专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程专题，覆盖函数零点与方程解的联系、零点存在定理及二分法等核心考点，按零点所在区间、个数、求参数、嵌套函数零点等逻辑层次梳理知识点，通过考点解析、方法归纳、真题示例及变式训练，帮助学生构建系统知识网络，突破零点问题难点。 讲义采用“换元解套”处理嵌套函数零点等创新策略，结合数形结合法培养学生数学思维与模型意识，如通过换元拆解复合函数转化为基础函数交点问题。设置7类题型分层练习及综合检测，确保高效突破考点，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 函数与方程 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第16题，5分 天津卷：第7题，5分 上海卷（秋考）：第21题，18分 全国二卷：第13题，5分 北京卷：第15题，5分 命题规律分析 1、函数与方程 函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。 考点1 函数与方程 知识点1 函数零点所在区间 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据零点的范围求参数】 【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 嵌套函数的零点问题】 【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 多零点的大小与范围问题】 【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 三、填空题 12．（2026高一上·全国·专题练习）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过__________次二分后精确度达到0.1. 13．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 14．（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为__________． 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，求实数为何值时？ (1)方程有唯一实数根或两相等实数根； (2)方程一根大于1，一根小于1． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 19．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足． (1)求的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解函数的零点与方程的解的联系 (2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 函数与方程 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第16题，5分 天津卷：第7题，5分 上海卷（秋考）：第21题，18分 全国二卷：第13题，5分 北京卷：第15题，5分 命题规律分析 1、函数与方程 函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。 考点1 函数与方程 知识点1 函数零点所在区间 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点3 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【解答过程】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【解答过程】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案. 【解答过程】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断函数单调性，再计算区间端点函数值，最后根据函数零点存在性定理解答即可. 【解答过程】因为 在 上单调递增， 在 上单调递增（因为 单调递减，取反后单调递增）， 则两个增函数的和仍然是增函数， 因此 在 上单调递增， ， ， 因为 单调递增，且 ，所以在区间 内存在唯一的零点. 故选：C. 【题型2 求函数的零点或零点个数】 【例2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【解答过程】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【解答过程】直接解方程即得函数的零点. 【解题思路】令，即，解得， 所以函数的零点为和. 故选：C. 【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【解题思路】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【解答过程】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【解答过程】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【解答过程】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【解答过程】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【解答过程】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令 ，即与的图象有个不同交点. 而，恒过， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【题型4 根据零点的范围求参数】 【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【解答过程】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【解答过程】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围. 【解答过程】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【题型5 嵌套函数的零点问题】 【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【解答过程】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【解答过程】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【解答过程】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下．    当时，方程在内有2026个实根； 当时，方程在内有1个实根， 令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根， 所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意； 或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则， 即， 解得，综上可得． 故选：B. 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【解答过程】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法判断即可得出结果. 【解答过程】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【解答过程】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【解答过程】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 【题型7 多零点的大小与范围问题】 【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【解答过程】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：，    故选：A. 【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【解答过程】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知， 故选：B. 【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【解答过程】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出函数的图象，结合直线与函数 图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【解答过程】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为.    要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A. 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【解答过程】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【解答过程】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A. 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【解答过程】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 选项C正确，其他选项均错误. 故选：C. 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【解答过程】解：在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 故选：A. 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【解答过程】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 故选：D. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【解答过程】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 故选：D. 7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【解答过程】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 故选：B. 8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【解答过程】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】利用零点存在性定理直接判断即可. 【解答过程】因函数的图象是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC. 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 【答案】BC 【解题思路】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断. 【解答过程】如图，作出的大致图象， 由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【解题思路】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【解答过程】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026高一上·全国·专题练习）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过__________次二分后精确度达到0.1. 【答案】4 【解题思路】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度. 【解答过程】，，，所以，满足， 开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为， 故有，即，则， 所以至少需要操作4次. 故答案为：4. 13．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围. 【解答过程】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】先将函数有四个不同的零点，转化为函数和有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程 的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【解答过程】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)． 【解题思路】（1）求出导函数，分和，分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，求实数为何值时？ (1)方程有唯一实数根或两相等实数根； (2)方程一根大于1，一根小于1． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）令，根据的情况分类讨论即可求解； （2）根据题意画出草图，根据图像得或，解出即可. 【解答过程】（1）令， 当时，方程变为，即，符合题意； 当时，，， 所以当或时，方程有唯一实根或两相等实数根； （2） 因为方程有一根大于1，一根小于1，则大致图象如图⑤，⑥， 所以（舍）或，解得， 所以当时，方程有一根大于1，一根小于1． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由题意，在内有1个零点，且在内有两个不同的零点，根据函数解析式，即可求实数的取值范围； （2）设，，，则可表示为的函数，令通过换元转化为二次函数并求值域，即可求出的取值范围． 【解答过程】（1）因为， 所以由在上有三个零点，，得 在内有1个零点，且在内有两个不同的零点， 若在内有1个零点，则，得， 若在内有两个不同的零点，则， 即得． 综上所述，． （2）不妨设，，， 则 ， 令则 由（1）知，∴， 所以． 18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . （2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . （3）因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 19．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足． (1)求的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出； （2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值. 【解答过程】（1）函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 又函数满足，则，解得， 又，所以，. （2）由（1）知， 所以. （i）因为函数有两个不同的正数零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. （ii）因为， 所以，又，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $