣2 ＝[（x）2﹣2]2﹣2 ＝（32﹣2）2﹣2 ＝47． 【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力． 19．（2026春•新城区校级月考）已知a﹣b＝7，ab＝﹣10．求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）（a+b）2+2（a﹣b）2． 【分析】（1）将a﹣b＝7两边同时平方后利用完全平方公式展开，然后将ab＝﹣10代入即可求得答案； （2）将原式利用完全平方公式展开，然后代入已知数值计算即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝7， ∴（a﹣b）2＝49， ∴a2﹣2ab+b2＝49， ∵ab＝﹣10， ∴a2+20+b2＝49， ∴a2+b2＝29； （2）∵a2+b2＝29，ab＝﹣10，（a﹣b）2＝49， ∴（a+b）2+2（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2+2（a﹣b）2 ＝29﹣20+2×49 ＝9+98 ＝107． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 20．（2026春•同步）运用乘法公式计算： （1）（a+2b﹣1）2； （2）（2x﹣y+1）2． 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（a+2b）2﹣2（a+2b）+1 ＝a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1； （2）原式＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1 ＝4x2﹣4xy+y2+4x﹣2y+1． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 21．（2026春•石家庄校级期中）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】 （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：①a2﹣b2 ，图2中阴影部分面积可表示为②　（a+b）（a﹣b）　 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； 【拓展】 （2）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式④　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； 【迁移】 （3）若a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2与a2+b2的值． 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可，再根据面积相等列式即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图4中阴影部分的面积列式即可； （3）根据（2）所得结论将已知代数式代入计算即可得到（a﹣b）2，再根据完全平方公式变形求解a2+b2． 【解答】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2， 图2中阴影部分面积可表示为：（a+b）（a﹣b）， ∵两个图中的阴影部分面积是相同的， ∴可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）图4中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2， 图4中阴影部分的面积也可以看作大正方形与4个空白长方形的面积差，即（a+b）2﹣4ab， ∴可得到等式：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）由条件可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×5＝25﹣20＝5； a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝25﹣10＝15． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握该知识点是关键． 【考点3】乘法公式与图形（第22–25题） ※方法总结 · 利用面积相等验证公式，常用“割补法”。 · 通过图形面积关系建立代数恒等式。 · 注意观察图形中边长与面积的关系，灵活运用公式变形。 22．（2026春•裕华区校级月考）【方法】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 【操作】如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：①a2﹣b2 ，图2中阴影部分面积可表示为②　（a+b）（a﹣b）　 ，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． 【拓展】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式④　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ． 【迁移】 若a+b＝5，ab＝5，求（a﹣b）2与a2+b2的值． 【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可，再根据面积相等列式即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图4中阴影部分的面积列式即可； （3）根据（2）所得结论将已知代数式代入计算即可得到（a﹣b）2，再根据完全平方公式变形求解a2+b2． 【解答】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2， 图2中阴影部分面积可表示为：（a+b）（a﹣b）， ∵两个图中的阴影部分面积是相同的， ∴可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）图4中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2， 图4中阴影部分的面积也可以看作大正方形与4个空白长方形的面积差，即（a+b）2﹣4ab， ∴可得到等式：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）∵a+b＝5，ab＝5， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×5＝25﹣20＝5； a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝25﹣10＝15． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2025秋•镇江期末）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32﹣22＝3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3， （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：　72﹣62＝7+6　 ． （2）请再写出第n幅图对应的算式：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）． 【问题解决】 （3）（20262﹣20252+20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12）+1013＝　2054364．　 ． 【分析】（1）根据规律，第6幅图对应的算式为72﹣62＝7+6； （2）第n幅图对应的算式为（n+1）2﹣n2＝（n+1）+n＝2n+1； （3）利用平方差公式将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【解答】解：（1）根据规律，第6幅图对应的算式为： 72﹣62＝7+6， 故答案为：72﹣62＝7+6； （2）（n+1）2﹣n2＝（n+1）+n＝2n+1， 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1； （3）原式＝（2026+2025）+（2024+2023）+…+（2+1）+1013 ＝（2026+1）×2026÷2+1013 ＝2027×1013+1013 ＝1013×（2027+1） ＝1013×2028 ＝2054364， 故答案为：2054364． 【点评】本题考查了平方差公式的应用与规律探究，解题的关键是发现并运用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）来简化运算． 24．（2025春•郑州校级期末）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ； （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　±5　 ； ②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）①直接把数值代入（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy进行计算，即可作答． ②根据（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025），然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知x﹣y＝2，，，即可求出S阴影＝x+y．结合x2+y2＝34，可求出xy＝15，最后根据（x+y）2＝x2+y2+2xy求解即可． 【解答】解：（1）依题意，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； 故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （2）①与（1）同理得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∵x+y＝7，xy＝6， ∴49＝（x﹣y）2+4×6， ∴（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y＝±5； 故答案为：±5； ②∵（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2025）2 ＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025） ＝（﹣1）2﹣2×（﹣6） ＝1+12 ＝13． （3）∵BE＝2， ∴x﹣y＝2． 由图可知△CDF的底为x，高为2， ∴． △BEF的底为2，高为y， ∴， ∴S阴影＝S△CDF+S△BEF＝x+y． ∵22+2xy＝34， ∴xy＝15， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+2×15＝64， ∴x+y＝8（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 【点评】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． 25．（2025春•金溪县校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若（2023﹣x）（x﹣2018）＝4，求（2023﹣x）2+（x﹣2018）2的值． 解：设2023﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2023﹣x）（x﹣2018）＝ab＝4，a+b＝（2023﹣x）+（x﹣2018）＝5，所以（2023﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝28，求xy的值； （2）填空： ①若（5﹣x）x＝6，则（5﹣x）2+x2＝　13　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　 ； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （2）仿照题意求解即可； （3）设AC＝c，BC＝d，则c+d＝10，c2+d2＝52，由此求出cd＝8，即AC•BC＝24，则． 【解答】解：（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． ∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵x2+y2＝28， ∴28+2xy＝64， ∴xy＝18； （2）①设5﹣x＝m，x＝n ∴m+n＝5﹣x+x＝5，mn＝x（5﹣x）＝6 ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×6＝13， ∴（5﹣x）2+x2＝m2+n2＝13； 故答案为：13； ②设4﹣x＝s，5﹣x＝t ∴t﹣s＝5﹣x﹣4+x＝1，ts＝（4﹣x）（5﹣x）＝8， ∴t2+s2＝（t﹣s）2+2ts＝12+2×8＝17， ∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝s2+t2＝17； 故答案为：17； （3）设AC＝c，BC＝d， ∴AB＝AC+BC＝c+d＝10，AC2+BC2＝c2+d2＝S1+S2＝52， ∴2cd＝（c+d）2﹣（c2+d2）＝102﹣52＝48， ∴cd＝24， ∴AC•BC＝24， ∴． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确理解题意并熟知完全平方公式是解题的关键． 【考点4】乘法公式与巧算（第26–33题） ※方法总结 · 将数拆成两数和或差的形式，利用平方差或完全平方公式简化计算。 · 整体代入：将已知等式整体代入求值。 · 灵活运用公式的逆用和变形。 26．（2026•青岛校级开学）用乘法公式进行简便计算． （1）700.12； （2）； （3）799×801+1； （4）20322﹣2031×2033． 【分析】（1）将700.12化为（700+0.1）2，再由完全平方公式计算； （2）将化为，再由平方差公式计算； （3）将799×801+1化为（800﹣1）（800+1）+1，再由平方差公式计算； （4）将20322﹣2031×2033化为20322﹣（2032﹣1）（2032+1），再由平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝（700+0.1）2 ＝7002+2×700×0.1+0.12 ＝490000+140+0.01 ＝490140.01； （2）原式； ； （3）原式＝（800﹣1）（800+1）+1 ＝8002﹣12+1 ＝640000； （4）原式＝20322﹣（2032﹣1）（2032+1） ＝20322﹣（20322﹣1） ＝20322﹣20322+1 ＝1． 【点评】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键． 27．（2026春•鼓楼区校级月考）（1）（a+b﹣c）（﹣a+b+c）； （2）（2x﹣y+z）2． 【分析】（1）利用分组分解法后再根据公式法分解因式再展开即可； （2）利用分组分解法分解展开即可； 【解答】解：（1）原式＝[b+（a﹣c）][b﹣（a﹣c）] ＝b2﹣（a﹣c）2 ＝b2﹣a2﹣c2+2ac； （2）原式＝[2x﹣（y﹣z）]2 ＝4x2﹣4x（y﹣z）+（y﹣z）2 ＝4x2+y2+z2﹣4xy+4xz﹣2yz． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2025秋•肇源县月考）运用乘法公式简便计算： （1）； （2）1992； （3）20242﹣2026×2022． 【分析】（1）将原式变为，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式变为（200﹣1）2，再利用完全平方公式求解即可；； （3）将原式变为20242﹣（2024+2）×（2024﹣2），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（200﹣1）2 ＝2002﹣2×200×1+12 ＝40000﹣400+1 ＝39601； （3）原式＝20242﹣（2024+2）×（2024﹣2） ＝20242﹣（20242﹣22） ＝20242﹣20242+4 ＝4． 【点评】本题考查了整式乘法公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． 29．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知m﹣n＝10，mn＝24． （1）求（3+m）（3﹣n）的值； （2）求m2﹣3mn+n2的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则，将原式变形为：9+3（m﹣n）﹣mn，然后再把m﹣n＝10，mn＝24整体代入计算即可； （2）先把原式变形为：m2﹣2mn+n2﹣mn，然后再根据完全平方公式进行变形为：（m﹣n）2﹣mn，最后把m﹣n＝10，mn＝24整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵m﹣n＝10，mn＝24， ∴（3+m）（3﹣n） ＝9﹣3n+3m﹣mn ＝9+3（m﹣n）﹣mn ＝9+3×10﹣24 ＝9+30﹣24 ＝39﹣24 ＝15； （2）m2﹣3mn+n2 ＝m2﹣2mn+n2﹣mn ＝（m﹣n）2﹣mn ＝102﹣24 ＝100﹣24 ＝76． 【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式，利用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 30．（2025秋•徐汇区期中）计算：（x﹣y+2）（x+y﹣2）． 【分析】先将两个多项式添括号变形成[x﹣（y﹣2）][x+（y﹣2）]，再用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【解答】解：（x﹣y+2）（x+y﹣2） ＝[x﹣（y﹣2）][x+（y﹣2）] ＝x2﹣（y﹣2）2 ＝x2﹣（y2﹣4y+4） ＝x2﹣y2+4y﹣4． 【点评】本题考查多项式乘多项式及乘法公式，熟知运算法则及乘法公式是正确解决本题的关键． 31．（2024春•溆浦县期中）已知：（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7．求： （1）a2+b2； （2）ab． 【分析】（1）根据和的平方等于平方和加积的二倍，差的平方等余平方和减积的二倍，和的平方加差的平方，可得答案； （2）根据和的平方等于平方和加积的二倍，差的平方等余平方和减积的二倍，和的平方减差的平方，可得答案． 【解答】解：（1）a2+b2[（a+b）2+（a﹣b）2]（11+7）＝9； （2）ab[（a+b）2﹣（a﹣b）2]（11﹣7）＝1． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用公式是解题关键． 32．（2016春•锦江区校级同步）已知n满足（n﹣2009）2+（2010﹣n）2＝2，求（n﹣2009）（2010﹣n）的值． 【分析】根据[（n﹣2009）+（2010﹣n）]2＝（n﹣2009）2+（2010﹣n）2+2（n﹣2009）（2010﹣n），将（n﹣2009）2+（2010﹣n）2＝2代入可得1＝2+2（n﹣2009）（2010﹣n），解之即可． 【解答】解：∵（n﹣2009）2+（2010﹣n）2＝2 ∴[（n﹣2009）+（2010﹣n）]2＝（n﹣2009）2+（2010﹣n）2+2（n﹣2009）（2010﹣n）， 即：1＝2+2（n﹣2009）（2010﹣n）， 解得：（n﹣2009）（2010﹣n）． 【点评】本题主要考查完全平方公式，根据题意得出寻找出其中蕴含的完全平方公式是解题的关键． 33．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题 （1）填空：x2（x）2﹣　2　 ＝（x）2+　2　 （2）若a5，则a2　23　 ； （3）若a2﹣3a+1＝0，求a2的值． 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据完全平方公式进行解答； （3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a3，然后根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）2、2． （2）23． （3）∵a＝0时方程不成立， ∴a≠0， ∵a2﹣3a+1＝0 两边同除a得：a﹣30， 移项得：a3， ∴a2（a）2﹣2＝7． 【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式． 【考点5】创新及压轴题（第34–37题） ※方法总结 · 杨辉三角：掌握展开式系数的规律。 · 规律探究：从特殊到一般，归纳公式。 · 整体换元：设元转化，利用完全平方公式变形求解。 34．（2020•于都县模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式． （2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． 【分析】（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）5的展开式； （2）发现这一组式子中是2与﹣1的和的5次幂，由（1）中的结论得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，计算出结果． 【解答】解：（1）如图， 则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． ＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5． ＝（2﹣1）5， ＝1． 【点评】本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高． 35．（2022春•双牌县校级期中）观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … （1）分解因式：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1　 （其中n为正整数）； （3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）； （4）计算：（﹣2）1999+（﹣2）1998+（﹣2）1997+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1． 【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，可知x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）． （2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （3）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝351﹣1． （4）先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）1999+（﹣2）1998+（﹣2）1997+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]＝（﹣2）2000﹣1，然后再计算所给式子． 【解答】解：（1）分解因式：x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1； （3）（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝351﹣1． （4）∵（﹣2﹣1）[（﹣2）1999+（﹣2）1998+（﹣2）1997+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]， ＝（﹣2）2000﹣1， ＝22000﹣1， ∴（﹣2）1999+（﹣2）1998+（﹣2）1997+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1． 【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 36．（2018秋•雁江区期末）已知x2，求x2，x4的值． 【分析】把第一个代数式整理为用x表示的形式；第二个代数式整理为用x2表示的形式，把值代入求解即可． 【解答】解：x2（x）2﹣2＝2； x4（x2）2﹣2＝2． 【点评】本题考查了完全平方公式，关键是把所求代数式整理为与所给等式相关的形式或与得到结果相关的形式． 37．（2017秋•德惠市校级月考）化简求值 （1）已知（a+b+1）（a+b﹣1）＝63，求a+b的值； （2）已知（a+b）2＝9，ab，求a2+b2的值； （3）a+b＝7，ab＝12，求a2﹣ab+b2的值． 【分析】（1）根据平方差公式将等式的将左边计算，再两边同时开方即可； （2）将（a+b）2＝9的括号展开，再把ab的值代入即可解答； （3）先求出a2+2ab+b2的值，再减去ab的值即可． 【解答】解：（1）（a+b）2﹣12＝63， （a+b）2＝64， ∴a+b＝±8， （2）（a+b）2＝9， 即a2+2ab+b2＝9， ∵ab， ∴a2+b2＝9﹣2ab＝9﹣2×（）9+12， （3）∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝49， 即a2+2ab+b2＝49， ∵ab＝12， ∴a2+b2＝49﹣2×12＝25， ∴原式＝25﹣52＝13． 【点评】本题主要考查平方差公式及完全平方公式，解决此题的关键是熟记两个公式． 随堂检测 · 精选练习 练习1：平方差公式识别练习2：平方差公式判断练习3：平方差公式填空练习4：平方差公式计算练习5：完全平方公式变形 【练习1】（2026春•市南区校级期中）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　） A．（﹣a﹣b）（﹣b+a） B．（xy+z）（﹣xy+z） C．（﹣2x﹣y）（2x+y） D．（0.5x﹣y）（﹣y﹣0.5x） 【分析】各式利用平方差公式判断即可． 【解答】解：A．原式＝（﹣b﹣a）（﹣b+a）＝b2﹣a2，不符合题意； B．原式＝（z+xy）（z﹣xy）＝z2﹣x2y2，不符合题意； C．原式＝﹣（4x2+4xy+y2）＝﹣（2x+y）2，符合题意； D．原式＝（﹣y+0.5）（﹣y﹣0.5）＝y2﹣0.25，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 【练习2】（2026春•济阳区期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2m﹣3n）（2m+3n） B．（a﹣b+c）（a+b+c） C．（﹣a﹣b）（b﹣a） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 【分析】平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．据此解答即可． 【解答】解：A、（2m﹣3n）（2m+3n）＝4m2﹣9n2，故该选项不符合题意； B、原式＝（a+c﹣b）（a+c+b）＝（a+c）2﹣b2，故该选项不符合题意； C、原式＝﹣（b+a）（b﹣a）＝﹣b2+a2，故该选项不符合题意； D、（﹣3a+b）（3a﹣b）不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义． 【练习3】（2026•正定县一模）已知（x+3y）（______）＝-x²+9y²，则横线上应填的代数式是（　　）x+3y）（______）＝﹣x2+9y2，则横线上应填的代数式是（　　） A．x+3y B．x﹣3y C．﹣x﹣3y D．﹣x+3y 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【解答】解：将等式右侧的多项式分解因式可知： ﹣x2+9y2＝9y2﹣x2＝（3y+x）（3y﹣x）＝（x+3y）（﹣x+3y）， ∴横线上应填的代数式是﹣x+3y，即故选D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 【练习4】（2025秋•南开区期末）计算25²-23×27的结果为　4　 ．2﹣23×27的结果为　4　 ． 【分析】把原式变形为252﹣（25﹣2）×（25+2），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：原式＝252﹣（25﹣2）×（25+2） ＝252﹣（252﹣22） ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 【练习5】（2026春•徐州期中）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：（a+b）²＝a²+2ab+b²⇔a²+b²＝（a+b）²-2ab．a+b）2＝a2+2ab+b2⇔a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 类比推导：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ⇔a2+b2＝　（a﹣b）2+2ab ． 初步尝试：已知a﹣b＝5，ab＝2，求a2+b2的值． 迁移应用：已知（2027﹣x）（2026﹣x）＝2025，求（2027﹣x）2+（x﹣2026）2的值． 【分析】（1）根据完全平方公式进行变形即可； （2）根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入进行计算即可； （3）令m＝2027﹣x，n＝x﹣2026，得到mn＝﹣2025，m+n＝1，再根据（m+n）2﹣2mn代数进行计算即可． 【解答】解：（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2⇔a2+b2＝（a﹣b）2+2ab； 故答案为：a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2+2ab； （2）∵a﹣b＝5，ab＝2， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×2＝25+4＝29； （3）由条件可知（2027﹣x）（x﹣2026）＝﹣2025， 令m＝2027﹣x，n＝x﹣2026， 则mn＝﹣2025，m+n＝2027﹣x+x﹣2026＝1， m2+n2＝12﹣2×（﹣2025）＝1+4050＝4051， ∴（2027﹣x）2+（x﹣2026）2＝4051． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：平方差公式判断作业2：平方差公式计算作业3：平方差公式与乘方作业4：完全平方公式整除作业5：完全平方公式变形作业6：完全平方公式求值作业7：完全平方公式整体作业8：完全平方公式巧算作业9：乘法公式综合计算作业10：面积模型与公式 ❤ 复习建议 熟记两个公式：平方差公式和完全平方公式，注意结构特征和符号。 灵活运用变形：熟练进行公式的正用、逆用和变形，如a²+b²=(a+b)²−2ab等。 几何直观辅助：利用面积模型理解公式，帮助记忆和应用。 巧算策略：观察数字特点，拆分成适合公式的形式，简化运算。 整体思想：在复杂问题中，将某些式子看作整体，运用公式求解。 【作业1】（2026春•青山区校级期中）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　） ①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【解答】解：①（2﹣m）（m+2）＝（2﹣m）（2+m），是两个数的和与这两个数的差相乘，可以利用平方差公式计算，符合题意； ②（x+5）（﹣x﹣5）＝﹣（x+5）（x+5），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ③（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ∴可以利用平方差公式计算的有1个． 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，解题的关键是掌握平方差公式的特点． 【作业2】（2025秋•陇南期末）利用平方差公式计算2026²-2027×2025的结果是（　　）2﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】先将2027×2025化为（2026+1）（2026﹣1）的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【解答】解：原式＝20262﹣（2026+1）×（2026﹣1） ＝20262﹣（20262﹣1） ＝20262﹣20262+1 ＝1， 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【作业3】（2025秋•铁岭县期末）计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1＝（　　）2+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 【分析】利用平方差公式解答即可． 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1 ＝（232﹣1）（232+1）+1 ＝264﹣1+1 ＝264． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【作业4】（2025秋•黄冈月考）已知n为正整数，计算发现代数式（4n+3）²-（2n+3）²能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（　　）n为正整数，计算发现代数式（4n+3）2﹣（2n+3）2能被某些正整数整除，这些正整数中最大的是（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【分析】解：利用平方差公式化简代数式，观察化简后的式子，判断其中恒定存在的正整数因数，即可判断出结果． 【解答】解：已知n为正整数，计算发现代数式（4n+3）2﹣（2n+3）2能被某些正整数整除，则： （4n+3）2﹣（2n+3）2＝（4n+3+2n+3）[4n+3﹣（2n+3）]＝（6n+6）•2n＝12n（n+1）， 又∵n为正整数， ∴n和n+1为连续整数，其中必有一个数为偶数，即n（n+1）必为偶数，恒有因数2， ∴12n（n+1）恒能被12×2＝24整除， 当n＝1时，原式＝12×1×（1+1）＝24，不能被36整除，故这些正整数中最大的是24， 故选：C． 【点评】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 47．（2025秋•衡阳县校级月考）（x+2y）2＝（x﹣2y）2+A，则A＝（　　） A．2xy B．4xy C．6xy D．8xy 【分析】先将原式变形为A＝（x+2y）2﹣（x﹣2y）2，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【解答】解：由题意可得：A＝（x+2y）2﹣（x﹣2y）2 A＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2 ＝8xy， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 【作业5】（2025秋•衡阳县校级月考）（x+2y）²＝（x-2y）²+A，则A＝（　　）x2+y2【作业6】（2026春•沛县期中）若x²+y²＝10，xy＝1，则（x+y）²的值是 　12　 ．xy＝1，则（x+y）2的值是 　12　 ． 【分析】用完全平方公式将（x+y）2展开，然后再代入x2+y2＝10，xy＝1计算即可． 【解答】解：（x+y）2＝x2+y2+2xy＝10+2×1＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了运用完全平方公式的计算，熟练掌握该知识点是关键． 【作业7】（2025秋•南康区期末）若a²+ab＝7，b²+ab＝9，则（a+b）²＝　16　 ．a2+ab＝7，b2+ab＝9，则（a+b）2＝　16　 ． 【分析】将两个已知方程相加，得到 a2+b2+2ab 的值，即 （a+b）2 的结果． 【解答】解：将两个已知方程相加可得： （a2+ab）+（b2+ab）＝16． ∵（a2+ab）+（b2+ab）＝a2+b2+2ab＝（a+b）2， ∴（a+b）2＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 【作业8】（2025秋•微山县校级月考）计算：2026²-2026×4050+2025²＝　1　 ．2﹣2026×4050+20252＝　1　 ． 【分析】通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【解答】解：20262﹣2026×4050+20252 ＝20262﹣2×2026×2025+20252 ＝（2026﹣2025）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业9】（2026春•同步）计算： （1）（3x﹣4y）2； （2）（3x﹣2）2﹣（2x+4）（2x﹣4）； （3）（5﹣4x）2﹣（2x+3）2； （4）（3x﹣2y）2﹣（3x+2y）2； （5）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）； （6）（x﹣2y+1）2； （7）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y）2． 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式进行计算即可； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （6）利用完全平方公式进行计算即可； （7）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； 【解答】解：（1）原式＝9x2﹣24xy+16y2； （2）原式＝9x2﹣12x+4﹣（4x2﹣16） ＝9x2﹣12x+4﹣4x2+16 ＝5x2﹣12x+20； （3）原式＝（5﹣4x+2x+3）（5﹣4x﹣2x﹣3） ＝（﹣2x+8）（2﹣6x） ＝﹣4x+12x2+16﹣48x ＝12x2﹣52x+16； （4）原式＝（3x﹣2y+3x+2y）（3x﹣2y﹣3x﹣2y） ＝6x×（﹣4y） ＝﹣24xy； （5）原式＝4x2+4x+1﹣4（x2﹣1） ＝4x2+4x+1﹣4x2+4 ＝4x+5； （6）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1 ＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1； （7）原式＝（x﹣z）2﹣（2y）2﹣（x2+2xy+y2） ＝x2﹣2xz+z2﹣4y2﹣x2﹣2xy﹣y2 ＝﹣5y2+z2﹣2xz﹣2xy． 【点评】本题主要考查了平方差公式及完全平方公式，熟知平方差公式及完全平方公式是解题的关键． 【作业10】（2025春•高新区校级期中）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； （2）请你帮助小明计算（2a+b）（a+2b），并用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，m+n＝6．求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算，然后画图验证即可； （3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2a2+5ab+2b2， 如图所示， （3）∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝62， ∴2mn＝62﹣20＝16． ∴mn＝8． ∴阴影部分面积． 【点评】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握运算法则是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $