1.1 探索勾股定理《知识解读·题型专练》-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，系统梳理定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、验证（拼图法）及应用（求边长、折叠等），通过6类题型（基础求边长到赵爽弦图、勾股树等模型）构建递进式学习支架。 资料特色在于题型分层设计，融入赵爽弦图历史情境与社区步道等生活实例，通过拼图验证培养几何直观（数学眼光），逻辑推理（数学思维）及符号表达（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

1.1 探索勾股定理（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··利用勾股定理求边长】 1 【题型 2·勾股定理与折叠】 2 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 6 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽线图】 9 【题型 5·勾股定理常见模型之勾股树】 17 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 20 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 题型 1··利用勾股定理求边长】 【例1】在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 【变式1-1】在中，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．2.5 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴． 【变式1-2】如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得， ， ，选项符合题意． 【变式1-3】某社区广场修建直角休闲步道，两条直行步道长度分别为12米和16米，两条步道相互垂直，若修建一条捷径连接两端，这条捷径的总长度为（    ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【详解】解：由题意得：这条捷径的总长度为米 【题型 2·勾股定理与折叠】 【例2】如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 【变式2-1】如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 【变式2-2】如图，在中，，，．将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】先利用勾股定理算出边长，根据折叠性质得到，设，用表示、，再在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：， 由勾股定理：， 由折叠性质：， 设，则， ， 在中，由勾股定理： ， 代入得： ， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 【例3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【变式3-1】如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 【变式3-2】如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，是等腰直角三角形，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，把绕点A顺时针旋转，得到，证明，得到，勾股定理得到，等量代换后即可得出结论． 【详解】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽线图】 【例4】回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【变式4-1】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 【变式4-2】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 【变式4-3】阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型 5·勾股定理常见模型之勾股树】 【例5】勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， ∴第4个图形中共有（个）正方形． 【变式5-1】如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为，，，，白色正方形的边长为，如图所示： ∴由勾股定理可得：，，， ∴， ∴图中阴影正方形的面积之和为； 故选：B． 【变式5-2】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图，    由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 【变式5-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 【例6】一个三角形工件的尺寸（单位：mm）如图所示，则它的高的长度为________． 【答案】/12毫米 【分析】通过作高构造直角三角形，利用方程思想，设高将底边分成的其中一段长度为x，根据两个直角三角形共用一条直角边（即高），利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式6-1】如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 【变式6-2】如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，正确得出的长是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：直角三角形两直角边，， ， ， 则， 解得：． 故答案为：． 【变式6-3】在中，，是边上的高，，则等于____    【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，由，结合，可求出的长；然后利用勾股定理解得． 【详解】解： 是边上的高，，， ， 故答案为：6 随堂检测 【随堂检测】 1．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴． 2．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的高是（    ） A． B． C．13 D．30 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形面积的两种不同表示方法，列出等式求解斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12， ∴由勾股定理可得斜边长为， 设斜边上的高为， ∴， 解得． 3．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 4．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位：）可知两孔中心A，B之间的距离是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】先求出，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ，． 在中，由勾股定理，得 ． 答：两孔中心A，B之间的距离为． 5．如图，在中，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出，再根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 6．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 7．如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 8．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 【答案】 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积． 【详解】解： ． 9．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 10．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 【答案】(1)2.94 (2)3.5 (3)1.68 【分析】（1）根据三角形面积计算即可． （2）根据勾股定理计算即可． （3）根据三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 11．如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 12．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 探索勾股定理（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··利用勾股定理求边长】 1 【题型 2·勾股定理与折叠】 2 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 3 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽线图】 5 【题型 5·勾股定理常见模型之勾股树】 8 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 9 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 题型 1··利用勾股定理求边长】 【例1】在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．2.5 【变式1-2】如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】某社区广场修建直角休闲步道，两条直行步道长度分别为12米和16米，两条步道相互垂直，若修建一条捷径连接两端，这条捷径的总长度为（    ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【题型 2·勾股定理与折叠】 【例2】如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【变式2-1】如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【变式2-2】如图，在中，，，．将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【变式2-3】如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型 3·利用勾股定理证平方关系】 【例3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【变式3-1】如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【变式3-2】如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【变式3-3】如图，是等腰直角三角形，，求证：． 【题型 4·勾股定理常见模型之赵爽线图】 【例4】回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【变式4-1】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【变式4-2】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【变式4-3】阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型 5·勾股定理常见模型之勾股树】 【例5】勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式5-1】如图，这是一株勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．已知最大正方形的面积是16，则图中阴影正方形的面积之和为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【变式5-2】有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式5-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【题型 6·勾股定理常见模型之斜边上的高】 【例6】一个三角形工件的尺寸（单位：mm）如图所示，则它的高的长度为________． 【变式6-1】如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 【变式6-2】如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为______． 【变式6-3】在中，，是边上的高，，则等于____    随堂检测 【随堂检测】 1．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 2．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的高是（    ） A． B． C．13 D．30 3．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 4．一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位：）可知两孔中心A，B之间的距离是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．如图，在中，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 7．如图，在中，，，，则的面积为________． 8．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 9．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 10．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 11．如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 12．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $