专题10.2 合并同类项【暑假预习】讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题10.2 合并同类项（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类项的概念，能准确识别同类项。 · 掌握合并同类项的法则，能熟练进行合并。 · 能利用合并同类项化简多项式并求值。 · 掌握“不含某一项”问题的处理方法，能列方程求参数。 · 理解“整体思想”在合并同类项中的应用，提升代数化简能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 · 几个常数项也是同类项（如 3 与 −5）。 · 同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。 · 判断时，先看字母是否相同，再看对应指数是否相等。 ※ 典型例题 1 题目：若单项式可以合并，则的值为（  ） A. 7   B. 4   C. 5   D. −3 解析：由同类项定义得 解得  答案：A ☆ 2. 合并同类项的法则 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 · 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 · 合并后，所得项的系数是合并前各项系数的代数和，字母部分不变。 · 若合并后系数为0，则该项为0，可省略。 ※ 典型例题 2 题目：计算的结果是（  ） A. 7   B. 3   C. 7x²   D. 3x² 解析：系数相减：5 − 2 = 3，字母及指数不变，得 3x²。 答案：D ☆ 3. 整体思想与合并同类项 将某个式子看作一个整体，作为“字母”进行合并同类项，可使计算简便。 · 整体思想的核心是“换元”，把复杂式子视为一个整体。 · 注意整体符号的变化（如 ，但 ※ 典型例题 3 题目：把 (x−1) 当作一个整体，合并的结果是（  ） 解析：注意 。 原式 答案：A ☆ 4. 不含某一项的问题 若合并同类项后不含某一项（如 xy 项、x² 项），则该项的系数为 0，据此列方程可求参数。 · 先将多项式合并同类项，得到各项系数（含参数）。 · 令指定项的系数为0，解方程得到参数值。 · 注意“值与x无关”也是同样的思路，即所有含x的项系数为0。 ※ 典型例题 4 题目：多项式 合并同类项后不含 项，则 k 的值为（  ） A. 1   B. 2   C. 3   D. 4 解析：合并含 xy 的项： 不含 项，则 解得 答案：A ☑ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类项 所含字母相同，相同字母指数相同 常数项都是同类项；与系数、字母顺序无关 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 只有同类项才能合并 整体思想 将复杂式子视为整体进行合并 注意整体符号的变化 不含某项 合并后该项系数为0 列方程求参数 值与x无关 所有含x的项系数为0 同样列方程求解 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】同类项概念与合并同类项（第1–12题） ※方法总结 · 判断同类项：先看字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同。 · 合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。 · 注意符号，尤其是括号前是负号时，去括号要变号。 · 合并后若某项系数为0，则该项省略。 1．（2026•新兴县一模）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 【分析】根据已知条件判断单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项，从而列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，最后代入进行计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并， ∴单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项， ∴2b+3＝1，2a＝6， 解得：a＝3，b＝﹣1， 2a﹣b3 ＝2×3﹣（﹣1）3 ＝6+1 ＝7， 故选：A． 【点评】本题主要考查了同类项，解题关键是熟练掌握同类项的定义． 2．（2026•北辰区二模）计算xy+3xy﹣2xy的结果为　2xy ． 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：xy+3xy﹣2xy＝（1+3﹣2）xy＝2xy． 故答案为：2xy． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•洛阳期末）若单项式3am﹣2b2与的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣2＝3，n＝2， 解得m＝5，n＝2， ∴mn＝52＝25． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 4．（2025秋•苍南县校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2y C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝xy 【分析】根据合并同类项法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、5y﹣3y＝2y，故此选项符合题意； C、7a+a＝8a，故此选项不符合题意； D、3x2y﹣2yx2＝x2y，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025秋•沭阳县月考）计算5x2﹣2x2的结果是（　　） A．7 B．3 C．7x2 D．3x2 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：5x2﹣2x2＝（5﹣2）x2＝3x2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2026•和平区一模）计算x2y﹣2x2y+4yx2的结果为　3x2y ． 【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝x2y﹣2x2y+4x2y＝3x2y． 故答案为：3x2y． 【点评】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的法则是关键． 7．（2025秋•同步）若多项式﹣6x4+3nx2﹣6x2+5合并同类项后是一个四次二项式，则n满足的条件是　2　 ． 【分析】先合并同类项，再根据题意得出3n﹣6＝0，即可求出n的值． 【解答】解：﹣6x4+3nx2﹣6x2+5＝﹣6x4+（3n﹣6）x2+5， ∵多项式﹣6x4+3nx2﹣6x2+5合并同类项后是一个四次二项式， ∴3n﹣6＝0， ∴n＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•环县期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把（x﹣y）2看作一个整体，合并2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+3（x﹣y）2的结果是 　﹣（x﹣y）2 ． 【分析】根据合并同类项法则运算即可． 【解答】解：2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+3（x﹣y）2 ＝（2﹣6+3）（x﹣y）2 ＝﹣（x﹣y）2， 故答案为：﹣（x﹣y）2 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 9．（2024•鼓楼区一模）若a8（a为大于1的整数），则n的值是 　7　 ． 【分析】根据合并同类项法则进行化简后可得a•an＝an+1＝a8，计算出n值即可． 【解答】解：根据题意得：a•an＝an+1＝a8， ∴n+1＝8， ∴n＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键． 10．（2024秋•洞口县期中）若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等，则b﹣a＝ 　﹣6　 ． 【分析】根据题意可得，a＝3+5，b＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等， ∴a＝3+5，b＝2， ∴a＝8， ∴b﹣a＝2﹣8＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x+y； （2）原式x2yxy+xy﹣2x2y x2yxy． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟记该知识点是解题的关键． 12．（2024秋•临沂校级期中）合并同类项： （1）； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1． 【分析】（1）运用加法交换律、加法结合律，结合合并同类项的计算法则计算即可； （2）运用加法交换律、加法结合律，结合合并同类项的计算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1 ＝2x2﹣2x2﹣3xy﹣2xy+5xy+y2+1 ＝y2+1． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟练掌握该知识点是关键． 【考点2】合并后不含某一项（第13–20题） ※方法总结 · 先合并同类项，将含指定项的系数用参数表示。 · 令该系数为0，解方程得参数值。 · “值与x无关”即所有含x的项系数为0。 · 注意“不含二次项”等类似表述。 13．（2024秋•辽宁校级期末）已知多项式﹣4x2+ax+bx2﹣x+5的值与x无关，则（a﹣b）3＝ 　﹣27　 ． 【分析】将多项式合并同类项后，使含x的项的系数为0，求出a，b的值，进而求出代数式的值即可． 【解答】解：﹣4x2+ax+bx2﹣x+5＝（﹣4+b）x2+（a﹣1）x+5， 由条件可知﹣4+b＝0，a﹣1＝0， 解得：a＝1，b＝4， 则原式＝（1﹣4）3＝﹣27， 故答案为：﹣27． 【点评】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2025秋•南海区期中）多项式x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6合并同类项后不含xy项，则k的值是 　1　 ． 【分析】先根据合并同类项法则，把含有xy项的系数相加，根据已知条件，得到关于k的方程，进行解答即可． 【解答】解：x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6 ＝x2+（2﹣2k）xy﹣5y2﹣6， ∵多项式x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6合并同类项后不含xy项， ∴2﹣2k＝0， 2k＝2， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 15．（2024秋•阳谷县期末）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则﹣2a+b的值为 　6　 ． 【分析】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2， 由x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，得 a+5＝0，3﹣7﹣b＝0． 解得a＝﹣5，b＝﹣4． ∴﹣2a+b＝﹣2×（﹣5）+（﹣4）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了合并同类项，利用合并后不含三次项，二次项得出含三次项，二次项的系数为零是解题关键． 16．（2024秋•茌平区期末）若关于x，y的代数式的值与字母x的取值无关，则2a﹣b的值为　﹣5　 ． 【分析】先对整式进行化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，即可求出答案． 【解答】解： ， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得， ∴2a﹣b＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查整式的化简，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 17．（2024秋•姑苏区校级期末）若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，则a+b的值为 　7　 ． 【分析】根据题意得出a﹣5＝0，﹣2+b＝0进而求出即可． 【解答】解：∵关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关， ∴a﹣5＝0，﹣2+b＝0， 解得：a＝5，b＝2， 则a+b＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的系数定义是解题关键． 18．（2024秋•站前区校级期中）下列说法中：①若，则a＞0；②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式的值为2021；④若a+b+c＝0，abc＜0，则的值为﹣1，其中正确的是　①④　 ． 【分析】根据绝对值的意义，两点间的距离公式，以及代数式的求值，逐一进行判断即可． 【解答】解：①若，则a＞0，故①正确； ②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等， 当x＜﹣2时，﹣2﹣x＝6﹣（﹣2），则：x＝﹣10， 当﹣2＜x＜6时，6﹣x＝x﹣（﹣2），则：x＝2， 当x＞6时，x﹣6＝6﹣（﹣2），则x＝14，故②错误； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则：2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x﹣1+x+2011＝2019，故③错误； ④当a+b+c＝0，abc＜0时，则：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，且a，b，c两正一负，不妨设a＞0，b＞0，c＜0， ∴原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1，故④正确； 故答案为：①④． 【点评】本题考查绝对值的意义，两点间的距离，代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2023秋•海阳市期末）关于x，y的代数式axy﹣3x2+2xy+bx2+y中不含二次项，则（a+b）2023＝　1　 ． 【分析】先根据合并同类项法则，把关于x，y的代数式中的同类项进行合并，然后根据代数式不含有二次项，列出关于a，b的方程，求出a，b，再代入求值即可． 【解答】解：axy﹣3x2+2xy+bx2+y ＝bx2﹣3x2+2xy+axy+y ＝（b﹣3）x2+（2+a）xy+y， ∵关于x，y的代数式axy﹣3x2+2xy+bx2+y中不含二次项， ∴b﹣3＝0，2+a＝0， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴（a+b）2023 ＝（﹣2+3）2023 ＝12023 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了同类项，解题关键是熟练掌握同类项定义和合并同类项法则． 20．（2022秋•曾都区校级期中）已知ax2yb﹣bxay5＝cx2y5，且无论x，y取何值该等式恒成立，则c的值等于　﹣3　 ． 【分析】直击利用合并同类项法则得出a，b的值进而得出c的值． 【解答】解：∵ax2yb﹣bxay5＝cx2y5，且无论x，y取何值该等式恒成立， ∴a﹣b＝c，a＝2，b＝5， 解得：c＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键． 【考点3】创新及压轴题（第21–26题） ※方法总结 · 整体思想：把某个式子看作整体合并，简化计算。 · 新定义问题：理解定义，转化为常规运算。 · 求值问题：整体代入，或利用已知条件变形。 · 注意分类讨论和逻辑推理。 21．（2013秋•历城区期中）有这样一道题，计算（2x4﹣4x3y﹣x2y2）﹣2（x4﹣2x3y﹣y3）+x2y2的值．其中x＝5，y＝﹣1；甲同学把“x＝5”，错抄成“x＝﹣5”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？ 【分析】原式去括号合并得到最简结果与x无关，可得出x的取值对结果没有影响． 【解答】解：∵原式＝2x4﹣4x3y﹣x2y2﹣2x4+4x3y+2y3+x2y2 ＝（2x4﹣2x4）+（﹣4x3y+4x3y）+（﹣x2y2+x2y2）+2y3 ＝2y3 ∴原式化简后为2y3，跟x的取值没有关系．因此不会影响计算结果． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 22．（2025秋•肥城市期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请你应用这样的方法完成下列问题： （1）把x﹣y看成一个整体，化简：5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝　3（x﹣y）　 ； （2）已知x2﹣2x＝1，则2x2﹣4x＝　2　 ； （3）已知a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1，求代数式2a2+7ab﹣6b2的值． 【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将2x2﹣4x化为2（x2﹣2x），再整体代入计算即可； （3）将2a2+7ab﹣6b2化为2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2），再整体代入计算即可． 【解答】解：（1）5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y） ＝（5+2﹣4）（x﹣y） ＝ 3（x﹣y）， 故答案为：3（x﹣y）； （2）∵x2﹣2x＝1， ∴2x2﹣4x＝2（x2﹣2x） ＝2×1 ＝ 2， 故答案为：2； （3）∵a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1， ∴2a2+7ab﹣6b2 ＝2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2） ＝2×15+3×1 ＝33． 【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握合并同类项法则是正确解答的关键． 23．（2025秋•宿城区期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，化简5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2＝　2　 （a﹣b）2； （2）运用“整体思想”化简：7（m+n）2﹣6（m+n）2+2（m+n）2． 【分析】（1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可． 【解答】解：（1）5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2 ＝（5+4﹣7）（a﹣b）2＝2（a﹣b）2 故答案为：2． （2）原式＝（7﹣6+2）（m+n）2 ＝3（m+n）2． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握整体思想求解代数式的值是解题关键． 24．（2025秋•衡阳期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示． 例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时，多项式的值用f（某数）表示． 例如x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，求出f（﹣1）； （2）已知f（x）＝ax3+bx﹣6，当f（2）＝2025，求f（﹣2）的值； （3）已知f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1（a，b为常数），若f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求代数式a2﹣2ab﹣（﹣b）2026的值． 【分析】（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算即可得解； （2）先根据f（2）＝2025求出8a+2b＝2031，再表示出f（﹣2），整体代入计算即可得解； （3）先根据整式的加减运算法则计算得出f（x）﹣2g（x），再结合f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求出a、b的值，代入所求代数式即可得解． 【解答】解：（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算可得： f（﹣1）＝﹣2×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝﹣2+3+1＝2； （2）∵f（x）＝ax3+bx﹣6，且f（2）＝2025， ∴f（2）＝a×23+b×2﹣6＝8a+2b﹣6＝2025， ∴8a+2b＝2031， ∴f（﹣2）＝a×（﹣2）3+b×（﹣2）﹣6＝﹣8a﹣2b﹣6＝﹣（8a+2b）﹣6＝﹣2031﹣6＝﹣2037； （3）∵f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1， ∴f（x）﹣2g（x） ＝4x2+ax+b﹣2（2bx2﹣3x﹣1） ＝4x2+ax+b﹣4bx2+6x+2 ＝（4﹣4b）x2+（a+6）x+b+2， 由条件可知4﹣4b＝0，a+6＝0， ∴a＝﹣6，b＝1， ∴原式＝（﹣6）2﹣2×（﹣6）×1﹣（﹣1）2026＝36+12﹣1＝47． 【点评】本题考查了求代数式的值，整式的加减，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．（2024秋•郴州期末）我们知道，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛． （1）化简：4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2； （2）若A，B＝6x2﹣4x﹣4． ①计算A﹣B； ②如果A﹣B＝10，解关于k的方程4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9． 【分析】（1）将（a﹣b）2作为整体合并即可； （2）①先化简A，再整体代入计算A﹣B即可； ②根据题意，先化简出﹣3x2+2x+7＝10，再整体代入方程，解关于k的方程即可． 【解答】解：（1）4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2＝2（a﹣b）2； （2）A ＝（）（3x2﹣2x+3） ＝3x2﹣2x+3， ①A﹣B＝3x2﹣2x+3﹣（6x2﹣4x﹣4） ＝3x2﹣2x+3﹣6x2+4x+4 ＝﹣3x2+2x+7； ②∵A﹣B＝10， ∴﹣3x2+2x+7＝10， ﹣3x2+2x＝3， ∴4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9， 3k＝6x2﹣4x﹣9＝﹣2（﹣3x2+2x）﹣9＝﹣2×3﹣9＝﹣15， ∴k＝﹣5． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握整体思想是关键． 26．（2024秋•珠海校级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22023+22024的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22023+22024① 则2S＝2+22+…+22024+22025② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22025﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝　1023　 ； （2）3+32+33+…+320＝　　 ； （3）求1+a+a2+a3+…+an﹣1的和（a＞1，n是正整数，请写出计算过程，答案用含有a和n的式子表示）． 【分析】（1）设S＝1+2+22+⋯+29①，则2S＝2+22+⋯+210②，②﹣①计算求解即可； （2）设T＝3+32+33+⋯+320①，则3T＝32+33+⋯+321②，②﹣①计算求解即可； （3）设M＝1+a+a2+a3+⋯+an﹣1①，则aM＝a+a2+a3+⋯+an②，②﹣①计算求解即可． 【解答】解：（1）设S＝1+2+22+⋯+29①，则2S＝2+22+⋯+210②， ∴2S﹣S＝S＝210﹣1＝1023， ∴原式＝1023， 故答案为：1023． （2）设T＝3+32+33+⋯+320①，则3T＝32+33+⋯+321②， ∴3T﹣T＝2T＝321﹣3， ∴原式． 故答案为：； （3）设M＝1+a+a2+a3+⋯+an﹣1①，则aM＝a+a2+a3+⋯+an②， ∴aM﹣M＝an﹣1， 解得，， ∴． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，有理数的加法运算是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同类项判断与合并练习2：多项选择综合练习3：规律型合并练习4：整体思想合并练习5：化简求值 【练习1】（2025秋•红古区期末）若单项式﹣3a4b2n与9amb6可以合并同类项，则的值为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】利用合并同类项的法则计算解答． 【解答】解：∵单项式﹣3a4b2n与9amb6可以合并同类项， ∴m＝4，2n＝6，n＝3， ∴4+3×3＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 【练习2】（2024秋•绍兴期末）下列说法中，正确的个数（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③A，B．C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2； ④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2015的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值的意义可判断①正确；根据绝对值的意义及有理数的运算法则，分类讨论可判断②正确；根据两点间的距离，分三种情况列方程求解可判断③错误；根据绝对值的性质化简代数式，可知当1≤x≤3时，代数式的值与x无关，据此可判断④错误；根据绝对值的意义及有理数的运算法则，可判断⑤错误． 【解答】解：①若，则，故a＞0，故①正确，符合题意； ②当a＞0时，由|a|＞|b|得：a＞|b|≥0≥﹣|b|＞﹣a， ∴a＞﹣b，a＞b， ∴a+b＞0，a﹣b＞0，则有（a+b）（a﹣b）＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 当a＜0时，由|a|＞|b|得：﹣a＞|b|≥0≥﹣|b|＞a， ∴a＜﹣b，a＜b， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，则有（a+b）（a﹣b）＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 综上可得，（a+b）（a﹣b）是正数，故②正确，符合题意； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x， 由相邻两点的距离相等可知，其中一点是另外两点连线的中点， 若点A是BC的中点，，解得x＝﹣10； 若点B是AC的中点，，解得x＝14； 若点C是AB的中点，，解得x＝2； 综上可得x＝2或﹣10或14，故③错误，不符合题意； ④当1≤x≤3时，2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2015＝2x+9﹣3x+x﹣1+2015＝2023，故④错误，不符合题意； ⑤∵a+b+c＝0，abc＜0， ∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 不妨设a＞0，b＞0，c＜0， ∴ ＝﹣1，故⑤错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算、解绝对值方程、绝对值的性质，解答本题的关键是分类讨论． 【练习3】（2025秋•西山区校级期中）合并同类项m﹣3m+5m﹣7m+9m+…﹣2023m+2025m的结果为（　　） A．1013m B．﹣1012m C．﹣3037m D．无法确定 【分析】m与﹣3m结合，5m与﹣7m结合，依此类推相减结果为﹣2m，得到506个﹣2m，计算即可得到结果． 【解答】解：m﹣3m+5m﹣7m+9m+⋯﹣2023m+2025m ＝（1﹣3）m+（5﹣7）m+⋯+（2021﹣2023）m+2025m ＝﹣2m×506+2025m ＝﹣1012m+2025m ＝1013m， 故选：A． 【点评】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 【练习4】（2022秋•临武县校级月考）把（x﹣1）当作一个整体，合并3（x﹣1）4﹣2（x﹣1）3﹣5（1﹣x）4+4（1﹣x）3的结果是　﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3 ． 【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案． 【解答】解：原式＝﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3． 故答案为：﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3． 【点评】本题考查了合并同类项，把（x﹣1）当作一个整体合并是解题关键． 【练习5】（2015秋•宜昌校级期中）合并同类项 （1）2xy﹣3xy （2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab （3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）] （4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3） 【分析】根据合并同类项逐一计算，即可解答． 【解答】解：（1）2xy﹣3xy ＝﹣xy． （2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab ＝﹣2ab+4a﹣9a+3b+ab ＝﹣ab﹣5a+3b （3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）] ＝3a2﹣（8a﹣4a+7） ＝3a2﹣8a+4a﹣7 ＝3a2﹣4a﹣7 （4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3） ＝15+3﹣3a﹣1+a+a2+1﹣a﹣a2﹣a3 ＝18﹣3a﹣a3． 【点评】本题考查了合并同类项，解决本题的关键是熟记合并同类项． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项判断作业2：绝对值与合并作业3：同类项求参数作业4：“相反式”新定义作业5：不含xy项求k作业6：整体思想合并作业7：合并为0求值作业8：去括号合并作业9：整体代入求值作业10：无关型与几何应用 ❤ 复习建议 牢记同类项定义：字母相同且相同字母指数相同，常数项都是同类项，是合并的基础。 合并法则要熟练：系数相加，字母部分不变，注意符号，特别是去括号时。 整体思想灵活用：把复杂式子看成整体，可简化运算，注意符号变化。 “不含某项”列方程：合并后该项系数为0，是求参数的常用方法，注意“值与无关”同理。 综合题多训练：新定义、整体代入、数轴结合等，培养代数推理和模型观念。 【作业1】（2025秋•灵武市期中）下列各式中计算正确的是（　　） A．3x2﹣x2＝3 B．2x+y＝3xy C．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a2 D．（﹣1）2008＝2008 【分析】根据题意，合并同类项时，系数相加减，字母部分不变；乘方计算时，（﹣1）（﹣1）2008等于1，据此解答． 【解答】解：对于A，3x2﹣x2＝2x2，故A错误； 对于B，2x+y不能再计算，故B错误； 对于C，﹣3a2﹣2a2＝﹣5a2，故C正确； 对于D，（﹣1）2008＝1，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项、有理数的乘方，解决本题的关键是知道合并同类项、乘方计算的方法． 【作业2】（2024秋•长宁县期中）下列说法正确的有（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021； ④代数式6﹣|x+1|﹣|x﹣2|﹣|x+4|最大值是6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值，分式有意义的条件，合并同类项，代数式化简，逐一判断即可． 【解答】解：①∵， ∴a＞0， ∴①正确； ②∵|a|＞|b|， ∴a＞b＞0，或a＞0＞b＞﹣a，或﹣a＞b＞0＞a，或0＞b＞a， ∴当a＞b＞0，（a+b）（a﹣b）＞0， 当a＞0＞b＞﹣a，（a+b）（a﹣b）＞0， 当﹣a＞b＞0＞a，（a+b）（a﹣b）＞0， 当0＞b＞a，（a+b）（a﹣b）＞0， 由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0， ∴②正确； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关， 则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019， 故③错误； ④只有|x+1|＝|x﹣2|＝|x+4|＝0时， 原式有最大值， ∵|x+1|＝|x﹣2|＝|x+4|＝0，x不存在， ∴④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查绝对值，合并同类项，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业3】（2023秋•紫金县期末）已知单项式3am+1b与﹣bn﹣2a3可以合并同类项，则m，n的值分别为（　　） A．2，3 B．2，2 C．3，2 D．3，3 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： m+1＝3，n﹣2＝1， ∴m＝2，n＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 【作业4】（2023春•北碚区校级期末）如果代数式A＝a1x+b1y+c1（a1，b1，c1均为非0常数），B＝a2x+b2y+c2（a2，b2，c2均为非0常数），且满足a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（　　）个． ①若，则（a+b）2023＝﹣1； ②若p，q（p≠q）为常数，pA+qB＝p﹣q，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式2（A﹣B）+kA•B（k为正整数）不含一次项，则c1的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程A＝kc1，B＝tc2（k、t均为常数）有相同的解，则k+t＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据新定义，求出a，b的值，判断①，根据新定义得到B＝﹣A，判断②，将2（A﹣B）+kA•B转化为4A﹣kA2，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到kc1＝tc1，判断④． 【解答】解：若， 则：， ∴b＝2，a＝﹣3， ∴（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1，故①正确； ∵a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣a1，b2＝﹣b1，c2＝﹣c1， ∴B＝a2x+b2y+c2＝﹣a1x﹣b1y﹣c1＝﹣A， ∴pA+qB＝pA﹣qA＝A（p﹣q）＝p﹣q， ∵p，q（p≠q）为常数， ∴A＝1，故②正确； ∵B＝﹣A， ∴2（A﹣B）+kA•B＝4A﹣kA2 ∵代数式2（A﹣B）+kA•B（k为正整数）不含一次项， ∴ ∵a1，b1，c1均为非0常数， ∴kc1＝2， ∴， ∵k为正整数， ∴当k＝1时，c1最大为2，故③正确； ∵A＝kc1，B＝tc2，B＝﹣A，c2＝﹣c1， ∴﹣A＝tc2＝﹣tc1， ∴kc1＝tc1， ∵c1≠0， ∴k＝t， ∴k﹣t＝0，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查整式的运算，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业5】（2023秋•官渡区校级期中）多项式x2﹣kxy+5xy﹣1中不含xy的项，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将多项式合并同类项后，令含xy的项的系数为0，求解即可． 【解答】解：x2﹣kxy+5xy﹣1＝x2+（5﹣k）xy﹣1， ∵多项式x2﹣kxy+5xy﹣1中不含xy的项， ∴5﹣k＝0， ∴k＝5， 故选：C． 【点评】本题考查多项式中不含某一项的问题．解题的关键是将多项式合并同类项后，令该项的系数为0． 【作业6】（2013秋•作业）把（a﹣b）当成一个整体合并同类项：4（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b）+3（a﹣b）2＝　（7a﹣b）2+3（a﹣b）　 ． 【分析】首先归类，把次数相同的，再合并同类项即可． 【解答】解：4（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b）+3（a﹣b）2 ＝4（a﹣b）2+3（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b） ＝7（a﹣b）2+3（a﹣b）． 【点评】此题考查合并同类项，注意把（a﹣b）当成一个整体，再进一步分类合并即可． 【作业7】（2016秋•东台市期末）已知两个单项式﹣2a2bm+1与na2b4的和为0，则m+n的值是　5　 ． 【分析】由题意可知﹣2a2bm+1与na2b4是同类项，然后由同类项的定义可知m+1＝4，由它们的和为0可知n＝2． 【解答】解：∵单项式﹣2a2bm+1与na2b4的和为0， ∴m+1＝4，n＝2． 解得：m＝3． ∴m+n＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查的是合并同类项，根据题意求得m、n的值是解题的关键． 【作业8】（2013秋•惠山区校级月考）合并同类项． （1）5（2x﹣7y）﹣3（4x﹣10y） （2）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]． 【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝10x﹣35y﹣12x+30y＝﹣2x﹣5y； （2）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y＝3x﹣12y． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业9】（2024秋•单县期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　﹣（x﹣y）2 ； （2）已知a2﹣2b＝1，求﹣2a2+4b+3的值． 【分析】（1）仿照题中给出的方法合并即可； （2）将3﹣2a2+4b变形为3﹣2（a2﹣2b），然后整体代入求值即可． 【解答】解：（1）3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2 ＝（3﹣6+2）（x﹣y）2 ＝﹣（x﹣y）2， 故答案为：﹣（x﹣y）2； （2）∵a2﹣2b＝1， ∴﹣2a2+4b+3 ＝3﹣2a2+4b ＝3﹣2（a2﹣2b） ＝3﹣2×1 ＝3﹣2 ＝1． 【点评】本题考查了合并同类项，整体代入求值思想，理解题意，掌握数学中的整体代入求值思想是解题的关键． 【作业10】（2023秋•冷水滩区期末）（1）若多项式（2x﹣1）a+2a2﹣3x的值与x的取值无关，求a的值； （2）如图1的小长方形，长为a，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为S1，右下角的面积为S2，当AB的长变化时，发现S1﹣3S2的值始终保持不变，请求出a的值． 【分析】（1）把多项式合并同类项得（2a﹣3）x﹣a+2a2，由题意得到2a﹣3＝0，进而可求出a的值； （2）设AB＝x，进而得到S1＝（x﹣4）a，S2＝2（x﹣a），根据S1﹣3S2的值始终保持不变来求解． 【解答】解：（1）原式＝2ax﹣a+2a2﹣3x ＝（2a﹣3）x﹣a+2a2， ∵多项式（2x﹣1）a+2a2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2a﹣3＝0， ∴a＝1.5； （2）设AB＝x， 由题意得：S2＝2（x﹣a），S1＝（x﹣4）a， ∴S1﹣3S2 ＝（x﹣4）a﹣3×2（x﹣a） ＝ax﹣4a﹣6x+6a ＝（a﹣6）x+2a， ∵S1﹣3S2的值始终保持不变， ∴S1﹣3S2的值与x无关， ∴a﹣6＝0， ∴a＝6． 【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，关键是掌握合并同类项的法则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 合并同类项（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类项的概念，能准确识别同类项。 · 掌握合并同类项的法则，能熟练进行合并。 · 能利用合并同类项化简多项式并求值。 · 掌握“不含某一项”问题的处理方法，能列方程求参数。 · 理解“整体思想”在合并同类项中的应用，提升代数化简能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 · 几个常数项也是同类项（如 3 与 −5）。 · 同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。 · 判断时，先看字母是否相同，再看对应指数是否相等。 ※ 典型例题 1 题目：若单项式可以合并，则的值为（  ） A. 7   B. 4   C. 5   D. −3 解析：由同类项定义得 解得  答案：A ☆ 2. 合并同类项的法则 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 · 只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 · 合并后，所得项的系数是合并前各项系数的代数和，字母部分不变。 · 若合并后系数为0，则该项为0，可省略。 ※ 典型例题 2 题目：计算的结果是（  ） A. 7   B. 3   C. 7x²   D. 3x² 解析：系数相减：5 − 2 = 3，字母及指数不变，得 3x²。 答案：D ☆ 3. 整体思想与合并同类项 将某个式子看作一个整体，作为“字母”进行合并同类项，可使计算简便。 · 整体思想的核心是“换元”，把复杂式子视为一个整体。 · 注意整体符号的变化（如 ，但 ※ 典型例题 3 题目：把 (x−1) 当作一个整体，合并的结果是（  ） 解析：注意 。 原式 答案：A ☆ 4. 不含某一项的问题 若合并同类项后不含某一项（如 xy 项、x² 项），则该项的系数为 0，据此列方程可求参数。 · 先将多项式合并同类项，得到各项系数（含参数）。 · 令指定项的系数为0，解方程得到参数值。 · 注意“值与x无关”也是同样的思路，即所有含x的项系数为0。 ※ 典型例题 4 题目：多项式 合并同类项后不含 项，则 k 的值为（  ） A. 1   B. 2   C. 3   D. 4 解析：合并含 xy 的项： 不含 项，则 解得 答案：A ☑ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类项 所含字母相同，相同字母指数相同 常数项都是同类项；与系数、字母顺序无关 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 只有同类项才能合并 整体思想 将复杂式子视为整体进行合并 注意整体符号的变化 不含某项 合并后该项系数为0 列方程求参数 值与x无关 所有含x的项系数为0 同样列方程求解 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】同类项概念与合并同类项（第1–12题） ※方法总结 · 判断同类项：先看字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同。 · 合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。 · 注意符号，尤其是括号前是负号时，去括号要变号。 · 合并后若某项系数为0，则该项省略。 1．（2026•新兴县一模）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 2．（2026•北辰区二模）计算xy+3xy﹣2xy的结果为　 　 ． 3．（2025秋•洛阳期末）若单项式3am﹣2b2与的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 4．（2025秋•苍南县校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2y C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝xy 5．（2025秋•沭阳县月考）计算5x2﹣2x2的结果是（　　） A．7 B．3 C．7x2 D．3x2 6．（2026•和平区一模）计算x2y﹣2x2y+4yx2的结果为　 　 ． 7．（2025秋•同步）若多项式﹣6x4+3nx2﹣6x2+5合并同类项后是一个四次二项式，则n满足的条件是　 　 ． 8．（2024秋•环县期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把（x﹣y）2看作一个整体，合并2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+3（x﹣y）2的结果是 　 　 ． 9．（2024•鼓楼区一模）若a8（a为大于1的整数），则n的值是 　 　 ． 10．（2024秋•洞口县期中）若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等，则b﹣a＝ 　 　 ． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 12．（2024秋•临沂校级期中）合并同类项： （1）； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1． 【考点2】合并后不含某一项（第13–20题） ※方法总结 · 先合并同类项，将含指定项的系数用参数表示。 · 令该系数为0，解方程得参数值。 · “值与x无关”即所有含x的项系数为0。 · 注意“不含二次项”等类似表述。 13．（2024秋•辽宁校级期末）已知多项式﹣4x2+ax+bx2﹣x+5的值与x无关，则（a﹣b）3＝ 　 　 ． 14．（2025秋•南海区期中）多项式x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6合并同类项后不含xy项，则k的值是 　 　 ． 15．（2024秋•阳谷县期末）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则﹣2a+b的值为 　 　 ． 16．（2024秋•茌平区期末）若关于x，y的代数式的值与字母x的取值无关，则2a﹣b的值为　 　 ． 17．（2024秋•姑苏区校级期末）若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，则a+b的值为 　 　 ． 18．（2024秋•站前区校级期中）下列说法中：①若，则a＞0；②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式的值为2021；④若a+b+c＝0，abc＜0，则的值为﹣1，其中正确的是　 　 ． 19．（2023秋•海阳市期末）关于x，y的代数式axy﹣3x2+2xy+bx2+y中不含二次项，则（a+b）2023＝　 　 ． 20．（2022秋•曾都区校级期中）已知ax2yb﹣bxay5＝cx2y5，且无论x，y取何值该等式恒成立，则c的值等于　 　 ． 【考点3】创新及压轴题（第21–26题） ※方法总结 · 整体思想：把某个式子看作整体合并，简化计算。 · 新定义问题：理解定义，转化为常规运算。 · 求值问题：整体代入，或利用已知条件变形。 · 注意分类讨论和逻辑推理。 21．（2013秋•历城区期中）有这样一道题，计算（2x4﹣4x3y﹣x2y2）﹣2（x4﹣2x3y﹣y3）+x2y2的值．其中x＝5，y＝﹣1；甲同学把“x＝5”，错抄成“x＝﹣5”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？ 22．（2025秋•肥城市期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请你应用这样的方法完成下列问题： （1）把x﹣y看成一个整体，化简：5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝　 　 ； （2）已知x2﹣2x＝1，则2x2﹣4x＝　 　 ； （3）已知a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1，求代数式2a2+7ab﹣6b2的值． 23．（2025秋•宿城区期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，化简5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2＝　 　 （a﹣b）2； （2）运用“整体思想”化简：7（m+n）2﹣6（m+n）2+2（m+n）2． 24．（2025秋•衡阳期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示． 例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时，多项式的值用f（某数）表示． 例如x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，求出f（﹣1）； （2）已知f（x）＝ax3+bx﹣6，当f（2）＝2025，求f（﹣2）的值； （3）已知f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1（a，b为常数），若f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求代数式a2﹣2ab﹣（﹣b）2026的值． 25．（2024秋•郴州期末）我们知道，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛． （1）化简：4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2； （2）若A，B＝6x2﹣4x﹣4． ①计算A﹣B； ②如果A﹣B＝10，解关于k的方程4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9． 26．（2024秋•珠海校级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22023+22024的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22023+22024① 则2S＝2+22+…+22024+22025② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22025﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝　 　 ； （2）3+32+33+…+320＝　 　 ； （3）求1+a+a2+a3+…+an﹣1的和（a＞1，n是正整数，请写出计算过程，答案用含有a和n的式子表示）． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同类项判断与合并练习2：多项选择综合练习3：规律型合并练习4：整体思想合并练习5：化简求值 【练习1】（2025秋•红古区期末）若单项式﹣3a4b2n与9amb6可以合并同类项，则的值为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【练习2】（2024秋•绍兴期末）下列说法中，正确的个数（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③A，B．C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2； ④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2015的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习3】（2025秋•西山区校级期中）合并同类项m﹣3m+5m﹣7m+9m+…﹣2023m+2025m的结果为（　　） A．1013m B．﹣1012m C．﹣3037m D．无法确定 【练习4】（2022秋•临武县校级月考）把（x﹣1）当作一个整体，合并3（x﹣1）4﹣2（x﹣1）3﹣5（1﹣x）4+4（1﹣x）3的结果是　 　 ． 【练习5】（2015秋•宜昌校级期中）合并同类项 （1）2xy﹣3xy （2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab （3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）] （4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3） 课后巩固 · 针对性练习 作业1：合并同类项判断作业2：绝对值与合并作业3：同类项求参数作业4：“相反式”新定义作业5：不含xy项求k作业6：整体思想合并作业7：合并为0求值作业8：去括号合并作业9：整体代入求值作业10：无关型与几何应用 ❤ 复习建议 牢记同类项定义：字母相同且相同字母指数相同，常数项都是同类项，是合并的基础。 合并法则要熟练：系数相加，字母部分不变，注意符号，特别是去括号时。 整体思想灵活用：把复杂式子看成整体，可简化运算，注意符号变化。 “不含某项”列方程：合并后该项系数为0，是求参数的常用方法，注意“值与无关”同理。 综合题多训练：新定义、整体代入、数轴结合等，培养代数推理和模型观念。 【作业1】（2025秋•灵武市期中）下列各式中计算正确的是（　　） A．3x2﹣x2＝3 B．2x+y＝3xy C．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a2 D．（﹣1）2008＝2008 【作业2】（2024秋•长宁县期中）下列说法正确的有（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021； ④代数式6﹣|x+1|﹣|x﹣2|﹣|x+4|最大值是6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】（2023秋•紫金县期末）已知单项式3am+1b与﹣bn﹣2a3可以合并同类项，则m，n的值分别为（　　） A．2，3 B．2，2 C．3，2 D．3，3 【作业4】（2023春•北碚区校级期末）如果代数式A＝a1x+b1y+c1（a1，b1，c1均为非0常数），B＝a2x+b2y+c2（a2，b2，c2均为非0常数），且满足a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（　　）个． ①若，则（a+b）2023＝﹣1； ②若p，q（p≠q）为常数，pA+qB＝p﹣q，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式2（A﹣B）+kA•B（k为正整数）不含一次项，则c1的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程A＝kc1，B＝tc2（k、t均为常数）有相同的解，则k+t＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业5】（2023秋•官渡区校级期中）多项式x2﹣kxy+5xy﹣1中不含xy的项，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业6】（2013秋•作业）把（a﹣b）当成一个整体合并同类项：4（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b）+3（a﹣b）2＝　 　 ． 【作业7】（2016秋•东台市期末）已知两个单项式﹣2a2bm+1与na2b4的和为0，则m+n的值是　 　 ． 【作业8】（2013秋•惠山区校级月考）合并同类项． （1）5（2x﹣7y）﹣3（4x﹣10y） （2）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]． 【作业9】（2024秋•单县期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　 　 ； （2）已知a2﹣2b＝1，求﹣2a2+4b+3的值． 【作业10】（2023秋•冷水滩区期末）（1）若多项式（2x﹣1）a+2a2﹣3x的值与x的取值无关，求a的值； （2）如图1的小长方形，长为a，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为S1，右下角的面积为S2，当AB的长变化时，发现S1﹣3S2的值始终保持不变，请求出a的值． 专题10.2 合并同类项 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 一．考点1：同类项概念与合并同类相（共12小题） 1．（2026•新兴县一模）若单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并，则2a﹣b3的值为（　　） A．7 B．4 C．5 D．﹣3 【分析】根据已知条件判断单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项，从而列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，最后代入进行计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣xy2a与9x2b+3y6可以合并， ∴单项式﹣xy2a与9x2b+3y6是同类项， ∴2b+3＝1，2a＝6， 解得：a＝3，b＝﹣1， 2a﹣b3 ＝2×3﹣（﹣1）3 ＝6+1 ＝7， 故选：A． 【点评】本题主要考查了同类项，解题关键是熟练掌握同类项的定义． 2．（2026•北辰区二模）计算xy+3xy﹣2xy的结果为　2xy ． 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：xy+3xy﹣2xy＝（1+3﹣2）xy＝2xy． 故答案为：2xy． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•洛阳期末）若单项式3am﹣2b2与的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣2＝3，n＝2， 解得m＝5，n＝2， ∴mn＝52＝25． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 4．（2025秋•苍南县校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．5y﹣3y＝2y C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝xy 【分析】根据合并同类项法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、5y﹣3y＝2y，故此选项符合题意； C、7a+a＝8a，故此选项不符合题意； D、3x2y﹣2yx2＝x2y，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025秋•沭阳县月考）计算5x2﹣2x2的结果是（　　） A．7 B．3 C．7x2 D．3x2 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：5x2﹣2x2＝（5﹣2）x2＝3x2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2026•和平区一模）计算x2y﹣2x2y+4yx2的结果为　3x2y ． 【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝x2y﹣2x2y+4x2y＝3x2y． 故答案为：3x2y． 【点评】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的法则是关键． 7．（2025秋•同步）若多项式﹣6x4+3nx2﹣6x2+5合并同类项后是一个四次二项式，则n满足的条件是　2　 ． 【分析】先合并同类项，再根据题意得出3n﹣6＝0，即可求出n的值． 【解答】解：﹣6x4+3nx2﹣6x2+5＝﹣6x4+（3n﹣6）x2+5， ∵多项式﹣6x4+3nx2﹣6x2+5合并同类项后是一个四次二项式， ∴3n﹣6＝0， ∴n＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•环县期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把（x﹣y）2看作一个整体，合并2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+3（x﹣y）2的结果是 　﹣（x﹣y）2 ． 【分析】根据合并同类项法则运算即可． 【解答】解：2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+3（x﹣y）2 ＝（2﹣6+3）（x﹣y）2 ＝﹣（x﹣y）2， 故答案为：﹣（x﹣y）2 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 9．（2024•鼓楼区一模）若a8（a为大于1的整数），则n的值是 　7　 ． 【分析】根据合并同类项法则进行化简后可得a•an＝an+1＝a8，计算出n值即可． 【解答】解：根据题意得：a•an＝an+1＝a8， ∴n+1＝8， ∴n＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键． 10．（2024秋•洞口县期中）若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等，则b﹣a＝ 　﹣6　 ． 【分析】根据题意可得，a＝3+5，b＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等， ∴a＝3+5，b＝2， ∴a＝8， ∴b﹣a＝2﹣8＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x+y； （2）原式x2yxy+xy﹣2x2y x2yxy． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟记该知识点是解题的关键． 12．（2024秋•临沂校级期中）合并同类项： （1）； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1． 【分析】（1）运用加法交换律、加法结合律，结合合并同类项的计算法则计算即可； （2）运用加法交换律、加法结合律，结合合并同类项的计算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1 ＝2x2﹣2x2﹣3xy﹣2xy+5xy+y2+1 ＝y2+1． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟练掌握该知识点是关键． 二．考点2：合并后不含某一项（共8小题） 13．（2024秋•辽宁校级期末）已知多项式﹣4x2+ax+bx2﹣x+5的值与x无关，则（a﹣b）3＝ 　﹣27　 ． 【分析】将多项式合并同类项后，使含x的项的系数为0，求出a，b的值，进而求出代数式的值即可． 【解答】解：﹣4x2+ax+bx2﹣x+5＝（﹣4+b）x2+（a﹣1）x+5， 由条件可知﹣4+b＝0，a﹣1＝0， 解得：a＝1，b＝4， 则原式＝（1﹣4）3＝﹣27， 故答案为：﹣27． 【点评】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2025秋•南海区期中）多项式x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6合并同类项后不含xy项，则k的值是 　1　 ． 【分析】先根据合并同类项法则，把含有xy项的系数相加，根据已知条件，得到关于k的方程，进行解答即可． 【解答】解：x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6 ＝x2+（2﹣2k）xy﹣5y2﹣6， ∵多项式x2﹣2kxy﹣5y2+2xy﹣6合并同类项后不含xy项， ∴2﹣2k＝0， 2k＝2， ∴k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了合并同类项，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 15．（2024秋•阳谷县期末）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则﹣2a+b的值为 　6　 ． 【分析】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2， 由x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，得 a+5＝0，3﹣7﹣b＝0． 解得a＝﹣5，b＝﹣4． ∴﹣2a+b＝﹣2×（﹣5）+（﹣4）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了合并同类项，利用合并后不含三次项，二次项得出含三次项，二次项的系数为零是解题关键． 16．（2024秋•茌平区期末）若关于x，y的代数式的值与字母x的取值无关，则2a﹣b的值为　﹣5　 ． 【分析】先对整式进行化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，即可求出答案． 【解答】解： ， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得， ∴2a﹣b＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查整式的化简，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 17．（2024秋•姑苏区校级期末）若关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关，则a+b的值为 　7　 ． 【分析】根据题意得出a﹣5＝0，﹣2+b＝0进而求出即可． 【解答】解：∵关于x的多项式﹣2x2+ax+bx2﹣5x﹣1的值与x无关， ∴a﹣5＝0，﹣2+b＝0， 解得：a＝5，b＝2， 则a+b＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的系数定义是解题关键． 18．（2024秋•站前区校级期中）下列说法中：①若，则a＞0；②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式的值为2021；④若a+b+c＝0，abc＜0，则的值为﹣1，其中正确的是　①④　 ． 【分析】根据绝对值的意义，两点间的距离公式，以及代数式的求值，逐一进行判断即可． 【解答】解：①若，则a＞0，故①正确； ②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等， 当x＜﹣2时，﹣2﹣x＝6﹣（﹣2），则：x＝﹣10， 当﹣2＜x＜6时，6﹣x＝x﹣（﹣2），则：x＝2， 当x＞6时，x﹣6＝6﹣（﹣2），则x＝14，故②错误； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则：2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x﹣1+x+2011＝2019，故③错误； ④当a+b+c＝0，abc＜0时，则：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，且a，b，c两正一负，不妨设a＞0，b＞0，c＜0， ∴原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1，故④正确； 故答案为：①④． 【点评】本题考查绝对值的意义，两点间的距离，代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2023秋•海阳市期末）关于x，y的代数式axy﹣3x2+2xy+bx2+y中不含二次项，则（a+b）2023＝　1　 ． 【分析】先根据合并同类项法则，把关于x，y的代数式中的同类项进行合并，然后根据代数式不含有二次项，列出关于a，b的方程，求出a，b，再代入求值即可． 【解答】解：axy﹣3x2+2xy+bx2+y ＝bx2﹣3x2+2xy+axy+y ＝（b﹣3）x2+（2+a）xy+y， ∵关于x，y的代数式axy﹣3x2+2xy+bx2+y中不含二次项， ∴b﹣3＝0，2+a＝0， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴（a+b）2023 ＝（﹣2+3）2023 ＝12023 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了同类项，解题关键是熟练掌握同类项定义和合并同类项法则． 20．（2022秋•曾都区校级期中）已知ax2yb﹣bxay5＝cx2y5，且无论x，y取何值该等式恒成立，则c的值等于　﹣3　 ． 【分析】直击利用合并同类项法则得出a，b的值进而得出c的值． 【解答】解：∵ax2yb﹣bxay5＝cx2y5，且无论x，y取何值该等式恒成立， ∴a﹣b＝c，a＝2，b＝5， 解得：c＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键． 三．创新及压轴题（共6小题） 21．（2013秋•历城区期中）有这样一道题，计算（2x4﹣4x3y﹣x2y2）﹣2（x4﹣2x3y﹣y3）+x2y2的值．其中x＝5，y＝﹣1；甲同学把“x＝5”，错抄成“x＝﹣5”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？ 【分析】原式去括号合并得到最简结果与x无关，可得出x的取值对结果没有影响． 【解答】解：∵原式＝2x4﹣4x3y﹣x2y2﹣2x4+4x3y+2y3+x2y2 ＝（2x4﹣2x4）+（﹣4x3y+4x3y）+（﹣x2y2+x2y2）+2y3 ＝2y3 ∴原式化简后为2y3，跟x的取值没有关系．因此不会影响计算结果． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 22．（2025秋•肥城市期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请你应用这样的方法完成下列问题： （1）把x﹣y看成一个整体，化简：5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝　3（x﹣y）　 ； （2）已知x2﹣2x＝1，则2x2﹣4x＝　2　 ； （3）已知a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1，求代数式2a2+7ab﹣6b2的值． 【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将2x2﹣4x化为2（x2﹣2x），再整体代入计算即可； （3）将2a2+7ab﹣6b2化为2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2），再整体代入计算即可． 【解答】解：（1）5（x﹣y）+2（x﹣y）﹣4（x﹣y） ＝（5+2﹣4）（x﹣y） ＝ 3（x﹣y）， 故答案为：3（x﹣y）； （2）∵x2﹣2x＝1， ∴2x2﹣4x＝2（x2﹣2x） ＝2×1 ＝ 2， 故答案为：2； （3）∵a2+2ab＝15，ab﹣2b2＝1， ∴2a2+7ab﹣6b2 ＝2（a2+2ab）+3（ab﹣2b2） ＝2×15+3×1 ＝33． 【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握合并同类项法则是正确解答的关键． 23．（2025秋•宿城区期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，化简5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2＝　2　 （a﹣b）2； （2）运用“整体思想”化简：7（m+n）2﹣6（m+n）2+2（m+n）2． 【分析】（1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可． 【解答】解：（1）5（a﹣b）2+4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2 ＝（5+4﹣7）（a﹣b）2＝2（a﹣b）2 故答案为：2． （2）原式＝（7﹣6+2）（m+n）2 ＝3（m+n）2． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握整体思想求解代数式的值是解题关键． 24．（2025秋•衡阳期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示． 例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时，多项式的值用f（某数）表示． 例如x＝﹣1时，多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，求出f（﹣1）； （2）已知f（x）＝ax3+bx﹣6，当f（2）＝2025，求f（﹣2）的值； （3）已知f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1（a，b为常数），若f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求代数式a2﹣2ab﹣（﹣b）2026的值． 【分析】（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算即可得解； （2）先根据f（2）＝2025求出8a+2b＝2031，再表示出f（﹣2），整体代入计算即可得解； （3）先根据整式的加减运算法则计算得出f（x）﹣2g（x），再结合f（x）﹣2g（x）的值与x的取值无关，求出a、b的值，代入所求代数式即可得解． 【解答】解：（1）将x＝﹣1代入f（x）＝﹣2x2﹣3x+1计算可得： f（﹣1）＝﹣2×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝﹣2+3+1＝2； （2）∵f（x）＝ax3+bx﹣6，且f（2）＝2025， ∴f（2）＝a×23+b×2﹣6＝8a+2b﹣6＝2025， ∴8a+2b＝2031， ∴f（﹣2）＝a×（﹣2）3+b×（﹣2）﹣6＝﹣8a﹣2b﹣6＝﹣（8a+2b）﹣6＝﹣2031﹣6＝﹣2037； （3）∵f（x）＝4x2+ax+b，g（x）＝2bx2﹣3x﹣1， ∴f（x）﹣2g（x） ＝4x2+ax+b﹣2（2bx2﹣3x﹣1） ＝4x2+ax+b﹣4bx2+6x+2 ＝（4﹣4b）x2+（a+6）x+b+2， 由条件可知4﹣4b＝0，a+6＝0， ∴a＝﹣6，b＝1， ∴原式＝（﹣6）2﹣2×（﹣6）×1﹣（﹣1）2026＝36+12﹣1＝47． 【点评】本题考查了求代数式的值，整式的加减，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．（2024秋•郴州期末）我们知道，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是数学中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛． （1）化简：4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2； （2）若A，B＝6x2﹣4x﹣4． ①计算A﹣B； ②如果A﹣B＝10，解关于k的方程4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9． 【分析】（1）将（a﹣b）2作为整体合并即可； （2）①先化简A，再整体代入计算A﹣B即可； ②根据题意，先化简出﹣3x2+2x+7＝10，再整体代入方程，解关于k的方程即可． 【解答】解：（1）4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+3（a﹣b）2＝2（a﹣b）2； （2）A ＝（）（3x2﹣2x+3） ＝3x2﹣2x+3， ①A﹣B＝3x2﹣2x+3﹣（6x2﹣4x﹣4） ＝3x2﹣2x+3﹣6x2+4x+4 ＝﹣3x2+2x+7； ②∵A﹣B＝10， ∴﹣3x2+2x+7＝10， ﹣3x2+2x＝3， ∴4x2﹣4x＝3k﹣2x2+9， 3k＝6x2﹣4x﹣9＝﹣2（﹣3x2+2x）﹣9＝﹣2×3﹣9＝﹣15， ∴k＝﹣5． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握整体思想是关键． 26．（2024秋•珠海校级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22023+22024的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22023+22024① 则2S＝2+22+…+22024+22025② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22025﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝　1023　 ； （2）3+32+33+…+320＝　　 ； （3）求1+a+a2+a3+…+an﹣1的和（a＞1，n是正整数，请写出计算过程，答案用含有a和n的式子表示）． 【分析】（1）设S＝1+2+22+⋯+29①，则2S＝2+22+⋯+210②，②﹣①计算求解即可； （2）设T＝3+32+33+⋯+320①，则3T＝32+33+⋯+321②，②﹣①计算求解即可； （3）设M＝1+a+a2+a3+⋯+an﹣1①，则aM＝a+a2+a3+⋯+an②，②﹣①计算求解即可． 【解答】解：（1）设S＝1+2+22+⋯+29①，则2S＝2+22+⋯+210②， ∴2S﹣S＝S＝210﹣1＝1023， ∴原式＝1023， 故答案为：1023． （2）设T＝3+32+33+⋯+320①，则3T＝32+33+⋯+321②， ∴3T﹣T＝2T＝321﹣3， ∴原式． 故答案为：； （3）设M＝1+a+a2+a3+⋯+an﹣1①，则aM＝a+a2+a3+⋯+an②， ∴aM﹣M＝an﹣1， 解得，， ∴． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，有理数的加法运算是解题的关键． 四．随堂练习（共5小题） 【练习1】（2025秋•红古区期末）若单项式﹣3a4b2n与9amb6可以合并同类项，则的值为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】利用合并同类项的法则计算解答． 【解答】解：∵单项式﹣3a4b2n与9amb6可以合并同类项， ∴m＝4，2n＝6，n＝3， ∴4+3×3＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 【练习2】（2024秋•绍兴期末）下列说法中，正确的个数（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③A，B．C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2； ④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2015的值与x无关，则该代数式的值为2025； ⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值的意义可判断①正确；根据绝对值的意义及有理数的运算法则，分类讨论可判断②正确；根据两点间的距离，分三种情况列方程求解可判断③错误；根据绝对值的性质化简代数式，可知当1≤x≤3时，代数式的值与x无关，据此可判断④错误；根据绝对值的意义及有理数的运算法则，可判断⑤错误． 【解答】解：①若，则，故a＞0，故①正确，符合题意； ②当a＞0时，由|a|＞|b|得：a＞|b|≥0≥﹣|b|＞﹣a， ∴a＞﹣b，a＞b， ∴a+b＞0，a﹣b＞0，则有（a+b）（a﹣b）＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 当a＜0时，由|a|＞|b|得：﹣a＞|b|≥0≥﹣|b|＞a， ∴a＜﹣b，a＜b， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，则有（a+b）（a﹣b）＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 综上可得，（a+b）（a﹣b）是正数，故②正确，符合题意； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x， 由相邻两点的距离相等可知，其中一点是另外两点连线的中点， 若点A是BC的中点，，解得x＝﹣10； 若点B是AC的中点，，解得x＝14； 若点C是AB的中点，，解得x＝2； 综上可得x＝2或﹣10或14，故③错误，不符合题意； ④当1≤x≤3时，2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2015＝2x+9﹣3x+x﹣1+2015＝2023，故④错误，不符合题意； ⑤∵a+b+c＝0，abc＜0， ∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 不妨设a＞0，b＞0，c＜0， ∴ ＝﹣1，故⑤错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算、解绝对值方程、绝对值的性质，解答本题的关键是分类讨论． 【练习3】（2025秋•西山区校级期中）合并同类项m﹣3m+5m﹣7m+9m+…﹣2023m+2025m的结果为（　　） A．1013m B．﹣1012m C．﹣3037m D．无法确定 【分析】m与﹣3m结合，5m与﹣7m结合，依此类推相减结果为﹣2m，得到506个﹣2m，计算即可得到结果． 【解答】解：m﹣3m+5m﹣7m+9m+⋯﹣2023m+2025m ＝（1﹣3）m+（5﹣7）m+⋯+（2021﹣2023）m+2025m ＝﹣2m×506+2025m ＝﹣1012m+2025m ＝1013m， 故选：A． 【点评】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 【练习4】（2022秋•临武县校级月考）把（x﹣1）当作一个整体，合并3（x﹣1）4﹣2（x﹣1）3﹣5（1﹣x）4+4（1﹣x）3的结果是　﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3 ． 【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案． 【解答】解：原式＝﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3． 故答案为：﹣2（x﹣1）4﹣6（x﹣1）3． 【点评】本题考查了合并同类项，把（x﹣1）当作一个整体合并是解题关键． 【练习5】（2015秋•宜昌校级期中）合并同类项 （1）2xy﹣3xy （2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab （3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）] （4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3） 【分析】根据合并同类项逐一计算，即可解答． 【解答】解：（1）2xy﹣3xy ＝﹣xy． （2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab ＝﹣2ab+4a﹣9a+3b+ab ＝﹣ab﹣5a+3b （3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）] ＝3a2﹣（8a﹣4a+7） ＝3a2﹣8a+4a﹣7 ＝3a2﹣4a﹣7 （4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3） ＝15+3﹣3a﹣1+a+a2+1﹣a﹣a2﹣a3 ＝18﹣3a﹣a3． 【点评】本题考查了合并同类项，解决本题的关键是熟记合并同类项． 五．课后巩固（共10小题） 【作业1】（2025秋•灵武市期中）下列各式中计算正确的是（　　） A．3x2﹣x2＝3 B．2x+y＝3xy C．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a2 D．（﹣1）2008＝2008 【分析】根据题意，合并同类项时，系数相加减，字母部分不变；乘方计算时，（﹣1）（﹣1）2008等于1，据此解答． 【解答】解：对于A，3x2﹣x2＝2x2，故A错误； 对于B，2x+y不能再计算，故B错误； 对于C，﹣3a2﹣2a2＝﹣5a2，故C正确； 对于D，（﹣1）2008＝1，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项、有理数的乘方，解决本题的关键是知道合并同类项、乘方计算的方法． 【作业2】（2024秋•长宁县期中）下列说法正确的有（　　） ①若，则a＞0； ②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021； ④代数式6﹣|x+1|﹣|x﹣2|﹣|x+4|最大值是6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值，分式有意义的条件，合并同类项，代数式化简，逐一判断即可． 【解答】解：①∵， ∴a＞0， ∴①正确； ②∵|a|＞|b|， ∴a＞b＞0，或a＞0＞b＞﹣a，或﹣a＞b＞0＞a，或0＞b＞a， ∴当a＞b＞0，（a+b）（a﹣b）＞0， 当a＞0＞b＞﹣a，（a+b）（a﹣b）＞0， 当﹣a＞b＞0＞a，（a+b）（a﹣b）＞0， 当0＞b＞a，（a+b）（a﹣b）＞0， 由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0， ∴②正确； ③若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关， 则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019， 故③错误； ④只有|x+1|＝|x﹣2|＝|x+4|＝0时， 原式有最大值， ∵|x+1|＝|x﹣2|＝|x+4|＝0，x不存在， ∴④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查绝对值，合并同类项，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业3】（2023秋•紫金县期末）已知单项式3am+1b与﹣bn﹣2a3可以合并同类项，则m，n的值分别为（　　） A．2，3 B．2，2 C．3，2 D．3，3 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： m+1＝3，n﹣2＝1， ∴m＝2，n＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 【作业4】（2023春•北碚区校级期末）如果代数式A＝a1x+b1y+c1（a1，b1，c1均为非0常数），B＝a2x+b2y+c2（a2，b2，c2均为非0常数），且满足a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（　　）个． ①若，则（a+b）2023＝﹣1； ②若p，q（p≠q）为常数，pA+qB＝p﹣q，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式2（A﹣B）+kA•B（k为正整数）不含一次项，则c1的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程A＝kc1，B＝tc2（k、t均为常数）有相同的解，则k+t＝0． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据新定义，求出a，b的值，判断①，根据新定义得到B＝﹣A，判断②，将2（A﹣B）+kA•B转化为4A﹣kA2，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到kc1＝tc1，判断④． 【解答】解：若， 则：， ∴b＝2，a＝﹣3， ∴（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1，故①正确； ∵a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣a1，b2＝﹣b1，c2＝﹣c1， ∴B＝a2x+b2y+c2＝﹣a1x﹣b1y﹣c1＝﹣A， ∴pA+qB＝pA﹣qA＝A（p﹣q）＝p﹣q， ∵p，q（p≠q）为常数， ∴A＝1，故②正确； ∵B＝﹣A， ∴2（A﹣B）+kA•B＝4A﹣kA2 ∵代数式2（A﹣B）+kA•B（k为正整数）不含一次项， ∴ ∵a1，b1，c1均为非0常数， ∴kc1＝2， ∴， ∵k为正整数， ∴当k＝1时，c1最大为2，故③正确； ∵A＝kc1，B＝tc2，B＝﹣A，c2＝﹣c1， ∴﹣A＝tc2＝﹣tc1， ∴kc1＝tc1， ∵c1≠0， ∴k＝t， ∴k﹣t＝0，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查整式的运算，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业5】（2023秋•官渡区校级期中）多项式x2﹣kxy+5xy﹣1中不含xy的项，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将多项式合并同类项后，令含xy的项的系数为0，求解即可． 【解答】解：x2﹣kxy+5xy﹣1＝x2+（5﹣k）xy﹣1， ∵多项式x2﹣kxy+5xy﹣1中不含xy的项， ∴5﹣k＝0， ∴k＝5， 故选：C． 【点评】本题考查多项式中不含某一项的问题．解题的关键是将多项式合并同类项后，令该项的系数为0． 【作业6】（2013秋•作业）把（a﹣b）当成一个整体合并同类项：4（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b）+3（a﹣b）2＝　（7a﹣b）2+3（a﹣b）　 ． 【分析】首先归类，把次数相同的，再合并同类项即可． 【解答】解：4（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b）+3（a﹣b）2 ＝4（a﹣b）2+3（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+5（a﹣b） ＝7（a﹣b）2+3（a﹣b）． 【点评】此题考查合并同类项，注意把（a﹣b）当成一个整体，再进一步分类合并即可． 【作业7】（2016秋•东台市期末）已知两个单项式﹣2a2bm+1与na2b4的和为0，则m+n的值是　5　 ． 【分析】由题意可知﹣2a2bm+1与na2b4是同类项，然后由同类项的定义可知m+1＝4，由它们的和为0可知n＝2． 【解答】解：∵单项式﹣2a2bm+1与na2b4的和为0， ∴m+1＝4，n＝2． 解得：m＝3． ∴m+n＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查的是合并同类项，根据题意求得m、n的值是解题的关键． 【作业8】（2013秋•惠山区校级月考）合并同类项． （1）5（2x﹣7y）﹣3（4x﹣10y） （2）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]． 【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝10x﹣35y﹣12x+30y＝﹣2x﹣5y； （2）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y＝3x﹣12y． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业9】（2024秋•单县期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　﹣（x﹣y）2 ； （2）已知a2﹣2b＝1，求﹣2a2+4b+3的值． 【分析】（1）仿照题中给出的方法合并即可； （2）将3﹣2a2+4b变形为3﹣2（a2﹣2b），然后整体代入求值即可． 【解答】解：（1）3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2 ＝（3﹣6+2）（x﹣y）2 ＝﹣（x﹣y）2， 故答案为：﹣（x﹣y）2； （2）∵a2﹣2b＝1， ∴﹣2a2+4b+3 ＝3﹣2a2+4b ＝3﹣2（a2﹣2b） ＝3﹣2×1 ＝3﹣2 ＝1． 【点评】本题考查了合并同类项，整体代入求值思想，理解题意，掌握数学中的整体代入求值思想是解题的关键． 【作业10】（2023秋•冷水滩区期末）（1）若多项式（2x﹣1）a+2a2﹣3x的值与x的取值无关，求a的值； （2）如图1的小长方形，长为a，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为S1，右下角的面积为S2，当AB的长变化时，发现S1﹣3S2的值始终保持不变，请求出a的值． 【分析】（1）把多项式合并同类项得（2a﹣3）x﹣a+2a2，由题意得到2a﹣3＝0，进而可求出a的值； （2）设AB＝x，进而得到S1＝（x﹣4）a，S2＝2（x﹣a），根据S1﹣3S2的值始终保持不变来求解． 【解答】解：（1）原式＝2ax﹣a+2a2﹣3x ＝（2a﹣3）x﹣a+2a2， ∵多项式（2x﹣1）a+2a2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2a﹣3＝0， ∴a＝1.5； （2）设AB＝x， 由题意得：S2＝2（x﹣a），S1＝（x﹣4）a， ∴S1﹣3S2 ＝（x﹣4）a﹣3×2（x﹣a） ＝ax﹣4a﹣6x+6a ＝（a﹣6）x+2a， ∵S1﹣3S2的值始终保持不变， ∴S1﹣3S2的值与x无关， ∴a﹣6＝0， ∴a＝6． 【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，关键是掌握合并同类项的法则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $