第08讲 三角形全等的判定（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第08讲 三角形全等的判定（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+5个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 三角形全等的判定 如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 就能判定△ABC≌△A′B′C′. 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【题型1 利用“SAS”判定三角形全等】 【例1】如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 【变式1-1】如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． 【变式1-3】如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由余角的性质得到，根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）根据全等三角形的性质得：，根据余角的性质得到，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明： 、 ， ， ， 在和中 ； （2）由（1）得， ，， , , , 即， 又 ， 是等腰直角三角形， ． 【题型2 利用“ASA”判定三角形全等】 【例2】如图直线与相交于点，与延长线相交于点．已知：，，，求的长． 【答案】 【分析】利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得. 【详解】证明：在与中，， ， ， 又， ， ， ． 【变式2-1】如图，，，，在延长线上，连接，于点 ，交于点，求证：． 【答案】证明：∵， ， ， ，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ． 【分析】证明即可． 【详解】略 【变式2-2】如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 【变式2-3】如图，已在与中，，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据，，，从而得出，，结合，即可得出，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型3 利用“AAS”判定三角形全等】 【例3】如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式3-1】如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若 求证：． 【答案】见详解 【分析】通过证明即可求解． 【详解】证明：∵ ， ∴, 在和中， ∴ ∴． 【变式3-2】如图，点在射线上，．点在射线上，，． (1)求证：． (2)试判断线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式3-3】如图，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 【题型4 利用“SSS”判定三角形全等】 【例4】如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【变式4-1】如图，在四边形中，，，与相交于点．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些是解题的关键． （1）根据条件用证明即可； （2）根据条件用证明，得，从而得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ； （2）在和中， ， ， ， ． 【变式4-2】如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【答案】，见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明； 【详解】证明：，证明： 连接， 在与中， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 【题型5 利用“HL”判定三角形全等】 【例5】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【变式5-1】如图，，，于点，于点，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和线段的和差关系． 根据、以及，，证，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】解：于点，于点， ， 在和中，， ， ， ． 【变式5-2】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2）证明：在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 【变式5-3】如图，在中，，，D是上一点，E在的延长线上，且，的延长线与交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你的猜想．    【答案】，证明见详解 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和．先由，得，结合，，则证明，故，结合三角形内角和以及对顶角相等，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 故 【题型6 添加条件使三角形全等】 【例6】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【变式6-1】如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故答案为：①③④． 【变式6-2】如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判定三角形全等的方法．根据全等三角形的判定与性质逐一进行判断即可． 【详解】解： ， 在和中 ，故正确； ， ． 在和中 ，故正确； 在和中 ． ． 在和中 ，故正确； 在和中， ． ． 在和中 ，故正确； 能作为添加条件的是． 故答案为：． 【变式6-3】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 【题型7 灵活选用判定方法证全等】 【例7】如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 证明，则．证明，可得 ． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【变式7-2】如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， (2)证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； (3)4 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ∴， ． 【变式7-3】如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型8 全等三角形的实际应用】 【例8】如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 【变式8-1】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）       A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【答案】 4 ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答． 【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的C处接住他后用力一推，爸爸在B处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)爸爸是在距离地面的地方接住小明的 【分析】（1）由题意可知，，，即得出，从而可利用“”证明； （2）由全等的性质可得出，，从而可求出，进而即可求出． 【详解】（1）与全等． 证明：由题意可知，． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴； （2）∵， ∴，． ∵分别为和， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小明的． 模块三 课后作业 1．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【答案】 ①或②或③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，已知和对顶角，若要证明，还需一组对应边相等，分别验证各条件能否推出边相等或直接构成全等条件． 【详解】解：∵，且（对顶角相等）， 若添加条件①， 在和中，， ， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件①符合； 若添加条件②， 在和中，， ，故条件②符合； 若添加条件③， 在和中，， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件③符合； 若添加条件④， 此时只有三个角对应相等，没有边相等的条件，无法证明三角形全等，故条件④不符合； 综上所述，符合条件的序号是①或②或③． 2．如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】根据全等三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：（或或），理由如下： ①选， 由作图可得， ∵，， ∴． ②选， 由作图可得， ∵，， ∴． ③选， 由作图可得， ∵，， ∴． 3．如图，、相交于点，延长，相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）先根据线段的关系得出，再利用“”即可得证； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 即， 在和中， ， （）． （2）解：由（1）可知，， ． ， ， ． 答：的度数为． 4．如图，在和中，，且点在同一直线上，点在的同侧．连接分别交于点交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理“”可证得结论； （2）根据三角形的外角性质求得，然后根据全等三角形的性质得到，再次利用三角形的外角性质，结合等量代换可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 5．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 6．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2) 选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）略 7．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 8．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当运动到或点与重合时，才能和全等 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答． 首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等． 9．如图1，已知，，与交于点．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形） 【答案】(1) (2)，，， 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）根据，可得三组对应边相等，三组对应角相等，进而结合图形，即可写出图中所有全等三角形． 【详解】（1）∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴, ∴，即， 在中， ∴ ∴，， ∴，即 在中， ∴ 在中， ∴， ∴ 在中， ∴， 综上所述，图中所有全等三角形为，，，． 10．综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 【答案】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， ． 【分析】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”，证明，得到，即可求出． 【详解】解：根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， 根据题意可知，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 三角形全等的判定（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+5个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 三角形全等的判定 如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 就能判定△ABC≌△A′B′C′. 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【题型1 利用“SAS”判定三角形全等】 【例1】如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1-1】如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1-2】如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【变式1-3】如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 【题型2 利用“ASA”判定三角形全等】 【例2】如图直线与相交于点，与延长线相交于点．已知：，，，求的长． 【变式2-1】如图，，，，在延长线上，连接，于点 ，交于点，求证：． 【变式2-2】如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【变式2-3】如图，已在与中，，，，，求证：． 【题型3 利用“AAS”判定三角形全等】 【例3】如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式3-1】如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若 求证：． 【变式3-2】如图，点在射线上，．点在射线上，，． (1)求证：． (2)试判断线段的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】如图，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长． 【题型4 利用“SSS”判定三角形全等】 【例4】如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【变式4-1】如图，在四边形中，，，与相交于点．求证： (1) ； (2)． 【变式4-2】如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【变式4-3】如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【题型5 利用“HL”判定三角形全等】 【例5】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【变式5-1】如图，，，于点，于点，求证． 【变式5-2】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 【变式5-3】如图，在中，，，D是上一点，E在的延长线上，且，的延长线与交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你的猜想．    【题型6 添加条件使三角形全等】 【例6】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【变式6-1】如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 【变式6-2】如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 【变式6-3】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【题型7 灵活选用判定方法证全等】 【例7】如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 【变式7-1】如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【变式7-2】如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式7-3】如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【题型8 全等三角形的实际应用】 【例8】如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）       A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的C处接住他后用力一推，爸爸在B处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 模块三 课后作业 1．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 2．如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 3．如图，、相交于点，延长，相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．如图，在和中，，且点在同一直线上，点在的同侧．连接分别交于点交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 6．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 7．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 8．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 9．如图1，已知，，与交于点．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形） 10．综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $