专题03 相交线与平行线相关“拐点”问题（4种类型32道）【暑期培优】2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 以“过拐点作平行线”为核心方法，系统覆盖4类拐点问题，构建从模型到应用的完整解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“M”型和“铅笔头”型|8道（含基础模型与角平分线综合）|过拐点作平行线转化角关系，结合角平分线性质推导|从平行线性质出发，建立基本拐点角关系模型，逐步引入角平分线拓展应用| |拐点在外部|8道（含外部拐点证明与动态问题）|作辅助线构建内错角/同旁内角关系，拆分复杂图形|通过外部拐点位置变化，深化对平行线性质反向应用的理解，培养空间观念| |多拐点问题|8道（含多拐点角关系与动态探究）|逐点作平行线，累加转化角关系，归纳多拐点规律|从单拐点到多拐点，形成“分解-转化-整合”的解题逻辑，提升推理能力| |实际应用|8道（如机械手臂、光线反射）|抽象几何模型，应用拐点角关系解决实际问题|将生活场景转化为几何图形，体现模型意识与应用意识，强化数学与现实的联系|

专题03相交线与平行线相关“拐点”问题 (4种类型32道) 专题目录 【类型1“”型和“铅笔头”型拐点问题】 ……1 【类型2拐点在外部】…。 16 【类型3多拐点问题】… .31 【类型4实际应用相关拐点问题】…。 ..…48 【类型1“M”型和“铅笔头”型拐点问题】 1.【基础模型】 (1)如图1，若AB‖CD,点E为拐点，则∠1、∠2、∠3的数量关系为 一；若将拐点E左移，如 图2，此时∠1∠2、∠3的数量关系为 【深入探究】 (2)如图3，ABI‖CD,BP平分∠ABE,DP平分∠CDE,猜想∠BPD与LBED之间的数量关系，并说 明理由 【拓展探究】 (3)如图4，AB川CD,若点E在点B的左侧，∠CDE=&,∠ABE=B,且a>B,BP平分∠ABE,DP 平分∠CDE,请你直接用含B的式子表示∠BPD, A 30E 图1 图2 图4 答案】1)月+∠2+3=360,3=1+∠2：(2)ZBPD=180°-2BEBD,理由见解折； ∠BPD-a+)或a-) 1 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： (1)过点E作EF‖AB,根据平行线的性质，进行推导即可： 第1页共67页 (2)结合(1)中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可： (3)分点E在直线AB的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可， 【详解】解：(1)过点E作EF‖AB, 如图1： B 图1 则∠I+∠BEF=180°， .AB II CD, .EF∥CD, .∠2+∠DEF=180°， ∴.∠1+∠2+∠3=360°： 如图2： A 图2 :EF∥AB,AB∥CD .EF∥AB∥CD .∠I=∠BEF,∠2=∠DEF ∴∠3=∠BEF+∠DEF=∠I+∠2： (2)∠BPD=1S0-<BED,理如下： 由(1)可知：∠BED+∠ABE+∠CDE=360,∠BPD=∠ABP+∠CDP, :BP平分∠ABE,DP平分∠CDE, .∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2∠CDP 第2页共67页 ∴∠ABE+∠CDE=2∠ABP+2LCDP=2∠BPD, ·∠BED+2LBPD=360°， ∠BPD=180°7∠BED (3)当点E在AB下方时，如图： A B D 则∠BED=∠ABE+∠CDE=a+B,∠BPD=∠ABP+∠CDP, BP平分∠ABE,DP平分LCDE, .:∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2∠CDP. &∠BPD=(∠ABE+∠CDE)-a+B): 当点E在AB上方时，如图： --F 作PF∥BA,则PF∥AB∥CD .∠DPF=∠CDP,∠BPF=∠ABP :BP平分∠ABE,DP平分∠CDE, .∠ABE=2∠ABP,∠CDE=2LCDP. &∠BPD=LDPF-∠BPF-3<CDE-∠ABE-=a-A), 2 综上：∠BPn-a+例或a-刷， 2.经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.已知AB∥CD,点E,F分别 在直线AB,CD上，点M在直线AB和直线CD之间. 第3页共67页 y E B M<----P 图1 图2 (1)如图1，过点M作MP∥AB,利用平行线的性质，可以得出A,∠2，∠EMF之间存在怎样的数量关系？ 并说明理由 (2)如图2，已知∠1=30°，∠2：∠3=1：2 ①直接写出∠1，∠2，∠EMF之间存在的数量关系. ②判断ME与MF的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)∠1+∠2=∠EMF,理由见解析 (2)①∠I+∠2=∠EMF；②ME⊥MF,理由见解析 【分析】(1)过点M作MP∥AB,得到PM∥CD,推出A=∠PME,∠2=∠PME,得到 ∠I+∠2=∠EMF: (2)①根据(1)的结论，即可求解；②应用(1)的结论，求出∠M=∠2+∠1=90°，即可解决问题： 【详解】(1)解：∠1+∠2=∠EMF. 理由：AB∥CD,，MP∥AB, ..PM∥CD .∠I=∠PME,∠2=∠PMF, .∠I+∠2=∠PME+∠PMF, ∠I+∠2=∠EMF, ∴.∠1∠2，∠EMF ∠I+∠2=∠EMF 之间的数量关系为： (2)解：①油(1)可得：∠1+∠2=∠EMF. ②ME⊥MF,理由如下： ∠2：∠3=1：2，∠2+∠3=180° ∴.∠2=60° 由(1)知∠M=∠1+∠2， .∠EMF=30°+60°=90°， 第4页共67页 ∴.ME⊥MF 3.两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.例如：如图①，MW‖P吧，点 C,B分别在直线MN,PO上，点A在直线MN,PO之间. M -N B D 图① 图② (1)若∠MCA=40°，∠PBA=50°，求∠CAB的度数， (2)如图②，己知直线AB‖CD,P为平面内一点，连接PA,PD.若∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的 度数. 【答案】(1)90° (2)80 【分析】(1)过点A作AEMN,根据平行线的性质可得∠CAE=∠MCA=40°，根据平行线公理推论得 到AE‖P吧，再根据平行线的性质得到∠BAE=∠PBA=50°，最后根据角度的和差关系、等量代换即可求 解： (2)过点P作PFI‖AB,根据平行线的性质可得∠A=∠APF,∠DPF=18O°-∠D,则 ∠APD=∠APF+∠DPF,代入即可解答. 【详解】(1)解：过点A作AE川MN,如图①， M E B 0 图① 则∠CAE=∠MCA=40° MN I PO. .AE ll PO. .:.∠BAE=∠PBA=50° ∴.∠CAB=∠CAE+∠BAE=∠MCA+∠PBA=40°+50°=90° 第5页共67页 (2)解：过点P作PF‖AB,如图②，则∠A=∠APF. A B F------ D 图② ABICD .PFCD ∴.∠DPF=180°-∠D ∠A=50°，∠D=150° ∠APF=50°，∠DPF=30° ∴.∠APD=∠APF+∠DPF=80° 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 4.探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 己知直线AB‖CD,点E为直线AB,CD外的平面内一点，连接AE,CE. B 图1 图2 (1)如图1，点E在AB,CD之间，求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD: (2)如图2，点E在AB,CD之间，∠AEC=90°，射线AM在AB下方，射线CN在CD上方，AE平分 ∠BM,CE平分∠DCW, AMCN ,求证： 【答案】()证明：如图所示，过点E作EF‖AB 第6页共67页 B 图1 :ABCD,EFI‖AB, EF∥AB∥CD .∠AEF=∠EAB,∠CEF=∠ECD .∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD, (2)证明：如图所示，设射线CN交AB于点H, H B D 图2 由(1)得∠AEC=∠EAB+∠ECD, ∠AEC=90°， ∴.∠EAB+∠ECD=90° ,AE平分∠BAM,CE平分∠DCN, ∴.∠BAM=2∠E.AB,∠DCN=2∠ECD ∠BAM+∠DCN=2∠EAB+2∠ECD=2(∠EAB+∠ECD)=180° .AB II CD .∠AHC=∠DCN. .∠BAM+∠AHC=180°， AMI‖CN, 【分析】(L)过点E作EF‖AB,则EF∥AB∥CD,由平行线的性质得到 ∠AEF=∠EAB,∠CEF=∠ECD,据此可证明∠AEC=∠EAB+∠ECD; 第7页共67页 (2)设射线CN交AB于点H,由(1)可得∠EAB+∠ECD=90°，则由角平分线的定义可推出 ∠BAM+∠DCN=180°，由平行线的性质得到∠AHC=∠DCN,则可证明∠BAM+∠AHC=180°，据此可 证明AM ICN. 【详解】(1)略 (2)略 5.小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下， 六 图① 图② 图③ (1)如图①，已知AB∥CD,∠BAE=20°，∠DCE=30°，则∠AEC= (2)如图②，已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在直线交于点E. ①若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED的度数： ②将图②中的店B移到点4的右侧得到图8，其他条件不变，若<BED-子乙1BC,且 ∠ABC+∠FAD=2IO°，求∠BED的度数. 【答案】(1)509 (2)①50°：②114 【分析】(1)过点B作EF‖AB,根据平行线的性质，得到∠1=20°，根据平行线的传递性，可得 EF∥CD,从而可得∠2=30°，即得答案： (2)①过点E作EH∥AB,根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得∠BEH=20°， ∠DEH=30° ∠FAD=a∠ABC=B a+B=210° 即可求得答案；②设 ，则由题意得， ,过点E作 1 EG∥AB,根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得∠BEG=180°-2B°，∠DEG=2“°，即可 2 求得答案 【详解】(1)解：过点E作EF‖AB 第8页共67页 E D 图1 .∴∠I=∠BAE=20° AB∥CD, .EF∥CD .∠2=∠DCE=30° .∠AEC=∠1+∠2=20°+30°=50° (2)解：①过点E作EH∥AB, F B 平分 D C 图2 .BE ∠ABC ∴.∠ABE= A0C-20 .EH AB .∠BEH=∠ABE=20°， :AB∥CD ∴.∠ADC=∠FAD=60°， :DE平分∠ADC, ·∠CDE=∠ADC=30° :EH I AB, .EHCD ∴.∠DEH=∠CDE=30° ∠BED=∠BEH+∠DEH=20°+30°=50°： ②设∠FAD=a,∠ABC=B,则由题意得，a+B=210°， 过点E作EG∥AB 第9页共67页 B --E 平分 D 图3 BE ∠ABC ·∠ABE=∠ABC=B 1 EG‖AB ,∠BEG+∠ABE=180°， BEG=180°-ZABE=180°-D AB∥CD .∠ADC=∠FAD=a, DE平分∠ADC, B∠CDE=∠ADC= EG‖AB, .EG‖CD ∠DEG=LCDE=)&, 1 ∠B5D=∠B8G+Dec=18w-9+0=180-8+分210-)=285-9 21 2 2 2 :∠BED=∠ABC :2850-B=2B 3 解得B=171°， ∴.∠BED=285°-171°=114° 6.如图，AE平分∠BAC,∠CAE=∠CEA, 第10页共67页 E 图3 (1)如图1，求证：AB川CD (2)如图2，点F为线段AC上一点，连接EF,求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF=360 (3)如图3，在(2)的条件下，在射线AB上取点G,连接EG,使得∠GEF=∠C,当∠AEF=35°， ∠GED=2∠GEF时，求∠C的度数. 【答案】(1)证明：：AE平分∠BAC, .∠BAE=∠CAE, ∠CAE=∠CEA. ,∠CEA=∠BAE, .ABCD. (2)证明：如图所示，过点F作FMAB, A B -M ,·ABIICD .AB‖FMIICD .∠BAF+∠AFM=180°，∠DEF+∠EFM=180°. .∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM=360° 即∠BAF+∠AFE+∠DEF=360°： (3)∠C=50° 【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE,则可证明∠CEA=∠BAE,据此可证明结论： (2)过点F作FMI AB,证明AB川FM IICD,根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM=180°， 第11页共67页 ∠DEF+∠EFM=18O°，据此可证明结论： (3)设∠GEF=∠C=x°，则∠GED=2x°，根据平行线的性质得出∠BAC=180°-x°，根据角平分线的定 义得出∠BAE=)∠B4C=90- 2°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠ABD=18O°，得出方程 90- 2x+x-35+2x=180,求出x即可， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：设∠GEF=∠C=x°， ∠GED=2∠GEF, ∠GED=2x°， 由(1)知ABIICD, ∴.∠C+∠BAC=180° ∠BAC=180°-x°， :AE平分∠BAC, Ba6=B4c=0so-)-0-r. .AB II CD. ∴∠BAE+∠AED=180°， ∠AEF=35°， 2x+x-35+2x=180 1 ∴.90- 解得x=50, 即∠C=50° 7.如图，已知AB∥CD,点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE=a,在线段 EF上取一点M,射线EA上取一点N,使得∠ANM=160° 第12页共67页 B A E B D D 备用图 备用图 a当∠AEF-号时，g= (2)当MN⊥EF时，求a; (3)过点M作MK⊥MN,垂足为M,交直线CD于点K,直接写出∠MKF的角度 【答案】(1)120° (2)110° (3)∠MKF的角度为110°或70° 【分析】(1)根据平行线的性质求解，即可得到答案： (2)过点M作直线PM∥AB,根据平行线的性质，得到∠NMP的度数，进而得到∠PMF的度数，再利 用平行线的性质，即可求出； (3)分三种情况，当点N在线段AE上，点F在线段CD上时；当点N在线段AE上，点F在直线CD右侧 时；当点N在射线EA上，点F在直线CD左侧时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可. 【详解】(1)解：AB∥CD, ∴.∠AEF+∠CFE=180° :∠CFE=a ∠AEF=C 2, a+g=1800 a=120°， (2)解：如图1，过点M作直线PM∥AB, ∴.∠ANM+∠NMP=180° :∠AWM=160°， ∴∠NMP=20°， 又NM⊥EF, .∠NMF=90°. ∴.∠PMF=∠NMF-∠NMP=90°-20°=70° 第13页共67页 :AB∥CD, ∴.PM∥CD. ∠CFE+∠PMF=180°， a=∠CFE=180°-∠PMF=180°-70°=110°； E B P.------M E 图1 (3)解：当点N在线段AE上，点F在线段CD上时，如下图： A N E B S-- M F D 过点M作MS∥AB .MS∥AB∥CD. :∠AWM=160°， .∠ENM=180-∠ANM=20°， ..AB//SM, ∴.∠ENM=∠SMN=20°， ,MK⊥MN, ∴.∠WMK=90° .∠SMK=∠NMK-∠SMN=70°， 'SM∥CD .∠MKF+∠SMK=180°， ∴.∠MKF=110° 当点N在线段AE上，点F在直线CD右侧时，如下图： B S M F C D ,∠ANM=160° 第14页共67页 ∴∠ENM=180°-∠AWM=20°， 过点M作MS∥AB」 MS∥AB∥CD, ∴∠SMN=∠ENM=20°， :MK⊥MN, .∠NMK=90° ∴.∠SMK=∠NMK-∠SMN=70°， ,SM∥CD ∴∠MKF=∠SMK=70° 当点N在射线EA上，点F在直线CD左侧时，如下图： N EB ----S M D 过点M作MS∥AB, .MS∥AB∥CD. ∴.∠AWM+∠NMS=180°， .∠AWM=160° .∠NWMS=180°-∠AWM=20°， MK⊥MN, ∴.∠NMK=90°」 .∠SMK=∠NMK-∠SMN=70°， MS∥CD. ∴∠MKC+∠SMK=180°， .∠MKC=110°， .∠MKF=180°-∠MKC=70°、 综上：∠MKF的角度为110°或70°， 8.如图1，点A在直线MW上，点B在直线ST上，点C在MN,ST之间，且满足 ∠MAC+∠ACB+∠SBC=360° 第15页共67页 M B B 图1 图2 图3 (1)试说明：MN∥ST: (2)如图2，若∠ACB=60°，AD∥CB,点E在线段BC上，连接AE,且∠DAE=2LCBT,试判断∠CAE 与∠CAW的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若∠ACB=30°，点E在线段BC上，连接AE,若∠CAE=5∠CAN,请直接写出∠MAE与∠CBT 的等量关系 【答案】(1)证明见解析 (2)∠CAE=2∠CAN,理由见解析 (3)∠MAE=6∠CBT,理由见解析 【分析】(1)过点C作CD∥MN,可得∠MAC+∠ACD=18O°，即得∠DCB+∠SBC=180°，即得到 CD∥ST,即可求证： (2)作CF∥ST,设∠CBT=a,则∠DAE=2a,∠BCF=∠CBT=a,根据平行线的性质可得 ∠CMN=∠4CF=60-“,∠D1C=180-∠ACB=120°，进而得到∠C1E=120°-∠D1E=2(60°-）=2∠C1N 即可求证： (3)作CF∥ST,设∠CAN=B,则∠CAE=5B,∠MAE=180°-6f,同理(2)解答即可求解。 【详解】(1)证明：如图，过点C作CD∥MN, A D B 图1 :.∠MAC+∠ACD=180° ,∠MAC+∠ACB+∠SBC=360° .∠DCB+∠SBC=180°， .CD∥ST, 第16页共67页 .M∥ST: (2)解：∠CAE=2∠CAN,理由如下： 如图，作CF∥ST, M A F -----C YE -T B 图2 设∠CBT=a,则∠DAE=2a,∠BCF=∠CBT=a, .MN∥ST, ∴MN∥CF, .∠CAN=∠ACF=60°-a, :AD∥CB, ∴.∠DAC=180°-∠ACB=180°-60°=120°， ∠CAE=120°-∠DAE=120°-2a=2(60°-a)=2∠CAN 即∠CAE=2LCAN: (3)解：∠MAE=6∠CBT,理由如下： 如图，作CF∥ST, A M N F C E S 图3 设∠CAW=B,则∠CAE=5B,∠MAE=180°-6B, CF∥ST, ∴.∠CBT=∠BCF, ,MN∥ST, .MN∥CF, :.∠ACF=∠CAN=B 第17页共67页 .∠BCF=∠ACB-∠ACF=30°-B, 、.∠CBT=30°-B, :.B=30°-∠CBT, ∠MAE=180°-6B=180°-6(30°-∠CBT)=6∠CBT 【类型2拐点在外部】 9.如图，已知AB‖CD,∠A=54,∠E=18°，求∠C的度数. B A D E 【答案】36° 【分析】过E作EF‖AB,由平行线的性质可得∠AEF=∠A=54°，进而得到∠CEF=36°，再由平行的传 递性可得EF∥CD,然后可得∠C=∠CEF=36°. 【详解】解：如图，过E作EF‖AB B D E :AB∥CD ∠AEF=∠A=54°，∠CEF=∠AEF-∠AEC=54°-18°=36° :EF‖AB ∴.EF∥CD ∴.∠C=∠CEF=36° 10.如图，直线EF分别交AB,CD于点G,F,连接AE,∠BAE=∠E=30°，∠CFE=120°，试说明： 第18页共67页 ABICD D 【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理求出∠AGE=120°，再利用平行线的判定定理证明. 【详解】证明：因为∠BAE=∠E=30°， 所以∠AGE=180°-∠BAE-∠E=180°-30°-30°=120° 因为∠CFE=120°， 所以∠AGE=∠CFE. 所以AB∥CD ∥l2 11.过某点作已知直线的平行线是解决相交线与平行线有关问题常用的辅助线.已知直线 点4， B分别作直线，b上，0是甜线4上的一点，C是直线上点4有侧的时点，连接CG M---- B B MD 图1 图2 图3 如图，过点G作MN,试证明24Gc+∠G4C+∠GC4=10 2)如图2，D是直线？上点B右侧的一点，CF为∠4CG的平分线，作∠4BD的平分线BE交CT的反向延 长线于点E,求证：∠BEF+∠AGC=90 3)如图3，在(2)的条件下，作∠4GC的平分线交直线？于点M,在点C的运动过程中，我们探究发现： C 第19页共67页 ∠GMB与LBEF的度数差只与∠ABD的大小有关，设LABD=a,请直接写出∠GMB与∠BEF的度数差. (用含“的式子表示) 【答案】(1)证明：如图， P M-- -- B MN∥l .∠PGN=∠GAC,∠NGC=∠GCA, :∠PGN+∠NGC+∠AGC=180°， ∴.∠AGC+∠GAC+∠GCA=180°： (2)证明：如图，过点E作EH∥1， A E B D :5 EH∥1∥I2 ∠HEF=∠ACF,∠BEH=∠DBE,∠ABD=∠GAC, ,CF为∠ACG的平分线，BE为∠ABD的平分线， &4CF=4CG,∠DBE=ABD, .ZHEF-LACG.ZBEH-GAC. .∠BEF+∠AGC 2 =∠HEF+∠BEH+ ∠AGC 2 第20页共67页 -4Gc+∠6ac+∠c40 =90°： (3)90°-a 【分析】(1)先根据平行线的定义得∠PGN=∠GAC,∠NGC=∠GCA,再根据平角的定义及等量代换 即可证明： (2)过点E作 H,则EH,进而得∠HEF=∠ACF,∠BEH=∠D8E,∠ABD=∠GAC,再 根据角平分线的定义得∠4ACF=∠ACG,∠DBE=ABD,然后根据∠BEF+∠4CC =∠HEF+∠BEH+)∠AGC,结合（①）结论等量代换即可证明： (3)由2的结论得∠BEF=0-4GC,由（④的结论可得∠GBM+2GMB+∠BGM=180由 角平分线的定义得∠BGM=与AGC,则<GMB=180-∠GBM-4GC,再计算∠GMB-∠BEr即可得 出答案。 【详解】(1)略 (2)略 3)解：由（2)知∠BF+兮4c=0, &∠BEF=90°-号∠AGC 2 由(1)的结论可得，∠GBM+∠GMB+∠BGM=180°， ,GM是∠AGC的平分线， :.∠BGM=5∠AGC :.∠GBM+LGMB+∠AGC=18O 第21页共67页 A∠GMB=180°-∠GBM-号∠AGC. :.∠GMB-∠BEF =180-∠GBM-4Gc-90P L LAGC =90°-∠GBM =90°-∠ABD =90°-a. 12.如图1，己知AB‖CD,E,G是AB上的点，F,H是CD上的点，连接EF,GH, ∠EGH=∠EFH GB A GB GB 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EF∥GH: (2)过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF,∠DFM的角平分线交于点N. ①如图2，若∠BEN=56°，求∠EFN的度数： ②如图3，EN交GH于点P,若∠FEN=3∠HFM,直接写出∠GPN:∠ENF的值. 【答案】(1)证明：AB∥CD. .∠EGH+∠GHF=180°， ·∠EGH=∠EFH, .∠EFH+∠GHF=180°， .EF∥GH; 14 2)①79：②5 【分析】(1)根据平行线的性质，先证∠EGH+∠GF=180°，等量代换得，∠EFH+∠GHF=180°，根 据平行线的判定，即可求证： (2)根据平行线的性质和垂直的定义，易得∠EFM=90°，利用角平分线的定义和平行线的性质，可求 第22页共67页 ∠BEF=112°，∠EFD=68°，LDFM=22°，从而∠MFN=1I°，最后根据∠EFN=∠EFM-∠MFN,即 可求解：②设∠HFM=x,则∠FEN=3∠HFM=3x,根据题意，可得180°-6x+x=90°，从而x=18°，再 根据角平分线的定义和平行线的性质，易得∠EPG=∠FEN=54°，∠MFN=9°，进而可求∠GPV=126°， ∠ENF=180°-∠EFN-∠FEN=45°，计算即可. 【详解】(1)略 (2)解：①：FM⊥GH, .∠M=90°. EF∥GH, ∴.∠EFM+∠M=180°，即∠EFM=90°， ·EN平分∠BEF,∠BEN=56°， .∠BEF=2∠BEN=112°，∠FEN=∠BEN=56°. AB‖CD .∠EFD+∠BEF=180° ∴.∠EFD=180°-∠BEF=68° .∠DFM=LEFM-LEFD=90°-68°=22°， ·FN平分∠DFM, ,∠MFN=∠DFM=IIO 2 .∠EFN=∠EFM-∠MFN=90°-11°=79°， ②设∠HFM=x,则∠FEN=3∠HFM=3x, ·EN平分∠BEF, .∠BEF=2∠BEN=6x, AB‖CD ∴.∠EFD+∠BEF=180° :.∠EFD=180°-∠BEF=180°-6x, '∠EFM=∠EFD+∠HFM=90°， .180°-6x+x=90°，解得x=18°， .∠HFM=18°.∠FEN=54° EF∥GH, 第23页共67页 .∠EPG=∠FEN=54°， .∠GPN=180°-∠EPG=180°-54°=126°， FN平分∠DFM, ∠HFM=9 1 ∠MFN= ∴.∠EFN=∠EFM-∠MFN=90°-9°=81° .∠ENF=180°-∠EFN-∠FEN=180°-81°-54°=45° ∠GPW:∠EWF=126_=l4 45=5. 13.如图1，AB∥CD,E是AB上方一点，F,G分别是AB,CD上的点，连接EF,EG. B O B G D G D G D 图1 图2 图3 ∠E=25,∠EGD=80 (1)若 ①求∠BFE的度数. ②如图2，M是AB上方一点，连接FM,GM.若GM平分∠EGD,∠EFM的度数比∠BFM的度数的2 倍还大10°，求∠FMG的度数. (2)如图3，P是EG上一点，连接PF,且∠EFP=3∠PFA,延长PF至点Q,连接QG.若GE平分 ∠CGQ,41 ∠E+∠PQG=68,请直接写出∠CG0的度数. 【答案】(1)①∠BFE=55°：②∠FMG=25° ∠CGQ=128 (2) 【分析】(1)①过点E作平行线，利用平行线的内错角相等，将∠BFE转化为HEF,再用∠HEG与 ∠FEG的差求解. ②过点M作平行线，设∠FMG=x,利用平行线内错角将∠BFM和∠EFM用x表示，结合已知条件列方 第24页共67页 程求解。 (2) 利用角平分线定义设∠CGE=x,过点Q、E平行线，设∠BF0=y,利用平行线性质将∠E和 ∠PQGx,y 用表示，代入已知等式消去后求解. 【详解】(1)①解：过点E作EH∥AB, H----- F B DAB∥CD .EH I ABI CD ∠HEG=LEGD=80°， ∠BFE=∠HEF, ∠FEG=25° ∴∠HEF=∠HEG-∠FEG=80°-25°=55°， .∠BFE=55o ②解：过点M作LM‖AB, H----- E L----M B CG D:AB∥CD ∴LM ABIICD 设∠FMG=x, ∠DGM=40°， ∴.∠LMG=∠MGD=40° .∠LMF=∠LMG-∠FMG=40°-x, ∴.∠BFM=∠LMF=40°-x, ∠BFE=55°， .∠EFM=∠BFE-∠BFM=55°-(40°-x)=15°+x, 又∠EFM=2∠BFM+10°， ∴.15°+x=2(40°-x)+10° 第25页共67页 解得：x=25°， ∴.∠FMG=25° (2)解：GE平分∠CG0, ∴设∠CGE=∠EG0=x, 则∠CGQ=2x. 过点O作ON∥CD】 :AB∥CD ∴.QN∥AB∥CD 设∠BF0=y, 则∠FON=∠AFP=y, ,∠EFP=3∠PFA. ∴.∠EFP=3y,∠AFE=4y 过点E作EM ICD ∴.EM∥AB∥CD 、∠MEF=∠AFE=4y,∠MEG=LEGC=x, ON II AB II CD ∠E=∠MEG-∠MEF=x-4y, 又ON II AB II CD ∴.∠PQG=∠BFQ+∠DG0=180°-2x+y, ∠E+∠P0G=68°， 4Gx=4y)+180°-2x+y=68 解得：x=64°， .∠CGQ=2x=128° 第26页共67页 ----.M 70B G 14.规定：平面内任意两个角La,∠B.若满足∠a+m∠B=90°，则称∠P是Lα的m倍欢乐余角.例 如：若La=50°，∠B=20°，满足50°+2×20°=90°，则一B是∠a的2倍欢乐余角. 图1 图2 (1)∠M=30°，求∠M的3倍欢乐余角度数是 (2)如图1，AB∥CD,点E在AB的上方，连接BE、CE,∠E=30,∠C是∠B的3倍欢乐余角.求∠B 的度数： (3)如图2，在(2)条件下，∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角，∠DCE的三等分线的反向延长线与∠EBF 交于点F,当∠EBF=∠F时，求m的值. 【答案】(1)20° (2)∠B=75° (3)m=0.4或m=0.3 【分析】(1)根据3倍欢乐余角的定义列方程求解： (2)过点E作EK∥AB,则ABI‖EKI‖CD,进而推出LBEC=∠BEK-∠CEK=∠B-∠C=30°，再根据 ∠C是∠B的倍欢乐余角，得∠B+兮<C=90,即可求解， (3)根据CG是∠DCE的三等分线，得∠GCD=15°或∠GCD=30°，分别画出图形，当∠GCD=15°时， 过点F作FH∥AB,由AB‖FH ICD推出∠DCF+∠CFB+∠ABF=36O°，再根据∠EBF=∠CFB可计算 出∠EBF,再根据∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角，得∠EBF+m∠ABE=90°，即可求m的值：当 ∠GCD=30°时，同理可求. 第27页共67页 【详解】(1)解：设∠M的3倍欢乐余角度数为x, 则∠M+3x=90°，即30°+3x=90°， 解得x=20°， 即∠M的3倍欢乐余角度数是20°： (2)解：过点E作EK∥AB, 图1 ,AB∥CD,EK∥AB, .AB∥EK∥CD ∴∠ABE=∠BEK,∠CEK=∠DCE, .∠BEC=∠BEK-∠CEK=∠B-∠C=30°， :∠C是∠B的3倍欢乐余角， ∴.∠B+。∠C=90° 3 ∠B=75°，∠C=45°： (3)解：由(2)得∠C=45°， 又：CG是∠DCE的三等分线， ∴.∠GCD=15°或∠GCD=30°， 当∠GCD=15°时，∠FCD=165°， 过点F作FH∥AB, 图2 ∴.AB∥FH∥CD .∠DCF+∠CFH=180°， ∠ABF+∠BFH=180° .∠DCF+∠CFB+∠ABF=360°. 由(2)知∠ABE=75°， 第28页共67页 .75°+∠EBF+∠CFB+165°=360°， :'∠EBF=∠CFB .∠EBF=60°， :∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角， .∠EBF+m∠ABE=90°， 即60°+m.75°=90°， 解得：m=0.4; 如图3，当∠GCD=30°，∠FCD=150°， 过点F作FH∥AB, G D H--- B 图3 .AB∥FH∥CD .∠DCF+∠CFH=180°. ∠ABF+∠BFH=180° .∠DCF+∠CFB+∠ABF=360°. 由(2)知∠ABE=75°， .75°+∠EBF+∠CFB+150°=360°， ∠EBF=∠CFB, ∠EBF=67.5°. :∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角， ∴.∠EBF+m∠ABE=90° 即67.5°+75m=90°， 解得：m=0.3 综上所述：m=0.4或m=0.3」 15.已知：AB∥CD,∠I=∠2，E,G是AB上的点，F,H是CD上的点. 第29页共67页 一B G 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：EF∥GH: (2)如图②，点M在HG的延长线上，其中∠GEM=30°，∠AEF=60°，射线EG以每秒15°的速度绕点E 逆时针旋转，同时射线EM以每秒1O°的速度绕点E顺时针旋转.当射线EG首次与AB重合时，两条射线 都停止运动.在整个运动过程中，设运动时间为t.当∠GEM=130°时，求∠GEF的度数； (3)如图③，作∠CFE,∠AEM的角平分线交于点N,FN交GH于点P,作∠DHG的角平分线交AB于点 ∠EFN 2,当∠H0G+3LN=90°，求∠GEM的值. 【答案】(1)见解析 (2)0°或60° 3 3 【分析】(1)根据平行线的判定与性质证明即可： （②)由题意得：∠GEM=(51+30+10°=(25+30，当？=10 15 12s时，运动停止.由25t+30=180得 t=6,然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可： (3)由题意设∠W=x°，则∠HQG=90°-3xr°，根据角平分线和平行线的性质得到 ∠DHG=24=180-6,则∠HE-6e,则∠EFN=∠2-号∠HFE=3x°，过点N作KGD,则 ∠3=3x°-x°=2x°，由平行线的传递性可得NK‖AB,则∠4=∠3=2x°，则∠GEM=2∠4=4x°，即可求 解比值。 【详解】(1)证明：如图①， 第30页共67页 G E 1y -B 2 3 D F 图① :AB∥CD .∠1=∠3， :∠1=∠2， ∠2=∠3， EF∥GH: (2解：盟得：∠0BM=05r+30+1四=(+30，当-智-12，运动停止. 由25t+30=180得1=6， M G 一B D H F ①当0<t≤6时，25t+30=130 解得t=4, ∴.∠AEG=15°×4=60°， ∴.∠GEF=∠AEF-∠AEG=60°-60°=0° ②当6<1≤12时， 360-(251+30)=130 解得t=8, ∴.∠AEG=15°×8=120° ∴∠GEF=∠AEG-∠AEF=120°-60°=60° 综上所述，∠GEF的度数为0°或60°； (3)解：∠H0G+3∠N=90°， ∴设∠N=x°，则∠H0G=90°-3x°， 第31页共67页 :AB∥CD, .∠1=∠HQG=90°-3x°， :H0平分∠DHG, .∠DHG=2∠1=180°-6x°， EF∥GH, ∠GHF+∠HFE=180°， :.∠HFE=6x°， FN平分LCFE, ∴.∠EFN=∠2= ∠HFE=3x 2 过点N作NK∥CD, M G/ 12 C D H .∠KNF=∠2=3x ∠3=3x°-x°=2x°， :NK∥CD,AB∥CD .NK∥AB .∠4=3=2x°， ∴.∠GEM=2∠4=4x° ∠EFN3x°3 ∠GEM4x°4· 16.【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题. 第32页共67页 E 图1 图2 图3 (1)【问题解决】如图1，己知AB∥CD,∠D=28°，∠GAB=52°，求∠P的度数： (2)【类比应用】如图2，己知AB∥CD,点P在直线AB的上方，点E在直线CD上，连接PB,PE,则 ∠BPE,∠B,∠PEC之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在(2)的条件下，己知∠BPE=a,∠PBA的角平分线和∠PEC的角平分线相交 于点F,求∠F的度数.（用含a的代数式表示） 【答案】(1)80° (2)∠BPE=∠PEC-∠B,理由见解析 <r0 【分析】(1)过点P作PQ/AB,利用两直线平行同位角和内错角相等得到答案： (2)过点P作PM∥AB,得∠EPM=∠PEC,再根据∠EPM=∠BPE+∠BPM,即可得到答案； (3)依题意，∠FBA=)∠PBA,∠FEC= 2 ∠PEC由2得∠PgC-pB4Eg,可知 ∠F=∠FEC-∠FBA,得到答案. 【详解】(1)解：如图1，过点P作PO/AB, .∠APQ=∠GAB=52° AB∥CD .PQ∥CD ∴.∠DPQ=∠D=28° ∴.∠APD=∠APQ+∠DPQ=52°+28°=80° 第33页共67页 G B D 图1 (2)∠BPE=∠PEC-∠B,理由如下： 如图2，过点P作PM∥AB, ∴.∠BPM=∠B, :AB∥CD, .PM∥CD ∴.∠EPM=∠PEC, '∠EPM=∠BPE+∠BPM, .∠PEC=∠BPE+∠B ·∠BPE=∠PEC-∠B； -------M A B D 图2 (3)如图3，~∠PBA的角平分线和∠PEC的角平分线相交于点F, ∴.BF平分∠PBA,EF平分∠PEC, .ZFBA-PBA ZFEC-PEC 由(2)知LBPE=∠PEC-∠B」 ∠BPE=a, .∠PEC-∠PBA=a&, 同(2)理，可知∠F=∠FEC-∠FBA, ∠F-5PEc-PBA=uPEc-∠Pa-a 第34页共67页 E D 图3 【类型3多拐点问题】 17.请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： B B A D 图① 图② 图③ ()如图①如果AB‖CD,求证：∠APC=∠A+∠C; 证明：过点P作PM∥AB, ∴.∠A=∠APM( ·PM‖AB,ABIICD(已知)， .PMI CD .∠C= .∠APC=∠APM+∠CPM. .∠APC=LA+∠C( (2)如图②，AB‖CD,根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠0+∠C=一 (3)如图③，ABI‖CD,若∠ABP=x,∠BP0=y,∠POC=2,∠OCD=m,则m= (用x,y,z表 示). 【答案】(1)两直线平行，内错角相等：平行于同一条直线的两条直线平行：∠CPM,两直线平行，内错 角相等；等量代换： (2)540° (3)x-y+z 第35页共67页 【分析】(1)根据证明过程结合图形，利用平行线的判定与性质填空即可： (2)先过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥CD,再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案： (3)分别过点P,卫作PM‖AB,QN川AB,再根据平行线的性质，进行计算变形即可得出答案。 【详解】(1)略 (2)解：如图， ⊙ D --M N过点作 ,过点作 δ PPM∥AB QON∥CD .∠A+∠APM=180°，∠C+∠CQN=180°」 .ABII CD ∴.PM∥QN .∠MPQ+∠NQP=180°， .∠A+∠APQ+∠CQP+∠C=∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C=540° (3)解：如图③，分别过点P,作PM‖AB,QN‖AB, B --M -D 图③ ·ABCD .PM II ON II CDII AB ·.∠ABP=∠BPM,∠QCD=∠CON,LPQN=LQPM, :∠BPQ-∠BPM=∠QPM,∠PQC-∠CON=∠PON, ,:.∠BPO-LBPM=∠PQC-∠CQN, :.∠BPQ-∠ABP=∠PQC-∠QCD, ,∠ABP=x,∠BP2=y,∠PQC=z,∠QCD=m, 第36页共67页 .y-x=z-m ..m=x-y+z 18.如图，AB∥CD,M,N分别在AB,CD上，点P在AB,CD之间，连接MP,NP. M A B AM B A_M R P > D C- D D N 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠MPN=90°，∠BMP=35°时，∠DNP=_一· (2)如图2，MP'平分∠BMP,NP'平分∠DNP,此时∠MPN和∠MPN的数量关系是什么？请说明理由. (3)如图3，在(2)的条件下，在AB的上方有一点O,连接M0,NO,MB平分∠QMP,NP平分∠QND, 2∠P-∠MQN 求证： 3 ∠BMP 【答案】(1)55° (2)∠MPN=2∠MP'N, 理由如下：设∠BMP'=a,∠DNP'=B,作PI‖AB,P'gI‖AB, AM B D .AB II CD .POll CDII AB,P'o'l CDII AB. :.∠BMP=∠MPe,∠DNP=∠NPe,∠MP'g'=LBMP'=&,∠NP'g=∠DNP'=B, ,MP平分∠BMP,NP'平分∠DNP, .∠BMP=2∠BMP'=2a=∠MPO,∠DNP=2∠DNP'=2B=∠NPg, .∠MP'N=a+B,∠MPN=2a+2p. 第37页共67页 .∠MPN=2∠MP'N (3)证明：设∠QMB=x,∠QNP=y, MB平分∠QMP,NP平分∠QND, 、.∠PMB=∠QMB=x,∠DNP=∠QNP=y,∠QMP=2∠QMB=2x,∠QND=2∠QNP=2y, 由(2)知∠P=∠BMP+∠DNP=x+y, 过点Q作QR‖AB,如图： R------- A、M B P>P 图3 ABII CD .OR∥CD, ..ORII AB, ∠ROM=∠QMB=x, 又，QR∥CD 、.∠RON=∠QND=2y」 :∠MON=∠RQN-∠RQM=2y-x, 2∠P-∠M0N_2(x+y月-(2y--3. ∠BMP 【分析】(1)过点P作P2/AB,根据平行线的传递性得到P№∥CD,再由平行线的性质得出 ∠MPg=∠BMP,∠QPN=∠DNP,结合∠MPN=90°即可求解； (2)设∠BMP'=C,∠DNP'=B,结合(1)的结论与角平分线的性质推导两角的数量关系： (3)设∠QMB=x,∠QNP=y,过点Q作R‖AB,结合(2)的结论与角平分线定义、平行线性质，将 第38页共67页 角度关系代入式子化简即可得证： 【详解】(1)解：如图，过P作PQI AB M A B Q------>P C N :∠MPO=∠BMP=35o 又：ABI‖CD,PQ‖AB .PQ∥CD .∠QPN=∠DNP. .'∠MPN=90°， .∠DNP=∠QPN=90°-35°=55°： (2)略 (3)略 19.如图，点E是直线AB上的一点，点F是直线CD上的一点，点G是直线ABCD之间的一点，且 ABIICD E B E B G G D F 图1 图2 (1)如图1，求证：∠EGF=∠AEG+∠CFG, (2)如图2，点H是直线AB、CD之间的另一点，连接HE、HF,若FG平分∠CFH,EH平分∠AEG, ∠u+∠B=41°.求∠G+∠H的度数. 【答案】(1)证明：过点G作GH∥CD,如图所示： A E B G D 第39页共67页 ABII CD .ABI CDII GH 、.∠AEG=∠EGH,LCFG=∠FGH, :LEGF=∠EGH+∠FGH, ∴.LEGF=∠AEG+∠CFG (2)123° 【分析】(1)过点G作GH∥CD,然后根据平行线的性质与判定可进行求解： (2)分别过点H、G作GN ICD,HM I CD,则有GN ICDI‖MI‖AB,由角平分线的定义可得 ∠AEG=2∠a=2LAEH,∠CFH=2∠B=2LCFG,然后根据平行线的性质可进行求解. 【详解】(1)略 (2)解：FG平分∠CFH,EH平分∠AEG, ·.∠AEG=2∠Q=2∠AEH,∠CFH=2∠B=2∠CFG. 分别过点H、G作GN IICD,HM II CD,如图所示： A E B C F D GN II CDII HMII AB ∴.∠EHM=∠AEH=∠a,∠FHM=∠CFH=2LB,∠EGN=∠AEG=2∠C,∠FGN=∠CFG=∠B, ·∠EGF=∠EGN+∠FGN,∠EHF=∠EHM+∠FHM,∠a+∠B=41°， ∠EGF+∠EHF=2∠au+∠B+∠a+2∠B=3(∠a+∠B)=123° 20.己知MA∥BN. M M M B W 图1 图2 备用图 第40页共67页 (1)如图1，若∠MAC=30°，∠ACB=95°，求∠CBN的度数. (2)如图2，∠ACB=90°，∠MAC,∠CBN的平分线交于点P. ①求∠APB的度数. ②已知∠MAC=5O°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F,连接EP.若 ∠FEP=1O°，请直接写出∠BPE的度数， 【答案】(1)115° (2)①135°②当点F在点P的左侧时，∠BPE=60°，当点F在点P的右侧时，∠BPE=80° 【分析】(1)过点C作CDAM,则有M4∥CD∥BN,然后得到∠ACD=∠A=30°， ∠DCB+∠CBN=180°然后计算解题； (2)①过点C作CDI‖AM,过点P作PEl AM,求出∠CBN=90°+∠MAC,∠APE=∠MAP, ∠EPB=18O°-∠PBN,根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，由∠APB=∠APE+∠EPB计算即 可得到结论： ②由①可得∠CBN=90°+50°=140°，∠APB=135°，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情 况进行解题。 【详解】(1)解：过点C作CD‖AM, M -D B N .MA BN, ·.MA∥CD∥BN, ∴.∠ACD=∠MAC=30°，∠DCB+∠CBN=180°， 又：∠ACB=95°， 、∠DCB=95°-∠ACD=95°-30°=65°， .∠CBN=180°-∠DCB=180°-65°=115°： (2)解：①过点C作CD‖AM,过点P作PAM, 第41页共67页 --D B ..MA BN. .MA∥CD∥BN, .∠ACD=∠MAC,∠DCB=180°-∠CBN, 又，∠ACB=90°， .∠ACD+∠DCB=90°，即∠MAC+180°-∠CBN=90°， ∴∠CBN=90°+∠MAC, PE AM, ,MA∥PE∥BN, ∴.∠APE=∠MAP,∠EPB=18O°-∠PBN, :∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P, &∠APE=)∠MAC,∠PBN=;∠CBN, 2 2 &∠EPB=180-∠P8N=180-<CBw. ∠APB=∠APE+∠BPB=M4C+180-∠CBN=l180+(2MAC-∠CBN)=18o+2MHC-90P-∠MHC)=-I33 ②0得∠M1P-∠M1C=25,∠CBN=90+50=140,∠AP8=1350, EF∥BC, ∴∠FEB=180°-∠CBN=180°-140°=40°， 过点P作PG∥AM, 第42页共67页 M B :MA‖BN ÷.MA∥PG∥BN, .∠APG=∠MAF=25°，∠GPE=∠PEB. .∠APE=∠APG+∠GPE=25°+∠PEB, 当点F在点P的左侧时，如图，则∠PEB=∠FEB+∠FEP=40°+10°=50°， .∠APE=25°+∠PEB=25°+50°=75°， .∠BPE=∠APB-∠APE=135°-75°=60°： 当点F在点P的右侧时，如图， M G B EN 则∠PEB=∠FEB-∠FEP=40°-10°=30°， ∠APE=25°+∠PEB=25°+30°=55°， :∠BPE=∠APB-∠APE=135-55°=80° 综上所述，当点F在点P的左侧时，∠BPE=60°，当点F在点P的右侧时，∠BPE=80 21.已知AB∥CD B 图1 图2 (1)如图，若∠ABF=∠DCE.求证：∠BFE=∠FEC; (2)如图，请找出∠B,∠F,∠E,∠G,∠D这5个角的数量关系，并说明理由. 第43页共67页 【答案】(1)证明：延长BF交直线CD于点M, A M C D:AB∥CD .∠ABF=LBMD, ∠ABF=∠DCE, ∠BMD=∠DCE, .BM∥CE, .∠BFE=∠FEC: (2)解：∠B+∠FEG+∠D=∠BFE+∠EGD,理由如下： 分别过点F,E,G作AB的平行线FP,EO,GR, A B F-------p G------------R C D:AB∥CD ·.AB∥FP∥EQ∥GR∥CD :AB∥FP, ,∠B=∠BFP, PF∥EQ, ∴.∠PFE=∠FEQ .∠B+∠FEQ=∠BFP+∠PFE, 即∠B+∠FEQ=∠BFE 同理可得，∠QEG+∠D=∠EGD ∴.∠B+∠FEQ+∠OEG+∠D=∠BFE+∠EGD ,∴.∠B+∠FEG+∠D=∠BFE+∠EGD 【分析】(I)延长BF交直线CD于点M,根据平行线的性质和∠ABF=∠DCE可得LBMD=∠DCE,则 可证明BM∥CE,进而可证明题目： (2)分别过点F,E,G作AB的平行线FP,EQ,GR,根据平行公理可得AB∥FP∥E0∥GR∥CD, 根据平行线的性质可得∠B=∠BFP,∠PFE=∠FE0,则可证明∠B+∠FEQ=∠BFE,同理∠QEG+∠D=∠EGD 第44页共67页 进行计算即可得结论， 【详解】(1)证明：略： (2)解：略 22.经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路， 图1 图2 图3 (1)如图1，ABIICD,∠ABD与∠CDB的平分线相交于点P,则∠P=—一一； (2)如图2，ABI‖CD,∠F-∠E=6°，∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P,求∠P的度数： (3)如图3，AB川CD,∠E=a,∠F=B,∠G=Y,∠ABE与∠CDG的平分线相交于点P,求∠P的度数. (用a,B,Y的代数式表示) 【答案】(1)90° (2)87 1 3)2(a+-P) 【详解】(1)解：如图，过P点作直线EF‖AB, AB∥CD EF∥CD, ∴.∠BPF=∠ABP,∠DPF=∠CDP, .ABII CD .∠ABD+∠CDB=180°， ,BP、DP分别平分∠ABD和∠CDB, A∠ABP=)∠ABD,∠LCDP=∠CDB 2 第45页共67页 .∠ABP+∠CDP=90°， ∴.∠BPD=∠BPF+∠DPF=90°. C E-- (2)解：如图，过E点作直线EG∥AB,过F点作直线HF∥AB. .ABII CD, .AB‖EGHFCD ∴.∠1=∠ABE,∠2=∠3，∠4+∠CDF=180°， :BP、DP分别平分∠ABE和∠CDF, :7=84E4.5=6-4cr. :∠DFE-∠FEB=6°， 即(23+∠4-（☑1+∠2）=6° .∠4-∠1=6° 由(1)知∠P=5+∠7， .∠P=∠6+∠8， =080-24)+34 =90°-(4-24） =90°-3 =87° 第46页共67页 D 6/ 4 H- 3 P 2 ---G 8 1 7X0 A (3)解：如图，过F点作直线HF∥AB :AB∥CD .AB∥HF∥CD, 由(1)得∠BEF=∠ABE+∠I,∠DGF=∠CDG+∠2. ∴.∠BEF+∠DGF=∠ABE+∠I+∠CDG+∠2， :∠BEF=a,∠DGF=y,∠GFE=I+∠2=B, a+y=∠ABE+∠CDG+B, .∠ABE+∠CDG=a+y-B, :BP、DP分别平分∠ABE和∠CDG, :∠3=)∠ABE、∠4=∠CDG 2 由(1)得∠P=∠3+∠4 ABE+分CDG 2 ABE+∠cDG) -(@+7-) C D 4 F 3 A 第47页共67页 23.如图1，ABICD,直线EF交AB于点E,交CD于点F. -B B M 一D 图1 图2 (1)求证：∠1=∠2： (2)如图1，点G,H在AB,CD之间，且在EF的左侧，若∠EGH+∠FHG=230°，求∠AEG+∠CFH的 度数： (3)如图2，点M在AB,CD之间，点P在CD上，直线PO平分∠CPM交EF的延长线于点N,若 ∠PME+2∠PNE=180°，求证：EF平分∠BEM. 【答案】(1)见解析 E0. 3)见解析 【详解】(1)证明：：AB∥CD, .∠I=∠EFD, :∠EFD=∠2， ∠1=∠2： (2)解：如图，过点G,H分别作AB的平行线GS,HT, B -----S H T 2F D .∠AEG=∠EGS GSI‖ABHT‖AB :.GSHT, ∴.∠SGH+∠THG=180°. 第48页共67页 :∠EGH+∠FHG=230°， ∠EGS+∠FHT=50°， AB∥CD, .HT∥CD .∠CFH=∠FHT, ∠AEG+∠CFH=50°： (3)证明：过点M作AB的平行线MG,过点N作CD的平行线NH, A E B M---- -----------G P\F 一D ∴.∠PNH=∠DPN=∠CPQ :AB∥CD, .HN‖AB .∠ENH=∠BEF, .∠PNE=∠BEF-∠CPQ MG∥AB, ABIICD AB∥MG∥CD .∠AEM=∠EMG,∠CPM=∠PMG, ∠PME=∠AEM+LCPM, 设∠BEF=x,∠CPO=y, ∵PQ ∠CPM 平分 .∠CPM=2y :∠PME+2∠PNE=180°， ∴.∠AEM+∠CPM+2(∠BEF-∠CPQ)=180° 第49页共67页 ∴.180°-∠MEF-x+2y+2(x-y)=180° ∠MEF=x=∠BEF, .EF平分∠BEM 24.直线MN分别交直线AB,CD于点G,H点I在直线AB与直线CD之间. 图① 图② 图③ 【初步感知】 (1)如图①，若∠I=∠AG1+∠IHC,则直线AB,CD的位置关系是 【问题探究】 (2)如图②，AB川CD,P∥MN交CD于点P,点E在射线GB上，点F在射线GM上，且 A-4BF,若∠Br=45,∠BN=30,求☑的度数 【拓展延伸】 3)如图③，AB‖CD,∠CHG=60°，点P在射线HC上，∠HGI与∠HPI的平分线交于点O,探究∠I与 ∠Q之间存在的数量关系. 【答案】(1)AB‖CD (2)75° (3)∠P1G与∠PQG之间存在的数量关系是∠PIG+2∠PDG=420°或2∠POG-∠PIG=300°或 2∠PQG-∠PIG=60° 【详解】(1)解：过点I作W∥AB,如图所示： 第50页共67页 M -B -D 图① .∠AGI=∠GW, :∠GIH=∠AGI+∠IHC,∠GIH=∠GW+LHW ∴.∠JIH=∠CH, .W∥CD, :.ABII CD: 2:乙ABI-AEF,∠IEF=45 .∠AEI=15°，∠AEF=30°. 如图②，过点F作FS∥AB. M F ---------S --R H 图② .FS II ABI CD ∴.∠AEF=∠SFE=30°，∠NFS+∠FHD=180°， ∴.∠NFS=∠SFE+∠EFN=60° .∠FHD=180°-∠NFS=180°-60°=120°， .IPIMN .∠IPH=∠FHD=120°， 过点/作R川AB, IR‖ABII CD, 第51页共67页 ∴∠AEI=∠EIR=15°，∠RIP+∠IPH=180°， ∠RIP=180°-∠IPH=180°-120°=60°， .∠EIP=∠EIR+∠RIP=15°+60°=75° (3):AB∥CD,∠CHG=60° .∠AGH=180°-∠CHG=120°，∠BGH=∠CHG=60°， :∠HGI与∠HPI的平分线交于点Q, 设∠HG0=∠IG0=a,∠HP2=∠IPg=B, ∴∠HGI=2a,∠HPI=2B .∠AG1=∠AGH-∠HGI=120°-2a,∠BGQ=∠BGH+∠HG0=60°+a, ∠CPI=180°-∠HPI=180°-2B ①当点1，Q在直线GP的两侧时，如图③1，过点1作R‖AB」 R -D 图③-1 .IR II ABII CD ∴.∠AGI=∠GIR,∠CPI=∠RIP ∠PIG=∠GIR+∠RIP=∠AGI+∠CPI=120°-2a+180°-2B=300°-2a-2p, 过点Q作QT‖AB. :OT II ABII CD .∠BG0=∠TQG,∠TQP=∠HPQ. .∠PQG=∠TQG+∠TQP=∠BGQ+∠HPQ=60°+a+阝， ∴.∠PIG+2∠PQG=300°-2a-2p+2(60°+a+β)=420° ②当点1，Q在直线GP的左侧时，如图③-2. 第52页共67页 H N 图③-2 同0，得∠P1G=∠AG1+∠CP1=120°-2a+180°-2B=300°-2a-2B, ∠PQG=∠AGQ+∠CPQ=120°-a+180°-B=300°-a-B ∴.2∠PQG-∠PIG=2(300°-a-B)-(300°-2a-2B)=300° ③当点1，Q在直线GP的右侧时，如图③-3 M H一D 图③-3 同①，得∠PIG=∠BGI+∠IPH=60°+2a+2B,∠P0G=∠BG0+∠HP0=60°+a+B ∴，2∠PQG-∠PIG=2(60°+a+B)-(60°+2a+2B)=60° 综上所述，∠P1G与∠P0G之间存在的数量关系是∠PIG+2∠POG=420°或2∠POG-∠PIG=300°或 2∠PQG-∠PIG=60° 【类型4实际应用相关拐点问题】 25.综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.例如：(1)如图 1,AB∥CD,∠PAB=131°，∠PCD=100°，求∠APC的度数， 小明的思路是：过点P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC, 按小明的思路，易求得∠APC的度数为_度；（直接写出答案） 【类比应用】： (2)如图2，AB∥CD,点E在直线AB、CD之间.则∠B,∠BED,∠D存在一定的数量关系，请 认真思考后得出结论，并进行证明. 第53页共67页 【解决问题】 (3)小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用.他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠LED型的 （如图3所示)，EF与桌面MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF=126°， ∠BCD=104°，则∠CDE的度数为_ B B A B E M 图1 图2 图3 【答案】(1)129(2)∠BED=∠B+∠D,理由见解析(3)112° 【分析】本题考查了平行线的性质与判定： (1)过点P作PE∥AB,得出PE∥CD,进而根据平行线的性质可得 ∠APC=∠APE+∠CPE=360°-∠PAB-∠PCD,即可求解： (2)过点E作EF∥AB,根据平行线的性质可得∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,进而得出 ∠BED=∠B+∠D; (3)过点E作EG∥MN得出∠GED=144°，进而根据1)的结论，即可求解. 【详解】(1)过点P作PE∥AB, :AB∥CD, PE∥CD ,∠PAB=131°，∠PCD=100°， ∠APC=∠APE+∠CPE =180°-∠PAB+180°-∠PCD =360°-∠PAB-∠PCD =360°-131°-100°=129° (2)∠BED=∠B+∠D 理由如下： 如图所示，过点E作EF∥AB, 第54页共67页 E C DAB∥CD, .AB∥CD∥EF, .∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE, .∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE, 即∠BED=∠B+∠D: (3)如图所示，过点E作EG∥MW // E G------ 与桌面 垂直 MO ▣W 图3 .EF MN ∴.∠EFM=90° ∠DEF=126° ∴.∠GED=360°-90°-126°=144° 由(1)可得∠CDE=360°-∠BCD-∠GED=360°-104°-144°=1120 故答案为：112° 26.经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路 G B 天枢 开阳天权 玉衡 摇光 天玑 天璇 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点M在AB,CD之间.过点M作MP∥AB,利用平 行线的性质可以得出L,∠2，∠EMF之间的数量关系为一： (2)用同样的辅助线还可以得到图1中∠BEM,∠EMF,∠MFD之间的数量关系，请写出此关系并说明理由： 第55页共67页 3)图2为北斗七星的位置图.将北斗七星从摇光到天枢依次标为A,B,C,D,E,F,G,并将A,B,C,D,E,F,G 顺次首尾连接，如图3.若AG恰好经过点C,且B,C,D在一条直线上，AG∥EF,∠B=∠D+18°， ∠E=100°，求∠B-∠DCG的度数. 【答案】(1)∠I+∠2=∠EMF (2) ∠BEM+∠EMF+∠MFD=360° 理由：：MP∥AB, .∠BEM+∠EMP=18O°， AB∥CD,MP∥AB, .∴，CD∥MP ∴.∠PMF+∠MFD=180° ∴.∠BEM+∠EMP+∠PMF+∠MFD=36O°， ∴.∠BEM+∠EMF+∠MFD=360° (3)118° 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键。 (1)根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求解： (2)根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可求解： (3)根据(1)可知，∠D=∠E+∠DCG,结合图形得到∠B=100°+∠DCG+18°=∠DCG+118°，由此即 可求解。 【详解】(1)解：：AB∥MP∥CD, ·.∠I=∠EMP,∠2=∠FMP,∠EMF=∠EMP+∠FMP. ∴.∠I+∠2=∠EMF; (2)略 (3)解：根据(1)可知，∠D=∠E+∠DCG, :∠B=∠D+18°， .∠B=∠E+∠DCG+18°， ∠E=100°， 第56页共67页 .∠B=100°+∠DCG+18°=∠DCG+118°. ∴.∠B-∠DCG=118° 27.科技小组成员潜心研制出一款机械手臂.如图1，手臂分为大臂 B)、中臂(8C)和小臂CD)三部分. 手臂可呈现出多种状态完成不同的工作.图2、图3为其简化示意图 D 小臂 中臂 大臂 A E 图1 图2 图3 ()如图2，若∠B=150°，CD‖AB,则∠C= (2)如图3，若AB⊥AE,CD∥AE,∠ABC=140°，求∠C的度数. 【答案】(1)30 (2)130° 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可： (2)过点B作BF‖AE,则BF∥CD,先求出∠ABF=180°-∠BAE=90°，得到 ∠CBF=∠ABC-∠ABF=50°，即可得到答案. 【详解】(1)解：·∠B=150°，CD‖AB, ∴.∠C=180°-∠B=180°-150°=30°. (2)解：如图，过点B作BF AE,则BF∥CD, AB⊥AE, ∠BAE=90°， BF∥AE, .∠ABF=180°-∠BAE=90° ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=140°-90°=50° :BF∥CD」 ∴.∠C=180°-∠CBF=130° 第57页共67页 28.科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线.如图①所示，图 ②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图 图① 图② 如图②，AB‖CD,OE平分∠AOC,CF平分∠OCD.求证：∠EOF+LOFC=180°.阅读下面的解答 过程，并填空（理由或数学式）· 证明：：AB川CD(己知)， .∠AOC=-(_), ,OE平分∠AOC(已知)， ▣.乙E0C角平分线的定义)。 1 同理，∠0CF=2-, .∠EOC=∠OCF(等量代换)， .OE‖(). .∠EOF+LOFC=180°(_). 【答案】∠OCD,两直线平行，内错角相等：∠AOC:∠OCD,CF:内错角相等，两直线平行；两直 线平行，同旁内角互补 【详解】证明：：AB川CD(已知)， .:∠AOC=∠OCD(两直线平行，内错角相等)， 第58页共67页 :OE平分∠AOC(已知)， :∠B0C=40C(角平分线的定义)， 2 1 同理， ∠OCF= ∠OCD :.∠EOC=∠OCF(等量代换)， :.OE‖CF(内错角相等，两直线平行). :.∠EOF+∠OFC=180°（两直线平行，同旁内角互补）· 29.光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的 同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理. (1)提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD=90°，求 ∠APC的度数： (2)自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），表示入射光线，b表 示反射光线，ab.平面镜AB与BC的夹角∠ABC=a,求. (3)如图③，若C=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=B(90°<B<180°)，入射光线a与平面 镜AB的夹角为x(0°<x<90°)，己知入射光线从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线 b与入射光线a平行时，请直接写出P的度数.（可用含x的代数式表示）. BOa B b 眼睛 C 图① 图② 图③ 第59页共67页 【答案】(1)45°；(2)90°：(3)162°或(90°+x) 【分析】(1)根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD,即可解决问题； (2)根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线b,可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得 a的度数： (3)分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用(2)结论；三次反射的情况画图进行分析 即可， 【详解】解：(1)，平面镜成像原理入射角等于反射角， .∠APC=∠BPD .∠CPD=90°， .∴.∠APC+∠BPD=90° .∠APC=45°： (2)如图②：过点P作PG⊥AB,OG⊥BC,相交于点G, B 图② ,平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴.∠EPG=LOPG,∠POG=LFOG, .ab, .∠EPQ+∠PQF=180°， .2(∠GP0+∠P0G)=180°， ∴.∠GP0+∠POG=90°， .'∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°， ∴.∠PG0=90°， PG⊥AB,QG⊥BC, .∠PBQ+∠BQG+∠QGP+LGPB=360°， .∠PB0=360°-90°-90°-90°=90°， 第60页共67页 即a=90°. (3)若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E, A BOa B C 图③ 由(2)知，∠E=90°， .'=108° ∴.∠BCE=a-∠E=108°-90°=18° ∴.B=180°-∠BCE=180°-18°=162°： 若经过三次反射标记各反射点，如图③2所示，作Mb M BOa C G D 图③-2 ∠BHF=LAHP=x, ∴.∠BFH∠CFG=180°-a-x=180°-108°-x=72°-x, .∠PHF=180°-2x,∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2(72°-x)=36+2x, .alb, ∴.∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°， ∴.∠FG0=360°.(36+2x)·(180°-2x)=144°， 则∠CGF=2(180°-∠FG0)=18°， 由∠CGF+LCFG+f=180°， 得B=180-°LCFG-LCGF=180°.(72°x)-18°=90°+x, 第61页共67页 综上，阝角的度数为162°或90°+x. 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键 30.【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°.现在我 们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了. (1)如图1，过△ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180°； E- 图2 图3 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能 【迁移应用】(2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中AB∥CD ①若∠EAB=60°，∠ECD=40°，则∠AEC的度数为一： ②若AE∥BD,∠AEC=80°，求∠ABD-∠ECD的度数. (3)如图3，若AB∥CD,点P在AB、CD外部，请直接写出∠B、∠D、∠BPD之间的关系. 【答案】(1)证明见解析：(2)①100°：②100°：(3)∠B=∠D+∠BPD 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是 解题关键 (1)根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论： (2)①过点E作EF∥AB,由平行线的性质，得出∠AEF=60°，∠CEF=40°，即可求出∠AEC的度数： ②根据平行线的性质，得出∠BAE+∠ECD=80°，∠ABD+∠BAE=180°，即可得到答案； (3)根据平行线的性质，得出∠B=∠BPO,∠D=∠DPO,即可得到答案， 【详解】解：(1)证明：BC∥ED, .∠EAB=∠B,∠DAC=∠C, ·∠EAB+∠BAC+∠DAC=I8O°， .∠B+∠BAC+∠C=180°， 即三角形的内角和为180°： (2)解：①如图，过点E作EF∥AB, ∴∠BAE=∠AEF=60°， 第62页共67页 :AB∥CD, :EF∥CD ∠ECD=LCEF=40°， .∠AEC=∠AEF+∠CEF=60°+40°=100°， 故答案为：100°： ②'AB∥EF∥CD, ∴.∠BAE=∠AEF,∠ECD=∠CEF, :∠AEC=80°， ∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠ECD=8O°， ,∠BAE=80°-∠ECD, AE∥BD, ∴.∠ABD+∠BAE=180° .∠ABD+(80°-∠ECD)=180° ∠ABD-∠ECD=100°： (3)解：如图，过点P作PQ∥AB .∠B=∠BPQ, AB∥CD, .∠D=∠DPQ :.ZBPO=ZBPD+ZDPQ=ZBPD+ZD .∠B=∠D+∠BPD 第63页共67页 31.下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台DE保持水平平行. 工作篮 工作篮 A肥B A职B D G 2> ED人I E D 支撑平台口 支撑平台 图1-1 图1-2 (1)如图1，若∠1=40°，∠2=65°，求∠APC的度数： (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆PC上选取加固点F,加装支架FG,并将支架另一端连接 至支撑杆DC向车身前方的延长段上，如图2，使支架FG与工作篮底部AB平行，若∠1=35°，∠2=55° 求此时∠CFG的度数. 【答案】(1)155°： (2)20° 【分析】(1)过点C作CH∥AB,根据平行线的性质求解： (2)过点C作CM∥AB,根据平行线的性质求解。 【详解】(1)如图，过点C作CH∥AB, 工作篮 A吧B P H---------C ED人I 支撑平台口 .AB∥DE :AB/ICHIIDE, .∠HCD=∠1=40° .∠HCP=∠2-∠HCD=65°-40°=25°， .AB∥CH .∠APC+∠HCP=180° ∠APC=155°： (2)如图，过点C作CM∥AB, 第64页共67页 工作篮 A皿B M---- F E D1 支撑平台 丁：AB∥DE FGAB ∴.ABIICM IIDEIIFG ∴.∠DCM=∠1=35° .∠PCM=∠2-∠DCM=55°-35°=20°， .FGIICM, ∴.∠CFG=∠PCM=20° 【点睛】拐点问题常用辅助线：过拐点作平行线。 32.综合与实践 E CD 图1 图2 图3 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支 架的两边AB/CD (1)猜想与证明：如图2，当点E在AB,CD之间时，请写出∠B,∠BED与∠D之间的数量关系，并说明 理由 (2)问题解决：如图3，点E在AB的上方，且∠BED=90°，过点B作直线FG交直线CD于点G,使 ∠ABE=∠EBF,过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H,①找出图3中的弹弓模型，直接写出 由(1)可以得到的结论.②求证：GH平分∠BGJ.(可直接使用①的结论) 【答案】(1)∠BED=∠B+∠D (2)①LABG=∠EOB+∠BGH②见解析 【分析】(1)过点E作EF∥AB,利用平行线的性质及判定论证即可： (2)①过点B作BM DE,利用平行线的性质及判定论证即可：②利用DE IGH,可得∠HGJ=∠EDG 再结合平行线的性质及等量代换得到∠BGH=∠EDG,即可得出结论. 第65页共67页 【详解】(1)答：∠BED=∠B+∠D,理由如下： 过点E作EFI∥AB」 ∴.∠BEF=∠B, ABlICD, .EFIICD, .∠FED=∠D, ∴，∠BEF+∠FED=∠B+∠D, .∠BED=∠B+∠D: A B (2)①解：∠ABG=∠BOE+∠BGH,理由如下： 过点B作BM DE, .∠BOE=∠MBO. DEGH, .BMIIGH. .∠BGH=∠MBG, ·.∠NBO+∠MBG=∠BOE+LBGH, 即：∠ABG=∠BOE+∠BGH: M CD GJ ②证明：∠BED=90°，DEGH .∠GHB=180°-∠BED=90°，∠HGJ=∠EDG, :∠ABE=∠EBF,∠EBF=∠GBH(对顶角相等)， ·∠ABE=∠GBH, .90°-∠ABE=90°-∠GBH, .LBOE=∠BGH. AB//CD. 第66页共67页 ∴∠BOE=∠EDG. ·LBGH=∠EDG」 ,∠HGJ=∠EDG, ∠BGH=∠HGJ, 即：GH平分LBG」 第67页共67页 专题03 相交线与平行线相关“拐点”问题 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 “M”型和“铅笔头”型拐点问题】 1 【类型2 拐点在外部】 16 【类型3 多拐点问题】 31 【类型4 实际应用相关拐点问题】 48 【类型1 “M”型和“铅笔头”型拐点问题】 1．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 2．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点分别在直线上，点在直线和直线之间． (1)如图1，过点作，利用平行线的性质，可以得出之间存在怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图2，已知，． ①直接写出之间存在的数量关系． ②判断与的位置关系，并说明理由． 3．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 4．探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 已知直线，点为直线外的平面内一点，连接． (1)如图1，点在之间，求证：； (2)如图2，点在之间，，射线在下方，射线在上方，平分，平分，求证：． 5．小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，，则______； (2)如图②，已知，平分，平分，，所在直线交于点E． ①若，，求的度数； ②将图②中的点B移到点A的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，求的度数． 6．如图，平分，． (1)如图1，求证： (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数． 7．如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得．    (1)当时， ； (2)当时，求； (3)过点M作，垂足为M，交直线于点K，直接写出的角度 8．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【类型2 拐点在外部】 9．如图，已知，，，求的度数． 10．如图，直线分别交，于点，，连接，，，试说明：． 11．过某点作已知直线的平行线是解决相交线与平行线有关问题常用的辅助线．已知直线，点，分别在直线，上，是射线上的一点，是直线上点右侧的动点，连接． (1)如图，过点作，试证明； (2)如图，是直线上点右侧的一点，为的平分线，作的平分线交的反向延长线于点，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点，在点的运动过程中，我们探究发现：与的度数差只与的大小有关，设，请直接写出与的度数差．（用含的式子表示） 12．如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 13．如图1，，是上方一点，F，G分别是，上的点，连接，． (1)若． ①求的度数． ②如图2，是上方一点，连接，．若平分 的度数比的度数的2倍还大，求的度数． (2)如图3，是上一点，连接，且 ，延长至点，连接．若平分 ，请直接写出的度数． 14．规定：平面内任意两个角，．若满足，则称是的倍欢乐余角．例如：若，，满足，则是的2倍欢乐余角． (1)，求的3倍欢乐余角度数是________； (2)如图1，，点在的上方，连接、，，是的倍欢乐余角．求的度数； (3)如图2，在（2）条件下，是的倍欢乐余角，的三等分线的反向延长线与交于点，当时，求的值． 15．已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 16．【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (2)【类比应用】如图2，已知，点在直线的上方，点在直线上，连接，，则，，之间有何数量关系?请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的角平分线和的角平分线相交于点，求的度数．（用含的代数式表示） 【类型3 多拐点问题】 17．请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①如果，求证：； 证明：过点P作， ∴（__________________）． ∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴_____（__________________）． ∵， ∴（__________________）． (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用x，y，z表示）． 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 18．如图，，M，N分别在上，点P在之间，连接，． (1)如图1，当时，____． (2)如图2，平分，平分，此时和的数量关系是什么？请说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，在的上方有一点Q，连接，平分，平分，求证：． 19．如图，点是直线上的一点，点是直线上的一点，点是直线之间的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点是直线、之间的另一点，连接、，若平分平分，．求的度数． 20．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 21．已知． (1)如图，若．求证：； (2)如图，请找出，，，，这5个角的数量关系，并说明理由． 22．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 23．如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 24．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【类型4 实际应用相关拐点问题】 25．综合与实践 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】： （2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】 （3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 26．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 27．科技小组成员潜心研制出一款机械手臂．如图1，手臂分为大臂、中臂和小臂三部分，手臂可呈现出多种状态完成不同的工作．图2、图3为其简化示意图．      (1)如图2，若，，则________． (2)如图3，若，，，求的度数． 28．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）， ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 29．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求． （3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）． 30．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为______； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在、外部，请直接写出、、之间的关系． 31．下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台保持水平平行． (1)如图1，若，，求的度数； (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆上选取加固点，加装支架，并将支架另一端连接至支撑杆向车身前方的延长段上，如图2，使支架与工作篮底部平行．若，，求此时的度数． 32．综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $