专题10.1 整式【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题10.1 整式（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式。 · 掌握单项式的系数和次数的确定方法，能熟练求单项式的系数与次数。 · 理解同类项的概念，能识别同类项，并能运用同类项定义解决参数问题。 · 掌握多项式的项、次数、排列等概念，能确定多项式的项数、次数及各项系数。 · 能综合运用整式相关知识解决数轴动点、新定义等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 单项式的概念 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数（包含符号）。 · 次数：单项式中所有字母的指数之和。 · 注意：分母中含有字母的式子不是单项式（如 。) ※ 典型例题 1 题目：单项式 −  的系数、次数分别是（  ） A. −1，4    B. −，4    C. ，4    D. −，3 解析：系数是数字因数 −；次数为字母指数之和：x 的指数 3，y 的指数 1，共 3+1=4 次。 答案：B ☆ 2. 同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 · 几个常数项也是同类项（如 3 与 −5）。 · 同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。 ※ 典型例题 2 题目：若 2a²bⁿ⁺¹ 与 −2aᵐb² 是同类项，则 m+n 的值为（  ） A. 2    B. 3    C. 1    D. −2 解析：由同类项定义可知 m=2，n+1=2，解得 n=1。 所以 m+n=2+1=3。 答案：B ☆ 3. 整式的概念 定义：单项式和多项式统称为整式。 · 整式的分母中不能含有字母（如 1/x 不是整式）。 · 整式是代数式的一部分，包含加、减、乘、除（除式不含字母）运算。 ※ 典型例题 3 题目：在下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 8y²+2x−1 中，整式的个数为（  ） A. 2    B. 3    C. 4    D. 5 解析：①  是单项式；②  可看作  + ，是多项式；③  是单项式（分母不含字母）；⑥ 8y²+2x−1 是多项式。④和⑤分母含字母，不是整式。 整式共 4 个。 答案：C ☆ 4. 多项式的概念 定义：几个单项式的和叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式。 · 次数：多项式中次数最高的项的次数。 · 项数：多项式所含单项式的个数。 · 按某一字母降幂（或升幂）排列，即按该字母指数从大到小（或从小到大）排列。 ※ 典型例题 4 题目：多项式 2m²n − mn 的项数及次数分别是（  ） A. 2，3    B. 4，3    C. 3，4    D. 3，2 解析：多项式由两项组成：2m²n 和 −mn，项数为 2。 最高次项 2m²n 的次数为 2+1=3，故多项式次数为 3。 答案：A ☑ 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 单项式 数与字母的积，单独一个数或字母也是 分母含字母的式子不是单项式 单项式的系数 单项式中的数字因数（含符号） 系数是带符号的数字 单项式的次数 所有字母的指数之和 不包括系数中的数字指数 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 常数项都是同类项；与系数无关 整式 单项式与多项式统称 分母含字母的不是整式 多项式 几个单项式的和 每个单项式称为一项 多项式的次数 最高次项的次数 不是项数，是最高次项的次数 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】单项式（第1–5题） ※方法总结 · 确定单项式的系数：去掉字母部分，剩下的数字因数（含符号）即为系数。 · 确定单项式的次数：将所有字母的指数相加（注意：π 是数字，不算字母）。 · 单独一个字母的系数为 1 或 −1，次数为 1。 · 单独一个数字的系数是它本身，次数为 0。 1．（2025秋•湘桥区期末）单项式的系数、次数分别是（　　） A．﹣1，4 B．，4 C．，4 D．，3 2．（2025秋•牡丹江期末）在代数式2πxy2，，﹣5，a，x2+2中，单项式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025秋•西城区期末）若单项式是关于x，y的五次单项式，则m+n＝　 　 ． 4．（2025秋•榆林期末）写出一个含x、y的单项式，使其次数是5，且系数是最大的负整数：　 　 ．（写出一个即可） 5．（2016秋•西城区校级期中）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a、﹣2a2、3a3、﹣4a4，　 　 ，　 　 ； （2）试写出第2007个单项式 　 　 ；第2008个单项式 　 　 ； （3）试写出第n个单项式 　 　 ． 【考点2】同类项（第6–10题） ※方法总结 · 判断同类项：一看字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同。 · 同类项与系数大小无关，与字母排列顺序无关。 · 若两个单项式是同类项，则它们所含字母相同且对应指数相等，可据此列方程求参数。 · 常数项（如 3，−5）都是同类项。 6．（2026春•五华区校级期中）若2a2bn+1与﹣2amb2是同类项，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．1 D．﹣2 7．（2026春•浙江期中）已知与﹣πx﹣by2a+b是同类项，那么a，b的值分别是（　　） A． B． C． D． 8．（2026•福州模拟）若2x3ym与﹣5xny2是同类项，则的mn值为　 　 ． 9．（2023秋•蔡甸区校级期中）有下列说法： ①若单项式2a3bm+1与﹣3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8． ②已知a，b，c是不为0的有理数且abc＞0，bc＞0，则的值为﹣4或0． ③已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为． ④如果定义{a，b}，当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时，{a，b}的值为b﹣a． 其中正确的说法是 　 　 .（请填写序号） 10．（2016秋•东平县期末）已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值． 【考点3】整式（第11–16题） ※方法总结 · 判断整式的依据：分母中不能含有字母。 · 单项式与多项式统称为整式，分式（分母含字母）不是整式。 · 多项式相乘时，次数为两个多项式次数之和（若均为关于 x 的整式）。 · 注意区分整式与分式，以及整式的分类。 11．（2025秋•澧县期末）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2025秋•临淄区期末）下列判断中正确的是（　　） A．3a2bc与bca2不是同类项 B．不是整式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．3x2﹣y+5xy2是二次三项式 13．（2025秋•大渡口区校级期中）已知整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0．下列说法： ①若N＝x+2，则M＝x2； ②若a0，a1＝2，…，an互不相等，且M与N次数相同，则满足条件的整式N只有1个； ③若M为二次三项式，N为二次式，满足恒大于0的整式M﹣N共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025秋•浦东新区校级月考）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N（　　） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 15．（2015秋•昌江县校级月考）整式：　 　 和 　 　 统称为整式． 16．（2024秋•嘉定区校级月考）已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值． 【考点4】多项式（第17–25题） ※方法总结 · 多项式的项数：数出其中单项式的个数（注意符号）。 · 多项式的次数：找到次数最高的项，该项的次数即为多项式的次数。 · 按某字母降幂排列：按该字母指数从大到小排列。 · 若多项式不含某一项，则该项的系数为 0，据此可列方程求参数。 · 二次三项式：次数为 2，项数为 3 的多项式。 17．（2026•重庆模拟）已知两个多项式A＝x2+ax+b，B＝x2+2x+c，a，b，c均为正整数，x为实数．下列说法： ①若b＝1，则存在实数x使得A+B＝0； ②若a＝c，关于x的方程A＝B有唯一解，这个解为x＝0； ③若m＝a+1，n＝b+c+1，mn+m+n＝20，则满足条件的多项式B共有4个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．（2025秋•仁化县期末）多项式2m2n﹣mn的项数及次数分别是（　　） A．2，3 B．4，3 C．3，4 D．3，2 19．（2026春•高州市月考）如果规定表示单项式﹣2xy，表示多项式ab﹣cd，则计算的结果是（　　） A．﹣2m3n﹣6mn2 B．﹣6m3n+2mn2 C．﹣2m3n+6mn2 D．﹣6m3n﹣2mn2 20．（2026春•延庆区期中）把多项式6+4x2﹣3x﹣x3按字母x降幂排列为　 　 ． 21．（2025秋•雁塔区校级期末）若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝　 　 ． 22．（2024秋•上海期末）整式的三次项系数是 　 　 ． 23．（2023秋•商南县期末）已知多项式x|m+1|+（m﹣1）x﹣10是关于x的二次三项式，则常数m的值为 　 　 ． 24．（2025秋•礼泉县期中）已知关于x、y的多项式﹣5x2yn+1+xy2﹣3x2﹣n的次数是6，且该多项式与关于x、y的单项式3xn﹣2y的次数相同． （1）求m、n的值； （2）求该多项式中含有字母x的各项系数的和． 25．（2025秋•达州期中）已知（a﹣7）x3+28x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，则它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示1cm，则 ①由此可得到木棒长为　 　 cm； ②图中C点表示的数是　 　 ，D点表示的数是　 　 ； （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【考点5】创新及压轴题（第26–29题） ※方法总结 · 理解新定义（如“强同类项”“轮换式”），将新定义转化为已学知识。 · 数轴动点问题：用含 t 的代数式表示各点位置，再计算距离。 · 整体代入法：将已知条件整体代入所求代数式，简化计算。 · 分类讨论：对于绝对值、参数范围等问题，需要分情况讨论。 · 综合运用整式、同类项、数轴等知识，提升代数推理与建模能力。 26．（2024秋•邛崃市校级期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：﹣x3y4与2x4y3是“强同类项”． （1）给出下列四个单项式：①5x2y5，②﹣x5y5，③4x4y4，④﹣2x3y6．其中与x4y5 是“强同类项”的是 　 　 （填写序号）； （2）若x3y4zm﹣2与﹣2x2y3z6是“强同类项”，求m的值； （3）若C为关于x、y的多项式，C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn，当C的任意两项都是“强同类项”，求n的值； （4）已知2a2bs、3atb4均为关于a，b的单项式，其中s＝|x﹣1|+k，t＝2k，如果2a2bs、3atb4是“强同类项”，那么x的最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ． 27．（2025秋•通州区校级期中）定义：关于x的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“轮换式”．例如，式子3x+4与4x+3互为“轮换式”． （1）判断式子﹣5x+2与﹣2x+5　 　 （填“是”或“不是”）互为“轮换式”． （2）已知式子ax+b的“轮换式”是3x﹣4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B． ①数a＝　 　 ，b＝　 　 ． ②数轴上有一点P到A，B两点的距离的和PA+PB＝11，求点P在数轴上所对应的数． ③数轴上存在唯一的点M，使得点M到A、B两点的距离的差MA﹣MB＝m，则m的取值范围是　 　 ．（直接写出结果） 28．（2022春•田东县期中）已知：多项式x2﹣（3k﹣1）xy﹣3y2+3mxy﹣8中不含xy项．求8k+1×4÷23m+2的值． 29．（2025秋•青羊区校级期中）符号f表示一种新运算，运算示例如下： f（﹣2）＝﹣2﹣1＝﹣3，f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝1﹣1＝0，… 符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，… 利用以上新运算，完成下列问题： （1）分别求f（10）、g（﹣10）的值； （2）用含x的代数式表示f（x）与g（x），并比较﹣f（x）与的大小； （3）若多项式2m|x|+（x﹣2）m+5是关于m的二次三项式，关于a，b代数式﹣3a4b与9ayb是同类项，先化简，再求值：． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同类项判断 练习2：单项式与多项式概念 练习3：不含 xy 项 练习4：不含二次项 练习5：多项式排列 练习6：二次三项式 【练习1】（2025秋•应县期末）如果单项式﹣3xym与﹣xny2是同类项，那么m+n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【练习2】（2025秋•江苏期末）下列说法：①多项式2x2+xy2+3是二次三项式；②单项式﹣5πxy2的系数是﹣5π；③5是单项式；④是多项式．其中正确的有（　　） A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【练习3】（2025秋•江都区期末）当k＝ 　 　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项． 【练习4】（2024秋•鄂伦春自治旗期末）若关于x、y的多项式x2y﹣7mxyy3+6xy化简后不含二次项，则m＝　 　 ． 【练习5】（2024秋•城关区校级期中）将多项式x3y3﹣4xy4+x4y+y4x2y2先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少． 【练习6】（2017秋•蔡甸区校级期中）已知有理数a和b满足多项式A，且A＝（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b（b≠﹣2）是关于x的二次三项式，求（a﹣b）2的值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：三次三项式 作业2：整式相关概念 作业3：同类项与多项式 作业4：不含 x²y 项 作业5：值与 x 无关 作业6：多项式识别 作业7：整式识别 作业8：数轴与整式 作业9：同类项与负倒数 作业10：二次二项式 作业11：五次四项式作业12：数轴与整式综合 ❤ 复习建议 夯实基础概念：准确区分单项式、多项式、整式，牢记系数与次数的求法，尤其注意 π 是数字不是字母。 同类项是核心工具：识别同类项时，先看字母是否相同，再看对应指数是否相等；常数项都是同类项。 多项式次数易错点：多项式的次数是“最高次项的次数”，不是项数；不含某项时，该项系数为 0。 整式与分式的界限：分母含字母的式子不是整式，这是判断整式的关键依据。 综合题策略：对于新定义和数轴动点问题，先理解规则，再用代数式表示，最后分类讨论或整体代入求解。 【作业1】（2026春•青秀区校级同步）已知m为有理数，若多项式4x2y|m|﹣1﹣y2+m是三次三项式，则该多项式的常数项为（　　） A．0或2 B．±2 C．±1 D．0 【作业2】（2025秋•前郭县期末）下列结论中，正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是2 B．多项式2x2+x2y+3是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．﹣xyz2单项式的系数为﹣1，次数是4 【作业3】（2025秋•柯桥区期末）下列说法中，错误的是（　　） A．3a2bc与﹣bca2是同类项 B．3x2﹣y+5xy2是三次三项式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．是二次单项式 【作业4】（2024秋•江北区期末）当m＝　 　 时，多项式x3+mx2y+x2y2﹣4x2y﹣y3+3中不含x2y项． 【作业5】（2025春•赣榆区期中）若关于x的多项式m（x﹣4）+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　 　 ． 【作业6】（2024秋•萧县期中）下列式子：2ab，3x﹣2y，，﹣m，，其中多项式有 　 　 个． 【作业7】（2024秋•同步）下列各式中，哪些是多项式？哪些是整式？ ab﹣c，ax2+bx+c，﹣5，﹣3πxy，，，，． 思考1：单项式和多项式都是 　 　 ． 思考2：根据单项式、多项式、整式的概念，知题目中 　 　 不是整式． 思考3：多项式是几个单项式的 　 　 ． 　 　 （填“是”或“不是”）多项式，可以变形为 　 　 ． 【作业8】（2024秋•沐川县期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式的次数为c． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）若点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点D之间的距离表示为BD，请在数轴上找一点D，使BD＝2AD，则点D表示的数是 　 　 ； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【作业9】（2007秋•北京校级期中）如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求n﹣mn﹣m的值． 【作业10】（2025秋•丰泽区校级期中）已知，有理数a，b在数轴上所对应的点分别是A，B两点，且a，b满足：多项式是关于x的二次二项式； （1）请直接写出a、b的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）若数轴上点A、B之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简|y|+2|y﹣5|+|y+2|． 【作业11】（2024秋•大荔县期中）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式4x2y3z的系数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 【作业12】（2024秋•遵义期中）【问题提出】 已知a是单项式﹣2xy2的系数，b是非正非负的整数，c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． （1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C的位置； 【问题探究】 （2）若点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x，请化简式子|x+2|﹣|x﹣1|+|x﹣6|； 【问题解决】 （3）若点M从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点N从点B处以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点C处以每秒5个单位长度的速度向右运动，则点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化．请说明理由；若不变，请求其值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 整式（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确判断一个代数式是否为整式。 · 掌握单项式的系数和次数的确定方法，能熟练求单项式的系数与次数。 · 理解同类项的概念，能识别同类项，并能运用同类项定义解决参数问题。 · 掌握多项式的项、次数、排列等概念，能确定多项式的项数、次数及各项系数。 · 能综合运用整式相关知识解决数轴动点、新定义等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 单项式的概念 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数（包含符号）。 · 次数：单项式中所有字母的指数之和。 · 注意：分母中含有字母的式子不是单项式（如 。) ※ 典型例题 1 题目：单项式 −  的系数、次数分别是（  ） A. −1，4    B. −，4    C. ，4    D. −，3 解析：系数是数字因数 −；次数为字母指数之和：x 的指数 3，y 的指数 1，共 3+1=4 次。 答案：B ☆ 2. 同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 · 几个常数项也是同类项（如 3 与 −5）。 · 同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。 ※ 典型例题 2 题目：若 2a²bⁿ⁺¹ 与 −2aᵐb² 是同类项，则 m+n 的值为（  ） A. 2    B. 3    C. 1    D. −2 解析：由同类项定义可知 m=2，n+1=2，解得 n=1。 所以 m+n=2+1=3。 答案：B ☆ 3. 整式的概念 定义：单项式和多项式统称为整式。 · 整式的分母中不能含有字母（如 1/x 不是整式）。 · 整式是代数式的一部分，包含加、减、乘、除（除式不含字母）运算。 ※ 典型例题 3 题目：在下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 8y²+2x−1 中，整式的个数为（  ） A. 2    B. 3    C. 4    D. 5 解析：①  是单项式；②  可看作  + ，是多项式；③  是单项式（分母不含字母）；⑥ 8y²+2x−1 是多项式。④和⑤分母含字母，不是整式。 整式共 4 个。 答案：C ☆ 4. 多项式的概念 定义：几个单项式的和叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式。 · 次数：多项式中次数最高的项的次数。 · 项数：多项式所含单项式的个数。 · 按某一字母降幂（或升幂）排列，即按该字母指数从大到小（或从小到大）排列。 ※ 典型例题 4 题目：多项式 2m²n − mn 的项数及次数分别是（  ） A. 2，3    B. 4，3    C. 3，4    D. 3，2 解析：多项式由两项组成：2m²n 和 −mn，项数为 2。 最高次项 2m²n 的次数为 2+1=3，故多项式次数为 3。 答案：A ☑ 知识总结表 核心概念 定义 注意事项 单项式 数与字母的积，单独一个数或字母也是 分母含字母的式子不是单项式 单项式的系数 单项式中的数字因数（含符号） 系数是带符号的数字 单项式的次数 所有字母的指数之和 不包括系数中的数字指数 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 常数项都是同类项；与系数无关 整式 单项式与多项式统称 分母含字母的不是整式 多项式 几个单项式的和 每个单项式称为一项 多项式的次数 最高次项的次数 不是项数，是最高次项的次数 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】单项式（第1–5题） ※方法总结 · 确定单项式的系数：去掉字母部分，剩下的数字因数（含符号）即为系数。 · 确定单项式的次数：将所有字母的指数相加（注意：π 是数字，不算字母）。 · 单独一个字母的系数为 1 或 −1，次数为 1。 · 单独一个数字的系数是它本身，次数为 0。 1．（2025秋•湘桥区期末）单项式的系数、次数分别是（　　） A．﹣1，4 B．，4 C．，4 D．，3 【分析】直接利用单项式的系数与次数定义得出答案． 【解答】解：单项式的系数和次数分别是：，4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（2025秋•牡丹江期末）在代数式2πxy2，，﹣5，a，x2+2中，单项式有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子2πxy2，﹣5，a，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子x2+2是多项式． 故单项式有3个． 故选：B． 【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 3．（2025秋•西城区期末）若单项式是关于x，y的五次单项式，则m+n＝　5　 ． 【分析】单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，由此计算即可． 【解答】解：若单项式是关于x，y的五次单项式， 则m+n＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 4．（2025秋•榆林期末）写出一个含x、y的单项式，使其次数是5，且系数是最大的负整数：　﹣x2y3（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】根据题意，系数是最大的负整数，即﹣1；次数为5，即x和y的指数之和为5． 【解答】解：写出一个含x、y的单项式，使其次数是5，且系数是最大的负整数， ∵最大的负整数是﹣1，系数是最大的负整数， ∴系数为﹣1， ∵次数是5，单项式的次数是所有字母的指数之和， 设x的指数为a，y的指数为b， 则a+b＝5， ∴当a＝2，b＝3时，单项式为﹣x2y3． 故答案为：﹣x2y3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了单项式的系数、次数，掌握相关知识是解题的关键， 5．（2016秋•西城区校级期中）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a、﹣2a2、3a3、﹣4a4，　5a5 ，　﹣6a6 ； （2）试写出第2007个单项式 　2007a2007 ；第2008个单项式 　﹣2008a2008 ； （3）试写出第n个单项式 　（﹣1）n+1nan ． 【分析】（1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，x的指数为n的值； （2）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，x的指数为n的值； （3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，x的指数为n的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）a、﹣2a2、3a3、﹣4a4，5a5，﹣6a6； 故答案为：5a5，﹣6a6； （2）第2007个单项式：2007a2007；第2008个单项式：﹣2008a2008； 故答案为：2007a2007；﹣2008a2008； （3）第n个单项式的系数为：n×（﹣1）n+1，次数为n， 故第n个单项式为：（﹣1）n+1nan． 故答案为：（﹣1）n+1nan． 【点评】此题考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【考点2】同类项（第6–10题） ※方法总结 · 判断同类项：一看字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同。 · 同类项与系数大小无关，与字母排列顺序无关。 · 若两个单项式是同类项，则它们所含字母相同且对应指数相等，可据此列方程求参数。 · 常数项（如 3，−5）都是同类项。 6．（2026春•五华区校级期中）若2a2bn+1与﹣2amb2是同类项，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．1 D．﹣2 【分析】两个单项式，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，这样的两个单项式称为同类项，据此解题． 【解答】解：由条件可知m＝2，n+1＝2， ∴m＝2，n＝1， ∴m+n＝3． 故选：B． 【点评】本题考查同类项的定义．熟练掌握该知识点是关键． 7．（2026春•浙江期中）已知与﹣πx﹣by2a+b是同类项，那么a，b的值分别是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知a﹣1＝﹣b，2a+b＝3， 解得a＝2，b＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 8．（2026•福州模拟）若2x3ym与﹣5xny2是同类项，则的mn值为　8　 ． 【分析】同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式，根据概念可得m、n的值，由有理数的乘方，可得答案． 【解答】解：由条件可知m＝2，n＝3， ∴mn＝23＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了同类项的含义，求解代数式的值，掌握同类项概念得到m、n的值是解题关键． 9．（2023秋•蔡甸区校级期中）有下列说法： ①若单项式2a3bm+1与﹣3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8． ②已知a，b，c是不为0的有理数且abc＞0，bc＞0，则的值为﹣4或0． ③已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为． ④如果定义{a，b}，当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时，{a，b}的值为b﹣a． 其中正确的说法是 　①②④　 .（请填写序号） 【分析】①由同类项的概念求出m，n，从而可求出（﹣m）n ②由题意可判断a＞0，分b＞0，c＞0和b＜0，c＜0两种情况去掉所求问题中的绝对值号，从而可求值． ③分a＜b，a≥b两种情况去掉绝对值号，将已知式子整理变形，即可求出的值． ④由ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|判断a和b的大小关系，结合新定义即可求出{a，b}． 【解答】解：①由题意知， ， 解得， 则（﹣m）n＝（﹣2）3＝﹣8，①正确； ②因为abc＞0，bc＞0， 所以a＞0且b，c同号； 当b，c均为负数时， 4； 当b，c均为正数时， 原式＝1+1+1﹣3＝0，②正确． ③当a＜b时， b﹣a＝4a﹣3b， 整理得5a＝4b，即4/5，③错误； ④当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时， 则a＜0＜b， 所以{a，b}的值为b﹣a，④正确． 故答案为①②④． 【点评】本题考查了同类项的定义、有理数乘法的法则、绝对值的相关运算．本题的关键是分类讨论去掉绝对值号进行求解． 10．（2016秋•东平县期末）已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值． 【分析】首先依据绝对值的性质可得到m＝0，然后依据同类项的定义得到x、y的值代入代数化简，求值即可． 【解答】解：∵m是绝对值最小的有理数， ∴m＝0． ∵﹣2a2by+1与3axb3是同类项， ∴x＝2，y＝2 将m＝0、x＝2，y＝2代入得： 原式＝2×22﹣3×2×2+6×22﹣0+0﹣0＝20． 【点评】本题主要考查的是同类项的定义，依据同类项的定义和绝对值的性质求得m、x、y的值是解题的关键． 【考点3】整式（第11–16题） ※方法总结 · 判断整式的依据：分母中不能含有字母。 · 单项式与多项式统称为整式，分式（分母含字母）不是整式。 · 多项式相乘时，次数为两个多项式次数之和（若均为关于 x 的整式）。 · 注意区分整式与分式，以及整式的分类。 11．（2025秋•澧县期末）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，，，8y2+2x﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 12．（2025秋•临淄区期末）下列判断中正确的是（　　） A．3a2bc与bca2不是同类项 B．不是整式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．3x2﹣y+5xy2是二次三项式 【分析】根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念分析判断． 【解答】解：A、3a2bc与bca2是同类项，故错误； B、是整式，故错； C、单项式﹣x3y2的系数是﹣1，正确； D、3x2﹣y+5xy2是3次3项式，故错误． 故选：C． 【点评】主要考查了整式的有关概念．并能掌握同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的确定方法． 13．（2025秋•大渡口区校级期中）已知整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0．下列说法： ①若N＝x+2，则M＝x2； ②若a0，a1＝2，…，an互不相等，且M与N次数相同，则满足条件的整式N只有1个； ③若M为二次三项式，N为二次式，满足恒大于0的整式M﹣N共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①由N＝x+2的结构分析M的系数，判断是否成立；②根据a0到an互不相等且次数相同，推导N的唯一性；③枚举M为二次三项式且N为二次式时，M﹣N恒正的情况，验证个数． 【解答】解：整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0，则： ①当N＝x+2时，N由x1和两个x0项组成，即N＝x1+x0+x0． 只有对应的M系数需满足a0＝0（对应x0项）、a1＝0（另一x0项）、a2＝1（对应x1项）时．时M＝0+0•x+1•x2＝x2，故①正确． ②若a0到an互不相等且M与N次数相同，则M的次数n＝max{a0，a1，…，an}．由于an是正整数且互不相等，唯一可能的结构是a0，a1，…，an为0，1，…，n的排列，此时N＝xn+xn﹣1+⋯+x0，唯一确定．故②正确． ③M为二次三项式，即a0，a1，a2≥1且a2≥1．N为二次式要求max{a0，a1，a2}＝2．需M﹣N恒正： M＝1+2x+x2时，N＝x2+2x，M﹣N＝1＞0； M＝1+x+2x2时，N＝x2+2x，（恒正）； M＝2+x+2x2时，N＝2x2+x，M﹣N＝2＞0． 共3种情况，但题目称有2个，故③错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． 14．（2025秋•浦东新区校级月考）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N（　　） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可进行求解． 【解答】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N一定是关于x的（7+5）＝12次整式； 故选：A． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 15．（2015秋•昌江县校级月考）整式：　单项式　 和 　多项式　 统称为整式． 【分析】根据整式的定义，可得答案． 【解答】解：单项式和多项式统称为整式， 故答案为：单项式，多项式． 【点评】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式． 16．（2024秋•嘉定区校级月考）已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值． 【分析】根据绝对值的定义计算． 【解答】解：|n﹣1|＝1，且n﹣2≠0， ∴n＝0， 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【考点4】多项式（第17–25题） ※方法总结 · 多项式的项数：数出其中单项式的个数（注意符号）。 · 多项式的次数：找到次数最高的项，该项的次数即为多项式的次数。 · 按某字母降幂排列：按该字母指数从大到小排列。 · 若多项式不含某一项，则该项的系数为 0，据此可列方程求参数。 · 二次三项式：次数为 2，项数为 3 的多项式。 17．（2026•重庆模拟）已知两个多项式A＝x2+ax+b，B＝x2+2x+c，a，b，c均为正整数，x为实数．下列说法： ①若b＝1，则存在实数x使得A+B＝0； ②若a＝c，关于x的方程A＝B有唯一解，这个解为x＝0； ③若m＝a+1，n＝b+c+1，mn+m+n＝20，则满足条件的多项式B共有4个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，逐一判断即可得到正确个数． 【解答】解：分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解逐项分析判断如下： ①根据题意得：A+B＝x2+ax+b+x2+2x+c＝2x2+（a+2）x+（b+c）， 当b＝1时，A+B＝2x2+（a+2）x+（1+c）， 若存在实数x使A+B＝0，需判别式Δ≥0， Δ＝（a+2）2﹣4×2×（1+c）＝（a+2）2﹣8（1+c）， 取正整数a＝1，c＝1，得Δ＝32﹣8×2＝﹣7＜0，此时不存在满足条件的x，故①错误，不符合题意； ②当a＝c时，整理方程A＝B得：x2+ax+b＝x2+2x+c⇒（a﹣2）x＝a﹣b， 若方程有唯一解，则a﹣2≠0，此时，仅当a＝b时x＝0，不是所有情况都满足，例如a＝3，c＝3，b＝1 时，x＝2≠0，故②错误，不符合题意； ③对等式mn+m+n＝20，变形因式分解得：mn+m+n+1＝21⇒（m+1）（n+1）＝21， ∵a，b，c均为正整数，∴m＝a+1≥2，n＝b+c+1≥3，即m+1≥3，n+1≥4， 21的正整数分解中符合条件的只有m+1＝3，n+1＝7： 可得m＝2⇒a＝1，n＝6⇒b+c+1＝6⇒b+c＝5， b，c为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式B＝x2+2x+c，故③正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握该知识点是关键． 18．（2025秋•仁化县期末）多项式2m2n﹣mn的项数及次数分别是（　　） A．2，3 B．4，3 C．3，4 D．3，2 【分析】多项式的项数是指组成多项式的单项式的个数；多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数． 【解答】解：根据多项式的项数与次数的定义可知： 多项式2m2n﹣mn项数为2； 其中最高次项为2m2n，它的次数为2+1＝3，故多项式的次数为3； 故选：A． 【点评】本题考查了多项式的项数与次数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026春•高州市月考）如果规定表示单项式﹣2xy，表示多项式ab﹣cd，则计算的结果是（　　） A．﹣2m3n﹣6mn2 B．﹣6m3n+2mn2 C．﹣2m3n+6mn2 D．﹣6m3n﹣2mn2 【分析】先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【解答】解：根据题意把三角形内的字母m、n代入，得：﹣2mn， 矩形表示多项式ab﹣cd，因此对矩形计算得：m2×1﹣n×3＝m2﹣3n， 将两个结果相乘并展开得﹣2mn×（m2﹣3n）＝﹣2m3n+6mn2， 综上，计算结果为﹣2m3n+6mn2． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握新定义和单项式乘多项式法则计算是关键． 20．（2026春•延庆区期中）把多项式6+4x2﹣3x﹣x3按字母x降幂排列为　﹣x3+4x2﹣3x+6　 ． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：多项式6+4x2﹣3x﹣x3 按字母x的降幂排列：﹣x3+4x2﹣3x+6， 故答案为：﹣x3+4x2﹣3x+6． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 21．（2025秋•雁塔区校级期末）若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝　3　 ． 【分析】将含xy的项进行合并，然后令其系数为0即可求出k的值． 【解答】解：x2+（6﹣2k）xy+y2﹣6 令6﹣2k＝0， k＝3 故答案为：3 【点评】本题考查多项式的概念，涉及一元一次方程的解法． 22．（2024秋•上海期末）整式的三次项系数是 　　 ． 【分析】依题意，先把多项式整理写出每项，结合多项式的定义求解即可． 【解答】解：依题意，原式可华为：xyx2yx+2， 可得三次项为：x2y， 可得三次项系数为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式的定义，做题的关键正确理解多项式的项和系数的定义． 23．（2023秋•商南县期末）已知多项式x|m+1|+（m﹣1）x﹣10是关于x的二次三项式，则常数m的值为 　﹣3　 ． 【分析】根据多项式是关于x的二次三项式，则|m+1|＝2，m﹣1≠0，求出m的值，即可． 【解答】解：∵多项式x|m+1|+（m﹣1）x﹣10是关于x的二次三项式， ∴|m+1|＝2且m﹣1≠0， ∴①当m+1＝2时，解得：m＝1； 当m+1＝﹣2时，解得：m＝﹣3； ∵m≠1， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，绝对值的运用． 24．（2025秋•礼泉县期中）已知关于x、y的多项式﹣5x2yn+1+xy2﹣3x2﹣n的次数是6，且该多项式与关于x、y的单项式3xn﹣2y的次数相同． （1）求m、n的值； （2）求该多项式中含有字母x的各项系数的和． 【分析】（1）利用多项式的次数的意义列方程解答即可； （2）利用多项式的系数的意义解答即可． 【解答】解：（1）∵关于x、y的多项式﹣5x2yn+1+xy2﹣3x2﹣n的次数是6， ∴2+n+1＝6， ∴n＝3． ∵关于x、y的单项式3xn﹣2y的次数为6， ∴n﹣2m＝6， ∴3﹣2m＝6， ∴m＝10． （2）由题意得：关于x、y的多项式﹣5x2yn+1+xy2﹣3x2﹣n为﹣5x2y4+xy2﹣3x2﹣3． ∴该多项式中含有字母x的各项系数为：﹣5，1，﹣3， ∴该多项式中含有字母x的各项系数的和＝﹣5+1﹣3＝﹣7． 【点评】本题主要考查了多项式的次数与系数，有理数的加法，熟练掌握多项式的次数与系数的意义是解题的关键． 25．（2025秋•达州期中）已知（a﹣7）x3+28x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）a＝　7　 ，b＝　28　 ； （2）如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，则它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示1cm，则 ①由此可得到木棒长为　7　 cm； ②图中C点表示的数是　14　 ，D点表示的数是　21　 ； （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【分析】（1）根据题意直接得出答案； （2）由已知可得，AC＝CD＝DB，再根据两点之间的距离公式即可得出答案； ②根据点的移动特点即可得出答案； （3）建立年龄数轴，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得，a﹣7＝0，b＝28， 则a＝7． 故答案为：7；28． （2）①由已知可得，AC＝CD＝DB， ∵A点表示的数是7，B点表示的数为28， ∴AB＝28﹣7＝21， ∴AC＝CD＝DB＝7， ∴木棒的长度为7cm． 故答案为：7； ②∵7+7＝14， ∴点C表示的数是14， ∵28﹣7＝21， ∴点D表示的数是21． 故答案为：14，21． （3）如图所示： 设小红现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C， 则当点C移动到点B时，点B移动到了点A， 当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∴AB＝BC＝CD， ∴AB＝BC＝CD＝[117﹣（﹣39）]÷3＝52， ∴C点对应的数为117﹣52＝65， ∴爷爷现在的年龄是65岁． 【点评】本题主要考查线段的和差和多项式，熟练掌握两点之间的距离求法是解题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第26–29题） ※方法总结 · 理解新定义（如“强同类项”“轮换式”），将新定义转化为已学知识。 · 数轴动点问题：用含 t 的代数式表示各点位置，再计算距离。 · 整体代入法：将已知条件整体代入所求代数式，简化计算。 · 分类讨论：对于绝对值、参数范围等问题，需要分情况讨论。 · 综合运用整式、同类项、数轴等知识，提升代数推理与建模能力。 26．（2024秋•邛崃市校级期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：﹣x3y4与2x4y3是“强同类项”． （1）给出下列四个单项式：①5x2y5，②﹣x5y5，③4x4y4，④﹣2x3y6．其中与x4y5 是“强同类项”的是 　②③④　 （填写序号）； （2）若x3y4zm﹣2与﹣2x2y3z6是“强同类项”，求m的值； （3）若C为关于x、y的多项式，C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn，当C的任意两项都是“强同类项”，求n的值； （4）已知2a2bs、3atb4均为关于a，b的单项式，其中s＝|x﹣1|+k，t＝2k，如果2a2bs、3atb4是“强同类项”，那么x的最大值是 　　 ，最小值是 　　 ． 【分析】（1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值； （3）根据“强同类项”的概念即可确定n的值； （4）根据“强同类项”的概念确定s，t的值，根据s＝|x﹣1|+k，t＝2k，确定x与s，k的关系，再判断出x最大，最小时s，k的取值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵2﹣4＝﹣2， ∴①5x2y5与x4y5不是“强同类项”， ∵5﹣4＝1，5﹣5＝0， ∴②﹣x5y5与x4y5是“强同类项”， ∵4﹣4＝0，4﹣5＝﹣1， ∴③4x4y4与x4y5是“强同类项”， ∵3﹣4＝﹣1，6﹣5＝1， ∴④﹣2x3y6与x4y5是“强同类项”， ∴②③④与x4y5是“强同类项”， 故答案为：②③④； （2）∵x3y4zm﹣2与﹣2x2y3z6是“强同类项”， ∴m﹣2＝5，6，7， ∴m＝7，8，9； （3）∵C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn，当C的任意两项都是“强同类项”， （n﹣5）x5y6与3x4y5一定是强同类项， 当（n﹣5）x5y6和﹣7x4yn是强同类项时，n＝5、6、7， 当3x4y5和﹣7x4yn是强同类项时 n＝4、5、6， 又（n﹣5）x5y6的系数n﹣5≠0，即n≠5， ∴n＝6； （4）∵2a2bs、3atb4是“强同类项”， ∴s＝3、4、5，t＝1、2、3， ∵t＝2k， ∴k、1、， ∵s＝|x﹣1|+k， ∴|x﹣1|＝s﹣k， 当s取最大，k取最小值时，|x﹣1|取得最大值，此时x有最大值和最小值， 即当s＝5，k时，|x﹣1|＝s﹣k＝5， 解得x或， ∴x的最大值为，x的最小值为． 故答案为：，． 【点评】本题考查新定义，绝对值，单项式，理解新定义是解题的关键． 27．（2025秋•通州区校级期中）定义：关于x的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“轮换式”．例如，式子3x+4与4x+3互为“轮换式”． （1）判断式子﹣5x+2与﹣2x+5　不是　 （填“是”或“不是”）互为“轮换式”． （2）已知式子ax+b的“轮换式”是3x﹣4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B． ①数a＝　﹣4　 ，b＝　3　 ． ②数轴上有一点P到A，B两点的距离的和PA+PB＝11，求点P在数轴上所对应的数． ③数轴上存在唯一的点M，使得点M到A、B两点的距离的差MA﹣MB＝m，则m的取值范围是　﹣7＜m＜7　 ．（直接写出结果） 【分析】（1）根据定义的特征：任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，（2）① 分三种情况：当P点在A作左边时，当P点在A、B之间时，当P点在B点右边时， 由线段和差关系求得PA或PB的值，进而得P点表示的数；②设A点运动的速度为x个单位/秒，分两种情况（点A在原点左边，点A在原点右边）分别列出方程进行解答；③若MA﹣MB＝AB＝7时，则这样的M点有无数个，点B和点B右边的点都满足这个条件， 若要数轴上存在唯一点M，使得点M到A、B两点的距离的差MA﹣MB＝m，则M必在AB的中点与B之间，包括中点，不包括B点，根据MB的取值范围，便可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵﹣5x+2与﹣2x+5的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项，∴它们不互为“轮换式”，故答案为：不是；（2）①∵式子ax+b的“轮换式”是3x﹣4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B， a＝﹣4，b＝3； 故答案为：﹣4，3； ②∵PA+PB＝11，∴当P点在A点左边时，有PA+PA+AB＝11，即2PA+7＝11，则PA＝2，于是P为﹣4﹣2＝﹣6；当P点在A、B之间时，有PA+PB＝AB＝7≠11，无解；当P点在B点右边时，有2PB+AB＝11，则PB＝2，于是P为3+2＝5，综上，点P在数轴上所对应的数是﹣6或5；③由题意可知，当M点在AB上，（不包括A，B点），则存在唯一一点M，可得﹣7＜m＜7，故答案为：﹣7＜m＜7． 【点评】本题主要考查了新定义，数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解新定义，把新的知识转化为常规知识进行解答． 28．（2022春•田东县期中）已知：多项式x2﹣（3k﹣1）xy﹣3y2+3mxy﹣8中不含xy项．求8k+1×4÷23m+2的值． 【分析】首先根据xy项的系数为0，求出k与m的关系式，然后将所求代数式改写为2的幂的形式，再把k与m的关系式代入即可． 【解答】解：由题意，可知﹣（3k﹣1）+3m＝0， ∴3k﹣3m＝1． ∴8k+1×4÷23m+2＝（23）k+1×22÷23m+2＝23k+3+2﹣3m﹣2＝23k﹣3m+3＝21+3＝16． 【点评】本题主要考查了求代数式的值的方法．多项式中不含xy项，即xy项的系数为0，据此得出3k﹣3m＝1，再将其整体代入求值． 29．（2025秋•青羊区校级期中）符号f表示一种新运算，运算示例如下： f（﹣2）＝﹣2﹣1＝﹣3，f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝1﹣1＝0，… 符号g表示另一种新运算，运算示例如下： ，，，，… 利用以上新运算，完成下列问题： （1）分别求f（10）、g（﹣10）的值； （2）用含x的代数式表示f（x）与g（x），并比较﹣f（x）与的大小； （3）若多项式2m|x|+（x﹣2）m+5是关于m的二次三项式，关于a，b代数式﹣3a4b与9ayb是同类项，先化简，再求值：． 【分析】（1）根据新运算f（x），g（x）的定义进行计算即可； （2）用“作差法”计算较﹣f（x）的结果，根据结果的符号确定大小； （3）根据二次三项式，同类项的定义求出x、y的值，再根据新运算f（x），g（x）的定义将所求的代数式化简后，代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，f（10）＝10﹣1＝9，g（﹣10）； （2）由题意得，f（x）＝x﹣1，g（x）， ∵﹣f（x）1﹣x1﹣x+x＝1＞0， ∴﹣f（x）； （3）∵多项式2m|x|+（x﹣2）m+5是关于m的二次三项式， ∴|x|＝2，且x﹣2≠0， ∴x＝﹣2， 又∵关于a，b代数式﹣3a4b与9ayb是同类项， ∴y＝4， ∴：． ＝x2﹣1﹣2（xy﹣y2﹣1）+xy﹣x2+3（2﹣y2） ＝x2﹣1﹣2xy+2y2+2+xy﹣x2+6﹣3y2 ＝7﹣xy﹣y2 ＝7﹣（﹣2）×4﹣42 ＝7+8﹣16 ＝﹣1． 【点评】本题考查同类项、多项式的定义以及有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的方法以及同类项的定义是正确解答的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同类项判断 练习2：单项式与多项式概念 练习3：不含 xy 项 练习4：不含二次项 练习5：多项式排列 练习6：二次三项式 【练习1】（2025秋•应县期末）如果单项式﹣3xym与﹣xny2是同类项，那么m+n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据同类项中相同字母的指数相等，求出m和n的值． 【解答】解：根据题意可知，相同字母的指数相等，即n＝1，m＝2， ∴m+n＝2+1＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是根据． 【练习2】（2025秋•江苏期末）下列说法：①多项式2x2+xy2+3是二次三项式；②单项式﹣5πxy2的系数是﹣5π；③5是单项式；④是多项式．其中正确的有（　　） A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【解答】解：根据单项式与多项式的相关概念逐项分析判断如下： ①多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误； ②单项式﹣5πxy2的系数是﹣5π，说法正确； ③5是单项式，说法正确； ④是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④， 故选：C． 【点评】本题考查单项式与多项式的相关概念，熟练掌握该知识点是关键． 【练习3】（2025秋•江都区期末）当k＝ 　3　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项． 【分析】不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0． 【解答】解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy， ∴k﹣3＝0，k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0． 【练习4】（2024秋•鄂伦春自治旗期末）若关于x、y的多项式x2y﹣7mxyy3+6xy化简后不含二次项，则m＝　　 ． 【分析】首先合并同类项，不含二次项，说明xy项的系数是0，由此进一步计算得出结果即可． 【解答】解：x2y﹣7mxyy3+6xyx2y+（﹣7m+6）xyy3， 因为化简后不含二次项， 所以﹣7m+6＝0， 解得m． 故答案为：． 【点评】此题考查并同类项的方法，明确没有某一项的含义，就是这一项的系数为0． 【练习5】（2024秋•城关区校级期中）将多项式x3y3﹣4xy4+x4y+y4x2y2先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少． 【分析】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式x3y3﹣4xy4+x4y+y4x2y2中x的指数依次是3，1，4，0，2．按x的降幂排列为x4y+x3y3x2y2﹣4xy4+y4，y的次数依次为3，4，1，4，2，按y的升幂排列x4yx2y2+x3y3+y4﹣4xy4，有四个单项式组成，常数项没有，即为0． 【解答】解：x3y3﹣4xy4+x4y+y4x2y2先按x的降幂排列为x4y+x3y3x2y2﹣4xy4+y4， 按y的升幂排列为x4yx2y2+x3y3+y4﹣4xy4， 它是六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1． 【点评】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”． 【练习6】（2017秋•蔡甸区校级期中）已知有理数a和b满足多项式A，且A＝（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b（b≠﹣2）是关于x的二次三项式，求（a﹣b）2的值． 【分析】根据有理数a和b满足多项式A．A＝（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式，求得a、b的值，然后分别代入计算可得． 【解答】解：∵有理数a和b满足多项式A．A＝（a﹣1）x5+x|b+2|﹣2x2+bx+b是关于x的二次三项式， ∴a﹣1＝0，解得a＝1． 当|b+2|＝2时，解得b＝0，此时A不是二次三项式；或b＝﹣4，此时A是关于x的二次三项式， 当|b+2|＝1时，解得b＝﹣1（舍）或b＝﹣3， 当|b+2|＝0时，解得b＝﹣2（舍）， 当a﹣1＝﹣1且|b+2|＝5，即a＝0、b＝3或﹣7时，此时A是关于x的二次三项式； ∴当a＝1，b＝﹣3时，（a﹣b）2＝16． 当a＝1，b＝﹣4时，（a﹣b）2＝25． 当a＝0、b＝3时，（a﹣b）2＝9． 当a＝0、b＝﹣7时，（a﹣b）2＝49． 【点评】本题考查了多项式的知识，解题的关键是根据题意求得a、b的值，题目中重点渗透了分类讨论思想． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：三次三项式 作业2：整式相关概念 作业3：同类项与多项式 作业4：不含 x²y 项 作业5：值与 x 无关 作业6：多项式识别 作业7：整式识别 作业8：数轴与整式 作业9：同类项与负倒数 作业10：二次二项式 作业11：五次四项式作业12：数轴与整式综合 ❤ 复习建议 夯实基础概念：准确区分单项式、多项式、整式，牢记系数与次数的求法，尤其注意 π 是数字不是字母。 同类项是核心工具：识别同类项时，先看字母是否相同，再看对应指数是否相等；常数项都是同类项。 多项式次数易错点：多项式的次数是“最高次项的次数”，不是项数；不含某项时，该项系数为 0。 整式与分式的界限：分母含字母的式子不是整式，这是判断整式的关键依据。 综合题策略：对于新定义和数轴动点问题，先理解规则，再用代数式表示，最后分类讨论或整体代入求解。 【作业1】（2026春•青秀区校级同步）已知m为有理数，若多项式4x2y|m|﹣1﹣y2+m是三次三项式，则该多项式的常数项为（　　） A．0或2 B．±2 C．±1 D．0 【分析】根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项．通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【解答】解：根据题意可知，|m|﹣1+2＝3且m≠0， ∴|m|＝2且m≠0， 解得：m＝±2， ∴该多项式的常数项为±2． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 【作业2】（2025秋•前郭县期末）下列结论中，正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是2 B．多项式2x2+x2y+3是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．﹣xyz2单项式的系数为﹣1，次数是4 【分析】根据整式的相关概念依次判断即可． 【解答】解：A．单项式的系数是，次数是3，选项错误，不符合题意； B．多项式2x2+x2y+3是三次三项式，选项错误，不符合题意； C．单项式a的次数是1，系数为1，选项错误，不符合题意； D．﹣xyz2单项式的系数为﹣1，次数是4，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多项式，单项式，掌握多项式，单项式的定义是关键． 【作业3】（2025秋•柯桥区期末）下列说法中，错误的是（　　） A．3a2bc与﹣bca2是同类项 B．3x2﹣y+5xy2是三次三项式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．是二次单项式 【分析】根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念分析判断． 【解答】A．两者是同类项，故该选项正确，不符合题意； B．多项式是三次三项式，故该选项正确，不符合题意； C．单项式的系数是﹣1，故该选项正确，不符合题意； D．代数式是三次单项式，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式以及分式的有关概念．熟练掌握相关概念是关键， 【作业4】（2024秋•江北区期末）当m＝　4　 时，多项式x3+mx2y+x2y2﹣4x2y﹣y3+3中不含x2y项． 【分析】根据整式的运算化简计算即可． 【解答】解：x3+mx2y+x2y2﹣4x2y﹣y3+3 ＝x3+（m﹣4）x2y+x2y2﹣y3+3， 令m﹣4＝0， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了多项式，合并同类项是关键． 【作业5】（2025春•赣榆区期中）若关于x的多项式m（x﹣4）+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　3　 ． 【分析】先去括号，合并同类项，再根据多项式的值与x无关，则含x的项系数为0，即可得关于m的方程，求解即可． 【解答】解：m（x﹣4）+2m2﹣3x＝mx﹣4m+2m2﹣3x＝（m﹣3）x+2m2﹣4m， ∵关于x的多项式m（x﹣4）+2m2﹣3x的值与x的取值无关， ∴m﹣3＝0， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了多项式的化简，含参数的多项式问题中，多项式不含哪一项则该项系数为0即可． 【作业6】（2024秋•萧县期中）下列式子：2ab，3x﹣2y，，﹣m，，其中多项式有 　2　 个． 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【解答】解：2ab，3x﹣2y，，﹣m，中， 3x﹣2y，是多项式，共2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了多项式，解答本题的关键是理解多项式的定义． 【作业7】（2024秋•同步）下列各式中，哪些是多项式？哪些是整式？ ab﹣c，ax2+bx+c，﹣5，﹣3πxy，，，，． 思考1：单项式和多项式都是 　整式　 ． 思考2：根据单项式、多项式、整式的概念，知题目中 　，．　 不是整式． 思考3：多项式是几个单项式的 　和　 ． 　是　 （填“是”或“不是”）多项式，可以变形为 　　 ． 【分析】思考1：根据多项式和单项式的概念进行判断即可； 思考2：根据多项式和单项式的概念进行判断即可； 思考3：根据多项式的概念进行判断即可． 【解答】解：思考1：整式包括单项式和多项式， 故答案为：整式； 思考2：由整式的概念可知，不是整式． 故答案为：，． 思考3：多项式是单项式的和，是多项式，可以变形为：． 故答案为：和，是，． 【点评】本题考查整式，正确记忆相关概念是解题关键． 【作业8】（2024秋•沐川县期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式的次数为c． （1）a＝ 　﹣4　 ，b＝ 　﹣1　 ，c＝ 　2　 ； （2）若点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点D之间的距离表示为BD，请在数轴上找一点D，使BD＝2AD，则点D表示的数是 　﹣3或﹣7　 ； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值； （2）分两种情况当D点位于A，B之间时，设D为x，当D点位于A点左侧时，设D为y，根据两点间距离公式分别求得AD和BD的长，从而得出结果； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出AB和BC的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值． 【解答】解：（1）由题意可得：a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2， 故答案为：﹣4，﹣1，2； （2）根据点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点D之间的距离表示为BD，请在数轴上找一点D，使BD＝2AD，分情况讨论如下： 当D点位于A，B之间时，设D为x， AD＝x﹣（﹣4）＝4+x则BD＝﹣1﹣x， ∵BD＝2AD ∴﹣1﹣x＝2（4+x），即x＝﹣3 当D点位于A点左侧时，设D为y， AD＝﹣4﹣y则BD＝﹣1﹣y， ∵BD＝2AD ∴﹣1﹣y＝2（﹣4﹣y），即y＝﹣7 故答案为：﹣3或﹣7； （3）由题意可得：t秒钟过后， ①当0≤t≤10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为2﹣0.2t， ∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（2﹣0.2t）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝12+0.4t， 即当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化， ②当t＞10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为0.2t﹣2， ∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（0.2t﹣2）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝16， 即当t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16， 综上，当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，多项式的项，单项式的系数和次数及整式加减的应用，理解多项式的项和单项式系数及次数的概念，利用分类讨论思想解题是关键． 【作业9】（2007秋•北京校级期中）如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求n﹣mn﹣m的值． 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程求出n，m的值，再代入代数式计算即可． 【解答】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项， ∴|m﹣3|＝1，|4n|＝1， 解得：m＝4或2，n， 又∵m、n互为负倒数， ∴m＝4，n ∴n﹣mn﹣m（﹣1）﹣4． 【点评】本题考查同类项得定义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握同类项中的两个相同，所含字母相同，相同字母的指数相同． 【作业10】（2025秋•丰泽区校级期中）已知，有理数a，b在数轴上所对应的点分别是A，B两点，且a，b满足：多项式是关于x的二次二项式； （1）请直接写出a、b的值：a＝　2　 ，b＝　5　 ． （2）若数轴上点A、B之间有一动点P，且点P对应的数为y，化简|y|+2|y﹣5|+|y+2|． 【分析】（1）利用多项式的定义解答； （2）利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：（1）根据题意得：a＝2，b＝5， 故答案为：2，5； （2）由（1）可知2＜y＜5， ∴|y|+2|y﹣5|+|y+2| ＝y﹣2（y﹣5）+y+2 ＝y﹣2y+10+y+2 ＝12． 【点评】本题考查了多项式，数轴，绝对值，解题的关键是掌握多项式的定义，数轴知识，绝对值的定义． 【作业11】（2024秋•大荔县期中）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式4x2y3z的系数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 【分析】根据多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，可得a＝2，由单项式4x2y3z的系数为b，c是最小的正整数，得出b＝4，c＝1，代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知a+1＝3，解得：a＝2， ∵单项式4x2y3z的系数为b，c是最小的正整数， ∴b＝4，c＝1， ∴（a﹣b）c+1＝（2﹣4）1+1＝（﹣2）2＝4， ∴（a﹣b）c+1的值为4． 【点评】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义． 【作业12】（2024秋•遵义期中）【问题提出】 已知a是单项式﹣2xy2的系数，b是非正非负的整数，c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． （1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C的位置； 【问题探究】 （2）若点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x，请化简式子|x+2|﹣|x﹣1|+|x﹣6|； 【问题解决】 （3）若点M从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点N从点B处以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点C处以每秒5个单位长度的速度向右运动，则点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化．请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据单项式系数、特殊整数以及多项式次数的定义来求出a，b，c的值并表示在数轴上即可得解； （2）根据点P的位置确定绝对值内式子的正负性，从而去掉绝对值进行化简即可得解； （3）先求出在运动时间t时各点表示的数，再分别求出两点间的距离，最后求距离的差值并判断是否与t有关即可得解． 【解答】解：（1）由条件可知a＝﹣2，b＝0， ∵c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数， ∴c＝6， ∴点A，B，C的位置如图所示： （2）∵点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x， ∴x+2＞0，x﹣1＜0，x﹣6＜0， ∴原式＝x+2+x﹣1﹣x+6＝x+7； （3）根据题意得： 当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣2﹣t，点N表示的数为2t，点Q表示的数为6+5t， ∴点Q，N之间的距离为6+5t﹣2t＝6+3t，点M，N之间的距离为2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2， ∴点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差为6+3t﹣（3t+2）＝4， ∴点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值不随着运动时间t的变化而变化，该值为4． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，整式，数轴上两点之间的距离及动点问题等知识点，正确分析题目中的等量关系，列出代数式和方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $