专项训练02 数轴上的动点探究问题（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“基础关系-动态表示-题型突破”为逻辑主线，系统构建数轴动点问题的方法体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础关系与动点表示|1模块|距离公式|从静态距离、中点概念到含时间参数的动点位置表示，构建“静→动”转化模型| |六大核心题型|12题|相遇用位置等式|按“相遇→相距→折返→翻折→定值→新定义”梯度设计，每类题型匹配专属方程策略，强化推理意识|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练02数轴上的动点探究问题 知识复盘卡 【知识点1数轴上的动点探究问题】 1.两点基础关系（距离与中点） -距离公式：数轴上两点A(a)、Bb)的距离AB=ab(右侧减左侧可直接去绝对值)。 中点公式：4、B的中点M对应的数为士（即平均藏）。 -关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。 2.动点位置表示（含时间参数) -匀速运动：点P从a出发，速度为v,运动时间为t: -向右运动：P)=a+t: -向左运动：P()=a-vto -关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。 -多动点：分别用含t的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。 3.核心题型与列方程策略 -追及/相遇： -相遇：两动点位置相同(P=Q)); 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。 -距离问题： 两点距离为定值d:P)Q)=d(去绝对值时分左右两种情况讨论)： 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。 -中点/定比分点： 某点为两动点的中点：P)+Q)=2M(M为定点或另一点)。 -隐含条件： 、 时间20： -注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。 1/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。 培优拓展训练 ★幻巩固提升练 【题型1数轴动点中的相遇问题】 1.如图，数轴上两点A,B(点A在点B的左侧，AB表示点A与点B之间的距离)，点A表示的有理数为 -12,AB=28.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点B出发， 以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒(t>0)· A 0 B→ (1)点B表示的数为 线段AB的中点表示的数为 (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 点Q表示的数为」 (3)当为何值时，点P与点Q相遇？ ④当PQ=4B时，此时点p表示的数是多少？ 2.在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a:B点在原点的右侧，所表示的数是b,且a,b满足 1a+2bl+(b-6)2=0 (I)求a,b的值： (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动， 且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点与点的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以(2)中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B 出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟， P、Q两点相距6个单位长度， 【题型2数轴动点中的相距问题】 3.如图，在数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为C,点C是AB的中点，已知 a=-10,c=2,请回答下列问题： A C B C b 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：b= (2)现有两动点P,Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运 动，点以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动.P、Q两点同时出发，设(>0)秒后点 P,Q所表示的数分别为，n. ①当t=2时，m= ,n= ,此时P,Q两点之间的距离是■ ②求几秒后，P,Q之间相距4个单位长度 4.【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组 探究数轴发现了一些重要的规律。 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,则A、B两点间的距离AB可表示为： ①AB=b-a=(即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数)； ②ABb-a日a-b|(即两点表示的数之差的绝对值). a+b 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为2， A B A B b -12 08 图1 图2 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为-5，点B表示的数为4，P是数轴上一动点. (1)则A、B两点间的距离AB= A、B两点的中点M表示的数为. (2)若A、P两点间的距离AP=6,则点P表示的数为 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为-12,8，点A以每秒2个单位的速度沿 数轴向右匀速运动，同时点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒(1>0). (3)用含t的式子填空： 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 (用含的式子填空) 点B运动秒后所在位置的点表示的数为 一；（用含的式子填空） 此时A、B两点的中点M表示的数为 (用含t的式子填空) (4)按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【题型3数轴动点中的折返问题】 5.数轴上点A,B对应的数分别是-5和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点 Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒 3/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值： (2)当t=6时，求点P到点Q的距离： (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P,Q两点间的距离为2？请直接写出t的值 6.“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和 良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一 次；将这条直线看成数轴，起点记为M,折返点记为N,主席台记为点O,两位同学分别记为点P,Q:若 动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点： 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n,且满足m+20+(n-40)=0 -30-25-20-15-10-5051015202530354045 (1)直接写出、n的值： (2)设点P在数轴上对应的数为x,那么当x为多少时能使得PO+PN=50? (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始 改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值. 【题型4数轴动点中的翻折问题】 7.己知点A,B在数轴上，A,B对应的数字为a,b,满足(a-1)+7-=0,点M从点A开始以2个单 位长度秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)a= b= (2)用含t的代数式表示点M对应的数为 点N对应的数 (3)数轴上有一点P.若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q,点Q对应的数为-14.当点N到达点 P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M,N同时停止移动.在移动过程中，请用含t的代数式表 示点M与点N之间的距离MN, 8.数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的 点之间的内在联系，是数形结合的基础.翻折是初中数学重要的图形变化.请借助数轴，结合具体情境解 答下列问题 4/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1012 345 D 折痕 图1 图2 【问题情境1】 如图1，若数轴上表示1的点与表示5的点重合. ①则表示10的点与表示 的点重合： ②若数轴上D,E两点之间的距离为18（点D在点E的左侧），当D,E两点经折叠后重合，则点D表 示的数为一，点E表示的数为一： ③若点M表示数a,点N经折叠后与点M重合，则点V表示的数是 【问题情境2】 如图2，一条数轴上有M,N，,P三点，其中点M,N表示的数分别是-21和8，现以P为折点，将数轴 向右对折.若对折后点M对应的点为M',且点M'与点N之间的距离为3，求点P表示的数， 【题型5数轴动点中的定值问题】 9.已知：如图数轴上有A,B,C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A,B表示的有理数互为相反 数，AC=40,数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒 (t>0). B C (I)点A表示的数是，点C表示的数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）： (2)当t=秒时，P,B两点之间相距10个单位长度： (3)若点A,点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以 3个单位秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m,使得mAP+5BP-3CP为定值，若存在，请 求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由， 10.课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a,点B表示数b,线段AB的长表示为 a+b AB·当点C为线段AB中点时，即4C=BC时，点C表示的数为2.请同学们借助以上结论，解决下 面问题： 如图，在数轴上的A点表示数-2，B点表示数5.若在原点O处放一挡板，一动点P从点A处以2个单位 5/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /秒的速度向左运动：同时另一个动点Q从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原 来的速度向相反的方向运动，回到B点后，两动点均停止运动，运动结束.假设运动的时间为·（秒）· A B (1)动点P表示的数为 当0<1，时，动点0表示的数为 5 .10 当1≤3时，动点Q表示的数为一；（用含，的代数式表示） (2)当O是线段2中点时，求时间t的值； (3)分别取OB和AQ的中点E,F: ①当EF=2时，求时间t的值： ②试判断是否存在常数m,使得AB-O卫+mEF的值是定值，若存在，求出m的值：若不存在，说明理由. 【题型6数轴动点中的新定义问题】 11.已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点.且A,B两点间的距离为10，动点P从 点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的 速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发.设运动时间为(t>0)秒.求： ←-9B ←-PA 0 6 (1)当点P运动多少秒时，点P追上点Q? (2)当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ (3)如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”·求出点 P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点” 12.对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数 量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”· 例如：数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4，此时点B是点A,C的“联盟点”. B C 012345 2 (四若点A表示数2：点B表示数2，则下列各数3,0,4,6所对应的点分别为C,C,’C,C,其中 6/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是点A,B的“联盟点”的是 (2)点A表示数-10，点B表示数30，点P为数轴上的一个动点， ①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“联盟点”，求此时点P所表示的数： ②若点P在点B的右侧，点P,A,B中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点P 所表示的数为 6.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C 是【A,B】的好点.例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距 离是2，到点B的距离是1，那么点C是【4，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1， 到点B的距离是2，那么点D就不是【A,B】的好点， (图1) M -3-2-101234 (图2) 知识运用： (1)如图1，点D是的好点： (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4.则数所表示的点是 【M,N】的好点： (3)已知A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从 点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P、A和B中恰有一个 点为其余两点的好点？ ★7能力培优练 1,如图，数轴上线段AB=2(单位长度)，CD=4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长 度/秒的速度向左匀速运动.间：当BC=8(单位长度)时，运动时间为多少秒？() 7/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 0 CD→ A.2秒 B.13.4秒 C.2秒或4秒 D.2秒或13.4秒 2.如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-9，点B 表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表 示为AD=45.点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点D,点N从点D出发沿着“折线数轴”运动 至点A,两点同时出发.点M,N的初始速度分别是3个单位长度/秒和6个单位长度/秒，点M和点W 运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的3，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开 折线后速度恢复为初始速度.一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为(>0)秒，有下列结论： B 12 A-→MO C 9 N*P 0 24 36 ①当t=9时，点N表示的数为数轴的原点； ②当点M到达点D时，t=21: ③当点N到达点A时，t=11; ④运动过程中，点M和点N在线段OB上相遇； ⑤当t=11或18时，MB+MC=16 以上结论正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.在一张透明的纸上画一条数轴，点A,B在数轴上表示的数分别为-19,6，如图，以点C为折点，将 此数轴向右对折，若对折后点A对应的点A'落在数轴上，且A',B两点之间的距离为3，则点C表示的数 是 B 4.定义：已知点MNQ为数轴上三点，我们规定：点到点M的距离是点到点N的距离的K倍， 则称Q是[M,N]的“K倍点”，记作：Q[M,门=K.例如：若点9表示的数为0，点M表示的数为-2， 点N表示的数为1，则Q是[M,]的“2倍点”，记作：[M,]=2.应用：如图有一条数轴，A、B、P 8/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为数轴上三点，分别对应-1,5，-3.P[B,4的值是一：若点D是数轴上一点，且D[4,B]=3,则 点D表示的数 B -5-4-3-2-1012345671 5.点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b，且a、b满足a-8+(b+6)'=0 B 0 图1 B o 备用图 (1)填空：a=」 b= 一；线段AB的长为 (2)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个 单位长度的速度沿数轴向左移动：动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动， 点P,Q,M同时出发，设运动时间为t秒， ①点C在数轴上对应的数为10，在数轴上（图1中）标出C的大致位置，若动点M到A,B,C三点的距 离满足MA+MB=MC,求此时点M对应的数； OP+OA ②若QM的取值与无关，求，的最大值. 6.【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研 究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A,B两点之间的距离 a+b AB=口-b,线段4B的中点表示的数为2·如图，数轴上点4表示的数为4'点g表示的数为16 A B A B -40 16 -40 16 备用图 【综合运用】 (I)填空：A,B两点间的距离AB= 一，线段AB的中点表示的数为 (2)若M为该数轴上的一点，且满足MA+MB=28,求点M所表示的数： (3)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动；同时点Q从点B出发，以每 秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后， P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒(>0)· ①当t为何值时，P,Q两点第一次重合？ ②当t为何值时，P,Q两点间距离为8？ 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D表示的数分别为-6、0、4、8、12，点P、Q是数轴上的两个 动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q从点D出发， 以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒， B 0 B D A -6 0 4 8 12+ -6 0 P 121 图① 图② (I)移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为 点Q在数轴上所表示的数为一；（用含t的式子 表示) (2)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度： (3)现将数轴在原点O和点B、点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”.动点P从点O运动 到点B速度为起始速度的一半，从B点运动到C点的速度为起始速度的2倍，到达C点之后立刻恢复起始 速度向终点D运动；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动.当 t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度， 8.已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即 PA=kPB,则称P是M,B]的“k倍点”，记作：P[4,B]=k.例如：若点P表示的数为O,点A表示的数 为-2，点B表示的数为1，则P是[A,B]的“2倍点”，记作：P[4,B]=2. A -5-4-3-2-101234567 备用图 (I)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①P[A,B]= ②若点C在数轴上且C[4,B]=1,则点C表示的数为一： ③点D是数轴上一点，且D[4,B]=2,求点D所表示的数. (2)数轴上，点E表示的数为-20，点F表示的数为60，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴 上做匀速直线运动，且M的速度为5单位秒，设运动时间为t秒(>0)，当M[E,F]=3时，请直接写出t 的值. 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★创新拓展练 1.己知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数-1对应的点重合，则数 轴上数-2对应的点与数2对应的点重合 -4-3-2-101234 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上-4对应的点与数0对应的点重合. (1)数轴上数3对应的点与数 对应的点重合： (2)若点A到原点的距离为5，且点A,B经折叠后重合，则点B表示的数为 (3)若数轴上M,N两点之间的距离为2026，且点M,N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的 数大，求点M,N表示的数 2.如图所示，在数轴上从左到右有点A,B,C,其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设 点A,B,C所对应的数的和是心，三个动点P,O,M分别从点A,B,C同时向数轴正方向运动，点P与 点Q的运动速度相同，都是每秒2个单位长度，点M的运动速度是每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒，请回答下列问题： A B C (I)若以C为原点，则的值是 (2)若点C到原点的距离为4,6秒后点P表示的数为： (3③)请求出当t为何值时，M=2: (4)在三个动点P,Q,M的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点 重合时刻，请直接写出此时t的值。 3.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-I0,，点B表 示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发，以2单位/秒的 速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速： 同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为 原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点P到达点C时，两点都停止运动.设运动时间为t 11/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9←C 。 10 18 A→P -10 0 (1)t=3秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_；点Q在“折线数轴”上所对应的数是_： (2)P,Q两点相遇时，1=秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是_： (3)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值. 4.定义：对于数轴上一点P和一个非零常数k,若存在点Q,使得点Q到原点的距离是点P到原点距离的 k倍，且PQ两点在原点两侧，我们就称点Q是点P的“k倍对称点”.特别地，我们规定原点的“k倍 对称点”为原点.例如，数轴上表示-1的点的“3倍对称点”为表示3的点，表示2的点的“4倍对称点” 为表示-8的点. 已知数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为6，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴 正方向运动，设运动时间为t秒(t之0) A O B (1)点A的“1倍对称点”表示的数是 点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是 (2)①点M表示的数是 (用含t的代数式表示). ②当为何值时，点M的“2倍对称点”到点A的距离是6个单位长度， (3)已知点Q为点M的“k倍对称点”，点N为点的“1倍对称点”，那么在点M运动过程中，是否存在 某个或k的值，使得点N到原点的距离恰好等于它到点M的距离？若存在，求t或k的值：若不存在，请 说明理由， 5.【阅读理解】 定义：如图，线段MN上一点P将线段MN分成两条线段MP,NP,若MP=2NP或NP=2MP,则称P 点为线段MN的“好点”. M P M P C P P2 B -6 0 3 图1 图2 (1)如图1，B,B是线段AB的“好点”，且AB=6cm,则PB=_cm, 【迁移运用】 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，点C,点D是数轴上两点，表示的数分别为6,3，一动点E从C点出发，以每秒3个单位 长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒 ①点C,D之间的距离是个单位长度： ②当点E是线段CD的“好点”时，求t的值： ③若在点E出发的同时，点Q从D点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点E运动到 点D时，两点同时停止运动.请直接写出点E,D,Q三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好 点”时t的值 13113 专项训练02 数轴上的动点探究问题 【知识点1 数轴上的动点探究问题】 1. 两点基础关系（距离与中点） - 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。 - 中点公式：A、B 的中点M对应的数为（即平均数）。 - 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。 2. 动点位置表示（含时间参数） - 匀速运动：点P从a出发，速度为v，运动时间为t： - 向右运动：P(t) = a + vt ； - 向左运动：P(t) = a - vt。 - 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。 - 多动点：分别用含t的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。 3. 核心题型与列方程策略 - 追及/相遇： - 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）； - 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。 - 距离问题： - 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）； - 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。 - 中点/定比分点： - 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M为定点或另一点）。 - 隐含条件： - 时间 t≥0； - 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。 - 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。 【题型1 数轴动点中的相遇问题】 1．如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 【答案】(1)16，2 (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴． （1）设点表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点表示的数，再利用线段中点公式可得的中点表示的数； （2）根据在数轴上点的移动规律列代数式； （3）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （4）根据，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为x， ∵点表示的有理数为， ∴， 解得：， 即点表示的数为16， 线段的中点表示的数为， 故答案为：16，2； （2）解：∵点表示的有理数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， ∵点表示的数为16，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， 故答案为：，； （3）解：点与点相遇时，， 解得， 所以当时，点与点相遇； （4）解：，分以下两种情况： 点与点相遇前，，即， 解得， 此时点表示的数是：； 点与点相遇后，，即， 解得， 此时点表示的数是：． 2．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的性质得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意，， 解得：， 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 【题型2 数轴动点中的相距问题】 3．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是的中点．已知，，请回答下列问题： (1)填空：________； (2)现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动．P、Q两点同时出发，设秒后点P，Q所表示的数分别为m，n． ①当时，________，_______，此时P，Q两点之间的距离是_______； ②求几秒后，P，Q之间相距4个单位长度． 【答案】(1)14 (2)①；6；10；②或4秒 【分析】（1）根据点C是的中点，即点C到点A、B间的距离相等，然后利用数轴上两点间的距离等于数轴右边的数减去左边的数，即可求解； （2）①直接根据点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动计算即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为b，点C表示的数为，点C是的中点，， ∴； （2）解：①当时，，，此时P，Q两点之间的距离是； ②∵P，Q之间相距4个单位长度 ∴， 即 解得：或． 4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【答案】（1）9，；（2）或；（3），，；（4）经过4秒会相遇；A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：9，； （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）当时， 解得：， ∴经过4秒会相遇； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【题型3 数轴动点中的折返问题】 5．数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q第一次相遇时t的值为3 (2)9 (3)或或13或17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． （1）利用路程速度时间，结合点P和点Q第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出点Q到达点A所需时间，找出当时点P，Q表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P到点Q的距离； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴当点P和点Q第一次相遇时，t的值为3； （2）解：（秒）， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∴当时，点P到点Q的距离为9； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得或． 综上所述，在整个运动过程中，当t为或或13或17时，P，Q两点间的距离为2． 6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【题型4 数轴动点中的翻折问题】 7．已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 【答案】(1)1；7 (2)； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，则可求出； （2）用点A表示的数加上点M运动的路程即为点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的路程即可求出点N表示的数； （3）先根据点P和点Q到折叠点A的距离相等求出点P表示的数，进而求出点N运动到点B的时间，以及点N回到点B的时间，然后分点N从B到P的运动过程和点N从P到B的运动过程，两种情况分别表示出点M和点N表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；7； （2）解：由（1）得，点A表示的数为1，点B表示的数为7， ∵点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动， ∴点M对应的数为，点N对应的数， 故答案为：；； （3）解：∵将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为， ∴点P和点Q到点A的距离都为， ∴点P表示的数为， ∴点N运动到点P的时间为秒， ∴当点N运动到点B时的运动时间为秒； 当时，由（1）得点M对应的数为，点N对应的数， ∴； 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴； 综上所述，． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【答案】【问题情境】；，；； 【问题情境】点表示的数为或． 【分析】【问题情境】根据数轴上表示的点与表示的点重合，则点与的距离和点与的距离相等，从而求解； 根据题意，数轴是绕数折叠，则点表示的数为左侧个单位，点表示的数为右侧个单位，然后由有理数加减运算即可； 分当在左侧时和当在右侧时两种情况分析即可； 【问题情境】分当落在点左边时，当落在点右边时两种情况分析即可； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：1【问题情境】 ∵数轴上表示的点与表示的点重合， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ∵数轴上，两点之间的距离为，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ∵，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴， 当在左侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 当在右侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 综上可知：点表示的数是， 故答案为：； 【问题情境】 当落在点左边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 当落在点右边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 【题型5 数轴动点中的定值问题】 9．已知：如图数轴上有A，B，C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A，B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数是，点C表示的数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）； (2)当秒时，P，B两点之间相距10个单位长度； (3)若点A，点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5或15 (3)存在，，定值为 【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，由两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； （2）分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； （3）分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． （2）解：①当点P在点B左边时，如图 ， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； ②当点P在点B右边时，如图 ， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度． （3）解：存在常数m，使得为一个定值．理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，且在数轴上从左到右依次为点A，P，B，C， ∴ ， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 10．课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或②存在， 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题： （1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据的值是定值，得到整式的值与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 当时，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为； 故答案为：，，； （2）①当时，，解得：； ②当时，，解得：（舍去）； 故． （3）①由题意，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或； ②存在： 由题意，得：， 当时，，， ∴， ∴当时，为定值； 当，，， ∴， ∴当时，为定值； 综上：当时，的值是定值． 【题型6 数轴动点中的新定义问题】 11．已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．设运动时间为秒．求： (1)当点运动多少秒时，点追上点？ (2)当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ (3)如果、、中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称、、为一组“幸福点”．求出点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”． 【答案】(1)当运动秒时，点追上点 (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 (3)当点P运动秒或秒或秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）根据追及问题的等量关系，利用动点的运动距离减去动点的运动距离等于，两点间的距离为10，列方程即可求解； （2）根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． （3）根据题意分3种情况讨论：当点B为的中点，当点P 为的中点，当点Q为的中点，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：当运动2.5秒时，点追上点． （2）解：根据题意，得当点与点相遇前，距离为8个单位长度： ， 解得； 当点与点相遇后，距离8个单位长度： ， 解得； 答：当点运动0.5秒或4.5秒时，点与点间的距离为8个单位长度； （3）解：∵点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10， ∴点表示的数为， 根据题意，得当点B为的中点：， 解得； 当点P 为的中点：， 解得； 当点Q为的中点：， 解得； 答：当点P运动1.25秒或2秒或5秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”． 12．对于数轴上的A，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点A，的“联盟点”． (1)若点A表示数，点表示数2，则下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，的“联盟点”的是________； (2)点A表示数，点表示数30，点为数轴上的一个动点， ①若点在点的左侧，且点是点A，的“联盟点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点，A，中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点所表示的数为________． 【答案】(1)或； (2)①当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；②70或50或110 【分析】（1）根据联盟点的定义进行判断即可； （2）（2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行解答，即点A是点，点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点不是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点不是A，的“联盟点”； ∵，， ∴点是A，的“联盟点”； （2）解：① 设点P表示的数为x， 如图，当点在点A左侧时，， 则， 解得：， 所以点表示的数为； 如图，当点在线段上且时， 则， 解得：， 所以点表示的数为； 如图，当点在线段上且时， 则， 解得， 所以点表示的数为； 综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或； ②若点在点的右侧， 当点A是点，点的“联盟点”时，有，即， 解得； 当点是点A、点的“联盟点”时，有或， 即或，解得或； 当点是点A、点的“联盟点”时，有，即， 解得； 故答案为：70或50或110． 6．阅读理解：若A、B、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是的好点．例如，如图 1，点A 表示的数为，点B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，那么点 C 是的好点； 又如，表示 0 的点D 到点A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，那么点 D 就不是的好点． 知识运用： (1)如图1，点D是 的好点； (2)如图 2，M、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为，点N 所表示的数为 4．则数 所表示的点是的好点； (3)已知A、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时， P、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)或 (2)2或10 (3)当秒或20秒或15秒 【分析】（1）由数轴可得，，再由好点的定义求解即可； （2）设点是的好点，由好点的定义可得，设表示的数为，再分两种情况列方程求解即可； （3）根据好点的定义，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点，分4种情况讨论，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴， ∴点D是或的好点； （2）解：设点是的好点， ， 设表示的数为， 当在、之间时， ， ∴ ∴点表示的数为2， 当在右边时， ， ， ∴点H表示的数为10， 综上：点H表示的数为10或2； （3）解：当P 是好点时， 即， ； 当P 是好点时， 即， ， ； 当是好点时， 即， ∴ ， 当A是好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，P、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 1．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 设运动t秒时，然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16， ∴（单位长度）， ∵（单位长度）， ∴（单位长度）； 设运动t秒时， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：， 解得：． 即运动2秒或4秒时，（单位长度）． 故选：C． 2．如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先理解题意，得出，，，，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当时，点表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点到达点时，；依题意，，即当点到达点时，，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在之间，再设未知数以及列方程，分别算出当时，点M表示的数为，当时，即点M表示的数为，当时， 即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点表示12，点表示24，点表示36，表示， ∴，，，， ∵ 点表示36，点的初始速度是6个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当时，点表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点初始速度是3个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ , 即当点到达点时，； 故②符合题意； 依题意， , 即当点到达点时，， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点的时间是 点M到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 故点M和点N相遇只可能在之间， 设相遇时间为 点M在线段上的速度是， 则点M表示的数为， 点N在线段 上的速度是， 则， 故， 解得， 即运动过程中，点和点在线段上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当时，， 即点M表示的数为， 则， ∵， 由②得当点到达点时，； 依题意，， 即当时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 3．在一张透明的纸上画一条数轴，点，在数轴上表示的数分别为，6，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折后点对应的点落在数轴上，且，两点之间的距离为3，则点表示的数是________． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 【详解】当在的右侧且距离是3时， 点表示的数为9， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． ②当在的左侧且距离是3时， 点表示的数为3， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：或． 4．定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出，，则有，即，设点表示的数为，则有，，由，得，然后求出的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵为数轴上三点，分别对应，，， ∴，， ∴， ∴， 设点表示的数为，则有，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或， 故答案为：，或． 5．点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足． (1)填空：__________；__________；线段的长为__________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点，，同时出发，设运动时间为秒， ①点在数轴上对应的数为，在数轴上（图中）标出的大致位置，若动点到，，三点的距离满足，求此时点对应的数； ②若的取值与无关，求的最大值． 【答案】(1)；；； (2)①见解析，或；②． 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加为则各自为，求出、的值，再用数轴上两点距离公式计算线段的长度． （2）①设点对应的数为，根据点在数轴上的位置表示出、、，代入等式，通过绝对值方程求解的值．②先表示出运动秒后点、、对应的数，进而得出、、的表达式，分和两段化简，根据“取值与无关”的条件确定的最大值． 【详解】（1）解：， , ， ,， ,， ∴； （2）解：①如图所示，点为所求， 设点对应的数为，可能在左侧，也可能在右侧，但始终在，左侧， 则， ， ， ， 解得：或． ∴点对应的数为或； ②速度比快，比慢， 故始终在右侧，可能在左侧，也可能在右侧， 表示的数是，表示的数是表示的数是， ， ， 当时，， ， 当时，， ，取值与有关，不合题意， 的最大值是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上两点间的距离公式、动点问题的代数表示、绝对值方程的求解以及代数式的分类化简，熟练掌握非负数的性质、用代数表示数轴上点的位置和距离，以及对含绝对值的表达式进行分类讨论是解题的关键． 6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D表示的数分别为、0、4、8、12，点P、Q是数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为______，点Q在数轴上所表示的数为______；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度； (3)现将数轴在原点O和点B、点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P从点O运动到点B速度为起始速度的一半，从B点运动到C点的速度为起始速度的2倍，到达C点之后立刻恢复起始速度向终点D运动；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度． 【答案】(1)， (2)当或，P、Q两点相距2个单位长度 (3)当或时，P、Q两点相距2个单位长度 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况：①相遇前、相距2个单位长度 ，即点在点左侧时，②相遇后、相距2 ，即点在点右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）由题意可得在段运动时间为3秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为1秒，在段运动时间为2秒，点在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为6秒，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为，点Q在数轴上所表示的数为； 故答案为：，； （2）解：①相遇前、相距2个单位长度 ，即点在点左侧时， 或， 解得 ②相遇后、相距2 ，即点在点右侧时， 或， 解得； 综上所述，当或，P、Q两点相距2个单位长度； （3）解：根据题意可知，∵点在段的运动速度为2个单位长度/秒，点在段的运动速度为1个单位长度/秒，点在段的运动速度为4个单位长度/秒，点在段的运动速度为2个单位长度/秒， ∴在段运动时间为3秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为1秒，在段运动时间为2秒， ∵点在段的运动速度为1个单位长度/秒， ∴点在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为6秒， 当点运动到点用时4秒，同时点运动到数字5处，、两点相距1个单位长度， ∴①在段，在段，或， 解得； ②当、两点都在段， 点在段表示的数为，点在段表示的数为，        ∵当、两点相遇时，点、表示的数相等， ∴， 解得， ∴点、表示的数为， ∴、两点相距2个单位长度可以在段上，          ∴或， 解得或， 当时，点尚未进入段，故不符合题意； ∴当或时，、两点相距2个单位长度． 8．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为______； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为60，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)①4；②2；③或1 (2)8秒或20秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，理解新定义是解题的关键． （1）①分别根据新定义可解答； ②由点C在数轴上且，可知点C是点A和点B的中点，据此求解即可； ③设点D表示的数是x，根据得出，然后解方程即可； （2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为，分点M在点F的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 【详解】（1）解：①∵点P表示，点A表示5，点B表示， ，， ， 则P是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； 故答案为：2； ③， ， 设点D表示的数是x， ∵点A表示5，点B表示， ， 或1， ∴点D所表示的数为或1； （2）解：设点M在数轴上表示的数为a， ， ， ∵点E表示的数为，点F表示的数为60， ， 或100， 当点M运动到点F的左边时，，解得：； 当点M运动到点F的右边时，，解得：； 综上所述，t的值为8秒或20秒． 1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上对应的点与数0对应的点重合． (1)数轴上数3对应的点与数________对应的点重合； (2)若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为________； (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 【答案】(1) (2)B表示的数为或 (3)点M表示的数是，点N表示的数是 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴两点之间的距离，理解折点的计算，数轴上两点之间距离的计算是关键． （1）根据材料提示的折点计算即可； （2）根据折点，两点之间距离的计算方法即可求解； （3）设点表示的数是，根据折点的计算，两点之间距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上对应的点与数0对应的点重合， ∴折点为， ∵， ∴数轴上数3对应的点与数对应的点重合， 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离为5， ∴点A表示的数是或， ∵折点是， ∴当点A表示的数是时，， ∴点B表示的数是1； 当点A表示的数是时，， ∴点B表示的数是； 综上所述，B表示的数为或； （3）解：设点表示的数是， ∵M，N两点之间的距离为2026， ∴， ∴， ∵点M，N经折叠后重合， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴点M表示的数是，点N表示的数是． 2．如图所示，在数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设点A，B，C所对应的数的和是m．三个动点P，Q，M分别从点A，B，C同时向数轴正方向运动，点P与点Q的运动速度相同，都是每秒2个单位长度，点M的运动速度是每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)若以C为原点，则m的值是______； (2)若点C到原点的距离为4，6秒后点P表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，； (4)在三个动点P，Q，M的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)或6 (3)5或9 (4)4或或13 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）分点C在原点左侧和点C在原点右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数，再用点A表示的数加上点P运动的距离即可得到答案； （3）设出点A表示的数，则可得到点B和点C表示的数，进而求出点Q和点M表示的数，根据建立方程求解即可； （4）设出点A表示的数，则可得到点B和点C表示的数，进而求出点P、点Q和点M表示的数，根据题意可得P总在点Q的左侧，则可分为三种情况：当点Q到点M的距离和点Q到点P的距离相等时，则点Q为的中点，当点M到点P的距离和点M到点Q的距离相等时，则点M为的中点，当点P到点Q的距离和点P到点M的距离相等时，则点P为的中点，根据中点公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C到点B的距离为7，且C为原点， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴； （2）解：当点C在原点左侧时， ∵点C到原点的距离为4， ∴点C表示的数为， ∵点C到点B的距离为7， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴6秒后点P表示的数为； 当点C在原点右侧时， ∵点C到原点的距离为4， ∴点C表示的数为， ∵点C到点B的距离为7， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴6秒后点P表示的数为； 综上所述，6秒后点P表示的数为或6； （3）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴运动t秒后点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得或； （4）解：设点A表示的数为y，则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 由题意得，点P总在点Q的左侧， 当点Q到点M的距离和点Q到点P的距离相等时，则点Q为的中点， ∴， 解得； 当点M到点P的距离和点M到点Q的距离相等时，则点M为的中点， ∴， 解得； 当点P到点Q的距离和点P到点M的距离相等时，则点P为的中点， ∴， 解得； 综上所述，t的值为4或或13． 3．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点 P到达点C时，两点都停止运动．设运动时间为t． (1) 秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是 ；点Q在“折线数轴”上所对应的数是 ； (2)P，Q两点相遇时， 秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是 ； (3)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)t 的值为 2，，11 或 17． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数， （2）因为P从A到O需要5秒，Q从C到B需要8秒，8秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求解； （3）分情况讨论，①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示，点B 表示10，点C表示18，我们称点A 和点 C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动， ∴当秒时，，， 则P点对应的数为，Q点对应的数为； （2）解：依题意，P从A到O需要（秒），Q从C到B需要（秒）， 点P运动到点时的时间是（秒）， 点Q运动到点O时的时间是（秒）， 由题可知，P、Q两点相遇在线段上于M处，设． 则， 解得．此时， M 所对应的数为； （3）解：P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能： 依题意，P从A到O需要（秒），Q从C到B需要（秒）， 点P运动到点时的时间是（秒）， 点Q运动到点O时的时间是（秒）， 又∵动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍， ∴①当时，动点Q在上，动点P在上， 则： ， 解得：． ②当时，动点Q在上，动点P在 上， 则： ， 解得：． ③当时，动点Q在上，动点P在上， 则， 解得：． ④∵当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动时间为t． ∴当点P到达点C时，时间， 故当时，动点Q在上，动点P在上， 则：， 解得：． 综上所述：t的值为2，，11或17． 4．定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． (2)①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． (3)已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）①根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；②先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． （2）解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； （3）解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 5．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图1，，是线段的“好点”，且，则 ． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是 个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求t的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点，，三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）；（2）①；②或；③或． 【分析】（1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：根据“好点”定义得，，， ∴（）， 故答案为：； （2）解：①点，之间的距离为， 故答案为：； ②当时，； 当时，； 综上，或； ③秒后点表示的数为，点表示的数为， 则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $