精品解析：江苏省南通市通州区2025-2026学年下学期 初二数学期末试卷

初二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．) 1. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，即分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵函数是分式，分式有意义时，分母不能为 ∴ 解得． 4. 用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 【详解】解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式 0的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据函数图象可得一次函数在轴上方时的取值范围为， 即不等式 0的解集是． 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 7. 已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（ ） A. 这次测试中两个班均没有满分 B. 甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C. 甲班成绩的波动比乙班的大 D. 乙班成绩的平均分比甲班的高 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知甲、乙两班的最高分都未达到150分，所以两班均没有满分，故此选项说法正确，不符合题意； 对于B，甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，都是120，故此选项说法错误，符合题意； 对于C，甲班的成绩的箱体比乙班的成绩的箱体更高，所以甲班的成绩比乙班的成绩波动更大，故此选项说法正确，不符合题意； 对于D，由图可知乙班成绩的中位数与甲班成绩的上四分位数相同，并且乙班成绩的最小值与甲班成绩的下四分位数相同，乙班成绩的下四分位数与甲班成绩的中位数几乎相同，说明乙班的平均分比甲班的平均分更高，故此选项说法正确，不符合题意． 8. 已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性确定的取值范围，再将各选项点的坐标代入解析式求出，判断是否符合要求即可． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， A、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； B、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意； C、当时，代入解析式得，解得，符合题意； D、当时，代入解析式得，解得，不符合，不符合题意． 9. 如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 10. 的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 二、填空题(本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 11. 若点在函数的图象上，则t的值是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式，即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在函数的图象上， 把，代入，得： ． 12. 若方程的两个根为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． 13. 如图，正方形的边长为，是边的中点，连接．若线段绕点 顺时针旋转得到， 则线段的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理求得的长，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为，是边的中点， ∴，， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为E．若， 则____________度． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形的外角性质求出，由题意得到，推出，由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意得到：， ∴， ∴． 15. 某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先将4个数据从小到大排列为,,,，分组分为两类：1个数据一组、3个数据一组，2个数据一组、2个数据一组，组内离差平方和为两组各自计算每个数据与本组平均数的差的平方和，再相加得到总和，比较所有结果得到最小值． 【详解】解：①计算1个和3个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； 分组：； ②计算2个和2个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； ∵ ∴组内离差平方和的最小值是． 16. 已知一次函数的图象经过点，分别交轴、轴于点，． (1)的值是____________； (2)若点在线段上，且则点的坐标是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，，根据勾股定理表示出，代入已知等式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）将代入 ∴ 解得：； （2）由（1）可得一次函数解析式为 当时， ∴ 设， ∵点在线段上，， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 三、解答题(本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答； （2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人．求该景区这两年接待游客的年平均增长率(结果写出的形式)． 【答案】该景区这两年接待游客的年平均增长率为 【解析】 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2025年接待游客的人数=该景区2023年接待游客的人数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 由题意列方程，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 19. 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动路程的比值(即每千米的运动耗时)，单位通常为“”，配速数值越高，代表运动速度越慢．小亮参加了一场的健身跑活动，他的配速与已跑完路程之间的函数关系如图所示． （1）在，，三个位置中，运动速度最慢的是____________； （2）若点，求小亮完成健身跑的时间． 【答案】（1） （2）小亮完成健身跑的时间是 【解析】 【分析】（1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据的意义可得小亮完成健身跑的配速为，进而求得时间． 【小问1详解】 解：根据配速数值越高，代表运动速度越慢 由函数图象可得的速度最慢； 【小问2详解】 由点，可知小亮完成健身跑的配速为 ∴小亮的用时为（） 答：小亮完成健身跑的时间是． 20. 如图，正方形中，点，分别在边，上， ，在图中找出与 相等的线段，并证明． 【答案】； 证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 即． 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】；先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购．他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下． 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度． （1）从计分规则可以看出，小明最重视的一个评分项目是____________； （2）请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表? 【答案】（1）健康监测准确性 （2）小明会选购C款智能手表 【解析】 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可． 【小问1详解】 解：健康监测准确性； 【小问2详解】 解：A款智能手表的总分； B款智能手表的总分：； C款智能手表的总分：． 小明会选购C款智能手表． 22. 如图，在中，． （1）求作菱形 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； （2）说明（1）中作图的合理性． 【答案】（1） （2）由作法可知：． 又， ∴． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，即可求解； （2）根据四边相等的四边形是菱形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号的机器人进行快递分拣，相关信息如下表所示． 机器人型号 每台机器人每天分拣快递量/万件 每台机器人价格/万元 甲 22 80 乙 18 60 这个企业计划购买这两种型号的机器人共台，并且所花的总费用不超过万元． （1）设购买甲种型号的机器人台，这台机器人每天分拣快递量的总和为万件，求关于的函数解析式； （2）该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】（1） （2）购买甲、乙型号的机器人各台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意列出不等式，求得，进而根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得． 整理，得． 【小问2详解】 由题意，得．解得． ∵中， ∴随的增大而增大． ∴当时，最大． 答：购买甲、乙型号的机器人各5台，能使每天分拣快递的件数最多． 24. 已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根 （2）①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 略 25. 矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． （1）如图1，若旋转角为，求点到边的距离； （2）如图2，若点在边上，连接交边于点，判断是否为线段的中点，并说明理由； （3）若直线经过点，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）是线段的中点． 理由：过点作，垂足为，连接，则． ∵， ∴． 由旋转性质可知． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 又． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴是线段的中点． （3）的长是或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转的性质以及矩形的性质可得，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）过点作，垂足为，连接，则，证明，得出，则，进而证明，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证； （3）分两种情况讨论，当在上时，当在的延长线上时，先用勾股定理求得的长，进而求得的长，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，旋转角为， ∴，， ∴ ∴，即点到边的距离为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在上时，连接， ∵旋转， ∴，，， ∴ ∴ 在中，； 如图，当在的延长线上时， 同理可得，则 在中， 综上所述，的长是或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．) 1. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式 0的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（ ） A. 这次测试中两个班均没有满分 B. 甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C. 甲班成绩的波动比乙班的大 D. 乙班成绩的平均分比甲班的高 8. 已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（） A. B. C. D. 9. 如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 10. 的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 11. 若点在函数的图象上，则t的值是____________． 12. 若方程的两个根为，，则____________． 13. 如图，正方形的边长为，是边的中点，连接．若线段绕点 顺时针旋转得到， 则线段的长是____________． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为E．若， 则____________度． 15. 某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 16. 已知一次函数的图象经过点，分别交轴、轴于点，． (1)的值是____________； (2)若点在线段上，且则点的坐标是____________． 三、解答题(本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程 （1） （2） 18. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人．求该景区这两年接待游客的年平均增长率(结果写出的形式)． 19. 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动路程的比值(即每千米的运动耗时)，单位通常为“”，配速数值越高，代表运动速度越慢．小亮参加了一场的健身跑活动，他的配速与已跑完路程之间的函数关系如图所示． （1）在，，三个位置中，运动速度最慢的是____________； （2）若点，求小亮完成健身跑的时间． 20. 如图，正方形中，点，分别在边，上， ，在图中找出与 相等的线段，并证明． 21. 小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购．他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下． 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度． （1）从计分规则可以看出，小明最重视的一个评分项目是____________； （2）请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表? 22. 如图，在中，． （1）求作菱形 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； （2）说明（1）中作图的合理性． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号的机器人进行快递分拣，相关信息如下表所示． 机器人型号 每台机器人每天分拣快递量/万件 每台机器人价格/万元 甲 22 80 乙 18 60 这个企业计划购买这两种型号的机器人共台，并且所花的总费用不超过万元． （1）设购买甲种型号的机器人台，这台机器人每天分拣快递量的总和为万件，求关于的函数解析式； （2）该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 24. 已知关于的方程 其中． （1）利用判别式判断该方程的根的情况； （2）C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 25. 矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． （1）如图1，若旋转角为，求点到边的距离； （2）如图2，若点在边上，连接交边于点，判断是否为线段的中点，并说明理由； （3）若直线经过点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $