专题02 相交线与平行线相关压轴题分类训练（6种类型48道）【暑期培优】2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦相交线与平行线压轴题，通过6类48道题构建"模型识别-动态分析-实际应用"的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合性问题|8题|多结论验证法、角平分线性质综合|从基础角关系到多结论推理，构建知识网络| |角的数量关系|8题|辅助线构造（作平行线）、模型迁移（猪蹄模型）|从静态探究到动态变化，深化平行线性质应用| |存在性问题|8题|方程思想、分类讨论法|结合动态点/线运动，培养空间观念与创新意识| |定值问题|8题|极端值验证、代数化证明|从特殊到一般，发展数学思维的严谨性| |知识迁移问题|8题|类比推理、模型转化|拓展问题情境，提升知识迁移能力| |实际应用|8题|数学建模、几何抽象|联系生活场景，强化应用意识与实践能力|

专题02 相交线与平行线相关压轴题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 综合性问题】 1 【类型2 探究角的数量关系】 11 【类型3 存在性问题】 32 【类型4 定值问题】 49 【类型5 知识迁移问题】 69 【类型6 实际应用】 87 【类型1 综合性问题】 1．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则．其中正确的有（   ）．（把你认为正确结论的序号都填上） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 5．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 6．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 8．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【类型2 探究角的数量关系】 9．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 10．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 11．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 12．【阅读探究】 如图1，，E，F分别是上的点，点M在两平行线之间，，求的度数． 解：过点M作，所以，因为，所以．所以，因为，所以． 【方法应用】 从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决， （1）如图1，当P点在EF的左侧时，满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，满足数量关系为_______． 【应用拓展】 （2）如图3，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 13．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 14．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试证：； (2)如图2，若，，，则__________； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 15．如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 16．【问题背景】如图1，，点P，Q位于两侧，连接，，，，直接写出①，，的数量关系为______；②，，的数量关系为______； 【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作，的角平分线交于点M，若与互补，试写出与的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用） 【拓展创新】如图3，，点M，N位于左侧，作，的角平分线交于点P，；若，直接写出的度数是______． 【类型3 存在性问题】 17．如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 18．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 19．在太空模拟实验中，有两条互相平行的观测轨道和．如图1，空间望远镜甲位于轨道上的A点，望远镜乙位于轨道上的B点，且．望远镜甲的观测射线绕点A从方向开始，以每秒的速度顺时针旋转观测，望远镜乙的观测射线绕点B从方向开始，以每秒的速度逆时针旋转观测，当甲望远镜观测射线旋转至与重合时，两台望远镜同时停止转动． (1)当观测时间时，______，________． (2)在整个观测过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时观测时间t；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知直线，，点，在上，且满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若平行移动，则在此过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 21．厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 22．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 23．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【类型4 定值问题】 25．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 26．学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 27．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 28．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线． (1)固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________． (2)若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由． ②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值． 29．如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 30．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 31．如图1，已知，是直线，外的一点，于点，交于点，满足．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当射线平分时，求的度数； ②当时，若直线与直线相交所成的锐角是，则_____． ③当时，直线与直线相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理由． 32．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【类型5 知识迁移问题】 33．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 34．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 35．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系． 36．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由； （2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______； （3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______． 37．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 38．已知，点为平面内的一点，连接，，且． (1)【问题呈现】 如图1，当点在直线，之间时，过点作，若，求的度数； (2)【问题迁移】 如图2，当点在直线的上方时，过点作，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)【联想拓展】 如图3，点，均在直线的上方，连接，，过点作，已知，请求出的度数． 39．综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 40．如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【类型6 实际应用】 41．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 42．甘肃敦煌100兆瓦熔盐塔式光热电站是全球最高，聚光面积最大的熔盐塔式光热电站．这种发电站通过大量“定日镜”将太阳光反射到中心处的吸热塔，将其内的熔盐加热至600多摄氏度后发电．图2是“定日镜”反射太阳光的模型：线段，表示两个“定日镜”．两条平行的光线，经过镜子反射后，都射向点H．且满足，．下面我们探究模型中角的数量关系： (1)特殊情形：如图1，若点D，H，E在同一直线上，，求的度数； (2)一般情形：如图2，若，． ①求与的度数（用含α，β的代数式表示）； ②与的数量关系为：________； (3)推广拓展：如图3，加入第三面“定日镜”，平行光（）经过反射后射向点H．已知，，请直接写出与的数量关系（用含k的等式表示）． 43．在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 44．【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 45．同学们还记得今年“春节联欢晚会”扭秧歌的机器人吗？现如今，我国的工业智能化发展已从“制造大国”转向了“智造强国”，在我国的“中国制造2025”宏大计划中，人工智能已经占据了重要地位．如图，某智能化工厂生产了一种智能机器，机械臂的精准操作可控制精确的方向，其中两条平行的机械轨道与，机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了买现复杂的操作任务，通过关节和来调节三个机械臂，和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂，和不在同一条直线上． (1)如图1，当时，猜想机械臂与的位置关系，并说明理由； (2)如图2．当，，时，求的度数（用含的式子表示）； (3)当，时，请直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 46．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 47．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 48．如图1，机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图2，这是机器狗平稳站立时的局部示意图，已知，． (1)求的度数． (2)若机器狗改变站立姿势，与保持不变，的度数增加，请直接写出减小的度数． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线相关压轴题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 综合性问题】 1 【类型2 探究角的数量关系】 11 【类型3 存在性问题】 32 【类型4 定值问题】 49 【类型5 知识迁移问题】 69 【类型6 实际应用】 87 【类型1 综合性问题】 1．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④． 【详解】解：， ，，故①正确， 平分，平分， ，， ， ，故②正确， 平分， ， ， ， ，故③正确， 无法判断，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 2．如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 3．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则．其中正确的有（   ）．（把你认为正确结论的序号都填上） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据互余性质和角平分线的定义可判断①；根据平行线的性质和角平分线的定义可判断②；根据互余的定义可判断③；根据平行线的性质和角平分线的定义可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵，且， ∴与互余的角有个，故③错误； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 4．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，分别对四个结论逐一验证即可． 【详解】解：∵平分， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由知， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，故正确，符合题意； 综上可知，正确． 5．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质可判断①②，结合角平分线定义及平行线性质可判断③，通过角度计算可判断④⑤． 【详解】解：， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ， 平分，故③正确； 在延长线上取点M， ， ，， 比的余角小， ， ， 解得， ，，故④正确； 为的平分线， ， ，即， ， ，即， ，故⑤错误， 综上可知，结论正确的序号是①②③④． 6．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点B作，则，由平行线的性质可得，判断①；同①可知，由平行线的性质可推出再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可判断②③． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 同①可知：； ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 过点D作，则， ∴， ∴ ；故②正确； 过点B作，过点D作，则，   同理可得，， ∵，， ∴，， ∴ ． ∴．故③正确； 综上：正确的有①②③，共3个． 7．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 8．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 【类型2 探究角的数量关系】 9．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【分析】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【详解】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 11．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 12．【阅读探究】 如图1，，E，F分别是上的点，点M在两平行线之间，，求的度数． 解：过点M作，所以，因为，所以．所以，因为，所以． 【方法应用】 从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决， （1）如图1，当P点在EF的左侧时，满足数量关系为______，如图2，当P点在EF的右侧时，满足数量关系为_______． 【应用拓展】 （2）如图3，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）①； ②，理由见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，由探究可知，；如图2，过点P作，则，，，然后求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，由角平分线可得，，则，如图3，作，则，，根据，计算求解即可；②由①可知，，整理作答即可；③由②可知，，同理可得，，，由角平分线可知，，， 则，， 即，，进而可推导一般性规律为，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，由探究可知，； 如图2，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）①解：由（1）可知，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， 如图3，作，则， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：，理由如下： 由①可知，， 整理得，， ∴； ③解：由②可知，， 同理可得，，，……， 由角平分线可知，，，……， ∴， ，……， ∴，，……， ∴可推导一般性规律为， ∵， ∴， 当时，， ∴． 13．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案；②作，同①可得； （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②，理由如下： 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 14．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试证：； (2)如图2，若，，，则__________； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行公理的推论． （1）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，即可得证； （2）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，结合已知条件，即可解答； （3）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，结合即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作， 则， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作， 则， ， ， ， ， ， ； （3），，之间的数量关系是，理由如下： 如图，过点作， 则， ， ， ， 即，，之间的数量关系是． 15．如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 16．【问题背景】如图1，，点P，Q位于两侧，连接，，，，直接写出①，，的数量关系为______；②，，的数量关系为______； 【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作，的角平分线交于点M，若与互补，试写出与的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用） 【拓展创新】如图3，，点M，N位于左侧，作，的角平分线交于点P，；若，直接写出的度数是______． 【答案】问题背景：①；②；尝试应用：；拓展创新： 【详解】解：（1）问题背景：①如图，过点P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图，过点Q作， ， ， ，， ， ， 故答案为：； 尝试应用：由（1）可知：，, 是 ，的角平分线， ， 整理得：， 由（1）可得：， ， ， ， ， 又， ； 拓展创新：如图，过点P作，过点M作，过点N作， ， ， ， 又平分， ， ， ，， ， ， 整理得：，即． 【类型3 存在性问题】 17．如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)180 (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得结论； （2）作．设，，得，得出，，由平行线的性质得，，由可得结论； （3）作，，得出，，推出，，结合，可得，，得，代入相加可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作．设，， 则，． 平分、平分， ，， ， ， ， ， ，； 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 即， ． 18．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)存在，，证明见解析． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据平行线的性质及判定进行论证即可； （2）根据平行线的性质及判定进行论证即可． 【详解】（1））解：①先连接，再在上取一点，然后分别作和的平分线，如图①所示： ②； 证明：平分，平分， ，． ， ， ， ； （2）答：当点在直线上，位于与两平行线之外， 时，， 证明：如图②所示， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键． 19．在太空模拟实验中，有两条互相平行的观测轨道和．如图1，空间望远镜甲位于轨道上的A点，望远镜乙位于轨道上的B点，且．望远镜甲的观测射线绕点A从方向开始，以每秒的速度顺时针旋转观测，望远镜乙的观测射线绕点B从方向开始，以每秒的速度逆时针旋转观测，当甲望远镜观测射线旋转至与重合时，两台望远镜同时停止转动． (1)当观测时间时，______，________． (2)在整个观测过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时观测时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；10 (2)或 【分析】（1）由平行线的性质可得，求出时，两条射线转过的角度，再根据角的和差关系求解即可； （2）分，，和四种情况，用含t的式子表示出，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 当观测时间时，射线转过的角度为，即，射线转过的角度为，即， ∴，； （2）解：，，，， 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 20．如图，已知直线，，点，在上，且满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若平行移动，则在此过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】此题考查了平行线的性质与判定． （1）根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； （2）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数； （3）首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可表示出与的度数，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴； （3）解：存在． 设， ∵， ∴，， ∴， 若， 则， 得． ∴存在． 21．厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 22．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图所示，，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，同时，灯从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足． (1)填空：___________，___________； (2)设旋转时间为秒（），当时，求的值． (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在，， 【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解、； （2）分、在不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求； （3）设转动时间，用表示相关角，结合推导表达式，根据定值条件确定与 ． 本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究，熟练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴且 解得， 故答案为：，． （2）解：当、都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当在的左侧，都在的右侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 当、都在的左侧时， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得； 综上，当时，求的值为或或； （3）解：在转动过程中，存在一点，使得为定值， 理由：设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， ∵， ∴, ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点F，使得k为定值， 此时， ． 23．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)n的值是40 (3)当秒或秒，存在 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据，，，根据平行线的性质得出．，．，即可求解； （2）根据比的一半多列方程，计算可求解； （3）分两种情况，分别画出图形，根据内错角和同位角相等列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴，． ∴， ∴； （2）解：∵比的一半多， ∴． 解得，． ∴n的值是40． （3）解：存在．理由如下： 旋转至时共花时间， 第一种情况：如图①所示， ∵， ∴． 又∵， ∴． ，符合题意． 第二种情况：如图②所示， ∵而，， ∴， ，符合题意． 综上所述：当秒或秒，存在． 24．同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3 (2)当B灯转动12秒或84秒时，两灯的光束互相平行 (3)存在，，． 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 【类型4 定值问题】 25．【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 26．学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或或或或或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即； ，即； 情况二、如图所示： ，即 ，即 ，即 27．已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 28．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线． (1)固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________． (2)若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由． ②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①是定值，；②或或15 【分析】（1）利用平行线的性质求解即可； （2）①过点作直线，则．利用平行线的判定和性质求解即可；②分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）①过点作直线，则． ，， ； ②共分三种情况： 情况1：时，， ∴， ． 情况2：时，设与交于R， ∴， ∴，则旋转了， ∴， ． 情况3：时，， ∴，即旋转了， ∴， ． 综上，或或15． 【点睛】本题考查平移变换和旋转，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 29．如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 【答案】(1)30° (2)①45°；②3，7.5，12 【分析】（1）根据 DEBC 得出：∠CED＝∠BCA，再根据∠FAD＝60°即可算出∠FAC 的度数； （2） ①过点G做直线HLMN， 由MNPQ得出HLPQ， 从而得∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，故 ∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC，即 ∠BGF－∠EFN＝∠ABC故得出答案． ②根据题意知，该题分三种情况：DEBC或DEAB或DEAC，逐一建立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵DEBC ∴∠CED＝∠BCA＝90° ∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30° （2）解：①过点G做直线HLMN，则HLPQ． ∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC ∴∠BGF-∠EFN＝∠ABC＝45° ②共分三种情况： 情况1：DEBC时，10t＝30，t＝3 情况2：DEAB时，10t＝75，t＝7.5 情况3：DEAC时，10t＝120，t＝12 ∴t＝3，7.5，12 【点睛】本题考查了平行线性质的综合应用，熟练进行分类讨论是本题的解题关键. 30．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 31．如图1，已知，是直线，外的一点，于点，交于点，满足．    (1)求的度数； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当射线平分时，求的度数； ②当时，若直线与直线相交所成的锐角是，则_____． ③当时，直线与直线相交所成的锐角是定值吗？若是，求直接写出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②或；③当时，直线与直线相交所成的锐角不是定值，理由见解析 【分析】（1）设与的交点为，由平行线判定定理的推论可知，，则，从而计算出，由邻补角的性质可得； （2）①容易计算出，从从转到需，分段研究，当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，，不符题意； ②直线与直线的交点为，利用三角形内角和为可计算出，根据题意或，分别计算即可； ③由①可知，当时，，由②可知为定值；同理当时， ，此时不是定值；当时，不是定值；当时，直线与直线互相平行． 【详解】（1）解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①根据题意，总的运动时间为， 从转到的时间为， ∵， ∴， 当时，从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 解得，此时； 当时，从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， 解得，此时； 当时，再次从转向， ∴， ∵射线平分， ∴， 解得，此时，不符合题意； 综上，或； ②设直线与直线的交点为， ∵直线与直线相交所成的锐角是， ∴或， 当时，如图， 由（1）可知，， 由①可知，，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，如图， 同理可得，， 解得； 综上所述，或； ③设直线与直线的交点为， 当时，从转向，如图， 由①可知，，， ∴， 同理②可得，为定值； 当时，再次从转向，如图， 由①可知，， ∴， 同理，不是定值； 当时，如图， 此时，， ∵， ∴， ∴直线与直线无交点， 当时，如图， ∵，， ∴不是定值； 综上所述，当时，直线与直线相交所成的锐角不是定值． 32．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 【类型5 知识迁移问题】 33．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)45秒或75秒 (3) 【分析】（1）过点G作的平行线，根据两直线平行，内错角相等进行求解； （2）先求出转动时间的取值范围，再分为点G在右侧和左侧两种情况进行讨论，运用第一小问作辅助线得出的结论进行求解； （3）四边形内角和是是解题的关键，运用角平分线的性质和第一小问作辅助线得出的结论进行求解． 【详解】（1）解：过点G作，如答案图①所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）设灯F转动t秒时，， 因为灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度，则灯E射线旋转至时，，故， 当点G在右侧时，易知点G在上，如答案图②， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 当点G在左侧时，可知灯F射线是在转到上后，返回的过程，如答案图③， ，， 由（1）可得：， 解得：， 综上所述，灯E射线到达之前，灯F转动45秒或75秒时，． （3），理由如下： 如答案图④所示， 当未到达前，设灯转动x秒，由题意可知、分别平分、， 设，， 可以得到：， 由（1）可得， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了平行线中的猪蹄模型，熟记过拐点作平行线，掌握平行线的性质以及四边形内角和是是解题的关键． 34．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【详解】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 35．【问题情景】（1）如图，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或 【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， 如图所示： ， ，平行于同一条直线的两条直线平行 ，，两直线平行同旁内角互补 ，， ，， ． （2），理由如下： 如图所示，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示： 过作交于， 同（2）可知：，， ； 当在延长线时，如图所示： 同（2）可知：，， ． 综上所述，与、之间的数量关系为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键． 36．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由； （2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______； （3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______． 【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）①FG∥KL，理由见解析，② 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质即可求解； （3）①根据与互补，可得，即平分，根据角平分线的定义，进而可得，即可得出； ②根据①的结论，求得发现规律，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，则， ， ； （2）如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）①+=180°，， ， 是的角平分线， ， 平分， ， 又平分， ， ， ， 同（1）可得 ， 又∵∠EGF=90°， ∴∠EGF=∠ELK, FG∥KL； ②根据题意可得 同理可得 …… ． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 37．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 38．已知，点为平面内的一点，连接，，且． (1)【问题呈现】 如图1，当点在直线，之间时，过点作，若，求的度数； (2)【问题迁移】 如图2，当点在直线的上方时，过点作，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)【联想拓展】 如图3，点，均在直线的上方，连接，，过点作，已知，请求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由可得，结合可得，由平行公理可得，因此； （2）由题意可知，，则，，结合可得，； （3）由题意可知，，则，，结合题干可得，，由（2）可知，，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由（2）可知，， ∴． 39．综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4），或， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的几何应用，解题关键是掌握平行线的性质． （1）如图①，根据，，即可得与有的关系； （2）如图②，根据，，即可得与的关系； （3）由（1）（2）即可得出结论； （4）设为，根据以上结论和比的2倍少，列出方程即可求出与的度数． 【详解】(1)解：． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (4)设“另一个角”的度数为， 当这两个角相等时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴这两个角的度数分别为，； 当这两个角互补时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴， ∴这两个角的度数分别为，； 故这两个角的度数分别为，或，． 40．如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 【类型6 实际应用】 41．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点P作． ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴ (平行于同一直线的两直线平行)， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， ∴． （2）； 证明：过点P作，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①；理由如下： 过点M作，如图3所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示：    ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 42．甘肃敦煌100兆瓦熔盐塔式光热电站是全球最高，聚光面积最大的熔盐塔式光热电站．这种发电站通过大量“定日镜”将太阳光反射到中心处的吸热塔，将其内的熔盐加热至600多摄氏度后发电．图2是“定日镜”反射太阳光的模型：线段，表示两个“定日镜”．两条平行的光线，经过镜子反射后，都射向点H．且满足，．下面我们探究模型中角的数量关系： (1)特殊情形：如图1，若点D，H，E在同一直线上，，求的度数； (2)一般情形：如图2，若，． ①求与的度数（用含α，β的代数式表示）； ②与的数量关系为：________； (3)推广拓展：如图3，加入第三面“定日镜”，平行光（）经过反射后射向点H．已知，，请直接写出与的数量关系（用含k的等式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② (3) 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解； （2）①分别过点H，C作，可得，从而得到，，即可解答；②由①的结论，即可解答； （3）分别过点H，B作，设，，则，，结合平行线的性质可得，，从而得到，进而得到，再由（1）得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①分别过点H，C作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ，即； ②由①得：，， ∴，即； （3）解：如图，分别过点H，B作， 设，，则，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴，即． 43．在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 44．【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 【答案】原理探究：等角的余角相等；实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，理由见解答；（2）平面镜和反射光线见解答；或或或 【分析】本题考查了作图的应用和设计，平行线的性质，掌握平面镜原理和平行线的性质是解题的关键． 原理探究：根据互余的性质求解； 实际应用：（1）根据平面镜原理和平行线的判定定理求解；（2）根据平面镜原理和平行线的性质定理求解． 【详解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，， （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； 实际应用：（1）入射光线与反射光线平行， 理由：由平面镜原理得：， ， ， ， ， ； （2）平面镜和反射光线如下图③和图④所示： 当反射光线向右时：延长到F， ， 由平面镜原理得：， ， ， ， 当M和N互换位置时，； 当反射光线向左时：如下图④所示： ， ， 由平面镜原理得：，平分，， ， ， 当M和N互换位置时，． 45．同学们还记得今年“春节联欢晚会”扭秧歌的机器人吗？现如今，我国的工业智能化发展已从“制造大国”转向了“智造强国”，在我国的“中国制造2025”宏大计划中，人工智能已经占据了重要地位．如图，某智能化工厂生产了一种智能机器，机械臂的精准操作可控制精确的方向，其中两条平行的机械轨道与，机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了买现复杂的操作任务，通过关节和来调节三个机械臂，和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂，和不在同一条直线上． (1)如图1，当时，猜想机械臂与的位置关系，并说明理由； (2)如图2．当，，时，求的度数（用含的式子表示）； (3)当，时，请直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)与之间的数量关系有：或或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是关键． （1）过点作，过点作，可得，即，结合平行线的判定即可求解； （2）如图所示，过点作，过点作，，，根据即可求解； （3）根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图所示，过点作，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况，， 如图所示，过点作，过点作，则， 同理，，， ∴， ∴； 如图所示，过点作，过点作，则， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图所示， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即； 第二种情况，， 如图所示， ∴，， ∴， ∴，即； 如图所示， ∴； 综上所述，与之间的数量关系有：或或． 46．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 【答案】（1）   见解析 （2） （3） 【详解】解：（1）如图①，过点作直线． ， ， ，， ， 即． （2）如图②，延长，交于点，过点作． ， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． （3）如图③，分别过点，作，，则． ，，． ． 同理可得，． 和分别平分和， ，． ， ， ，即． 故的度数为． 47．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．如图1，机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图2，这是机器狗平稳站立时的局部示意图，已知，． (1)求的度数． (2)若机器狗改变站立姿势，与保持不变，的度数增加，请直接写出减小的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，易得，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可； （2）同（1）法即可得出结果； 【详解】（1）解：作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵与保持不变， ∴的度数保持不变， ∵的度数增加，且， ∴的度数减小， ∵， ∴减小. 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $