专题20.1 二次根式及其性质（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，从概念（形如√a的代数式）入手，梳理有无意义的条件，深入解析双重非负性、(√a)²与√a²的区别等性质，再到最简二次根式的判断与化简，通过10类题型构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“题型归纳+举一反三”为特色，10类题型覆盖基础（有意义条件、求值）到综合（参数问题、规律探究），如双重非负性题型培养抽象能力和推理意识，规律探究题发展创新意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化数学语言表达与应用。

专题20.1 二次根式及其性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 求二次根式的值】 2 【题型3 二次根式的双重非负性】 3 【题型4 】 3 【题型5 】 4 【题型6 求二次根式中的参数】 4 【题型7 二次根式的规律探究】 4 【题型8 二次根式的化简】 5 【题型9 最简二次根式的判断与化简】 5 【题型10 由最简二次根式求参数】 6 考点1 认识二次根式 知识点1 二次根式的概念 定义：形如的代数式（其中a为有理式），叫做二次根式． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 2.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= ． ． 知识点4 最简二次根式 1. 被开方数中各因式的指数都为1，并且被开方数不含分母，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）函数中自变量的取值范围是________． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 【题型2 求二次根式的值】 【例2】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-3】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 二次根式的双重非负性】 【例3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【变式3-2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【变式3-3】已知，均为实数，，则的值为________． 【题型4 】 【例4】（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______（结果保留）． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）若，则化简的结果是_______． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【变式4-3】若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　） A． x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D． x≤4 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）的值为___________． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东·课后作业）______． 【变式5-2】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【变式5-3】挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【题型6 求二次根式中的参数】 【例6】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【变式6-2】已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【题型7 二次根式的规律探究】 【例7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【变式7-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【题型8 二次根式的化简】 【例8】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【变式8-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【变式8-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【题型9 最简二次根式的判断与化简】 【例9】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【变式9-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【变式9-2】（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________． 【变式9-3】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【题型10 由最简二次根式求参数】 【例10】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【变式10-1】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式10-2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 二次根式及其性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 求二次根式的值】 3 【题型3 二次根式的双重非负性】 5 【题型4 】 6 【题型5 】 8 【题型6 求二次根式中的参数】 10 【题型7 二次根式的规律探究】 12 【题型8 二次根式的化简】 14 【题型9 最简二次根式的判断与化简】 15 【题型10 由最简二次根式求参数】 17 考点1 认识二次根式 知识点1 二次根式的概念 定义：形如的代数式（其中a为有理式），叫做二次根式． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 2.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= ． ． 知识点4 最简二次根式 1. 被开方数中各因式的指数都为1，并且被开方数不含分母，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）函数中自变量的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列不等式求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不能为零，因此可得 ， 移项得， 系数化为得． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）以及分式分母不为，将代入各选项，判断哪个式子无意义即可． 【详解】解：当时，，故A选项有意义； ，故B选项有意义； ，故C选项有意义； ，的分母为，故D选项无意义． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 【答案】 且 【分析】分式有意义需要满足分母不为零，同时二次根式的被开方数为非负数，据此列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围是且． 【题型2 求二次根式的值】 【例2】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【变式2-3】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型3 二次根式的双重非负性】 【例3】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【答案】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 【变式3-3】已知，均为实数，，则的值为________． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 【题型4 】 【例4】（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）若，则化简的结果是_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 【变式4-3】若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　） A． x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D． x≤4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|， 当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意； 当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3； 当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3； 当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5， 据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5， 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）的值为___________． 【答案】2026 【详解】解：． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东·课后作业）______． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简原式，合并同类项得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数需满足，即 当时，， ， 原式 ． 【变式5-2】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-3】挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 【题型6 求二次根式中的参数】 【例6】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 【变式6-2】已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 【变式6-3】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 【题型7 二次根式的规律探究】 【例7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 【变式7-2】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 【详解】解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型8 二次根式的化简】 【例8】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 【变式8-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 【变式8-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【题型9 最简二次根式的判断与化简】 【例9】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 【变式9-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 【变式9-2】（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式9-3】（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型10 由最简二次根式求参数】 【例10】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 【变式10-1】若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【变式10-2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 【变式10-3】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $