专项训练05 线段上的动点问题（巩固培优）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“位置表示-等量关系-分类讨论”为核心方法体系，系统构建线段动点问题解题框架，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|3要点|动点位置含参表示、距离比例等量关系、分类讨论多解验证|从概念（位置表示）到原理（等量关系）再到策略（分类讨论）递进| |求线段长|2题|用含t式子表示位置列方程|应用位置表示解决基础计算| |求定值|2题|中点/三等分点性质转化|结合不变量突破动态定值问题| |求时间|2题|相遇/位置关系建立方程|运用等量关系解决动态时间问题| |新定义|2题|新定义转化为距离关系分类讨论|综合应用分类讨论处理创新题型|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练05线段上的动点问题 知识复盘卡 【知识点1线段上的动点问题】 1.动点位置的表示（含时间参数） -基本公式：点P从端点A出发，速度为V,运动时间为t: 向端点B运动：AP=t,PB=AB-t。 若从B向A运动：BP=t,PA-AB-t。 -关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。 -多动点：分别用含t的式子表示各自的位置（用距离或比例）。 2.核心等量关系：距离与比例 -距离相等：如AP=PB(中点)，列方程t=AB-t。 -距离和/差为定值：如AP+PB=AB(恒成立，无新信息)；AP-PB=d(需讨论P的位置)。 vt。m -比例关系：如AP:PB=m:n,列比例方程AB一t=n· -折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B再返回A)。 3.分类讨论与多解验证 -位置不确定：点P可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP>PB或AP<PB)。 ~绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t后需验证是否在运动时间范围内。 -多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1线段上含动点求线段长问题】 1.如图，点C在射线AB上，且在点A、B之间，AB=18,AC=2BC.动点P从C出发，以每秒1个单 位长度的速度沿射线CB向右匀速运动：同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AB运动， 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 遇到点P时按原速返回点C停止运动.当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为 t(s) A Q B (1)AC= (2)当点P是线段BC的中点时，求PO的长. 2.探究题：如图，己知线段AB=I2cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. A O C E B (I)若点C恰好是AB中点，则DE= (2)若AC=4cm,求DE的长： (3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过l2Cm),DE的长不变， 【题型2：线段上含动点求定值问题】 3.如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为6,3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A,B重合）， M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点， A 6 -6 01 3 A B -6 01 3 备用图 (1)若点P表示的有理数是0，那么MW的长为 ;若点P表示的有理数是6，那么MW的长为 (2)点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求 MW的长的过程；若改变，请说明理由 4.如图，M是线段AB上一动点，沿A→B→A以lCms的速度往返运动1次，N是线段BM的中点， AB=5cm,设点M运动时间为t秒(0≤t≤10) M N B (I)当t=2时，①AM=cm,②此时线段BN的长度=_cm; (2)用含有t的代数式表示运动过程中AM的长： (3)在运动过程中，若AM中点为C,则CN的长度是否变化？若不变，求出CN的长；若变化，请说明理 2/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由 【题型3线段上含动点求时间问题】 5.如图，在长方形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,动点P沿AB边从点A开始，向点B以2cm/S的速 度运动；同时，动点Q沿DA边从点D开始，向点A以1cms的速度运动；设运动时间为t. D A B (1)当t为何值时，AQ=AP? (2)当t为何值时，AQ+AP等于长方形周长的4？ (3)如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q达到点A后沿AB方向继续运动，当点P到达点C时， 求点Q的位置. 6.如图，AB=12,线段CD在线段AB上，点C在点D的右边，且CD=3.动点P从A出发，以每秒3 个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动：同时线段CD从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动.设点C的运动时间为(S). ←一 D CB (I)当点P与点A重合时，AD= (2)当点P与点D相遇时，求t的值. (3)求PD的长（用含t的代数式表示）. (4)取CD的中点E,当AB=2PE时，直接写出t的值. 【题型4线段上含动点的新定义型问题】 7.已知线段1B=20点c在线段4B上，且4C- AB A D P C B (I)求线段AC,CB的长： (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为D,设AP=a. 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①请用含有a的式子表示线段PC,DC的长： ②若三个点D,P，,C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D,P,C三点为“和谐点”，求使 得D,P,C三点为“和谐点”的a的值. 8.定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2倍关系，即AC=2BC或BC=2AC, 则称点C是线段AB的“倍距点”. P→ MN→ 04 C 0A C B 图1 图2 (I)线段AB的中点_该线段的“倍距点”：（填“是”或者“不是”） (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=_ (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点 ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为1秒(>0)，求 当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度 沿数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. ★能力培优练 1,已知点M是线段B上一点，若AM-}4B,点N是直线AB上的一动点，且N-BN=MN:则 N 的() 3 A.4 B. c.1或号 D.4或2 2.已知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点，则下列结论：①若C是AB的中点，点D在线段 CB上，DB=3则cn=:②若C+BD-CD,则CD- 3:③若CD=4'且AC:BD=2,则 AC=4;④若D是BC的中点，AC=6+a(a>0),则AC>BD.其中正确的为() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②④ 3.如图，己知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6,动点P从点A出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,BP的中点， 4/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设运动时间为(>0)秒，则下列结论中正确的有() ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3;③BP=2时，t=2;④在点P的运动过程中，线段MN的 长度不变 B N+PMA 0 A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 4.已知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度沿AB向右运动，同时，动点Q从点B出 发，以每秒4cm的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒(0<1<4).在整个运动过程中，请你用t的式子 表示线段PQ的长= P A 5.如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为-3，动点P从点O出发，按以下规律跳动：第1次从点 O跳动到OA的中点A处，第2次从点A跳动到AA的中点A处，第3次从点A,跳动到A,4的中点A处， …,第n次从点A-1跳动到A-1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A,A,A。,…,A24处， 那么点A224所表示的数为 AA,42 A 6.数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三 点满足“中点关系”，己知，如图点A,B表示的数分别为-2,6，点C为数轴上一动点.若A,B,C 三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为一 -8-7-6-5-4-3-2-10123456789→ 7.如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC=8.动点P从点B 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动. 设运动时间为(t>0)秒」 014主 (I)直接写出数轴上点C表示的数： (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段CP的长度： (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN是否 5/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 发生变化？若有变化，请说明理由；若不变，请求出MW的长度， 8.如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设点C运动 时间为t秒(t>0) B 0 (1)①A,B两点之间的距离为 ,线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为一，点D表示的数为 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系. (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由， 9.如图，O为数轴的原点，AO=5,BD=6,O为BD的中点，C为AB的中点. A D CO B (1)求C0的长度： (②)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个 单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒(t>0),当t满足什么条件时，AP+2BQ有最小值，并 求出该最小值. 10.综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为-2和 8. A B -20 8 实践探究 (I)线段AB的长为， (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(>0)秒， ①当0<t<5时，线段PA=」 线段PB= 一，点P表示的数为 (用含t的代数式 表示) ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，当动点P在(2)条件下运动时，线段MN的长度是 否与点P的运动时间t有关.若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式：若无关，请说明理由，并求出 6/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段MN的长度. ★创新拓展练 1.如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条 线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“奇点”， A C B 图① 【新知理解】 (1)线段的中点 这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 (2)若点A和点B在数轴上表示的数分别是-10和14，点C是线段AB的“奇点”，求点C在数轴上表示 的数. 【应用拓展】 (3)如图②，已知AB=24cm.动点P从点A出发，以2cms的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B 出发，以lcms的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设 移动的时间为s.当点P是线段AQ的“奇点”时，直接写出运动时间t的所有可能值. 图② B 2.如图①，点M是线段AB上任意一点，图中共有三条线段AB、AM和BM,若其中的两条较短线段中有 一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“友好点”， M B C 图① 图② A 图③ B (I)若AB=12Cm,点M是线段AB上靠近点A的“友好点”，求BM的长： (2)如图②，若CD=24cm,点M是线段CD的“友好点”，点N是线段CD的中点，则MN+MC= cm (3)如图③，己知AB=24cm,动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发， 以3cms的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止.设移动的时 719 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间为t,请求出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”· 3.在数轴上，把原点记作点O,表示数a的点记作点A.对于数轴上任意一点P(不与点O、点A重合)， 将线段p0与线段PA的长度之比定义为点P关于点A的K值。记作kBo,即k(P,a)= PA,例如： 点表示的数为1，点4表示的数为3，因为p0=小P4-2所以（心，o)-四} PA 2 (①)当点P是线段OA的中点时，点P关于点A的K值(B)=: (②)若点P表示的数为P,点A表示的数为a,OA=4OP,求点P关于点A的K值k(Pa): (3)点乃、点B为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点？表示的数为p,点A. 点B分别表示数a、-2,若k(,a)=k(B,-2),请直接写出a、p需满足条件：_ 4.如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足(a-10)+b+4=0 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(>0)秒. A (1)写出数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 点P表示的数是 (用含t的式子表示)； (②)设点M是AP的中点，点N是PB的中点.点P在直线AB上运动的过程中，线段MN的长度是否会发生 变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN的长度， (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点O出发，以每秒3个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,Q,R同时出发；若点P,R间的距离记为PR,点P,Q间的距 离记为PQ,是否存在一个数n,使得nPR-PQ的值与t无关？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明 理由. 5.定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则4ABc=m.例如AB=6,AC=3,则dc=2 0 P -2 图1 A 图2 B 备用图 (1)如图1，O为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则o= (2)如图2，已知线段AB=12Cm,点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为 8/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 lcm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示dPB和dAQB. ②当，为何伯时，m一dm 1 ③若线段PO的中点为M,直接写出d4=3时，的值， 6.定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2倍关系，即AC=2BC或BC=2AC, 则称点C是线段AB的“倍距点”. P MN→ C B→0有 B 图1 图2 (I)线段AB的中点该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=-· (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点. ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒(1>0)，求 当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度 沿数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. 919 专项训练05 线段上的动点问题 【知识点1 线段上的动点问题】 1. 动点位置的表示（含时间参数） - 基本公式：点P 从端点A出发，速度为v，运动时间为t： - 向端点B运动：AP = vt，PB = AB - vt。 - 若从B向 A运动：BP = vt，PA = AB - vt 。 - 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。 - 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。 2. 核心等量关系：距离与比例 - 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。 - 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。 - 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程 = 。 - 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B再返回A ）。 3. 分类讨论与多解验证 - 位置不确定：点P可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB或AP < PB）。 - 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t后需验证是否在运动时间范围内。 - 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。 【题型1 线段上含动点求线段长问题】 1．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为． (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是解题的关键． （1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，当点P是线段的中点时，确定运动时间，后计算即可． 【详解】（1）解：∵根据，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵动点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为， 得，， 当点P是线段的中点时，， 故此时， ∴，， ∴． 2．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． (1)若点C恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算． （1）由点D、E分别是和的中点，C点为的中点，求出，，，的长度，运用即可得出答案． （2）先求出，再利用中点关系求出即可得出的长． （3）设，由点D、E分别是和的中点，根据即可得出不论取何值（不超过），的长不变， 【详解】（1），点为的中点， ． ∵点、B分别是和的中点， ， ． 故答案为：6； （2），， ． ∵点、B分别是和的中点， ，， ； （3）设，则， ∵点、B分别是和的中点， ∴， ， 不论取何值（不超过），的长不变； 【题型2 线段上含动点求定值问题】 3．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 4．如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【知识点】用代数式表示式、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式： （1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得． 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点， ∴， ∴， ∴的长度不变，为． 【题型3 线段上含动点求时间问题】 5．如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 【答案】(1)2秒 (2)3秒 (3)在线段上距离A点处 【分析】（1）由点Q在边上运动且运动时间为ts时，表示、，令其相等，即可求出t值； （2）由点Q在边上运动时，点P在边上运动时， 表示、，利用等于长方形周长的，建立关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先求解P运动到C的时间，再求解Q的运动路程，从而可得答案． 【详解】（1）解：当点Q在边上运动，运动时间为时， ，， 根据题意得：， 解得：． 答：t为时，． （2）由点Q在边上运动时， 此时，， 根据题意得：， 解得：； （3）当点P到达点C时，此时运动时间为， ∴的运动路程为：， ∵， ∴在上，与距离为． 6．如图，，线段在线段上，点C在点D的右边，且．动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点B匀速运动；同时线段从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动．设点C的运动时间为． (1)当点P与点A重合时， ． (2)当点P与点D相遇时，求t的值． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)取的中点E，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用线段的和与差即可得解； （2）根据“路程和”列方程求解即可； （3）根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可； （4）根据已知条件“”列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：设点A表示原点，则点P表示的数为：，点D表示的数为：， 则； （4）解：点E表示的数为：， ∴， 解得：或． 【题型4 线段上含动点的新定义型问题】 7．已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 8．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 1．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2．已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的 故选：D． 3．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据两点间距离进行计算即可； ②利用路程除以速度即可； ③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可； ④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为4，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴点B对应的数是-2，故①错误； 由题意得： 6÷2=3（秒）， ∴点P到达点B时，t=3，故②正确； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴4÷2=2（秒）， ∴BP=2时，t=2， 当点P在点B的左侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴8÷2=4（秒）， ∴BP=2时，t=4， 综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴，， ∴， 当点P在点B的左侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ，， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确． 所以，上列结论中正确的是②④． 故选：D． 4．已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5．如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 当时，， ∵点在负半轴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 6．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 7．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 8．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 9．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 10．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 1．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 2．如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 3．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以 (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ； (2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值； (3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可． （1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可． （2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：当点P、A在点O的同侧时， ∵， ∴ ∴； 当点P、A在点O的异侧时， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当，解得：； 当，解得：； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 4．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 5．定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 6．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $