期末培优：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的面积问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦坐标系中规律探究与面积计算两大核心考点，通过精选例题与变式训练，培养几何直观与空间观念，强化推理意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标系中的规律探究问题|3例+3变式|动点轨迹周期性、图形变换坐标规律、网格点坐标递推|从点坐标观察到规律归纳，构建"坐标-图形-规律"逻辑链，发展抽象能力| |坐标系中的面积问题|3例+3变式|含参数坐标面积计算、动点存在性问题、图形滚动面积转化|以坐标几何为载体，融合方程思想与割补法，形成"代数表达-几何建模-面积求解"思维路径|

期末培优：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的面积问题专项训练 期末培优：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的面积问题专项训练 考点目录 坐标系中的规律探究问题 坐标系中的面积问题 考点一 坐标系中的规律探究问题 例1．（25-26七年级下·江西·阶段检测）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析点的运动规律，找到循环次数以及点的变化规律即可． 【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每次位置循环一次，横坐标等于运动的次数，纵坐标依次为，，，， ， 经过第次运动后，动点的坐标是． 例2．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形中各点的坐标变化规律，发现点的下标 与 的余数决定了点所在的象限及坐标数值规律，根据 的余数确定 的坐标特征即可求解． 【详解】解：，，，， ，，，， ，…… 观察各个点的坐标，发现每4个点一组呈现规律性变化． ∵， ∴观察点，，，……的坐标规律发现： 当下标时， ，坐标， 又， ． 例3．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先找出点的坐标变化规律，发现当为偶数，且不是4的倍数，即为2，6，10，时，的坐标为，再根据规律判断的坐标． 【详解】解：由题意，得，，，，，， 观察点的坐标变化发现当为偶数，且不是4的倍数，即为2，6，10，时，的坐标为； 当为偶数，且是4的倍数，即为4，8，12，时，的坐标为． ， 点的坐标为． 变式1．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 所以第n次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 当时，， 即第7次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 变式2．（25-26七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，每次移动的距离分别为1，1，1，2，2，2，3，3，3…，按向上、向左、向下、向下、向左的方向依次不断移动得，…，其行走路线如图所示，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标与图形的特点，分别找出坐标的特点，总结规律即可得到的坐标，再找出的坐标规律即可解答． 【详解】解：根据图示可得，，，，，，，，，， ∴，，在轴的负半轴上， ∴的横坐标为； 当为奇数时，的横坐标是，纵坐标为，当为偶数时，的横坐标是，纵坐标为， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴． 变式3．（25-26七年级下·山东·期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】结合滚动规律，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而得出的规律，最后计算出的坐标． 【详解】解：，， ，， ∵将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，又， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，横坐标为． 同理可求得，点的纵坐标为，横坐标为． 点的纵坐标为，横坐标为． …… ∴点的纵坐标恒为，横坐标为． ， 的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 考点二 坐标系中的面积问题 例1．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，绝对值和算术平方根的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，分类讨论的思想求解． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，的值，即可求解； （2）根据题意，求得，利用三角形面积求解即可； （3）分两种情况，当在轴上和当在轴上，设点的坐标，表示出的面积，求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． 例2．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 例2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 变式1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 变式2．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 变式3．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的面积问题专项训练 期末培优：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的面积问题专项训练 考点目录 坐标系中的规律探究问题 坐标系中的面积问题 考点一 坐标系中的规律探究问题 例1．（25-26七年级下·江西·阶段检测）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 变式1．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，每次移动的距离分别为1，1，1，2，2，2，3，3，3…，按向上、向左、向下、向下、向左的方向依次不断移动得，…，其行走路线如图所示，则点的坐标为___________． 变式3．（25-26七年级下·山东·期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为____． 考点二 坐标系中的面积问题 例1．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 例2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 变式1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 变式3．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $