精品解析：江苏省淮安市开明中学2025—2026学年八年级第二学期数学期末 试题

2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分，把答案涂在答题纸上） 1. 在一幅比例尺为的地图上，若量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地实际距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，熟练掌握比例尺的定义，长度单位换算，是解题的关键． 根据比例尺的定义，比例尺=图上距离:实际距离，用图上距离除以比例尺求出实际距离，再进行单位换算即可求解． 【详解】解：∵比例尺=图上距离÷实际距离， ∴实际距离=图上距离÷比例尺． ∵图上距离为，比例尺为， ∴实际距离． ∵， ∴． ∴甲、乙两地实际距离为． 故选：A． 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解我国中学生的视力情况 B. 了解某品牌灯泡使用寿命 C. 调查国庆假期游客对淮安热门景点的满意度 D. 调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的适用条件，结合调查范围大小、调查是否具有破坏性、是否要求高精度逐一判断选项即可． 【详解】解：A、调查对象为我国全体中学生，范围极大，适合抽样调查，不符合要求； B、测试灯泡使用寿命的调查具有破坏性，无法对全部灯泡进行检测，适合抽样调查，不符合要求； C、调查游客满意度，调查范围较大，不需要极高精度，适合抽样调查，不符合要求； D、飞船重要零部件的质量直接关系飞行安全，必须保证每个零部件合格，需要逐一检查，最适合采用普查，符合要求． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A的，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项B的，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项C的，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D的，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 故 ， 故， 整理得， 解得． 6. 将分式中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】将扩大后的字母代入原分式，化简后与原分式对比即可得到结果． 【详解】解：、分别扩大为原来的2倍后，得到的新分式为， 而 新分式的值和原分式相等，即分式的值不变． 7. 用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据篱笆用法正确表示平行于墙的边长． 设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，由题意，得：； 故选B． 8. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共24分，把答案填在答题纸上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故答案为x≠﹣2． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0． 10. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【解析】 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 13. 某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为_______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.1 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，观察表格中损坏频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验次数增加，柑橘损坏的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的方法，可得这批柑橘损坏的概率估计值为． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 15. 《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 16. 如图，在中，为的一条中线，E为上一点，．若，，过点A作交的延长线于点F，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，证明，根据相似三角形的性质求得，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为的一条中线， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：，负值舍去 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 检验：当时，分母， ∴是原方程的解． 19. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）， （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 20. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 【答案】 这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元，列出方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得，， 解得 或 （舍去）． 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． 21. 中国发展已进入全球第一梯队．某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：A．经常使用“”；B．经常使用“豆包”；C．经常使用“元宝”；D．其他．现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表． AI软件的使用情况统计表 类别 频数 频率 A 128 B a C b D 40 根据统计的信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量_________，__________，_________； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为_________°； （3）若该校共有师生2000人，估计其中经常使用“”的人数． 【答案】（1）400；160；0.18 （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）用“A”部分的频数除以其所占的百分比，可求出样本容量，从而求出a的值，再求出“C”部分的频数，即可求出b的值； （2）用360度乘以“D”部分所占的百分比，即可求解； （3）用2000乘以样本中经常使用“”的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， ∴， “C”部分的频数为， ∴． 【小问2详解】 解：“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计其中经常使用“”的人数为640人． 22. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； （2）作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以分别连接，分别延长到格点，使，再将顺次连接得到． （2）在图中取格点F和H，连，交于点D，点D即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 23. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 24. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算出根的判别式的值得到，从而可判断，然后根据根的判别式的意义可得到结论； （2）先利用求根公式得到，，再利用该方程有一个根是整数得到，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明： ， 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ，， 该方程有一个根是正数， ， 解得． 25. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； （2）如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点P，连接，延长交于点，点P，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 26. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 （1）如图①，在中，，，则 ． （2）如图②，若，求证：； 【尝试应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 （4）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】（1）；； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 27. 综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． （1）任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； （2）任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． （3）任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ （4）任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 【答案】（1） （2）；； （3）克（或） （4） 【解析】 【分析】（1）根据甜度计算公式，用糖的质量除以奶茶总质量即可． （2）分别用含糖量比总质量表示两种情况下奶茶的甜度，再作差比较大小． （3）设需要再加入克糖，根据甜度相等列出分式方程求解，并检验． （4）依次计算操作1和操作2后甲杯的含糖量，根据甲杯甜度等于五分糖甜度列出方程求解． 【小问1详解】 解： 奶茶甜度， 该奶茶的甜度． 【小问2详解】 解： 一杯克七分糖奶茶含糖， ， 一杯克五分糖奶茶含糖克，再加入克糖后，含糖克，总质量为克， ， ，， ， ， 即． 【小问3详解】 解：设一杯克五分糖奶茶需要再加入克糖才能与七分糖奶茶的甜度一样， 加入克糖后，糖的质量为克，奶茶总质量为克， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：需要再加入克糖． 【小问4详解】 解：操作1后，甲杯含糖量为克， 甲杯甜度为， 操作1后，乙杯含糖量为克， 乙杯甜度为， 操作2后，甲杯含糖量为克， 操作2后，甲杯甜度为， 五分糖奶茶的甜度为， ， 整理，得， ， ， ，且， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分，把答案涂在答题纸上） 1. 在一幅比例尺为的地图上，若量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地实际距离为（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解我国中学生的视力情况 B. 了解某品牌灯泡使用寿命 C. 调查国庆假期游客对淮安热门景点的满意度 D. 调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 将分式中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分，把答案填在答题纸上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 10. 比较大小：_____． 11. 因式分解：_____． 12. 如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 13. 某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为_______．（结果保留小数点后一位） 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 15. 《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 16. 如图，在中，为的一条中线，E为上一点，．若，，过点A作交的延长线于点F，则________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 20. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 21. 中国发展已进入全球第一梯队．某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：A．经常使用“”；B．经常使用“豆包”；C．经常使用“元宝”；D．其他．现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表． AI软件的使用情况统计表 类别 频数 频率 A 128 B a C b D 40 根据统计的信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量_________，__________，_________； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为_________°； （3）若该校共有师生2000人，估计其中经常使用“”的人数． 22. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； （2）作出线段AC上的点D，使 ． 23. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 24. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为正数，求的取值范围． 25. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； （2）如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 26. 数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 （1）如图①，在中，，，则 ． （2）如图②，若，求证：； 【尝试应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 （4）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 27. 综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． （1）任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； （2）任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． （3）任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ （4）任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $