专项训练03 整式的化简求值与含字母参数问题（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以整式概念与加减运算为基础，通过8类递进题型构建含字母参数问题的解题逻辑，突出符号意识与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点|涵盖单项式、多项式概念及加减法则|从概念定义到运算规则，形成"概念-法则-应用"逻辑链| |题型|8类典型题型|基础化简→化简求值→参数计算→新定义与图形应用|由基础运算到含参综合，逐步渗透整体思想与分类讨论|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练03整式的化简求值与含字母参数问题 知识复盘卡 【知识点1整式的相关概念】 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数， 所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项 的次数是多项式的次数。 3整式：单项式和多项式统称为整式。 【知识点2整式的加减】 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和 字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“”，去 掉括号和它前面的“.”，原括号里各项符号都要改变。 3整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合 并同类项。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1整式的加减】 1.化简： (1)2x-3y)+(5x+4y) 2)(4a2b-5ab2）-2(3a2b-4ab2） 2.化简： (1)(-x2+4x+5)-（5x-4+2x2） (2)2(2a-3b)+3(2b-3a) 118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型2整式的加减中化简求值】 3先化简，再求值：102-32y++232-5x) 其中x=-1”y=-2 4.先化简再求值： 4(x-)-2(+-2（4r-2x,其中x=-3 a2四*{5w--+-y]-2其中=月y= 4 【题型3多项式系数，指数中字母求值】 5.若多项式(m-2)xy-y+2y+1是四次三项式，则m-n= 6.已知有理数a和有理数b满足多项式A,A=(a-)x+-2+bx-a是关于x的二次三项式，则a=- ,b=一 【题型4已知同类项求指数中字母或代数式的值】 7.如果单项式7xy2”与-5xy是同类项，则m+n=一。 8.若单项式x“y2与-2xy的差仍是单项式，则n"的值为 【题型5整式力加减运算中不含某一项的问题】 9.已知多项式(2mx2+4x2+3x+1-(6x2-4y2+3x)化简后不含x2项. (1)求m的值： (2)化简并求多项式2m-[3m2-(5m-5)+m的值. 10.已知关于x的多项式(a+b)x+(a-3)x-2(b+2)x+(2b-1)x+1中不含x和x项. (1)求a,b的值： (2)试求当x=-2时，这个多项式的值. 218 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型6整式加减运算中取值与字母无关的问题】 11.已知两个多项式：A=2m2+3mn-2m-1,B=-m2+mn-1. (1)求：5A-(4A-2B): (2)若(1)中式子的值与m的取值无关，求n的值， 12.已知A=4a+2ab-3b+2,B=-a-15b+6ab (1)当a+b=3,ab=2时，求2A-B的值： (2)若2A-B的值与a的取值无关，求b的值，并求2A-B的值. 【题型7整式加减中的新定义型问题】 13.定义：若x-y=m,则称x与y是关于m的相关数. (1)若5与a是关于2的相关数，则a= (2)若A与B是关于m的相关数，A=3mn-5m+n+6,B的值与m无关，求B的值. 14.定义：若a+b=2n,则称a与b是关于数n的平均数.比如3与-4是关于0.5的平均数，7与13是关于 10的平均数。 (1)填空：2与 一是关于-1的平均数，一一与2x+5是关于2的平均数； (2)现有a=3x2-10kx+13与b=-3x2+5x-6k(k为常数)，且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值 无关，求n的值. 【题型8整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】 15.把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b,宽为）不重叠地放在如图2所示长方 形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为SS2.记AB的长为x,若S-4S的值与x无关， 则S-4S可表示为. (用含a的式子表示) k-x>S2la B 图1 图2 3/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2)， 小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中. 不 0 A 图1 图2 (1)当m=5,n=2时，大长方形的面积为，阴影图形B的面积为—一- (2)请说明阴影A与阴影B的周长的和与小长方形的边长m的取值无关. ★能力培优练 1.若3y与2ry是同类项，则mn的值为() A.2 B.4 C.8 D.16 2.如果x-y2-(m-3)y+3x是关于x,y的四次三项式，那么m=() A.-1 B.-1或3 C.3 D.-3 3.多项式3mr2-y+3y-5+6r的值与x,y的取值无关、则(m+m)的值为() A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 4.定义一种新运：日☒=ad-c.如：42×5-34-之.若4-的植与，的取值无关 a b 123引 -x+1k -x+1k 则4-x3的值为(） A.-9 B.-4 C.6 D.-8 5.如果单项式-xy与2t是同类项，那么a+b=一 6.已知多项式(m-3)x2y+y-2y是关于x,y的四次三项式，m的值是 7.已知关于x,y的多项式mx2+3y-x与4r2-2y+3y的差不含二次项，则m-n= 8.定义新运算“A,对于任意有理数a,b,规定ab=(a2+2b)-(3知2-b),若x=-1,y=2,则 (x△y)+(Ax)的值为 418 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.先去括号，再合并同类项： (①)5a-(a+3b): (2(a2+2ab+b2）-(a2-2ab+b2）: 3)3(2x2-y2）-2(3y2-2x2): (④(-x2+5x+4)+2(5x-4+2x2)】 10.先化简，再求值：3ab-5b2+2a2)-(7ab+16a2-25b),其中la-1+(b+2}=0. 1Ⅱ.已知单项式xy与3y是同类项。 (1)求m,n的值； (2)求(3mn-2m-3m)-3(2mn-3m-4n)的值 12.定义：若a+b=2,则称a与b是关于2的友好数. (1)3与 是关于2的友好数： (②)若c=产-4r,d=x-2(x2-2x-l),判断c与d是否关于2的友好数，并说明理由. 13.已知整式M=a2+bx-2,N=-x2+2xr+c,其中a、b、c为常数. (I)若M+N的结果中不含x项和x项，求a、b的值： (②)若对于任意x,2M-N的值始终为3x2-2x+1,求a、b、c的值. 14.【阅读理解】我们知道：4x+2x-x=(4+2-)x=5x,类似的，若我们把(a+b)看成一个整体，则有 4(a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)×(a+b)=5(a+b).这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思 想”.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛. ③ ④ ① ② ⑤ 【方法运用】 (1)把(a-b)看成一个整体，则3(a-b-7(a-b}'+2(a-b}= (2)已知x2+2y=5,求代数式3x2+6y+21的值： 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当x=2025时，代数式ax2-x+1的值是m,则当x=-2025时，求ax2-x+1的值（结果用含m的代数式 表示)· 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长 为x,②号正方形的边长为少，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长。 15.新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于x,y的多项式，如果把其中x,'互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关 于x,y的二元对称多项式.如x+y,x+3y+y都是关于x,y的二元对称多项式。 定义2：若多项式组[4，B,C](A,B,C是关于x,y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式： ②整式A,B通过加减运算后可得到整式C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”. 【知识应用】 ()请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于x,'的三次四项式；②它不能合并同类项； ③按照x的降幂排列， ②判断@[2x2-y-y,2-y-2y,x2+y2],②[-r2+y+y,2y+2y,x2+y+y]能否成为“二元对称 关联式”，说明理由 (3)若[A,y+y,x2-2y+y]是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A. ★创新拓展练 1.已知-25a2b和7a6的和是单项式，x与y互为相反数(x≠0)，c与d互为倒数，则m+cd-上= 2.已知关于x的多项式M和N,其中M=(a+2)x2+(亿-l)x-3(a,b为常数)，N=5x2-3x. (1)若多项式(a+2)x2+(b-1)x-3中不含x2项，求a的值； (2)当a=3,b=-2时，求3M-N; 3)在(2)的条件下，若-5x2+3x+4=0,求3M-N的值. 618 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知代数式A=2m2+3mn+2n,B=m2-mn+m, (1)求A-2B: (2)若单项式7x”y与单项式-9xy"是同类项，求A-2B的值； (3)当m取何值时，A-2B的值与n的取值无关， 4.阅读理解题 我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数 称为A关于B的“雅常值”，如多项式A=x+2x+1,B=(x+4(x-2),A-B=(x2+2x+1) x+4x-2)=(x2+2x+)-(r+2x-8)=9,则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9 1)已知多项式C=x2+x-1,D=(c+2x-),则C关于D的“雅常值”是一： (2)多项式E是多项式F的“雅常式”且“雅常值”是3，己知多项式E=(x-3'-x,求多项式F (3)已知多项式M=(x-a)2(a为常数)，N=x2-4x,M是N的“雅常式”，求M关于N的“雅常值” 5.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ar-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是把x,y看作字母，把看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,其中+3=0，则a=-3. 【方法应用】 (1)当b= -,c=时，关于x的多项式3x-(仍+5)x+(c-l)r-5x+1不含x项和x2项. (2)己知A=-3x2-2y+3y+1,B=2x2+2y-1,且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值. 【拓展延伸】 (3)淇淇用6张长为b,宽为α的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长 方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为S,右下角部分的面积为52.当AD的长发生变化时， 5S-2S,的值始终保持不变.请求出a与b之间的数量关系. A D S S. 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/8 专项训练03 整式的化简求值与含字母参数问题 【知识点1 整式的相关概念】 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的次数是多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 【知识点2 整式的加减】 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。 3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。 【题型1 整式的加减】 1.化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2.化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）去括号后，合并同类项即可； （2）去括号后，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型2 整式的加减中化简求值】 3.先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 当，时，原式． 4.先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，再把给定字母的值代入计算，是解决问题的关键． （1）原式去括号后合并同类项得到最简结果，再将x的值代入计算即可求出值． （2）原式先去小括号合并同类项，接着去中括号合并同类项，再去大括号合并同类项，得到最简结果，最后将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 【题型3 多项式系数，指数中字母求值】 5．若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义、代数式求值等知识点，掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式是四次三项式可知，，可得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 6．已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ； 【答案】 1 【分析】本题主要考查多项式， 根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，，． ，或 当时 ∵关于x的二次三项式，当时，，是二次二项式， ∴舍去 ，． 故答案为：1，． 【题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 7．如果单项式与是同类项，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了代数式求值，同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此列式求出m、n的值， 再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义，理解定义是关键． 根据题意单项式的差仍是单项式，得出两个单项式是同类项，再根据同类项的定义，含有相同的字母，相同的字母相同，即可求解的值，则代数式的值即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故， 故答案为：8． 【题型5 整式加减运算中不含某一项的问题】 9．已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含项，即可得到的值； （2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的的值代入，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 结果不含项， ， 解得； （2） ， 当时，原式． 10．已知关于x的多项式中不含和x项． (1)求a，b的值； (2)试求当时，这个多项式的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要是考查了整式加减中的无关项问题． （1）根据多项式里面不含和x项，直接令和x项的系数为0，求出、的值即可； （2）再将代入多项式中，求出多项式的值即可． 【详解】（1）解：多项式不含和x项， ，， 即，； （2）解：，； 原多项式化简为：， 当时， 原式． 【题型6 整式加减运算中取值与字母无关的问题】 11．已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）先化简，再将A、B代入计算即可； （2）将（1）中的化简，即，因为（1）中式子的值与m的取值无关，所以，求出n即可． 【详解】（1）解： ， ，， 原式可化为 ； （2） ， 因为（1）中式子的值与m的取值无关， 所以， 即． 12．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可求出b的值，再代入即可求解的值． 【详解】（1）解： ， ， 原式； （2）由（1）可得， 的值与a的取值无关， ， ， ． 【题型7 整式加减中的新定义型问题】 13.定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 14.定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据所给的定义列式计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出，再根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到，则，再由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设2与m是关于的平均数， ∴， ∴； 设n与是关于2的平均数， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵与， ∴ ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】 15．把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2所示长方形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为．记的长为x，若的值与x无关，则可表示为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用 【分析】此题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据，可求面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为，表示出，根据的值与无关，可得，依此用含的式子表示的值． 【详解】解：， ∴面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为， ∴ ， 的值与无关， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见解析 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可，再求解阴影图形的长与宽，再计算面积即可； （）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：当，时，大长方形的长为， ∴大长方形的面积为， 阴影图形的面积为：； （2）证明：阴影的周长为， 阴影的周长为， ∴阴影与阴影的周长的和为： ， ∴阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 1．若与是同类项，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项， ∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，得 ，相同字母的指数相等，得， ∴ ． 2．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 3．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 4．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 5．如果单项式与 是同类项，那么___． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：单项式与是同类项， 可得：， 解得：， ． 6．已知多项式是关于的四次三项式，的值是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数必须为4，且系数不为零，以确保多项式为四次三项式．据此解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴最高次项的次数为4，且项数为3． ∵第二项的次数为，第三项的次数为， 故第一项的次数必须为4，即，解得或． 又∵多项式是三项式，第一项的系数，即，故． 故答案为：． 7．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 8．定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，求代数式的值．根据新定义求得和的值，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：． 9．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 11．已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 12．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与__________是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否关于2的友好数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，见解析 【分析】此题考查了有理数的加法运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据有理数的加法法则求解即可； （2）根据题意计算的值，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵ ∴3与是关于2的友好数； （2）解：是，理由如下： 所以与是关于2的友好数． 13．已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 14．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 15．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 1．已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查同类项的判断，相反数和倒数的定义，代数式求值．根据同类项的判断，求得m、n的值，由相反数的定义得出，由倒数的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴，， 解得，， ∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∵c与d互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：11． 2．已知关于的多项式和，其中（为常数），． (1)若多项式中不含项，求的值； (2)当时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，求解代数式的值； （1）由多项式中不含项，可得，再进一步求解即可； （2）先代入，再去括号，合并同类项即可； （3）由条件可得：，再进一步变形整体代入计算即可. 【详解】（1）解：多项式中不含项 ， ； （2）解：当时 ； （3）解：由（2）可知， ， ， ； 3．已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 4.阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 5.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【方法应用】 （1）当______，______时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1），1；（2）；（3） 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值： （1）根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，进而求出，进行即可得到答案． 解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． 【详解】（1）∵关于x的多项式不含项和项， ∴，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $