学情监测（六）第二十九章 圆（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）河南专用

**基本信息** HN九年级数学上册第二十九章（圆）单元卷，涵盖圆的性质、位置关系、计算及应用，通过基础巩固、能力提升与创新实践题，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|点与圆位置关系、圆周角定理、圆锥侧面展开|结合船航行触礁等情境，基础概念辨析| |填空题|5题|外接圆半径、扇形面积、动点面积最值|定滑轮提砝码等实际应用，渗透空间观念| |解答题|8题|垂径定理、尺规作图、月亮门半径计算、圆形纸片制作圆锥|综合探究题融合文化传承与动手实践，培养推理能力与应用意识|

HN九年级数学（上册）学情监测（六） （监测范围：第二十九章） 一、选择题 1. 已知的直径是4，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 2. 如图，的直径，，是上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. （2013年四川自贡4分）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知，，则的半径为( )． A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 5. 如图，⊙O的半径为6cm，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为（　　） A. 4π B. 3π C. 2π D. 1π 6. 船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. O到的距离相等 8. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的半径是，侧面展开图为半圆形，制作1个这样的烟囱帽需要铁皮的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是___________． 12. 已知扇形的圆心角为，所对的弧长为，则此扇形的面积是________. 13. 如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是______． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动，则砝码被提起了__________．（结果保留） 15. 如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____． 三、解答题 16. 如图，是的直径，弦于点E，若，求弦的长． 17. 按要求解答下列各题： （1）如图，在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，请求出（1）中所作的的半径． 18. 月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 19. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为． （1）点的坐标为_____；的半径为_____． （2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． （3）若点E的坐标是，试判断点E与的位置关系，并说明理由． 20. 如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 21. 如图，为四边形的外接圆，圆心在上，． （1）求证：平分； （2）若点为的中点，试判断四边形的形状． 22. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算的长和扇形的面积（取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ HN九年级数学（上册）学情监测（六） （监测范围：第二十九章） 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔ ；②点P在圆上⇔ ；③点P在圆内⇔ ．根据的直径是4，则半径为，知，进行分析，可得答案． 【详解】解：∵的直径是4， 则半径为， ∵，且 ∴， ∴点A在外， 故选：C． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆周角定理，先由同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据直径所对圆周角是直角，在直角三角形中求的度数． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此 因为是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可知 在直角中，两锐角互余， 所以 故选：C． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，圆周角定理，勾股定理，连接，先判定为的直径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵， ∴为的直径，即过圆心A． 在中，， ∴根据勾股定理得：． ∴的半径为5． 故选C． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A＝60°，得出∠BOD＝120°，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD， ∴2∠A+∠A＝180°， 解得：∠A＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∴弧BD的长； 故选A． 【点睛】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理先求出的度数，假设D点在优弧上时，，点需要在优弧外才能保证安全，因此需要满足小于时，船D才能安全通行即可得出结果． 【详解】解：为圆心，， ， 假设D点在优弧上时，， 点为触礁临界点，为危险角， 点需要在优弧外才能保证安全， 因此需要满足小于时，船D才能安全通行，选项D，满足题意， 故选：D． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，即可进行判断． 【详解】解：A、∵，∴，故A成立，不符合题意； B、当时，，故B不成立，符合题意； C、∵，∴，故C成立，不符合题意； D、在和中， ， ∴， ∴O到的距离相等， 故D成立，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理得到弦长的一半，结合勾股定理求出圆心到垂足的距离，分两种情况讨论点的位置，计算得到的度数. 【详解】连接. ∵是的直径，， ∴半径. ∵，， ∴由垂径定理得 ，. 由勾股定理得 . ∴，可得 ，. ①当点与垂足在圆心同侧时，， 又， ∴是等边三角形， . ②当点与垂足在圆心异侧时，为直径， ∴，此时， . 综上，等于或， 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥底面圆的周长是其侧面展开图得到的扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得， ∴， ∵烟囱冒的底面半径是， ∴底面圆周长为：， ∴一个烟囱帽的面积为． 故选：B． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，，， ， ∴， 绕A点逆时针旋转后得到， ， ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的面积． 【详解】设扇形所在圆的半径为r． ∵扇形的圆心角为240°，所对的弧长为， ∴l， 解得：r=6， 则扇形面积为rl=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解答本题的关键． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：在直角中，，， ， ∵点A和点B有且只有一个点在内， 故答案为． 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，解题关键在于确定点与圆的位置关系． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；因此此题可直接根据弧长公式及题意进行求解即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作等边三角形的外接圆，当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可． 【详解】解：根据题意作等边三角形的外接圆， D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变， 在圆上运动， 当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值， 过点作的垂线交于点，如图： ， ， ， 在中， ， 解得：， ， 过点作的垂线交于， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质． 三、解答题 【16题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，利用勾股定理解求出，再根据垂径定理求弦的长． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 弦于点E， 在中，，， ． 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）圆心需同时在的垂直平分线和的角平分线上，两线交点即为圆心，再以为半径画圆； （2）利用的垂直平分线性质，在中，结合三角函数求的长度，即圆的半径． 【小问1详解】 解：作法：①作线段的垂直平分线，垂足为， ②作的平分线，与交于点， ③以为圆心，为半径画圆 即为所求． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴的半径为． 【18题答案】 【答案】这个圆形“月亮门”的半径为． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的半径． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为． ∵，，， ∴，． 在中，根据勾股定理， ∴． 展开得． 解得． 答：这个圆形“月亮门”的半径为． 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3）点在内 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理进行计算即可； （2）求出扇形的圆心角度数，进而求出弧的长，再根据圆锥侧面展开图的特征进行计算即可； （3）根据两点间距离公式求出，然后与半径比较大小，即可判断． 【小问1详解】 解：如图，依据网格，作的中垂线相交于点， 则点的坐标为， ， 即的半径为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由网格特点知：，，， ∴， ， ， ， ， 的长为， 设圆锥的底面半径为，则， 解得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：点E的坐标是，点的坐标为， ， 点在内． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理、垂径定理的推论、圆锥的计算、弧长公式、坐标与图形，点与圆的位置关系等知识，能求出点P坐标和是解答的关键． 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可． 【小问1详解】 证明：， ， （两边都减去）， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ， ， ， 的度数是， ， ， 的度数是 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）菱形 【解析】 【分析】（1）利用平行线的内错角相等和等腰三角形等边对等角，证明角相等，从而证平分； （2）由弧中点得等弧对等角，再证两组对边平行得平行四边形，结合邻边相等判定为菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 即：平分． 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵点为的中点， ∴， ∴， 由（1）证， ∴． ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 【22题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 【23题答案】 【答案】（1），扇形的面积约为； （2）圆锥的高为； （3）最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【解析】 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可； （2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可； （3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，记与交于点， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴扇形的面积； 【小问2详解】 解：设圆锥的底面半径为，， 由题意得， ∴， 过点作垂直于底面，连接， 在中，， 即圆锥的高为； 【小问3详解】 解：每个圆形纸片制作的扇形纸片： （个） 制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片： （个） ， 答：最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【点睛】本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 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