专项训练06 一元一次方程中含参数问题（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“系数定解”为核心，系统整合解的判定、特征条件及同解问题，通过6类分层题型实现从概念到创新应用的逻辑闭环，强化推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解的情况判定|3要点|“系数定乾坤”：化ax=b形式分类讨论唯一解、无数解、无解|从方程定义推导解的存在条件，建立参数与解的关联| |解的特征条件|3类型|解的正负（列不等式）、整数解（整除性）、解相等（解表达式等量代换）|从解的属性拓展参数限定，体现数学思维的严谨性| |同解与错解问题|2方法|同解（解代入法/解表达式相等）、错解（代入未看错部分反求）|通过情境变式深化方程解的本质理解，培养问题转化能力| |6类典型题型|12道典例|定义辨析、解的应用、同解参数、含参解、整数解、新定义|覆盖基础到创新考法，以题载法构建“概念-方法-应用”完整链条，渗透模型意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练06一元一次方程中含参数问题 知识复盘卡 【知识点1一元一次方程中含参数问题】 1.解的情况判定：系数定乾坤 对于一元一次方程x=b(.b可为含参表达式)： b 唯一解：0，解为xa -无数解：1=0且b=0,方程化为0*x=0，任意实数均为解。 -无解：1=0且时0，方程化为0x=b(b0),无解。 >关键：含参方程先化为标准形式=五，再按上述原则分情况讨论。 2.解的特征条件：正负、整数、相等 -解的正负：先解出x=m)(含参表达式)，再列不等式： -x>0、x<0、之0等。 -解为整数：um)为整数，常结合整除性求参数（如m为整数，m)需能被某数整除）。 -解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出：=m)、为=g(),再令fm)=g(m)求参数。 3.同解与错解问题：代入法破题 -同解方程： 、 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数： -或分别用含参式子表示解，令其相等。 错解问题（看错系数）： -如“看错得解”，则将代入未看错的方程部分，反求参数： 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。 培优拓展训练 ★巩固提升练 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1利用一元一次方程的定义求字母参数】 1.已知方程(m-3)x2+2026=0是关于x的一元一次方程，则m的值为」 2.如果关于x的方程(m-2)x+4=7是一元一次方程，则m= 【题型2利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】 3.若x=2是关于x的一元一次方程mx-”=2的解，则3-4m+2m的值是一 4.若x=3是关于x的一元一次方程心-b-2=0的解，则代数式4+3a-b的值为 【题型3利用一元一次方程的解相同求字母参数】 5.若关于x的方程2x+3m-1=0和方程5-3(x+1)=2同解，则m的值等于一. x-1 6.若方程2(c-)=-3x+8的解与关于x的方程2-m=3的解相同，则m的值为一 【题型4求一元一次方程含字母参数的方程的解】 7若关于，的方程3+2-226+“的解为=4：则关于)的方程30+2小+2-6+2+a价解为. 8关于x的-元次方程062026x=8的解是x=10则关于y的一元-次方程 y+2-2026y-4052=a的解是 2026 【题型5一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】 9.关于x的方程2ax+1=2x+7的解是正整数，则满足条件整数a的和是 10.己知关于x的方程0：-1=2(x+)的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 217 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型6一元一次方程含字母参数的新定义型问题】 11.我们定义：若关于x的一元一次方程=b的解满足x=b-a,则称该方程是“差解方程”，例如： 3x=4.5的解为x=4.5-3=1.5,则该方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程2x=4差解方程：（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程4x+3=m是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 (3)已知关于x的一元一次方程4x=ab+a是“差解方程”，求3(ab+a)的值. 12.中考新趋势新定义定义：关于x的方程ax-b=0与方程br-a=0(a,b均为不等于0的常数)称互 为“反对方程”，例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“反对方程”. (1)若关于x的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”，则c= (2)若关于x的方程2x-3=d与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值： 2026 ③)已知关于x的一元一次方程202)x+5=7x+m的解为x=2,那么关于)的一元一次方程 1 (m-50y+2)+7=2026 2027的解为. (请直接写出答案) ★能力培优练 1.若关于x的方程3x+a=10的解为x=2,则a的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知方程2x+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是() A.1 B.-1 C.±1 D.2 1 9 ⑧，王涵同学在解关于的方程)+3号时，误格“”看作“，得到方程的解为)，邪么原 方程的解为() A.x=2 B.x=3 C.x=-3 D.x=1 4.己知关于，的方程x 2。-青2有丝数解，则。的所有可能的取生的和以） A.-18 B.-23 C.-32 D.-39 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.下列结论： ①若x=1是关于x的方程a+bx+c=0的一个解，则a+b+c=0; ②若a-l)=bx-l)有唯一的解，则a≠b; @若h=2a则关于的方程a+6=0at0)的解为x= 2: ④若-a+b+c=1,且a≠0，则x=-1一定是方程ax+b+c=1的解： 其中结论正确个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.若x=3是方程2x+a=10的解，则a=一. 2x_生-1去分母时，方程右边的“-”项没有乘6。因而求得的解是x=10:则 7.小玉在解方程3=2 a=- 8.若关于x的方程3 2c+m_一水+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1,则m-n= 6 9.若方程(m+)x+2=0是关于x的一元一次方程，则代数式m24-1-m的值是一 10.k是一个正整数，关于x的一元一次方程2-9=(k+2)x有正整数解，则k= 11.己知关于x的方程4x-(3a+)=6x+2a-1的解与5(x-3)=4r-10的解互为相反数. (1)求a的值； (2)求代数式a-a'的值. 12.(小已知4是方程2(c-月-子+m的解，求m的位 (2)方程21-x)=x-1的解与方程3 二m=2x+m的解相同，求m的值。 13.【定义】若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a,则称该方程为“友好方程”.例如：方 程2x=-4的解为x=-2,而-4+2=-2，则该方程为“友好方程”. 四在方程①2x=-1,②4x=-16 3中，为“友好方程”的是一；（填序号） (②)若关于x的一元一次方程-2x=2m+1是“友好方程”，求m的值. 417 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★创新拓展练 1.若x=1是一元一次方程axr+2b=1的解，则5-2a-4b的值为() A.3 B.-3 C.4 D.-4 2.若关于x的方程(k-2026)x-2024=6-2026(x+1)的解是整数，则整数k的取值有() A.6个 B.5个 C.3个 D.2个 3.已知关于x的一元一次方程2025x-3=4x+3b的解为x=3,则关于y的一元一次方程 20251-y)+3=4(1-y)-3b的解为() A.y=-4 B.y=5 C.y=4 D.y=-5 4亲嘉同学在解关于x的方程号+6时，由于相心大意，误将等号左边的“+“。， x+a+x-1_3 +6”看作了“ x-1 ”,其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=2,则原方程的解是（) 6 3 B.x=3 .4 5 A.x= 4 C.x D.X=4 5.如果关于x的方程(2m-1)x=2x+1无解，那么m满足的条件是一· 6,已知关于的方程x-4--+2_1 6=3一2的解是非正整数，则符合条件的所有整数。的和是 7.例如“已知关于x的方程2x-a=b的解为x=2,求关于y的方程20-2)-a=b的解.”可以这样解： 可得y-2=2,所以y=4:若关于x的方程2+m=m的解是x=3,且式子2 ,(a-b+m=n成立，则 5a-2(2a-b)-3b的值为 8,已知关于x的一元一次方程2025x+3=2x+b的解为x=5,那么关于y的一元一次方程 20252y+山)三4y-1+b的解为 9.已知关于x的一元一次方程m-5)x1+m-3=0,其中m为整数 (1)求n的值 (2)若该方程与方程2x-5=3(x-)同解，求m的值 (3)若该方程有整数解，求m的值 10.方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值.如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做 “立信方程”. 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若“立信方程”2x+1=1的解也是关于x的方程1-2(x-m)=3的解，则m=一： (2)若关于x的方程x2+3x-4=0的解也是“立信方程”6x+2x2-3-n=0的解，则n=一： 3)若关于x的方程ax=2a-3a2-5a+4的解也是关于x的方程9x-3=x+14的解，且这两个方程都是 “立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值， 11.定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”，例如：方程 3x=9和x+2=0为“友好方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-3=x+12是“友好方程”，则m=一：若“友好方程”的两个 解的差为5，其中一个解为x=n,则n=一· 3x-2_x+m (②若关于x的方程2+m=0与方程)=2是“友好方程”，求m的值。 1 1 (③)若关于x的一元一次方程2026x+3=2x+k和2026x+1=0是“友好方程”，请直接写出关于y的一元 -次方程060+小+3=2y+6+2的解 12.数学课本上有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为-4，那么代数式2(a+b)+42a+b)的值是多 少？”小明同学解题过程如下： 解：原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b) 因为5a+3b=4,所以原式=2×(-4)=-8」 小明同学把5+3b作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的 一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛.请仿照上面的解题方法，完成下面 问题： 【尝试应用】 (1)己知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则 a+b.100mn= (2)已知，当x=2,ax3+bx+c+8的值是2023；当x=-2时，ax3+bx+c+8的值是 【拓展提高】 (3已知a-20=1095,2b-c=20242.c-d=10156.3a-20=109求 (3a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. (4)关于x的一元一次方程2-1=2024x-P的解x=-3,解关于y的一元一次方程 617 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60y+8)-1=20240y+8p 717 专项训练06 一元一次方程中含参数问题 【知识点1 一元一次方程中含参数问题】 1. 解的情况判定：系数定乾坤 对于一元一次方程ax = b（a、b可为含参表达式）： - 唯一解：a≠0，解为x =。 - 无数解：a = 0 且b = 0，方程化为0*x = 0 ，任意实数均为解。 - 无解： a = 0且b≠ 0，方程化为0*x = b（b≠0），无解。 > 关键：含参方程先化为标准形式ax = b ，再按上述原则分情况讨论。 2. 解的特征条件：正负、整数、相等 - 解的正负：先解出x = f(m)（含参表达式），再列不等式： - x > 0、x < 0、x≥0 等。 - 解为整数： f(m) 为整数，常结合整除性求参数（如m为整数，f(m)需能被某数整除）。 - 解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出x1 = f(m) 、x2 = g(m)，再令f(m) = g(m)求参数。 3. 同解与错解问题：代入法破题 - 同解方程： - 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数； - 或分别用含参式子表示解，令其相等。 - 错解问题（看错系数）： - 如“看错a得解 x0”，则将x0代入未看错的方程部分，反求参数； - 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。 【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】 1．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 2．如果关于的方程是一元一次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，关键是根据“只含一个未知数、未知数次数为1、系数不为0”这三个条件列方程和不等式求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，即或，解得或； 且，解得； 综上，； 故答案为：． 【题型2 利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】 3．若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 【答案】6 【分析】根据方程解的定义，将代入方程得到，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】 5．若关于的方程和方程同解，则的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得，再把代入，即可求出的值作答． 【详解】解：∵关于的方程和方程同解， ∴由解得 则把代入， 得 解得 故答案为： 6．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．先解方程得到，再代入方程求解． 【详解】解：， 解得． 将代入方程， 得，即． 解得，． 故答案为：． 【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】 7．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 8．关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系． 将化为，可知，求解即可． 【详解】解：∵可化为， ∴方程与方程的结构相同， 即， 解得． 故答案为：． 【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】 9．关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得： ， 由方程的解为正整数，即为正整数， ∴或3， ∴整数，4共2个，和为； 故答案为：6． 10．已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得，再由已知可得或，求出k的值即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有k值的和为 故答案为：8 【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】 11．我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）将方程变形为，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程，解此方程即可得到答案； （3）根据差解方程的定义求出，整理得到即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是，且， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）解： ， 解得， ∵方程是“差解方程”，即是“差解方程”， ∴ ∴， 解得； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴． 12．中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______； (2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值； (3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案） 【答案】(1)2 (2)d的值为或 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 1．若关于的方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：已知方程的解为， 将代入方程：， 解得：． 故选：A． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 3．王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按计算出，再将计算出的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案． 【详解】解：王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为， ， 解得：， ， ， 原方程为， 解得：， 故选：B． 4．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 5．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】①把代入得：，故结论①正确； ②方程可化简为． 若，则方程解为（唯一解）． 若，方程变为，有无穷多解． 题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确． ③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误； ④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确． 故选：B． 6．若是方程的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可． 【详解】解：若是方程的解， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 7．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 8．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m的值．在将m代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 10．k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 11．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 12．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 13．【定义】若关于x的一元一次方程 的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②中，为“友好方程”的是_____；（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求m的值． 【答案】(1)②； (2)． 【分析】此题主要考查解一元一次方程，正确理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）根据“友好方程”的定义得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②， 解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； 故答案为：②； （2）解：∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， 即， ∴， 解得：． 1．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 2．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 3．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：方程可化为，方程可化为， 根据题意，得， 解得． 故选：C． 4．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键． 利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 5．如果关于的方程无解，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出关于的方程是解题关键． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出的值为，，分别求出的值求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且能整除5， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 7．例如“已知关于x的方程的解为，求关于y的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于x的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键． 根据题意得到的值，然后化简条件式即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是，且式子成立， ∴有， ∴． 故答案为： ． 8．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于的一元一次方程变形是解题的关键． 将方程变形为， 再根据方程的解为得到，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 方程的解为， 方程的解为， 解得． 故答案为：． 9．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 10．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 11．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 12．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 1 / 2 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