2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷，以人教A版必修第二册为范围，融合“重庆呆呆刨猪汤”调查、司马迁雕像测量等现实情境，覆盖复数、统计、立体几何等知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数运算、分层抽样、向量数量积|结合江苏多地期末真题，基础巩固与概念辨析并重| |多选题|3|频率分布直方图、单位向量、正四棱锥|第9题以社会热点为背景，考查数据意识与百分位数计算| |填空题|3|复数方程、圆柱侧面积最值、仰角测量|第14题文化情境中渗透解三角形应用，体现数学语言表达| |解答题|5|概率比赛模型、解三角形、立体几何翻折|第19题翻折问题动态探究体积最值，考查空间观念与创新意识|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏泰州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】已知，则， ． 2．（25-26高一下·江苏盐城·期末）某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（    ） A．24 B．26 C．30 D．36 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的性质列方程求解. 【详解】设高一应抽取的人数为，则， 所以， 所以高一应抽取的人数是. 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解. 【详解】由，，得. 因为，所以，整理得，解得. 4．（25-26高一下·江苏常州·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题意得，故A错误， ，故B，C错误， ，，所以， 故事件与事件相互独立，故D正确. 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】先根据原样本的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特征，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 已知原平均数，原方差，根据方差公式：，可得：， 增加数据3后，6个数据的总和为，新平均数：，平均数与原数据相同， 新数据的离均差平方和为原平方和加上新增数据的离均差平方，即总和仍为10， 新方差：. 6．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由正弦定理、二倍角正弦公式得，再由平方关系、倍角正余弦公式求，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，则，可得， 所以，而且，故， 所以，则，， 所以， 所以. 7．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.63 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 8．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论. 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为.    二、多选题 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 10．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】利用向量模及数量积的运算律判断A、C；利用投影的定义判断B；取，与共线判断D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则， 对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误. 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D．该正四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】球的表面积的有关计算、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理证明线面平行判断A，求出异面直线所成角判断B，作出题设截面求出周长判断C，求出外接球半径，从而求得表面积判断D. 【详解】对于A，连接与交于点，则是中点，连接， 又是中点，所以，因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，因为，所以（它是等腰三角形的底角为锐角）是异面直线与所成的角， 在等腰中，，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理，，显然为锐角，所以， 即异面直线与所成的角不是，B错； 对于C，作交于.连接，则四边形即为截面， 由正四棱锥性质得，，所以截面周长为，C正确； 对于D，由已知，， 所以四棱锥的外接球的球心在线段上， 设外接球半径为，由得，解得， 所以外接球的表面积为，D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期末）设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】利用实系数方程的虚根互为共轭复数先求出根的虚部，再结合韦达定理求出m的值. 【详解】设，则， 由题意得，则， 则两根为，， 由韦达定理得， 解得， 且，则， 当时，，当时，， 综上可得，或. 13．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆柱轴截面的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 14．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    【答案】 【难度】0.57 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、高度测量问题 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 四、解答题 15．（25-26高一下·河北保定·期末）甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． (1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； (2)求此次比赛进行3局就结束的概率． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得； （2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件， 则，， ． （2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，， 则， 所以 ． 16．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知内角所对的边分别为，，，且． (1)求的面积； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）结合余弦定理与已知边的等量关系求边长，再用面积公式计算； （2）利用中线的向量性质求解长度. 【详解】（1）由，，得， 根据余弦定理，将，， 代入得： ，化简得，解得， 则，又， 故面积： ； （2）由得为中点，故， 两边平方得： ， 代入，，， 得： ， 故. 17.在直三棱柱中，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析。（2） 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明线面平行 【分析】（1）首先根据已知得到，再根据线面平行的判定即可得到平面. （2）首先根据线面垂直的判定证明平面，即可找到为与平面所成角，在计算其正弦值即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点， 所以四边形为平行四边形，即. 平面，所以平面. （2）因为，为中点，所以. 平面. 所以为与平面所成角. 在中，，， 所以，. 在中，，，所以 . 【点睛】本题第一问考查线面平行的判定，本题第二问考查线面成角，属于中档题. 18.（25-26高一下·江苏无锡·期末）记 的内角，， 的对边分别为，，，，，且满足． (1)求； (2)设 在上且 平分 ． （ⅰ）若 ，，求 的面积； （ⅱ）若，， 为线段的中点， 与 交于点，求的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.52 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）利用向量平行可得，结合正弦定理化简即可求解； （2）（ⅰ）利用等面积化简可得，结合余弦定理求得，利用三角形的面积公式即可求解；（ⅱ）利用角平分线的性质可得，设，，利用向量线性运算可得，对比系数得到，从而得到，两边平方化简即可求解. 【详解】（1）因为，，且满足． 所以， 由正弦定理可得：， 因为在中，， 代入化简得：， 因为在中，，所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为 在上且 平分 ，所以， 由等面积，可得， 化简得：， 由余弦定理可得：， 即，解得：（负数值舍去）， 所以 的面积为； （ⅱ）因为 在上且 平分 ，，， 所以， 所以， 因为在上，设①， 在上，，设， 则②， 联立①与②，可得，解得， 所以， ， 所以的长. 19．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．    (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)不存在，理由如下： 如图１，连接，因为点在平面内的射影落在线段上，所以平面， 因为平面，所以， 若存在点，使得平面，因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以，这与已知条件中矛盾，所以不存在点，使得平面． （2）作，作平面，连接，， 所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，也即， 设，所以， 因为，，， 所以四边形是矩形，所以，， 因为，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， ，， 所以，因为，所以， 所以， 连接，所以， 在中，， 所以，解得， 如图3，作，连接， 因为平面，所以，， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，所以， 所以，即，解得， 所以，所以， 所以二面角的平面角为.      （3）， 如图2，设，由（2）得，，， 在中，， 所以，解得， 所以 ， 所以 化简得 令，因为，所以或， 因为是线段上的动点（端点除外），所以， 所以，所以， 所以所以 令，则，其中，且，所以，即， 所以 因为所以 当且仅当，即等号成立，此时，即， 因此 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏泰州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏盐城·期末）某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（    ） A．24 B．26 C．30 D．36 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏常州·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D．该正四棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期末）设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 13．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 14．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 四、解答题 15．（25-26高一下·河北保定·期末）甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． (1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； (2)求此次比赛进行3局就结束的概率． 16．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知内角所对的边分别为，，，且． (1)求的面积； (2)若，求． 17.在直三棱柱中，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18.（25-26高一下·江苏无锡·期末）记 的内角，， 的对边分别为，，，，，且满足． (1)求； (2)设 在上且 平分 ． （ⅰ）若 ，，求 的面积； （ⅱ）若，， 为线段的中点， 与 交于点，求的长． 19．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上． (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $