第二十九章 圆（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学圆单元暑假自测卷，90分钟120分，24题覆盖圆的核心知识点，以摩天轮等现实情境和综合探究题提升应用与创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|点与圆位置关系、圆周角定理、垂径定理|基础巩固，考查几何直观| |填空|6/18|扇形弧长、旋转路径长、切线性质|能力提升，强化空间观念| |解答|8/72|圆内接四边形证明（17题）、摩天轮实际应用（20题）、多问综合探究（23题）|创新应用，突出推理能力与模型意识|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章圆单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.点P是⊙O外一点，⊙O的半径是1lcm,则OP的长可能是() A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB、OD.若∠BCD=110°，则∠BOD的度数是() A D B A.70° B.110° C.120° D.140° 3.如图，⊙0直径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=8,则OM=() 0 A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠BOC=50°，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AB于点 D,再分别以B,D为圆心，大于2BD长为半径作弧，两弧交于点E,连接CE并延长交⊙O于点F,点 P在AC上，连接PA,PF,则∠P的度数为() 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.50° B.55 C.65° D.75 5.如图，点A、B、C、D在⊙0上，∠AOC=150°，点B是AC的中点，则∠D的度数是() A B A.75° B.37.5° C.30° D.60° 6.如图，已知AB是⊙0的直径，AD为⊙0的弦，COI‖AD,连接AC,CD.分别以点A,C为圆心， 以大于2AC的长为半径作弧，并使两弧交于一点G·直线0G交AD于点E,连接CE:若∠B0C=50°， 则∠CAE的度数为() B A.50 B.40 C.25 D.20° 7.如图，⊙0中，AB=AC,∠ACB=75°，半径r=1,若将扇形BOC围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半 径为() A 218 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.12 c D.3 1 8.如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是() B 0 D A.30° B.45° C.50° D.60° 9.如图，已知锐角∠AOB,按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径作 PO,交射线OB于点D,连接CD:②分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PP于点M,N;③ 连MN,OM.则下列结论错误的是() PM D B A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=30° C.MN∥CD D.MN<3CD 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，以AC为直径的半圆交BC于点D,若BC=6,则图中 阴影部分的面积是() A 35,元 2+2 B.5+月 C3 2+元 D.33+π 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.若扇形的圆心角为45°，半径为8，则该扇形的弧长为 12.如图，A、B、C点在圆O上，若∠AOB=72°，则∠ACB= B 13.如图，Rt△AOB中，∠AB0=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△A'OB,若点A的坐标 为(3,4)，则点A经过的路径长为 B B 14.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙O的切线CD,且AD⊥CD交于点D,若 ∠ABC=56°，求∠CAD的度数是一· 15.苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓 意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”.某月洞门示意图如图②所示，其内廓由ABC,线段CD,DE, EA四部分构成，AE,CD分别垂直于地面.经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米， AE=CD=3分米，DE=12分米，则ABC所在圆的半径为 分米. 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C migugm 图① 图② 16.如图，等腰△ABC内接于OO,AB=AC,点D是AB的中点，连接AD,BD.若AD=V6, BC 2 AC3,则o0的半径长为 0 B 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分，共8小题，共72分） 17.如图，在⊙0中，BD=AC,∠A=∠D.求证： D (①)AB=CD: (2)BE=CE 18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D,连接 CD,且AC=4. 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求AD的长： (2)求扇形ACD的面积. 19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，连接 OC,CE,∠DCB=2∠ABC D B 图① 图② (1)如图①，求证：AD川OC (2)如图②，若BC=BE=4,AE=3BE,求BC的长 20.大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万m2,高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全 国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分 钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地.如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀 璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了. ---B 图1 图2 (1)在图2中画出摩天轮的圆心O(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)若已知摩天轮的半径为20m,拱门下端AB为20m.求扇形OAB的面积. 2L.如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OCI‖BD,OC交AD于点E. 6/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ⊙ (1)求证：∠AOC=∠COD. (2)若AD=16,CE=4,求⊙0的半径. 22.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，F是AB延长线上的一点，CF是OO的切线，C是切点，D是 AB上的一个点，连接CD与AB交于点E,且CF=EF. 1B G D (I)求证：AD=BD: (2)连接BD,取BD的中点G,连接AG,若CF=4,BF=2,求AG的长， 23.如图，四边形ABCD内接于O0,直径AC与弦BD相交于点P,连接OB,OD B D 备用图 (1)若∠DCB=110°，求∠BOD的大小： (2)若∠APB=45°，且PD2+PB2=18,求⊙0的半径长： (3)记AABD,△BCD,△OBD的面积分别为S,S2，,S,设S,=x,S-S=y,求y关于x的函数解析 式 24.如图，以⊙O的半径OA为边作矩形OABC,且边BC在⊙O外.点B关于直线AC的对称点为D,连 接AD,BD,CD. 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B 图1 图2 (I)如图1，若点D在O0上，求证：△DAB是等边三角形： (2)如图2，若AC与BD的交点为E,且点E在⊙O上，AD,BD分别交OC于点G,F. OA ①求Oc的值： ②求证：OG=FG 8/8 第二十九章 圆 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 2．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 3．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 4．如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 5．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 6．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 7．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 8．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 9．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 10．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可． 【详解】解：记的中点为点O， 连接和， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为， 过O点作于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴扇形的面积， ∴ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为_____ 【答案】 【分析】将已知圆心角，半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角度数，半径， ∴该扇形的弧长为． 12．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 13．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 14．如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 【答案】/34度 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 15．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 16．如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 18．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 19．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 20．大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【答案】(1)如图，点O即为所求 (2) 【分析】（1）在圆弧上任取一点，作和的垂直平分线，交点即可为圆心O； （2）证明为等边三角形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接及， ， ， 为等边三角形， ， ． 21．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 22．如图，是的直径，是弦，是延长线上的一点，是的切线，是切点，是上的一个点，连接与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，连接，， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴，即， ∴； (2) 【分析】（1）如图1，连接，，由、，根据等边对等角结合对顶角相等，等量代换可得，再说明，进而得到，最后根据圆心角和弧的关系即可解答； （2）如图2，过作于点，设的半径为，则，利用勾股定理列方程可求得的值，证明可得，再求出，，进而求得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过作于点， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 23．如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可； （2）过O作于G，根据垂径定理得，设，根据可得，证明是等腰直角三角形得到，则，进而可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过O作于G，则， 设，则，， ∵， ∴， 整理，得，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， ∴，即的半径长为3； （3）解：如图，过B作于E，过D作于F， ∴， ， ， ∵， ∴，则， 又∵，，， ∴， ∴， 即． 24．如图，以的半径为边作矩形，且边在外．点B关于直线的对称点为D，连接，，． (1)如图1，若点D在上，求证：是等边三角形； (2)如图2，若与的交点为E，且点E在上，，分别交于点G，F． ①求 的值； ②求证：． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，，， ∵点B关于直线的对称点为D， ∴，，，， ∴，， 如图，连接，记的交点为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴，而， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． (2)①， ②如图，由（1）同理可得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）如图，连接，记的交点为，证明，，进一步求解即可 （2）①如图，连接，延长交于，连接，结合（1）同理可得：，，，证明三点共线，设，，证明，可得，，进一步可得答案； ②由（1）同理可得：，，，证明，进一步证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接，延长交于，连接， 结合（1）同理可得：，，， ∴， ∴为直径， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，（负根舍去） ∴ ， ∴． ②略 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $