专项训练01 与绝对值有关的化简（巩固培优）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以绝对值定义（代数/几何意义）和性质为基础，通过非负性应用、数轴化简、分类讨论、几何意义四大题型，系统提炼“定义辨析-性质应用-分类转化”的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点（定义含代数/几何意义，性质含3条性质）|定义双重解读（代数表达式+几何距离模型）、性质结构化梳理（非负性/相反数关系/多解性）|从概念本质（距离定义）到性质推导（非负性等），构建“概念-性质-应用”逻辑链| |题型|4类题型（非负性应用、数轴化简、分类讨论、几何意义），含8道例题+14道练习题|非负性“0+0”模型、数轴化简“符号判断法”、分类讨论“零点分段法”、几何意义“距离最小化模型”|题型与方法一一对应，从基础应用到综合转化，梯度进阶，强化模型意识与运算能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练01与绝对值有关的化简 知识复盘卡 【知识点1绝对值的定义】 1.定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作| +2=2;-3的绝对值等于3，记作-3=3.· 要点分析： (1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0.即对于任何有理数a都有：. [a(a>0) |a={0(a=0) -a(a<0) (2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对 值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.· (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.· 【知识点2绝对值的性质】 性质：·(1)0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数. (2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等. (3)绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.· 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1绝对值的非负性】 1.(1)若+川=0，则x=一，y= (2)若la-6+h=0,则a=一，b= 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(1)根据x是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题. ①x满足 时，式子x+3-6的值最 一，为 ②x满足 时，式子5-x-2的值最一为 ②已知老g0则-8：即日名舌0则：日名，装气人说有硬 x+y x+z y+z 数，且x+y+2=0,z≠0时，直接写出回以冈的值为 【题型2利用数轴化简绝对值】 3.已知有理数a,b在数轴上对应位置如图. -1a0 16→ (1)用“>”或“<”填空：1-b0,a+10: (2)比较a，b，-a,-b的大小（用“<”把它们连接起来），填写在横线上一 (3)化简：1--la-b+la+」 4.已知a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示 a b -1 0 2 3→ (1)a+b0,ab0,a+10(填“<”或“>”) (2)用“<”将a,-a,b,-b连接起来： (3)化简la+1+2a--32-b+d 【题型3分类讨论化简绝对值】 5.在学习一个数的绝对值过程中，化简a时，可以这样分类：当a>0时，4=a,当a=0时，4=0： 当a<0时，4=一a.请用这种方法解决下列问题. a 0四当a=3时，则回一：当。=-2时，则a— (2②已知。'b是有理数，当b>0时，试求可+可的值。 218 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+以+4 (3)已知a'b'e是非零有理数.满足a+b+c=0且abc<0:求6+e+a+e+a+6的值. 6。在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例.当x>0时，仁x:当x=0时，=0， 当x<0时，x=-x, 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 a=1(a≠0) 求解下列问题： (①)当x=5时，丙值为一，当x=-5时，丙的值为一，当x为不等于0的有理数时，丙的值为一： y+z,x+z x+y (②已知x+y+2=0,z>0:求冈+以日的值： (3)已知：x,x2,,x204,x2025,这2025个数都是不等于0的有理数，若这2025个数中有n个正数， +2 2024+X2025 2,则nm的值为一. 十十 (请用含n的式子表示)· 【题型4几何意义化简绝对值】 7.如图，已知数轴上有A,B两个点，分别表示有理数一6,4.若x表示一个有理数. B -6 4 (I)数轴上点A到点B的距离为一：数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为一—一 2)若x-4=2,则x=_一一； 3)式子x-3到+x+5的最小值为一一，此时x的取值范围是一一一 4)式子8-2-3到-2+5有最大值么？若有，请直接写出最大值：若不存在，请说明理由. 8.【阅读】若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则 4B=a-,即5-3引表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)点A,B表示的数分别为-7,2，则4B= (2)若r+2=3,则x= 【应用】 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图，数轴上表示数a的点，问l+3+a-2是否有最小值？如果有，直接写出最小值：如果没有， 说明理由。 方432101234567产 (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数x,x+6+x+3+r-是否有最小值？如果有，直接写出最小 值，并写出此时x的值：如果没有，说明理由· ★能力培优练 1.若x+=0,则x一定是() A.正数 B.负数 C.正数或零 D.负数或零 2.若a-1与b-2互为相反数，则a+b的值为() A.3 B.-3 C.0 D.3或-3 3.实数4，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是() b0 A.a+b<0 B.la->0 C.a-b>0 D.820 4.已知a+b+c=0,则 +2b+Bd a b c 的最大值为() A.6 B.5 C.4 D.3 已知a,h为省理数，下别赋子：@b>b:@g0,®8上：@。+h0其中一定能够表 4,b异号的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.代数式a-4+3有最小值是 418 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.当x=一时，-x-2+2024的值最大. 8.己知有理数。b满足ab≠0：则 ,4 9.点A,B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b,对于以下结论：①b-a<0;②a+b>0, ③h>④2<-1，其中正确的足 (填序号) 30 3b6→ 10。已知a,b为实数，下列说法：①若b<0:且c,b互为相反数，则号=-，②若>h,则 (a+b)(a-b)是正数；③若la-b+a-b=0,则b>a:④若a<b,ab<0,且la-3<b-3,则a+b>6, 其中正确的是一.（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）· 11.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. -2bc0 20→ (I)用“>”“<”或“=”填空：a+b 0.c-a _0,b+2 0 (2)化简：3a+b-3c-a-31b+21 12.根据4≥0这一性质，解答下列问题： (1)当a=时，|a-4有最小值，此时最小值为； (2)当a取何值时，a-1川+3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，4-4有最大值？这个最大值是多少？ 13.有理数a、bc在数轴上的位置如图： a 0b (1)a+b0,abc0,b-a0:填(“>”或“<”) (2如果a、c互为相反数，则。一； lal 3计算：abc l4.我们知道，4是指数轴上表示数a的点到原点的距离.这是绝对值的几何意义.进一步地，如果数轴 上点A、B分别对应数a、b,那么A、B两点间的距离为AB=a-b. 518 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B a 0 b b 0 图1 图2 (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,则a一0，b一0，a-0: 2若x-2+x+3=7,则x=一一 3)已知a、hc三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：a-+c++a+d+lc-. ★⑦创新拓展练 1.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，已知a+b=0,有如下四个结论：①b>0；② a>4;③a+c<0:④b-c>0.上述结论正确的个数是（) a A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法：①若+x=0,则x为负数；②若-a不是负数，则a为非正数：③a=(-a:④若 d=-b,bl=b,则a=b=0.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.己知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且4>，则la-=一，a+=一 a+c=-,b-=-, 化简lc-la+-l+-d= a b→ 4,电影《哈利：波特》中，小哈利波特穿越墙进入“9 4站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙， 28 给观众留下深刻的印象.若人B站台分别位于一3,3处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2 倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台” A B Q -10123456789101 5.阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道5-3引可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离.5-(-2)川可以表示5与-2之差的绝对值.也可 以理解为5与-2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离。 上L1上1人1上上上上L上上上》 -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 (1)4-1川表示数轴上4与 所对应的两点之间的距离。 (2)x-5表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离，x+2表示数轴上有理数 x所对应的点到 所对应的点之间的距离 (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x,使得x+2+x-1上3请直接写出这样的整数x的 值： 4)利用绝对值的几何意义，求出x+3引+x-2的最小值. 6.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解 决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题 【提出问题】三个有理数a,b,c满足abc>0? 求回+b, 的值. a b c 【解决问题】解：由题意得，4，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. m☒，b4_0+b+9-1+1+1=3: ①若a,b,c都是正数，即a>0'b>0:c>0时，则。+6+。a+6。 ②若a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 4,44_“+b+c=1+()+(-)=-1, a b c a b c 综上所述，。+。+。的值为3或 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： ()三个有理数a,b,c满足abc<0'求 +因+旦的值： a b c (2)若a,b,c为三个不为0的有理数，且+ nl@5+=1,求aba的值. abc a b c 7.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合. (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： 2P955 ①点D和点A之间的距离为一一一，②点D到点G的距离为一一一； 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③点C和点A之间的距离为一一一，④点C到点F的距离为一一： (2)【发现新知】如果数轴上点P对应的数是a,点Q对应的数是b,那么点P和点Q之间的距离可表示为 P=-(用含a,b的式子表示) (3)【综合运用】①数轴上表示x和-4.5的两点M,N之间的距离是10，求x的值. ②式子k-2+x-4+r-6+k-8到的最小值是_一. 818 专项训练01 与绝对值有关的化简 【知识点1 绝对值的定义】 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点分析： （1） 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 【知识点2 绝对值的性质】 性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【题型1 绝对值的非负性】 1．（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 2．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 【题型2 利用数轴化简绝对值】 3．已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可得，进而可得，； （2）根据数轴可得，进而在数轴上表示出，再根据数轴比较大小，即可求解； （3）根据数轴可得，，，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 4．已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)______0，______0，______0（填“”或“”） (2)用“”将，，，连接起来：______． (3)化简． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义化简，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：，． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 【题型3 分类讨论化简绝对值】 5．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数．满足且，求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）分类进行讨论，根据绝对值的几何意义求解 （3）根据给出的条件得出中有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则； 故答案为：1，； （2）解：当时， 或， 当时，； 当时，； ∴的值为2或； （3）解：由，，是非零有理数，且得， 中有2个正数，1个负数， ∴， ∴ ． 6．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，． 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 求解下列问题： (1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当为不等于0的有理数时，的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于0的有理数，若这个数中有个正数，，则的值为_____．（请用含n的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)或3 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分析问题是解题关键． （1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可； （2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x为正数，y，z为负数”，“y为正数，x，z为负数”， “z为正数，x，y为负数”三种情况逐一分析计算即可； （3）根据题意，这个数中有n个正数，有个负数，然后整理化简即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当为不等于0的有理数时， 若，则； 若，则． 即的值为． 故答案为：1，，； （2）解：， ，，． ． ， ，y，z的正负性可能为： 当为x正数，y，z为负数时，原式； 当为y正数，x，z为负数时，原式； 当为z正数，x，y为负数时，原式． 综上所示，原式的值为或3； （3）解：根据题意，这个数中有n个正数，有个负数， 即中有n个1，有个． ． 故答案为：． 【题型4 几何意义化简绝对值】 7．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 8．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 1．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 5．已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，与化简绝对值的方法逐项判断即可． 【详解】①，则，（否则，可推出，矛盾），即a与b异号，符合题意； ②， a与b异号，符合题意； ③，若成立，a与b不一定异号，不符合题意； ④，当时成立，不符合题意； 则其中一定能够表示a、b异号的有2个． 故选：B． 6．代数式有最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是3． 故答案为：3． 7．当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 8．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 10．已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 11．有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：_________0，_________0，_________0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算： （1）先根据数轴取得之间的关系，然后再确定所求代数式的正负； （2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：，，， ，，． 故答案为：；；． （2）解：结合（1）的结论，可得： ． 12．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 13．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 14．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，已知，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，表示a，b互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得，，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上的原点在表示a，b两点的中间，a，b互为相反数， ∴，， ∴，结论①错误，不符合题意； ∴，结论②错误，不符合题意； ∴，结论③正确，符合题意； ∴，结论④正确，符合题意， 则正确的结论有2个， 故选：B． 2．下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键． 根据绝对值的性质逐个分析判断即可得解． 【详解】解：若， ， ． ①的说法错误； 若不是负数， ， ，即为非正数． ②的说法正确； ，， ． ③的说法正确； 若，， ， ． ④的说法正确． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个正确结论． 故选：C． 3．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【详解】站台分别位于，处 A站台与B站台之间的距离， A站台与P站台之间的距离， P站台是； 或A站台与P站台之间的距离， P站台是． 故P站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 5．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值； 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【答案】(1)①4  ②2  ③3  ④4； (2)； (3)①或；②式子的最小值是8． 【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用． （1）观察数轴运用有理数减法即可求解； （2）根据（1）中所观察规律即可得结论； （3）①根据（2）中得到的结论列出等式，求解即可； ②分，，，，五种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：观察数轴，可得 ①点D与点A的距离为， 故答案为：4； ②点D与点G的距离为； 故答案为：2； ③点C与点A的距离为， 故答案为：3； ④点C与点F的距离为； 故答案为：4； （2）解：如果点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P与点Q之间的距离可表示为． 故答案为：； （3）解：①根据（2），得：， ， 即或， 解得：或． ②分五种情况： 当时，， 此时，当时，最小值是12； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，， 此时，当时，最小值是12； 综上，当式子取最小值时，相应的x的取值范围是， 即 =8， ∴最小值是8． 故答案为：8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $