专项训练02 数轴上的动点探究问题（巩固培优）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“公式-表示-建模”为主线，系统构建数轴动点问题解题体系，涵盖距离中点公式、动点位置表示及6类核心题型的方程策略，突出分类讨论与模型思想，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|1模块|距离公式|从基础关系（距离/中点）到动点表示（含t代数式），构建“概念-表示-应用”逻辑链| |相遇问题|2题|位置等量关系|通过相遇时位置相同列方程，强化方程思想| |相距问题|2题|绝对值方程|分左右位置讨论，培养分类讨论能力| |折返问题|2题|分段表示法|考虑停止点与方向变化，提升动态思维| |翻折问题|2题|对称性质|利用翻折中点对称，渗透数形结合| |定值问题|2题|代数化简|通过代数式变形验证定值，发展推理意识| |新定义问题|2题|定义转化|将新定义转化为距离关系，培养模型意识|

专项训练02 数轴上的动点探究问题 【知识点1 数轴上的动点探究问题】 1. 两点基础关系（距离与中点） - 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。 - 中点公式：A、B 的中点M对应的数为（即平均数）。 - 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。 2. 动点位置表示（含时间参数） - 匀速运动：点P从a出发，速度为v，运动时间为t： - 向右运动：P(t) = a + vt ； - 向左运动：P(t) = a - vt。 - 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。 - 多动点：分别用含t的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。 3. 核心题型与列方程策略 - 追及/相遇： - 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）； - 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。 - 距离问题： - 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）； - 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。 - 中点/定比分点： - 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M为定点或另一点）。 - 隐含条件： - 时间 t≥0； - 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。 - 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。 【题型1 数轴动点中的相遇问题】 1．如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 【答案】(1)16，2 (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴． （1）设点表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点表示的数，再利用线段中点公式可得的中点表示的数； （2）根据在数轴上点的移动规律列代数式； （3）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （4）根据，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为x， ∵点表示的有理数为， ∴， 解得：， 即点表示的数为16， 线段的中点表示的数为， 故答案为：16，2； （2）解：∵点表示的有理数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， ∵点表示的数为16，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， 故答案为：，； （3）解：点与点相遇时，， 解得， 所以当时，点与点相遇； （4）解：，分以下两种情况： 点与点相遇前，，即， 解得， 此时点表示的数是：； 点与点相遇后，，即， 解得， 此时点表示的数是：． 2．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的性质得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意，， 解得：， 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 【题型2 数轴动点中的相距问题】 3．【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当或时，，之间相距1千米；（3）存在，当或时，使得 【分析】本题考查数轴上动点问题，涉及数轴上两点之间距离求法、绝对值意义、解一元一次方程等知识，数形结合列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式即可得到答案； （2）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案； （3）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，从而得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）依据题意得，分钟后点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）由题意得：， 解得：或， 当或时，，之间相距1千米， （3）存在某一时刻，使得， 理由如下： ， ，， 由题意得：， 解得：或， 存在，当或时，． 4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【答案】（1）9，；（2）或；（3），，；（4）经过4秒会相遇；A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：9，； （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）当时， 解得：， ∴经过4秒会相遇； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【题型3 数轴动点中的折返问题】 5．数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q第一次相遇时t的值为3 (2)9 (3)或或13或17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． （1）利用路程速度时间，结合点P和点Q第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出点Q到达点A所需时间，找出当时点P，Q表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P到点Q的距离； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴当点P和点Q第一次相遇时，t的值为3； （2）解：（秒）， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∴当时，点P到点Q的距离为9； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得或． 综上所述，在整个运动过程中，当t为或或13或17时，P，Q两点间的距离为2． 6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【题型4 数轴动点中的翻折问题】 7．已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 【答案】(1)1；7 (2)； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，则可求出； （2）用点A表示的数加上点M运动的路程即为点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的路程即可求出点N表示的数； （3）先根据点P和点Q到折叠点A的距离相等求出点P表示的数，进而求出点N运动到点B的时间，以及点N回到点B的时间，然后分点N从B到P的运动过程和点N从P到B的运动过程，两种情况分别表示出点M和点N表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；7； （2）解：由（1）得，点A表示的数为1，点B表示的数为7， ∵点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动， ∴点M对应的数为，点N对应的数， 故答案为：；； （3）解：∵将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为， ∴点P和点Q到点A的距离都为， ∴点P表示的数为， ∴点N运动到点P的时间为秒， ∴当点N运动到点B时的运动时间为秒； 当时，由（1）得点M对应的数为，点N对应的数， ∴； 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴； 综上所述，． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【答案】【问题情境】；，；； 【问题情境】点表示的数为或． 【分析】【问题情境】根据数轴上表示的点与表示的点重合，则点与的距离和点与的距离相等，从而求解； 根据题意，数轴是绕数折叠，则点表示的数为左侧个单位，点表示的数为右侧个单位，然后由有理数加减运算即可； 分当在左侧时和当在右侧时两种情况分析即可； 【问题情境】分当落在点左边时，当落在点右边时两种情况分析即可； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：1【问题情境】 ∵数轴上表示的点与表示的点重合， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ∵数轴上，两点之间的距离为，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ∵，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴， 当在左侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 当在右侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 综上可知：点表示的数是， 故答案为：； 【问题情境】 当落在点左边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 当落在点右边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 【题型5 数轴动点中的定值问题】 9．、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值．理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 10．课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或②存在， 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题： （1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据的值是定值，得到整式的值与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 当时，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为； 故答案为：，，； （2）①当时，，解得：； ②当时，，解得：（舍去）； 故． （3）①由题意，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或； ②存在： 由题意，得：， 当时，，， ∴， ∴当时，为定值； 当，，， ∴， ∴当时，为定值； 综上：当时，的值是定值． 【题型6 数轴动点中的新定义问题】 11．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以． (1)当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1时，______； (2)①当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______； ②当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C是数轴上的动点，的最小值是______； (3)已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为，10，1．，C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当最小时，求t的最大值和最小值． 【答案】(1)9 (2)6或；6 (3)t的最大值为2，最小值为1 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； 由点C是中点时，有最小值，求解即可； （3）先确定运动后A、B、C的坐标，当最小时，则点C到点A和点B的距离相等，据此分两种情况列式求解即可． 【详解】（1），B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1， ，， 故答案为：9； （2）①点A表示的数为，点C对应的数是1， ， ， 点B对应的数是或 故答案为：6或； ②点C是中点时，， 的最小值是， 故答案为：6； （3）运动t秒后： 点A表示的数：， 点B表示的数：， 点C表示的数：， 当最小时，则点C到点A和点B的距离相等， 当点C是中点时，如图， ， 解得． 当点A与点B重合时，如图， ， 解得． 因此，最小时，t的最大值为2，最小值为 12．如图，A点、B点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是，点B 表示的数是1，若在数轴上存在一点 P，使得点P到点A的距离等于点 P到点B的距离的m倍(m是正整数)，则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P 表示的数为0，因为P到A的距离等于P到B距离的5倍，则称点 P 为点 A、B的“5级幸运点” (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点 P在数轴上表示的数为-1，则 ； (2)若点 P 是数轴上点A、B的“3级幸运点”，求点 P 表示的数． (3)点P在数轴上表示的数为，若点A 在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P为点A、B的“6级幸运点”？ 【答案】(1)2 (2)4或 (3)4或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“级幸运点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）依据题意，根据“级幸运点”的概念解答； （2）依据题意，设表示的数是，从而结合题意，列出关于的方程计算进而可以得解； （3）依据题意，设经过秒后为点的“6级幸运点”，然后表示出后再列方程计算即可得解． 【详解】（1）解：∵ A表示的数为表示的数为1 ，点在数轴上表示的数为， ， ， 故答案为：2； （2）解：由题意，设表示的数是， ， 又点是数轴上点的“3级幸运点”， ， ， 当时，； 当时，； 综上，点 P 表示的数是4或； （3）解：由题意，设经过秒后为点的“6级幸运点”， 此时对应的数为对应的数为， ， 又为点的“6级幸运点”， ， 或1． 1．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 设运动t秒时，然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16， ∴（单位长度）， ∵（单位长度）， ∴（单位长度）； 设运动t秒时， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：， 解得：． 即运动2秒或4秒时，（单位长度）． 故选：C． 2．如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先理解题意，得出，，，，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当时，点表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点到达点时，；依题意，，即当点到达点时，，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在之间，再设未知数以及列方程，分别算出当时，点M表示的数为，当时，即点M表示的数为，当时， 即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点表示12，点表示24，点表示36，表示， ∴，，，， ∵ 点表示36，点的初始速度是6个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当时，点表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点初始速度是3个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ , 即当点到达点时，； 故②符合题意； 依题意， , 即当点到达点时，， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点的时间是 点M到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 故点M和点N相遇只可能在之间， 设相遇时间为 点M在线段上的速度是， 则点M表示的数为， 点N在线段 上的速度是， 则， 故， 解得， 即运动过程中，点和点在线段上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当时，， 即点M表示的数为， 则， ∵， 由②得当点到达点时，； 依题意，， 即当时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 3．在一张透明的纸上画一条数轴，点，在数轴上表示的数分别为，6，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折后点对应的点落在数轴上，且，两点之间的距离为3，则点表示的数是________． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 【详解】当在的右侧且距离是3时， 点表示的数为9， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． ②当在的左侧且距离是3时， 点表示的数为3， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：或． 4．定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出，，则有，即，设点表示的数为，则有，，由，得，然后求出的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵为数轴上三点，分别对应，，， ∴，， ∴， ∴， 设点表示的数为，则有，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或， 故答案为：，或． 5．点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足． (1)填空：__________；__________；线段的长为__________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点，，同时出发，设运动时间为秒， ①点在数轴上对应的数为，在数轴上（图中）标出的大致位置，若动点到，，三点的距离满足，求此时点对应的数； ②若的取值与无关，求的最大值． 【答案】(1)；；； (2)①见解析，或；②． 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加为则各自为，求出、的值，再用数轴上两点距离公式计算线段的长度． （2）①设点对应的数为，根据点在数轴上的位置表示出、、，代入等式，通过绝对值方程求解的值．②先表示出运动秒后点、、对应的数，进而得出、、的表达式，分和两段化简，根据“取值与无关”的条件确定的最大值． 【详解】（1）解：， , ， ,， ,， ∴； （2）解：①如图所示，点为所求， 设点对应的数为，可能在左侧，也可能在右侧，但始终在，左侧， 则， ， ， ， 解得：或． ∴点对应的数为或； ②速度比快，比慢， 故始终在右侧，可能在左侧，也可能在右侧， 表示的数是，表示的数是表示的数是， ， ， 当时，， ， 当时，， ，取值与有关，不合题意， 的最大值是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上两点间的距离公式、动点问题的代数表示、绝对值方程的求解以及代数式的分类化简，熟练掌握非负数的性质、用代数表示数轴上点的位置和距离，以及对含绝对值的表达式进行分类讨论是解题的关键． 6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D表示的数分别为、0、4、8、12，点P、Q是数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为______，点Q在数轴上所表示的数为______；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度； (3)现将数轴在原点O和点B、点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P从点O运动到点B速度为起始速度的一半，从B点运动到C点的速度为起始速度的2倍，到达C点之后立刻恢复起始速度向终点D运动；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度． 【答案】(1)， (2)当或，P、Q两点相距2个单位长度 (3)当或时，P、Q两点相距2个单位长度 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况：①相遇前、相距2个单位长度 ，即点在点左侧时，②相遇后、相距2 ，即点在点右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）由题意可得在段运动时间为3秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为1秒，在段运动时间为2秒，点在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为6秒，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为，点Q在数轴上所表示的数为； 故答案为：，； （2）解：①相遇前、相距2个单位长度 ，即点在点左侧时， 或， 解得 ②相遇后、相距2 ，即点在点右侧时， 或， 解得； 综上所述，当或，P、Q两点相距2个单位长度； （3）解：根据题意可知，∵点在段的运动速度为2个单位长度/秒，点在段的运动速度为1个单位长度/秒，点在段的运动速度为4个单位长度/秒，点在段的运动速度为2个单位长度/秒， ∴在段运动时间为3秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为1秒，在段运动时间为2秒， ∵点在段的运动速度为1个单位长度/秒， ∴点在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为6秒， 当点运动到点用时4秒，同时点运动到数字5处，、两点相距1个单位长度， ∴①在段，在段，或， 解得； ②当、两点都在段， 点在段表示的数为，点在段表示的数为，        ∵当、两点相遇时，点、表示的数相等， ∴， 解得， ∴点、表示的数为， ∴、两点相距2个单位长度可以在段上，          ∴或， 解得或， 当时，点尚未进入段，故不符合题意； ∴当或时，、两点相距2个单位长度． 8．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为______； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为60，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)①4；②2；③或1 (2)8秒或20秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，理解新定义是解题的关键． （1）①分别根据新定义可解答； ②由点C在数轴上且，可知点C是点A和点B的中点，据此求解即可； ③设点D表示的数是x，根据得出，然后解方程即可； （2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为，分点M在点F的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 【详解】（1）解：①∵点P表示，点A表示5，点B表示， ，， ， 则P是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； 故答案为：2； ③， ， 设点D表示的数是x， ∵点A表示5，点B表示， ， 或1， ∴点D所表示的数为或1； （2）解：设点M在数轴上表示的数为a， ， ， ∵点E表示的数为，点F表示的数为60， ， 或100， 当点M运动到点F的左边时，，解得：； 当点M运动到点F的右边时，，解得：； 综上所述，t的值为8秒或20秒． 1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上对应的点与数0对应的点重合． (1)数轴上数3对应的点与数________对应的点重合； (2)若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为________； (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 【答案】(1) (2)B表示的数为或 (3)点M表示的数是，点N表示的数是 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴两点之间的距离，理解折点的计算，数轴上两点之间距离的计算是关键． （1）根据材料提示的折点计算即可； （2）根据折点，两点之间距离的计算方法即可求解； （3）设点表示的数是，根据折点的计算，两点之间距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上对应的点与数0对应的点重合， ∴折点为， ∵， ∴数轴上数3对应的点与数对应的点重合， 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离为5， ∴点A表示的数是或， ∵折点是， ∴当点A表示的数是时，， ∴点B表示的数是1； 当点A表示的数是时，， ∴点B表示的数是； 综上所述，B表示的数为或； （3）解：设点表示的数是， ∵M，N两点之间的距离为2026， ∴， ∴， ∵点M，N经折叠后重合， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴点M表示的数是，点N表示的数是． 2．在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴模拟双向公路（如图）．数轴甲和数轴乙平行放置，数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右．当数轴甲的原点与数轴乙的原点对齐时，数轴甲上表示2的点与数轴乙上表示的点恰好对齐． 数轴甲上的动点从点（表示）出发，以每秒2个单位长度（数轴甲的单位长度）的速度向左运动，点与数轴乙上的点对齐；数轴乙上的动点从点（表示3）出发，以每秒1个单位长度（数轴乙的单位长度）的速度向右运动，点与数轴甲上的点对齐，点与数轴甲上的点对齐．设运动时间为秒． (1)数轴乙上表示12的点与数轴甲上表示_____的点对齐； (2)在数轴甲上，当点重合时，求的值； (3)在数轴甲上，若点之间的距离为4，求的值； (4)在数轴甲上，若点的距离与点的距离之和为10，求点所表示的数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据甲、乙数轴对应关系求解，即可解题； （2）根据题意得到数轴甲上动点所表示的数为，数轴乙上动点所表示的数为，进而得到数轴甲上的点所表示的数，结合点重合建立方程求解，即可解题； （3）在数轴甲上，得到，结合点之间的距离为4，建立方程求解，即可解题； （4）根据题意表示出，，再结合建立方程，分两种情况：①当时，，②当时，，分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：数轴甲的原点与数轴乙的原点对齐时，数轴甲上表示2的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， 数轴乙上表示12的点与数轴甲上表示的点对齐； 故答案为：； （2）解：（2）数轴甲上动点所表示的数为， 数轴乙上动点所表示的数为， 所以数轴甲上的点所表示的数为． 当点重合时，， 解得； （3）解：在数轴甲上，， 因为点之间的距离为4， 所以． ①当时，即，解得； ②当时，即，解得；（不合题意，舍去） 综上所述，； （4）解：由题意，在数轴甲上，， 在数轴乙上，， 所以在数轴甲上，． 由，得， ①当时，， 所以， 解得；（不合题意，舍去） ②当时，， 所以， 解得， 此时点所表示的数为． 3．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：． (1)初步体会： 如图1，若，且点C在数轴上对应的数是5，则_______； (2)类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且，直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)的值为或或或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求出和，再根据“整距点”的定义解答即可求解； （2）由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，即得，，再根据“整距点”的定义列出方程解答即可求解； （3）由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，设点在数轴上对应的数是，根据“整距点”的定义可得，解得或，再分两种情况列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是5， ∴，， ∵， ∴； （2）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， ∴，， ∵，     ∴ 即或， 解得：或； （3）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 设点在数轴上对应的数是， ∵ ∴， 即或， 解得:或， ∴点在数轴上对应的数是或， ①当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得：或； ②当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得或； 综上所述，的值为或或或． 4．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，O为原点，A表示的数是，B为线段的中点，C表示的数是12，D表示的数是18，将点D向右移动4个单位长度得点E．如图2，我们将数轴在点O、点B、点C和点D处均可折一次，可折后、、处于水平位置，线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中O为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点N从点E出发以相同的速度沿着“弯折数轴”向左运动．当点N运动到点B后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的3倍，水平位置保持初始速度不变．当点M运动到点D时，点M、点N均停止运动，设运动时间为t秒．问： (1)点M从点A运动到点D用时 秒，此时点N对应的数为 ； (2)在运动过程中，当t为何值时点M与点N在点P处相遇？并求出点P在数轴上对应的数； (3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M、B两点的距离是N、C两点距离的2倍？若存在，请直接写出所有t的值，并把求其中一个t的过程写出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13；16 (2)当时，点M与点N在点P处相遇，P点表示的数为8 (3)存在，或 【分析】（1）根据A，C，D表示的数，求出C和E表示数，根据折叠之后相邻两点间距离不变，求出，，，，的长，再跟速度、时间、路程的关系求解M的运动时间；先确定N是否掉头，在根据时间确定N点停止的位置，即可求出N点所代表的数； （2）根据M到达B点时，N点的位置，可以得出相遇点的位置，再根据相遇问题求解相遇时间，进而可确定P所代表的数； （3）根据运动时间分类讨论，用t表示出M、B两点的距离是N、C两点距离，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵B是的中点，C表示的数是12， ∴B表示的数是6， ∵将点D向右移动4个单位长度得点E， ∴， ∴， ∴M从A到D所用时间为： （秒）， ∵N从E到B所用时间为： （秒）， ∴N已经从B点掉头， ∵N从B到C所用时间为：（秒）， 从C到D所用时间为：（秒）， ， ∴停止时，N在上， 此时，N距离C的距离为：， ∴N表示的数为：， 故答案为：13，16； （2）解：∵， ∴当M到B时，N在上且距离C点两个单位长度， ∴P点在上， ∴从M到达B点，到M，N相遇所用时间为： （秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， ， ∴P点表示的数为：； （3）解：存在， 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 当时，，， 令，即， 解得：，不符合题意； 综上所述，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练02 数轴上的动点探究问题 【知识点1 数轴上的动点探究问题】 1. 两点基础关系（距离与中点） - 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。 - 中点公式：A、B 的中点M对应的数为（即平均数）。 - 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。 2. 动点位置表示（含时间参数） - 匀速运动：点P从a出发，速度为v，运动时间为t： - 向右运动：P(t) = a + vt ； - 向左运动：P(t) = a - vt。 - 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。 - 多动点：分别用含t的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。 3. 核心题型与列方程策略 - 追及/相遇： - 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）； - 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。 - 距离问题： - 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）； - 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。 - 中点/定比分点： - 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M为定点或另一点）。 - 隐含条件： - 时间 t≥0； - 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。 - 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。 【题型1 数轴动点中的相遇问题】 1．如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 2．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【题型2 数轴动点中的相距问题】 3．【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【题型3 数轴动点中的折返问题】 5．数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【题型4 数轴动点中的翻折问题】 7．已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【题型5 数轴动点中的定值问题】 9．、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 10．课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【题型6 数轴动点中的新定义问题】 11．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以． (1)当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1时，______； (2)①当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______； ②当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C是数轴上的动点，的最小值是______； (3)已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为，10，1．，C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当最小时，求t的最大值和最小值． 12．如图，A点、B点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是，点B 表示的数是1，若在数轴上存在一点 P，使得点P到点A的距离等于点 P到点B的距离的m倍(m是正整数)，则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P 表示的数为0，因为P到A的距离等于P到B距离的5倍，则称点 P 为点 A、B的“5级幸运点” (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点 P在数轴上表示的数为-1，则 ； (2)若点 P 是数轴上点A、B的“3级幸运点”，求点 P 表示的数． (3)点P在数轴上表示的数为，若点A 在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P为点A、B的“6级幸运点”？ 1．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 2．如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在一张透明的纸上画一条数轴，点，在数轴上表示的数分别为，6，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折后点对应的点落在数轴上，且，两点之间的距离为3，则点表示的数是________． 4．定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 5．点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足． (1)填空：__________；__________；线段的长为__________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点，，同时出发，设运动时间为秒， ①点在数轴上对应的数为，在数轴上（图中）标出的大致位置，若动点到，，三点的距离满足，求此时点对应的数； ②若的取值与无关，求的最大值． 6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D表示的数分别为、0、4、8、12，点P、Q是数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为______，点Q在数轴上所表示的数为______；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度； (3)现将数轴在原点O和点B、点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P从点O运动到点B速度为起始速度的一半，从B点运动到C点的速度为起始速度的2倍，到达C点之后立刻恢复起始速度向终点D运动；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t为何值时，P、Q两点相距2个单位长度． 8．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为______； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为60，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值． 1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上对应的点与数0对应的点重合． (1)数轴上数3对应的点与数________对应的点重合； (2)若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为________； (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 2．在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴模拟双向公路（如图）．数轴甲和数轴乙平行放置，数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右．当数轴甲的原点与数轴乙的原点对齐时，数轴甲上表示2的点与数轴乙上表示的点恰好对齐． 数轴甲上的动点从点（表示）出发，以每秒2个单位长度（数轴甲的单位长度）的速度向左运动，点与数轴乙上的点对齐；数轴乙上的动点从点（表示3）出发，以每秒1个单位长度（数轴乙的单位长度）的速度向右运动，点与数轴甲上的点对齐，点与数轴甲上的点对齐．设运动时间为秒． (1)数轴乙上表示12的点与数轴甲上表示_____的点对齐； (2)在数轴甲上，当点重合时，求的值； (3)在数轴甲上，若点之间的距离为4，求的值； (4)在数轴甲上，若点的距离与点的距离之和为10，求点所表示的数． 3．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：． (1)初步体会： 如图1，若，且点C在数轴上对应的数是5，则_______； (2)类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且，直接写出所有符合条件的t的值． 4．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，O为原点，A表示的数是，B为线段的中点，C表示的数是12，D表示的数是18，将点D向右移动4个单位长度得点E．如图2，我们将数轴在点O、点B、点C和点D处均可折一次，可折后、、处于水平位置，线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中O为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点N从点E出发以相同的速度沿着“弯折数轴”向左运动．当点N运动到点B后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的3倍，水平位置保持初始速度不变．当点M运动到点D时，点M、点N均停止运动，设运动时间为t秒．问： (1)点M从点A运动到点D用时 秒，此时点N对应的数为 ； (2)在运动过程中，当t为何值时点M与点N在点P处相遇？并求出点P在数轴上对应的数； (3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M、B两点的距离是N、C两点距离的2倍？若存在，请直接写出所有t的值，并把求其中一个t的过程写出来；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $