精品解析：天津市第八中学2025-2026学年第二学期高一年级数学学科第二次大单元练习

天津市第八中学2025—2026学年第二学期高一年级数学学科 第二次大单元练习 启用前保密等级 时间：90分钟；满分100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分 1. 下列调查方法的选择中，最合适的是（ ） A. 了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C. 了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D. 某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 2. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在正方体中，下列几种说法正确的是 （ ） A. B. C. 与面成 D. 与成 5. 福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B. 直方图中的值为0.025 C. 估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D. 估计全体学生成绩的中位数为85 6. 设一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 13 7. 如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ） A. B. C. D. 8. 长方体中，，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 10. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当________时，平面. 12. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 13. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是________． 14. 如图，在正方体中，是侧面的中心，则异面直线与的夹角大小为______． 15. 在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为________. 三、解答题：本大题共4个题，共40分 16. 如图，正方体边长为分别为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 18. 如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面平面BCHG. 19. 如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，． （1）求证：． （2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第八中学2025—2026学年第二学期高一年级数学学科 第二次大单元练习 启用前保密等级 时间：90分钟；满分100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分 1. 下列调查方法的选择中，最合适的是（ ） A. 了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C. 了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D. 某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 【答案】A 【解析】 【详解】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确； B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误； C选项，了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误； D选项，某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误． 2. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】求出全体队员中女队员所占比例，再按等比例抽取样本即可. 【详解】解：因为全体队员中女队员所占比例为，所以样本中女队员应抽取的人数为. 故选：C 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 4. 在正方体中，下列几种说法正确的是 （ ） A. B. C. 与面成 D. 与成 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，根据反证法判定即可; 对于选项B，根据线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于选项C，根据线面垂直的性质定理及线面角的定义可得;对于选项D，根据异面直线所成角判定即可. 【详解】对于选项A，用反证法，假设 ，而 ，则 ，显然它们是平行直线，所以选项A错误; 对于选项B， 连接，易得平面，所以平面 ，且平面，所以 ，选项B正确; 对于选项C， 取 中点 ，连 ，则，因为 平面,平面，所以，又，平面，所以平面，所以 为直线 与平面 所成的角， ，所以，选项C错误; 对于选项D， 因为且，所以所以四边形为平行四边形，所以 ，所以 或其补角为 所成的角， 为等边三角形，，选项D错误. 故选：B. 5. 福建省平潭综合实验区某中学全体学生参加了一场主题为“印象最美平潭岛”的家乡文化知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有850人 B. 直方图中的值为0.025 C. 估计全体学生成绩的样本数据的分位数约为95 D. 估计全体学生成绩的中位数为85 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图估计区间内的学生人数判断A；由频率和为1求参数值判断B；应用百分数、中位数的定义求样本数据的分位数和中位数判断C、D. 【详解】由图，可得，B错； 成绩在区间内的学生有人，A错； 由图知，样本数据的分位数在区间内，设为，则，可得，C对； 由图知，样本数据的中位数在区间内，设为，则，可得，D错； 故选：C 6. 设一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的方差为， 所以数据的方差为. 故选：C 7. 如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，由此得到结论． 【详解】∵样本A的数据均不大于10， 而样本B的数据均不小于10， ， 由图可知A中数据波动程度较大， B中数据较稳定， . 故选B. 8. 长方体中，，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算. 【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角， ，所以. 故选：D 9. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以③恒成立； 设与交于点，则为底面正方形的中心，且， 由正四棱锥，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立； 对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立. 故选：A. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 10. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用频率代替概率和古典概型概率公式计算即可判断①；利用平均数计算公式求得的值，再用方差公式计算即可判断②；利用百分位数概念计算判断③；利用极差定义计算判断④. 【详解】对于①，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本， 则某个个体被抽到的概率是，故①正确； 对于②，由这组数据1，2，m，6，7的平均数为4，可得，解得， 则数据为的方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23按从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 因，故第70百分位数是顺数第六个数，即23，故③正确； 对于④，样本的极差为，故④正确. 故答案为：①③④. 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当________时，平面. 【答案】 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，根据线面平行的性质定理可得，进而即得. 【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点． 因为平面，且平面平面，又平面， 所以， 所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2. 故答案为：. 12. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】由已知判断平面，然后说明，设，通过勾股定理可求出. 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 13. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是________． 【答案】 ，， 【解析】 【分析】先根据中位数与众数的定义列方程求解参数，再依次计算该组数据的平均值、方差和第60百分位数. 【详解】 该组数据共6个，从小到大重新排列为，其中众数为出现次数最多的数，即； 中位数为排序后第3位和第4位数据的算术平均值，即.由题意得，解得. ，。 ，结果非整数，向上取整为4，因此第60百分位数为从小到大排序后的第4个数据，即. 14. 如图，在正方体中，是侧面的中心，则异面直线与的夹角大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】平移直线，找出异面直线所成角，利用三角形的知识求解. 【详解】如图，连接，则，则即为所求异面直线夹角（或其补角）， 连接，，，则， 所以是等边三角形，则． O是中点，则由等边三角形的性质可知平分，即． 故答案为： 15. 在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为________. 【答案】 【解析】 【分析】找到在平面内的射影，由线面角的定义求解. 【详解】为中点，连接，如图所示， 在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， 为正三角形，为中点，则， 平面，，平面， 在平面内的射影为，则与平面所成角为， ，则，，， 中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个题，共40分 16. 如图，正方体边长为分别为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）45° 【解析】 【分析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明； （2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可. 【小问1详解】 证明：连接， ∵分别为中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 解：∵， ∴是两异面直线与所成角或其补角， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴两异面直线与所成角的大小为45°． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】(1)详见解析; （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC， 所以MN∥AB．（2）线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 【详解】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC， 所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB． （2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，， 所以AM⊥平面PCD． 18. 如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，的中点. （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定证明面即可. （2）首先根据题意易证，，从而得到平面，平面，再利用面面平行的判定证明平面平面即可. 【详解】（1）在三棱柱中， 因为，分别是，的中点，  所以， 又因为，所以. 因为平面，平面， 所以面； （2）因为，分别是，的中点，所以. 又因为在三棱柱中，为的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 19. 如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，． （1）求证：． （2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，由勾股定理得逆定理证明出AC⊥BC，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD即为二面角的平面角，进而得到△BCD为等腰直角三角形，，再得到∠BAD为直线与平面所成的角，利用求出的线段长度，求出直线与平面所成的角的正弦值. 【小问1详解】 因为，，，所以由余弦定理得：，因为，所以AC⊥BC，因为平面平面，交线为BC， 平面ABC，所以AC⊥平面BCD，因为平面BCD，所以，证毕. 【小问2详解】 由（1）知，AC⊥平面BCD，因为平面BCD，所以，又AC⊥BC，故∠BCD即为二面角的平面角，所以∠BCD=45°，又因为，所以△BCD为等腰直角三角形，因为BC=6，所以，因为，，，所以平面ACD，AD为AB在平面ACD上的投影，所以∠BAD即为直线与平面所成的角，设为，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $