专题01 相交线与平行线相关 解答题分梯度训练（ 2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 该专项通过5类40道题分梯度训练相交线与平行线，以补全证明规范、辅助线转化、动态分类讨论为核心方法，构建从基础推理到综合应用的知识逻辑链，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |补全证明过程|8道|规范推理步骤，强化依据应用（如平行线判定与性质）|从角关系基础概念到逻辑推理规范| |角度相关求解|8道|性质逆向应用，角平分线转化|平行线性质与角平分线性质综合| |平行线基础证明|8道|判定与性质互推，等量代换技巧|判定定理与性质定理的双向应用| |含辅助线证明|8道|作平行线转化角，构建“基本图形”|复杂图形向“三线八角”模型转化| |动点问题|8道|分区域分类讨论，动态角关系探究|静态推理到动态几何的思维进阶|

专题01 相交线与平行线相关解答题分梯度训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 补全证明过程】 1 【类型2 角度相关求解】 5 【类型3 平行线相关基础证明】 8 【类型4 含辅助线证明】 9 【类型5 动点问题】 13 【类型1 补全证明过程】 1．如图，．求证：（在横线上补全推理过程，在括号里补全依据）． 证明：（已知）， _____________（__________________________________）． （已知）， _____________（__________________________）， _____________（_________________________________________）， （__________________________________________）． 2．问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作， ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即； (2)请按李思同学的思路，在图③中补全图形并写出证明过程； 证明：过点作，交的延长线于点， …… (3)问题迁移：如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 3．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 4．补全证明过程． 如图，已知，，垂足分别为，，试说明：． 请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （           ）， （          ）， （已知）， （同角的补角相等）， ________（内错角相等，两直线平行）， （           ）． 5．补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 6．已知：如图，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 请补全下面证明过程． 证明：∵是的角平分线（已知）， ∴ （角平分线定义）， ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴（ ）． 7．补全证明过程，并在（   ）内填写推理的依据． 已知：如图，直线a，b，c被直线d，e所截，，，求证：． 证明：， ， （________）， ， ________ （________）． 8．请补全证明过程和推理理由： 如图，已知，，求证：． 证明：（_______________________）． ________________（_______________________） （_______________________）． 又， ________________（_______________________） （_______________________）． （_______________________）． （_______________________）． 【类型2 角度相关求解】 9．如图，，，平分． (1)求的度数； (2)过点作交于点，在图中作出，并求出的度数． 10．如图所示，平分，，交于E，若，． (1)求的度数． (2)求的度数． 11．如图，，，平分，，． 求： (1)的度数； (2)的度数． 12．如图，，直线分别交，于、两点，且平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 13．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 14．如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求的度数． 15．如图，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 16．如图，在中，点F，E在边上，点D在边上，点G在边上，， ．    (1)请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数； (3)若，且，求的度数． 【类型3 平行线相关基础证明】 17．如图，． (1)求证：． (2)若，求证：． 18．已知：如图，点在线段的异侧，分别是线段上的点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．如图：已知 (1)求证：； (2)若图中，求证： 20．如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 21．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 22．如图，已知：在四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于F，，， (1)求证： (2)若，求证：． 23．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．如图，点，分别在，上，，垂足为，． (1)求证； (2)若，求证． 【类型4 含辅助线证明】 25．探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 已知直线，点为直线外的平面内一点，连接． (1)如图1，点在之间，求证：； (2)如图2，点在之间，，射线在下方，射线在上方，平分，平分，求证：． 26．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 27．已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 28．【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践·体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图，连接． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程， 29．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 30．小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 31．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”、与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 【学以致用】 （1）当，时，__________． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 32．如图，，点E是直线上的一点，． (1)求证：； (2)连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中度数等于的角． 【类型5 动点问题】 33．如图，直线，连接 ，直线、 及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接 ， ，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)如图1，当动点落在第①部分时，，，的关系是________； (2)如图2，当动点落在第②部分时，探究 之间的关系并说明理由； (3)当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论． 34．如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 35．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 36．如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线． (1)在动点A运动的过程中，__________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？ (2)假设存在平分，在此情形下，你能猜想和之间有何数量关系？并说明理由； (3)当时，写出与之间的位置关系，并说明理由． 37．如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）    (1)当动点P落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明； (2)当动点P落在第②部分时，之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； (3)当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 38．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 39．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 40．如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线相关解答题分梯度训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 补全证明过程】 1 【类型2 角度相关求解】 10 【类型3 平行线相关基础证明】 17 【类型4 含辅助线证明】 24 【类型5 动点问题】 37 【类型1 补全证明过程】 1．如图，．求证：（在横线上补全推理过程，在括号里补全依据）． 证明：（已知）， _____________（__________________________________）． （已知）， _____________（__________________________）， _____________（_________________________________________）， （__________________________________________）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定的应用．利用平行线的性质得出，证明，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 2．问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作， ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即； (2)请按李思同学的思路，在图③中补全图形并写出证明过程； 证明：过点作，交的延长线于点， …… (3)问题迁移：如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1)，平行于同一直线的两直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．（1）如图②中，过点作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可；（2）如图③中，过点作交的延长线于，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可；（3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即； （2）证明：如图③，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 4．补全证明过程． 如图，已知，，垂足分别为，，试说明：． 请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （           ）， （          ）， （已知）， （同角的补角相等）， ________（内错角相等，两直线平行）， （           ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据，，得到，根据同位角相等，两直线平行，得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，结合同角的补角相等，得到，继而根据内错角相等，两直线平行证明，最后根据两直线平行，同位角相等，得到． 【详解】证明：，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 5．补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；1；2；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行 【详解】略 6．已知：如图，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 请补全下面证明过程． 证明：∵是的角平分线（已知）， ∴ （角平分线定义）， ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴（ ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质补全证明即可． 【详解】证明：∵是的角平分线（已知）， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 7．补全证明过程，并在（   ）内填写推理的依据． 已知：如图，直线a，b，c被直线d，e所截，，，求证：． 证明：， ， （________）， ， ________ （________）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据，，得，结合同位角相等，两直线平行得，再因为，得，所以，故，即可作答． 【详解】证明：， ， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， （两直线平行，内错角相等）． 8．请补全证明过程和推理理由： 如图，已知，，求证：． 证明：（_______________________）． ________________（_______________________） （_______________________）． 又， ________________（_______________________） （_______________________）． （_______________________）． （_______________________）． 【答案】已知；，；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【详解】证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 故答案为：已知；，；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【类型2 角度相关求解】 9．如图，，，平分． (1)求的度数； (2)过点作交于点，在图中作出，并求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，进而求出，再根据平分，得到，即可解答； （2）根据平行线的作法作出，由（1）知，利用，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 平分， ， ； （2）解：如图所示，即为所求， 由（1）知， ， ． 10．如图所示，平分，，交于E，若，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键； （1）由角平分线的定义可知，然后根据平行线的性质可进行求解； （2）由平行线的性质可知，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．如图，，，平分，，． 求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义求角度是解题的关键． （1）根据，，再由，得出，由，得的度数； （2）根据平分，得，因为，，则，，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴. 12．如图，，直线分别交，于、两点，且平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质得出，代入即可得答案； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）可知：， 解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 13．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键： （1）由平角的定义和已知比例式可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出的度数； （2）根据（1）所求求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平角和垂直的定义，角平分线的定义． （1）根据垂直的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求解； （2）根据平角的定义和可得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义和平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， 15．如图，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角的定义可以解题； （2）先根据同位角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同旁内角互补求出结果即可． 【详解】（1）∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查邻补角的定义，平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 16．如图，在中，点F，E在边上，点D在边上，点G在边上，， ．    (1)请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数； (3)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合． （1）根据平行线的性质进行求解即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出 ； （3）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【类型3 平行线相关基础证明】 17．如图，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据对顶角相等，结合已知条件得到，即可得证； （2）证明，进而得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 18．已知：如图，点在线段的异侧，分别是线段上的点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的条件以及对顶角相等得，根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． （2）根据题干的条件以及邻补角互补得，根据内错角相等，两直线平行，得，又因为，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 19．如图：已知 (1)求证：； (2)若图中，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，得到，证得； （2）由（1）的结论，得到，结合已知条件，求出的度数，证得结论． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ， ， 20．如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：如图，作的角平分线交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，得到，证得结论； （2）根据题意，得，结合已知条件，则有，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是利用角之间的关系证明平行，再利用平行线的性质找角之间的关系． （1）根据对顶角相等可知，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行可证结论成立； （2）根据平行线的性质可得 ，又因为，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行可证，根据两直线平行内错角相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ， ， ． 22．如图，已知：在四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于F，，， (1)求证： (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，对顶角性质，角的运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． （1）利用对顶角性质得到，结合等量代换得到，即可证明； （2）利用平行线性质和等量代换得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， 又∵， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ． 23．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ， ； （2）证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．如图，点，分别在，上，，垂足为，． (1)求证； (2)若，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据垂直的定义可得，再根据“同位角相等，两直线平行”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”可得，即可证明结论； （2）证明，然后由“内错角相等，两直线平行”，即可证明结论． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以，即； （2）证明：因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 【类型4 含辅助线证明】 25．探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 已知直线，点为直线外的平面内一点，连接． (1)如图1，点在之间，求证：； (2)如图2，点在之间，，射线在下方，射线在上方，平分，平分，求证：． 【答案】(1)证明：如图所示，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，设射线交于点H， 由（1）得， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此可证明； （2）设射线交于点H，由（1）可得，则由角平分线的定义可推出，由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明． 【详解】（1）略 （2）略 26．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 27．已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 【答案】(1)的度数为； (2)与的数量关系为，证明过程见解析； (3)与的数量关系为． 【分析】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可求得的度数； （2）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系； （3）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：的度数为． （2）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：与的数量关系为． （3）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：与的数量关系为． 28．【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践·体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图，连接． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质证明，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，由已知条件可得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）：延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：延长交直线于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点P作，则，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得答案； （2）过点P作，则，由平行线的性质得到，再根据即可得到结论； （3）由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，则由平角的定义可得，同理可得． 【详解】解；（1）如图1所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图2所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，点M为延长线上一点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得． 30．小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ． 31．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”、与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 【学以致用】 （1）当，时，__________． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】（1）65；（2）①；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）过点E作，可得，从而得到，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②由（1）得：，利用角平分线的定义求出，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】解∶（1）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：65 （2）①如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②由（1）得：， ∵、分别平分和，，， ∴， ∴． 32．如图，，点E是直线上的一点，． (1)求证：； (2)连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中度数等于的角． 【答案】(1)见解析； (2)∠ABD、∠DBC、∠BDE和∠BDC． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD＝80°，可得∠BCD＝，根据内错角相等，两直线平行可得结论； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠ABD＝50°，根据角的和差可得∠DBC＝50°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BDE＝50°，最后利用平角的定义可求得∠BDC＝50°． 【详解】（1）证明：∵，， ∴∠BCD＝180°－， ∵， ∴∠BCD＝， ∴； （2）解：∵，， ∴∠ABD＝180°－∠BAE＝180°－130°＝50°， ∵， ∴∠DBC＝－∠ABD＝50°， ∵， ∴∠BDE＝∠DBC＝50°， ∵， ∴∠BDC＝180°－∠BDE－∠CDF＝180°－50°－80°＝50°， ∴图中度数等于的角为：∠ABD、∠DBC、∠BDE和∠BDC． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 【类型5 动点问题】 33．如图，直线，连接 ，直线、 及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接 ， ，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)如图1，当动点落在第①部分时，，，的关系是________； (2)如图2，当动点落在第②部分时，探究 之间的关系并说明理由； (3)当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当动点在射线 的右侧时，结论是：；当动点在射线上，结论是：，或或；当动点在射线的左侧时，结论是． 【分析】（1）过作，则，，由即可得出结论； （2）如图；过作，则，，然后作答即可； （3）由题意知，（a）当动点在射线 的右侧时；（b）当动点在射线上；（c）当动点在射线的左侧时，3种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：如图；过作． ， ， （2）结论是， 如图，过作 ， ， ． （3）由题意知，分3种情况求解； （a）如图，当动点在射线 的右侧时，结论是：． 证明：如图，连接，连接 交 于， 同理可得： ，， ∵ ∴ （b）如图，当动点在射线上，结论是：，或或（任写一个即可） 证明：如图，点在射线上， 或或 （c）如图，当动点在射线的左侧时，结论是． 证明：如图，连接，连接交于， 如图，过作 同理可得： ，， ∵， ． 即． 【点睛】解题核心在于过拐点作已知直线的平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），将分散的角集中转化，从而建立角之间的数量关系． 34．如图，直线，连接，线段把直线，之间分成三部分：①的上方；②上；③的下方．并规定：直线，上各点不属于任何部分．当动点P落在某部分时，连接，，构成，，三个角． (1)当动点P落在第②部分时，试说明：． (2)当动点P落在第①部分时，是否仍有：？请说明理由． (3)当动点P落在第③部分时，问：，与之间存在怎样的数量关系？请写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，属于常考题型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，然后根据平角为证明即可； （2）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵ ∴， ∴； （2）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 35．已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线． (1)在动点A运动的过程中，__________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？ (2)假设存在平分，在此情形下，你能猜想和之间有何数量关系？并说明理由； (3)当时，写出与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，，则当时，，即平分，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得； （3）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，是存在某一时刻，使得平分，理由如下： ∵， ∴，， ∴当时，，即平分， 故答案为：是． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）    (1)当动点P落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明； (2)当动点P落在第②部分时，之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； (3)当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】(1) 过点P作，得到，根据平行线的性质推出，，由此得到； (2) 过点P作，得到，根据平行线的性质推出，由此得到； (3) 过点P作，得到，根据平行线的性质推出,即可得到结论． 【详解】（1） 过点P作，    ∵   ∴ ∵，   ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 过点P作    ∵   ∴ ∵，   ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点P作， ∵，   ∴ ∴, ∵, ∴．    【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 38．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过点作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）过点作，由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴． 39．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 40．如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究． （1）利用得角的关系，结合，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定． （2）先由和度数求，再依据角平分线得，结合与求，最后用三角形内角和算；或作，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出． （3）作，根据得，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点在左侧、右侧（与有交点、无交点）三种情况，推导、、的关系． 【详解】（1）方法一：， ， ， ， ； 方法二：， ， ， ， ； （2）方法一：，， ， 平分， ， ， ， 在中，， 方法二：过点作，   ， ， ，， ，， ， 平分， ， ； （3）过点作， ， 当点在点左侧时   ； 当点在点右侧，且与有交点时   ； 当点在点右侧，且与无交点时   ； 综上：或或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $