专项训练05 角的动态旋转问题（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以动态角表示公式为基础，通过等量关系建立与分类讨论，系统解决旋转中的多解、定值、数量关系等问题，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心方法|动态角表示（含时间参数公式）、等量关系（相等/和差/倍数）、分类讨论（位置/多解验证）|从概念生成（旋转方向与起始角）到原理推导（等量关系方程），再到应用拓展（多解与周期性）| |题型应用|5类题型（每类2题）|多解问题用分类讨论、定值问题用等量关系、运动时间问题用方程思想|题型覆盖旋转核心考法，从基础计算到新定义探究，形成“方法-题型-变式”的逻辑链条|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练05角的动态旋转问题 知识复盘卡 【知识点1角的动态旋转问题】 1.动态角的表示（含时间参数） -基本公式：角∠AOB从OA边开始，以速度w(度/秒)旋转，时间为t: 顺时针旋转：∠AOB=∠AOB0-wt（角度减小)： 逆时针旋转：∠AOB=∠AOB+wt（角度增大)。 多射线旋转：分别用含t的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数=大角-小角（必要时加绝 对值)。 -关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。 2.核心等量关系：角度相等、和差、倍数 -角度相等：如∠AOP=∠POB,列方程Mt=∠AOB0-炒t。 角度和/差为定值：如∠AOP+∠POB=∠AOB(恒成立)：∠AOP-∠POB=C(需讨论射线位置)。 -倍数关系：如∠AOP=2∠P0B,列比例方程Mt=2(∠AOB-炒0。 -平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为90）。 3.分类讨论与多解验证 -射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP在∠AOB内部，或旋转到外部)。 -相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解t,注意周期性（旋转超过360°会重 复)。 -多解验证： -角度为正（∠>0°）： -旋转时间仑0； 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止)。 -注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。 培优拓展训练 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 了巩固提升练 【题型1旋转中求多解问题】 1已知点A、O、B在一直线上，且点A、B在点O的两侧，∠AOC=100°，现将射线OA绕点O顺时针匀 速旋转，射线OB,OC保持不动，直到射线OA与射线OB重合时停止旋转.在旋转过程中，当三条射线构 成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转的角度为 2.如图1，直线ED上有一点O,过点O在直线ED上方作射线OC,将一直角三角板A0B(∠OAB=30) 的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点 O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒.若射线OC的位置保持不变，且∠COE=140°.则 在旋转过程中，如图2，当t= 秒时，射线OA,OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线 所夹角的平分线。 E 图1 图2 【题型2旋转中求的角定值问题】 3.已知：如图，直线AB和CD相交于点O(∠AOC为锐角)，点M在直线AB上方，∠BOM=90°， ON平分∠AOD 备用图 (1)若∠COM=52°，求∠DON的度数： (②试说明：∠D0N-)<COM的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； ③活∠B0C-号∠COM,试求∠DON的度数。 5 2/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图1，先画出直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB)的顶点与60°角( ∠COD)的顶点重合，且边OA,OC都在直线EF上. 图1 图2 图3 备用图 (①)∠BOD=_度； (2)如图2，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB第一次落 在射线OF上时停止. ①当OB平分∠EOD时，求旋转角a的度数； ②如图3，当OB运动到∠COD内部时，∠BOD+∠AOC是定值，求这个定值； ③当∠BOC=2∠AOD时，直接写出旋转角a的度数为_， 【题型3旋转中探究角的数量关系问题】 5,按要求完成下列各题： Q E D (P) B E 图① 图② 图③ (I)如图，正方形ABCD的四个内角∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠ADC均为直角，边AB在直线EF上， ∠DAF的平分线AQ交正方形的边于点P.∠PAB的度数为_：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为_· 3/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将正方形ABCD绕点A旋转至如图②所示的位置，此时∠DAE=a，∠DAF的平分线A0交正方形的边 BC于点P,请探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由， (3)将正方形ABCD绕点A旋转至如图③的位置，Ag平分LDAF,请探究∠QAB与∠DAE的度数之间的关 系 6.已知点O是直线AB上的一点，OC,OE,OF是三条射线，∠COE=90°，OF是∠A0E的平分线. 图1 图2 图3 (1)当∠A0C<90°时， ①若射线OC,OE,OF在直线AB的同侧（图1），∠COF=25°，求∠BOE的度数； ②根据①中的结果，猜想∠BOE和∠COF的数量关系是 ③当OC与OE，,OF在直线AB两旁时（如图2），设∠COF=x,请通过计算，用含x的代数式表示 ∠BOE,说明②中的关系是否仍然成立： (②)当∠AOC>90°，OC与OE,OF在直线AB两旁时（如图3），上述∠BOE和∠COF的数量关系是否 仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出∠COF和∠BOE此时具备的数量 关系 【题型4旋转中求角的运动时间问题】 7.综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问.一把含45°角的直角三角板AOB的直角顶点O在直线DE上，过点O作 射线OC,使得∠COE=60°，直角三角板AOB的直角边OB从射线OE开始，绕点O以15°/秒的速度顺时 针旋转一圈，设旋转的时间为秒， B E B O D 图1 图2 问题解决 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，则∠AOC的度数为_，∠COD的度 数为： 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，射线OB恰好平分∠COE,试猜想此时∠AOC与∠AOD之间 的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB,OC,OE中的某一条射线是另外两条射线所夹角的 平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 8.已知∠AOC=50°，∠BOD=30°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M,O,N在同一条直 线上，OP是∠COD的角平分线. B M(A) N(B) M A 图(1) 图(2) (I)如图1，当点A与M点重合，点B与N点重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠DOP 的度数。 (2)在(1)的基础上，若∠AOC从OM处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为每秒6°，∠BOD从ON处开 始绕点O逆时针方向旋转，同时转速为每秒4° ①当旋转多少秒时，OC与OD第一次重合； ②直接写出∠AOC与∠BOD第一次从相遇到分开所经历的时间. (3)在(1)的基础上，若∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒3°，同时∠BOD从ON 处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒5°，如图2所示，当旋转5s时，则∠DOP的度数为多少？ 【题型5旋转中探究角的新定义型问题】 9.我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似的我 们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：2的两个角的射线，叫做这个角的三分 线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：3的两个角的射线，叫做这个角的四分线.显然，一个角 的三分线、四分线都有两条.例如：如图1，若∠BOC=2∠AOB,则OB是∠AOC的一条三分线；若 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOD=2∠COD,则OD是∠AOC的另一条三分线. 图1 图2 图3 图4 ()如图2，OB是∠A0C的三分线，∠B0C>∠AOB,若∠AOC=60°，则∠A0B=-: (2)如图3，∠DOF=120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE>∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好为 ∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数； (3)如图4，∠AOD=120°，射线OB、OC是∠AOD的两条三分线，将射线OB、OC同时绕点O沿顺时针方 向旋转(0°≤α≤180)，在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好有一条射线是其它两条射线组成 夹角的四分线，请直接写出的值. 10.新定义：若两个角的和为105，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如∠AOB=45°，∠COD=60 则∠AOB与∠COD互为“相伴角”，（本题中所研究的角都是大于0°而小于180的角.） 图1 图2 备用图 【阅读理解】 (1)如图1，如果∠AOB=70°，∠AOD与∠COB互为“相伴角”，则∠COD= 【初步应用】 (2)射线OM平分角∠AOB,OC为∠AOB内部的一条射线，且满足∠COM=15°，若∠BOC与∠AOB互 为“相伴角”，求∠AOB的值： 【解决问题】 (3)如图2，已知∠AOB=90,射线OM从OA出发，以每秒10的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒5的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t=3秒由OM,ON,OA三条射线 形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★能力培优练 1.生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形， 且被等分成了8份，三角形OAB是水车的支架，∠AOB=60°.水车的支架固定不动，水车的主体可绕着 圆心O旋转.在图②中，若OC平分∠AOB,则∠BOD的度数为() 图① 图② A.5 B.15° C.20° D.无法确定 2.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°.△COD固定不动，△A0B绕着0 点顺时针旋转Q(0°<a<180),若△A0B绕着0点旋转图2的位置，若∠B0D=60°，则∠A0C的度数 为() B 图1 图2 A.150° B.120° C.60° D.30° 3.一副三角板ABC、DBE,如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转 一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论： D M E 图1 图2 ①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,则BA平分∠DBF; 7/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②在旋转过程中，若BM平分LDBA,BN平分∠EBC,∠MBN的角度恒为定值： ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次： ④∠DBC+∠ABE的角度恒为1O5°， 其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，已知∠A0B=180°，∠AOC=110°，现将射线OA绕点O顺时针匀速旋转，射线OB,OC保持不动， 当射线OA与射线OB重合时停止旋转.当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋 转的角度为。 A B 5.定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线 叫做这个角的三分线.显然，一个角的三分线有两条.如∠AOB=120°，OC,OD是∠AOB的两条三分 线，以点O为中心，将∠COD按顺时针方向旋转n°(n<90)得到∠COD,当OA恰好是∠COD的三分 线时，n的值为 6.定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这 条射线称为这个角的n+1分位线.例如：如图1，∠MOP=4∠NOP,则OP为∠MON的5分位线； ∠NO0=4∠MO0,则O0也是∠MON的5分位线 M 图1 图2 (1)如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP,O0分别为∠AOC与∠BOC的3分 位线，(LC0P>∠P0A,∠C00>∠Q0B),∠A0C=150°，则∠PO0=: (2)如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的 5分位线，且∠MON=96°，则∠AOC= 8/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°，AB⊥MN 北 0 图① 图② 图③ ()如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠CON=17°，则射线OE的方 向是 一；若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分 ∠COM.若∠EOF=20°，求∠AOF的度数： (②)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF 之间存在怎样的数量关系？请说明理由. 8.如图，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使∠B0C=135°，将一个含45°角的直角三角尺的 一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方. 1359 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=；在图2中，OM是否平分 ∠COW？请说明理由： (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究： ∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由： (3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为（直接写出结果） 9.如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如 何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定 义两手手心位置分别为A,B两点，两脚脚跟位置分别为C,D两点，A,B,C,D,E,O在同一平面内， O为定点，且OE垂直水平线1，将手脚运动看作绕点O进行旋转： 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一B A B 7777777 E 图1 图2 图3 图4 (1)填空：如图2，A,O,B三点共线，且∠AOC=∠BOC,则∠AOC=」 (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A,O,B三点共线，却不在水平方向上，且 ∠40：∠BOC-5:3求∠40c-号<B0D的度数： (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE平分∠C0D,且∠COD=30°，开始运动前A, O,B三点在同一水平线上，OA,OB同时绕点O逆时针旋转，OA旋转速度为25°IS,OB旋转速度为 50°/s,运动时间为s,当OA旋转到与OC重合时，运动停止.在运动过程中，请帮助北北用等式表示 ∠AOE与∠BOD的数量关系，并说明理由， 10.【概念学习】定义：从∠a(45°<∠a<90)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分 得的两个角中有一个角与∠0的和为90°，则称该射线为∠的“分余线”. 【深入思考】 图1 图2 (1)如图1，∠A0B=80°，∠A0C=70°，则射线OC一∠AOB的“分余线”；（填：“是”或“不 是”) (2)若OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的“分余线”，求∠AOB的度数： (3)如图2，∠AOB=160°，在∠AOB内部作射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线，在∠BOC的内部 作射线ON,使∠BON=2∠CON.当OC为∠MON的“分余线”时，∠BOC=度， 10/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★创新拓展练 1.【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起. ①若∠DCE=40°，则∠ACB= 一；若∠ACB=130°，则∠DCE= ②请直接写出∠ACB与∠DCE的数量关系」 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系？请说 明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，己知∠AOC,作∠AOB=a,∠COD=B(a,B都是锐角，且a>B),若OC在∠AOB 的内部，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系. B 图1 图2 图3 2.如图1，点0在直线AB上，∠B0C=60°.已知∠PO0=60°，∠PO0的两边OP,O0分别与射线 OB,OC重合，现将∠PO0绕点O按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为t秒.（题目中所指 的角均大于0°且小于180°) C O P B B 图1 图2 备用图 (1)如图2所示，当0<t<90时，若∠BOP=4∠COP,且射线OP在∠BOC内部，则∠BO0= 此时t的值为， (2)当0<t<90时，若OF平分∠CO0,请探究∠BOF与∠COP的数量关系，并说明理由. 1 3.已知∠AOB补角的度数是∠AOB度数的5，OC,OM'ON都是∠AOB内的射线. 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B 备用图1 备用图2 (1)如图l0,若OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,当OC绕点O在∠AOB内旋转时，求∠MON的度数. (2)若OD也是∠AOB内的射线，且∠COD=25°，OM平分∠BOD,ON平分∠AOC. ①当LCOD绕点O在∠AOB内旋转时，求∠MON的度数： ②若起始位置时∠B0C=15°，当∠C0D在∠AOB内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时， 2∠AON=3∠BOM.求t的值 4.【综合与实践】 在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线.如图1，将 纸片上的∠POR对折，使角的一边QP与角的另一边QR重合，得折痕QM,此时∠PQM与∠ROM完全重 合，因此∠PQM=∠RQM.展开纸片后，射线QM即为∠P2R的平分线. 图2 【探究1】 (I)如图2，在长方形纸片ABCD的边AB,CD上分别取点E,F,连接EF.若将∠BEF对折，点B落在 直线EF上的点B处，得折痕EM;再将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN,则 ∠NEM=」 【探究2】 (2)如图3，在长方形纸片ABCD的边AB上取点E,边CD上取点F,G(点G在点F右侧)，分别连接 EF,EG.若将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B处，得折痕EM;再将∠AEF对折，点A落在直 线EF上的点A处，得折痕EN. ①若∠AEN=36°，∠BEM=49°，则∠FEG= ②若∠FEG=20°，则∠NEM= ③若∠FEG=a(0°<a<180),则∠NEM= (用含的式子表示)，并写出你的推导过程. 【探究3】 (3)如图4，在长方形纸片ABCD的边AB上取点E,边CD上取点F,G(点G在点F右侧)，分别连接 12114 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF,EG.若将LBEF对折，点B落在直线EF上的点B处，得折痕EM;再将∠AEG对折，点A落在直线 EG上的点A处，得折痕EN.若∠FEG=a(O°<a<180),则∠NEM= (用含的式子表 示). 5.【基础感知】 如图1，点P为线段AB上一动点，AB=6,点P从点A出发向点B运动，到达点B后，再转向点A运动， …如此反复.在点P的运动过程中，点P运动1个单位长度后到达点乃，即4=1；再运动2个单位长度 后到达点B,此时A=3:再运动3个单位长度后到达点乃，…以此类推。 Q,(Q) AP P. B M 0 Mδ 图1 图2 图5 (1)求AB= PP= 【迁移应用】 如图2，点O是直线MN上一点，线段OQ从射线OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到 ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转，…如此反复.在线段O的旋转过程中，O卫从 OM开始旋转角度a至O2,从O2继续旋转角度2α至O22,从O22旋转角度3a至O9,…以此类推. 例如：当a=20°时，线段02,00,02，O0,00的位置如图3所示，其中线段00第4次旋转到 ON后弹回，即∠2，ON+∠NO0,=80°，而O0恰好与O0重合. (2)若a=35°，线段00,00,02的位置如图4所示，求∠，00的度数： (3)若<30°，且线段O0所在的射线平分∠Q,O2,在图5中画出线段02,00,02，O0,并求 出a的值： (4)若a<36°，且∠Q00,=20°，直接写出所有a的取值. 6.新定义：若两个角的和为120°，则称这两个角互为“满分角”；例如∠1=65°，∠2=55°，则∠1与∠2 互为“满分角” D B 图1 备用图 图2 备用图 【阅读理解】 (I)如图1，如果∠AOB=50°，射线OD在射线OA上方，∠BOD与∠AOB互为“满分角”，则∠AOD= 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步应用】 (2)若OC,OE为∠AOB内部的两条射线，射线OE平分角∠AOB,若∠BOC与∠AOB互为“满分 角”，且满足∠COE=15°，求∠BOC的值. 【解决问题】 (3)如图2，己知∠A0B=100°，射线OM从OA出发，以每秒12°的速度绕0点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒8°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为秒。 ①作∠BOM的平分线OP,当0<t<5时，∠MOP与∠MON互为“满分角”，求运动时间t的值. ②若5<t<12.5,当t=一，时，由OM、ON、OB三条射线形成的角互为“满分角”· 14/14 专项训练05 角的动态旋转问题 【知识点1 角的动态旋转问题】 1. 动态角的表示（含时间参数） - 基本公式：角∠AOB从OA边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ： - 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）； - 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。 - 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝对值）。 - 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。 2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数 - 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。 - 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = （需讨论射线位置）。 - 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。 - 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。 3. 分类讨论与多解验证 - 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB内部，或旋转到外部）。 - 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重复）。 - 多解验证： - 角度为正（∠> 0°）； - 旋转时间 t≥0； - 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。 - 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。 【题型1 旋转中求多解问题】 1．已知点在一直线上，且点在点的两侧，，现将射线绕点O顺时针匀速旋转，射线保持不动，直到射线与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为________． 【答案】，或 【分析】本题考查了角的动态变化与相等关系，解题的关键是分情况讨论三条射线构成的角相等的情况，易错点是漏解通过分类讨论情况，再利用角的和差关系求解旋转角度． 【详解】解：如下图： 当时，旋转角度 当时，旋转角度 当时，旋转角度； 故答案为，或． 2．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线的位置保持不变，且．则在旋转过程中，如图2，当_____________秒时，射线与中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．    【答案】2或8或32 【分析】分三种情况进行解答，即①射线是的平分线，②射线是的平分线，③射线是的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：当射线是的平分线时， ∵， ∴， ∴； 当射线是的平分线时， ， ∴； 当射线是的平分线时， ， ∴， 故答案为：2或8或32． 【题型2 旋转中求的角定值问题】 3．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分． (1)若，求的度数； (2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，可得，再结合角平分线的含义可得答案； （2）先求解，证明，结合，进一步可得结论； （3）先求解，结合，可得，求解，结合（2）的结论可得答案. 【详解】（1）解：，，， ， 又， ， 又平分， ； （2）解：， ， 又平分， ． 又， ， ． （3）解：， ， ∵， ， ． 由（2）知：， ； 4．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴∠， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时，即，解得． 如图3，当在内部与重合时，即， 当时，即，解得， 故答案为：或． 【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】 5．按要求完成下列各题： (1)如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点P．的度数为 ；与的度数之间的关系为 ． (2)将正方形绕点A旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点P，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． (3)将正方形绕点A旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 【答案】(1)，； (2)与的度数之间的关系没有发生改变，理由如下： 如图②，由条件可知， ∵的平分线交正方形的边于点P， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）如图①，由四边形为正方形，得，所以，从而得到； （2）如图②，先根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，即可得到； （3）如图③，先根据角平分线的定义得到，则，根据平角的定义得到，变化后 ，消去，可得到． 【详解】（1）如图①， 四边形为正方形， ， ， ∴， （2）略 （3）如图③， 平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．已知点O是直线上的一点，，，是三条射线，，是的平分线． (1)当时， ①若射线，，在直线的同侧（图1），，求的度数； ②根据①中的结果，猜想和的数量关系是______； ③当与，在直线两旁时（如图2），设，请通过计算，用含x的代数式表示，说明②中的关系是否仍然成立； (2)当，与，在直线两旁时（如图3），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出和此时具备的数量关系． 【答案】(1)①；②；③成立，理由见解析 (2)不成立， 【分析】（1）①根据已知角的度数求出，，再根据平角定义求出的度数即可； ②由①中求出的结果即可求解； ③根据已知角的度数表示出，，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （2）依据前面③的方法表示出，，表示出，可得和的数量关系． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； ②由①中的结果可得， 故答案为：； ③②中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 【题型4 旋转中求角的运动时间问题】 7．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 8．已知，，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的角平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒 ①当旋转多少秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图2所示，当旋转时，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ； （2）解：∵从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒，从处开始绕点逆时针方向旋转，同时转速为每秒， ∵ 与第一次重合的时间为：； ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：； （3）解：旋转时，，， ， ， ． ． 【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】 9．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 10．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由； 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 3．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 4．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关系解决此题． 【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形： ①当射线旋转到的外部时，． ∴射线旋转的角度为． ②当射线旋转到内部时，． ∴， ∴射线旋转的角度为， 综上：射线旋转的角度为或． 故答案为：或． 5．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 6．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 7．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 8．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 9．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 10．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 1．【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： ∴ ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 2．如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； 【详解】（1）解：设，则， ，则， 解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒）， 故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设， ， ， 平分， ， ， ， 即； 当时，在的外部（时，重合）， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 综上所述：或． 3．已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 【答案】(1) (2)①或 ②15 【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题关键． （1）设的度数为，根据题意列出方程得出，然后利用角平分线计算即可； （2）①根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：情况一：如图1，当在右侧时，情况二：如图2，当射线在左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平分线作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：设的度数为． 由题意得， 解得． 所以． 因为平分，平分． 所以，． 所以 ． （2）①因为平分．平分， 所以，． 分类讨论，情况一：如图1，当在右侧时， ． 情况二：如图2，当射线在左侧时， ． 综上所述，的度数为或． ②如图3．因为起始位置时，，所以在的右侧． 因为在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒． 所以． 因为射线平分． 所以． 因为． 所以． 因为射线平分． 所以． 又因为， 所以． 解得． 答：的值为15． 4．【综合与实践】 在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线．如图1，将纸片上的对折，使角的一边与角的另一边重合，得折痕，此时与完全重合，因此．展开纸片后，射线即为的平分线． 【探究1】 （1）如图2，在长方形纸片的边上分别取点，连接．若将对折，点落在直线上的点处，得折痕；再将对折，点落在直线上的点处，得折痕，则___________． 【探究2】 （2）如图3，在长方形纸片的边上取点，边上取点（点在点右侧），分别连接．若将对折，点落在直线上的点处，得折痕；再将对折，点落在直线上的点处，得折痕． ①若，，则___________； ②若，则___________； ③若，则___________（用含的式子表示），并写出你的推导过程． 【探究3】 （3）如图4，在长方形纸片的边上取点，边上取点（点在点右侧），分别连接．若将对折，点落在直线上的点处，得折痕；再将对折，点落在直线上的点处，得折痕．若，则___________（用含的式子表示）． 【答案】（1）90；（2）①10；②80；③，过程见解析；（3） 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意可得，，由平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由题意可得，，由平角的定义可得，据此可得答案；②同（2）①求解即可；③同（2）①求解即可； （3））由题意可得，，由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意可得，， ∵， ∴， ∴； （2）①由题意可得，， ∵， ∴， ∴； ②由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．【基础感知】 如图1，点P为线段上一动点，，点P从点A出发向点B运动，到达点B后，再转向点A运动，…如此反复．在点P的运动过程中，点P运动1个单位长度后到达点，即；再运动2个单位长度后到达点，此时；再运动3个单位长度后到达点，…以此类推． （1）求______，______， 【迁移应用】 如图2，点O是直线上一点，线段从射线的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转，…如此反复．在线段的旋转过程中，从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从旋转角度至，…以此类推． 例如：当时，线段，，，，的位置如图3所示，其中线段第4次旋转到后弹回，即，而恰好与重合． （2）若，线段，，的位置如图4所示，求的度数； （3）若，且线段所在的射线平分，在图5中画出线段，，，，并求出的值； （4）若，且，直接写出所有的取值． 【答案】（1）6，1；（2）；（3）图见解析，；（4）或或 【分析】本题主要考查了线段的计算，角度的计算和角度的旋转变化，熟练掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据点P的运动规律即可求解； （2）根据的旋转规律即可求解； （3）当时，由可判断不符合题意，当时，表示出和，根据平分即可求解； （4）根据的旋转规律分 ， ，，，，即可求解． 【详解】解：（1）由点P的运动规律可知， ∴， ∴此时点P到达点B，则点P返回向点A运动， ∴， ∴． 故答案为：6；1． （2）∵从开始旋转角度至，从继续旋转角度至，从继续旋转角度至， ∴旋转了， ∴旋转到了的位置后，从回弹了， ∴， 由题意得， ∴． （3）如图，，，，即为所求． 当时，， ∴未从回弹，不可能平分，不符合题意，舍去； ∴，此时， ∴未从回弹， 由题意得，， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． （4）时，则， ∴和都未到达，从回弹， 由题意得，， ∴，即， ∴； 时，则，， ∴未回弹，已回弹， 由题意得，， ， ∴， ∴， ∴，即回弹后在和之间或与重合， ∴， ∴与矛盾，不符合题意，舍去； 时， 同理，， ∴，， ∴回弹后在和之间或与重合， ∵与重合时，与矛盾，不符合题意，舍去， ∵， ∴， ∴； 时， 同理可得未回弹，且回弹后在和之间， ∵， ∴， ∴； 时， 由题意得，， ∴和都已从回弹， ∴，， ， ∴， ∴回弹后在和之间， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或或． 6．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $