专项训练11 二元一次方程组特殊解法（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组特殊解法，构建“方法原理-适用场景-题型应用”三阶体系，通过整体代入、换元等技巧培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊解法|3种核心方法|整体代入法（整体代换避繁就简）、加减消元变式（系数对称与比例判断）、换元法（化繁为简转化求解）|从解法原理到适用场景，形成“概念-技巧-应用”逻辑链| |典型题型|5类题型|不解方程求代数式值、换元法求解、整体代入解题、新定义问题等|题型与方法精准对应，覆盖中考高频考法与创新考向|

专项训练11 二元一次方程组特殊解法 【知识点1 二元一次方程组特殊解法】 1. 整体代入法（避繁就简） - 适用场景：方程组中存在相同或倍数关系的代数式（如2x+y = 5和3(2x+y) + x = 16）。 - 操作：将重复出现的代数式视为一个整体代入，避免展开计算。 - 关键：先观察方程结构，找出公共部分，整体代换。 2. 加减消元法的变式（系数对称） - 适用场景：两个方程中同一未知数系数“相等或相反”时。 - 操作：直接相加或相减消去一个未知数。 - 进阶技巧（系数成比例）： - 如，观察发现第二个方程是第一个的2倍，直接判定为无数解，无需再解。 - 如，系数成比例但常数不成比例，判定为无解。 3. 换元法（化繁为简） - 适用场景：方程中含有分式、根式或复杂代数式时（如 + = 3）。 - 操作：令复杂部分为m、n（如令m = , n = ），将原方程组转化为一次方程组，解出 m,n后再回代求 x,y。 - 注意：需验证回代后分母不为零等隐含条件。 【题型1 不解二元一次方程组求代数式的值】 1．已知满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键． 方程组两方程左右两边相减，再整理即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：． 2．已知满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加变形，即可求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得：， ∴； 故答案为：1． 【题型2 不解二元一次方程组换元法求方程组的解】 3．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 4．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 【题型3 整体代入法解二元一次方程组】 5．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 6．阅读下面解方程组的过程． 解方程组 解：原方程组可化为 ②－①，得，即． 把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是 以上解方程的方法叫作“消常数项法”． 请用“消常数项法”解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可； （2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，解得． 故原方程组的解为 （2）（2） ②×2-①，得，即． 把代入①，得，解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【题型4 换元法解二元一次方程组】 7．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 8．阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 【题型5 新定义型二元一次方程组】 9．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义、解二元一次方程组等知识点，理解“反对称二元一次方程”的定义成为解题的关键． （1）根据“反对称二元一次方程”的定义即可解答； （2）先根据“反对称二元一次方程”的定义求得二元一次方程的得反对称二元一次方程，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为． 由题意可得： 故答案为：． （2）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 由题意可得：，解得：． 所以，． 10．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 1．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 2．已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 3．已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 5．已知，满足方程组，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 6．已知方程组，那么x与y的关系是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】解：， ②得：③， ①③得：， 即， 故答案为：． 7．若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键． 把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可． 【详解】解：方程组的解是， 对于方程组，可得， ． 故答案为：． 8．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 9．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （2）将方程组化简，得到，利用代入法解答即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． （2）解：方程组整理得，， 把代入中，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 10．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 11．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 12．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 1．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 2．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 3．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（   ） A． B． C． D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，正确理解行列式定义及计算方法是解题的关键． 根据行列式定义计算、、及方程组的解，对比选项判断正误即可． 【详解】解：， 则A正确； ， 则正确； ， 则错误； ，， 因此方程组的解为， 则D正确； 故选：C． 4．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解__． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料，分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想和整体思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】方程组的解是， 由方程组得，， 解得，， 故答案为：． 5．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 6．解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 7．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 8．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 9．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，即， 解得：． 10．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 11．“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 12．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练11二元一次方程组特殊解法 知识复盘卡 【知识点1二元一次方程组特殊解法】 1.整体代入法（避繁就简） -适用场景：方程组中存在相同或倍数关系的代数式（如2x+y=5和3(2x+y)+x=16)。 操作：将重复出现的代数式视为一个整体代入，避免展开计算。 关键：先观察方程结构，找出公共部分，整体代换。 2.加减消元法的变式（系数对称） -适用场景：两个方程中同一未知数系数“相等或相反”时。 操作：直接相加或相减消去一个未知数。 -进阶技巧（系数成比例）： 2x+3y=7 ~如4父+6y=14:观察发现第二个方程是第一个的2倍，直接判定为无数解，无需再解。 2x+3y=7 如4x十6y=15,系数成比例但常数不成比例，判定为无解。 3.换元法（化繁为简） 11 适用场最：方程中含有分式、根式或复杂代数式时（如+ =3)。 -操作：令复杂部分为m、n(如令m= 将原方程组转化为一次方程组，解出m,n后再回 代求x,y。 注意：需验证回代后分母不为零等隐含条件。 培优拓展训练 ★巩固提升练 1/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1不解二元一次方程组求代数式的值】 2x+y=5 1,已知，y满足方程组x+2y=7:则x-y= 2x+y=6 2.己知xy满足方程组3x+4y=-1,则x+y的值为一· 【题型2不解二元一次方程组换元法求方程组的解】 ax+by=c x=2 3.若关于x,y的二元一次方程组 ax+by=C 的解为少=3则关于x'y的方程组 ax+by=a-2b+c azx+bay=az-2b2+c2 的解是 3x-my=5 x=1 4若关于xy的二元一次方程组2x+=6的解是=2：则关于。、b的二元一次方程组 3(a+b)-m(a-b)=5 2(a+b)+n(a-b)=6的解是 【题型3整体代入法解二元一次方程组】 5.观察发现： x+y=4① 材料：解方程组 3(x+y)+y=14②· 将①整体代入②，得3×4+y=14.解得y=2」 x=2 把y=2代入①得x=2'所以y=2· 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， x-y=1① (1)请直接写出方程组 4(x-y)-y=5②的解为— 2x-3y-2=0① (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 2x-3y+5+2y=92 7 6.阅读下面解方程组的过程. 2/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x y 4 3153 解方程组 x y2 4103 xy_4,① 3153 解：原方程组可化为 x-y-4② 253 -2义=0，即x=5y· 4 ②-①，得615 16 x= 3 把4代入方程②，得2y4解得20所以16 所以原方程组的解是 20 x=5y )53 y= x= 3 y= 3 以上解方程的方法叫作“消常数项法”. 请用“消常数项法”解下列方程组： [5x-3y=56 ()13x+y=56 [7x-8y=22 (2)13x-5y=11 【题型4换元法解二元一次方程组】 7.阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 19x+18y=17① 解方程组17x+16y=15②时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便. 解：①-②，得2x+2y=2,即x+y=1.③ ③×16，得16x+16y=16.④ ②-④，得x=-1. 把x=-1代入③，得y=2」 x=-1 故原方程组的解是 y=2 2025x+2024y=2023① (1)请用上述方法解方程组： 2023x+2022y=2021② 3/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+2)x+(a+1)y=a ②直接写出关于xy的二元一次方程组ar+(口-y=a-2的解. (a-1)+2(b+2)=6 8.阅读探索，知识累积.解方程组2(a-1)+(仍+2)=6 [x+2y=6 解：设，-1=x6+2=y原方程组可变为2x+y=6 =2 a-1=2 a=3 解方程组得：即 y=2 b+2=2:所以b=0:这种解方程组的方法叫换元法. (1)拓展提高 小4 运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用 ax+by=c x=5 已知关于x,y的方程组 (ax+by=c, 的解为y=3”直接写出关于m、n的方程组 5a,(m+3)+36(n-2)=c 5a,(m+3)+3动，(n-2)=6,的解为 【题型5新定义型二元一次方程组】 9.定义：二元一次方程y=r+b与二元一次方程y=br+a互为“反对称二元一次方程”.如：二元一次 方程y=2x+1与二元一次方程y=x+2互为“反对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程y=-x+4的“反对称二元一次方程”一： x=m ②二元一次方程y=4x+3的解y=n又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出mn的值： 10.定义：对于任意实数x,y,规定新的一种运算规则：x*y=x+y,※y=ar-y, ()当x=1,y=2时，x*y=0,※y=4,求a,b的值： x※y=5m (2四若关于x'y的方程组x*y=4-m（m为常数)的解也满足关于x'y的方程3x*y+2※y=3”求 m的值. 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★能力培优练 [2x+6y=15 1.已知，y满足方程组2x-2y=5,则x+y的值为() A.9 B.7 C.5 D.3 3x+y=3 2.已知方程组x+3y=5,则y-x2的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4 2x+y=k-2 3.已知关于x'y的方程组x+2y=5k+2的解满足x+y=k+1?则k-（) A.-1 B.0 C.1 D.2 ax+by=c x=1 a(x-1)+3by=2c 4.若关于、v的方程 ex+=d的解为 y=2:则方程组e(x-)+36=2d的解是() x=2 x=3 x=2 x=3 2 B C 2 y=3 4 y=3 4 D y=- y= 3 2x-y=14 5.已知x'y满足方程组x+4y=-8,则x+y的值是 3x-y=5-2k 6.已知方程组x+3y=k，那么x与y的关系是 2a-3b=5 a=4 2(x-1)-3(y+1)=5 7.若方程组 3a+56=17的解是6=1则关于x,y的方程组3x-)+50+1)=17的解为一 ax+by=c x=2 ax+2by=3c 8.两位同学对问题“若方程组a,r+,y=6,的解是=7，求方程组a,x+2b,y=3C,的解。”提出各自 的想法，甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试 把第二个方程组的两个方程的两边都除以3，然后通过整体换元替代的方法来解决”·参考他们的讨论， 你认为这个题目的解应该是一 9.解下列方程组： (x+1)-6y=0① (02x+0-y=11② 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(x+y)-4(x-y)=4① (2)+y+x-y=1② 2 6 10.先阅读材料，然后解方程组。 x-y-1=0① 材料：解方程组4x-y)-y=5② 由①得，x-y=1③ 把③代入②，得4×1-y=5,解得y=-1, x=0 把y=-1代入③得x=0所以这个方程组的解为y=-1: 这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程 2x-3y-2=0 组： 2x-3y+5+2y=9 1 11.阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法.数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数x,y 「3x-y=5 满足2x+3y=7:求x-4y和7x+5y的值. 小明：利用消元法解方程组，得出x,y的值后，再分别代入x-4y和7x+5y求值. 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，3x-y=5 ①，2x+3y=7②，由①-②，可得x-4y=-2,由①+②×2，可得7x+5y=19 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸 同学的做法，解决下面的问题。 2x+y=6 (1)已知二元一次方程组 x+2y=4,则x-y= 5x+4y= 3x+y=2k+1① ②已知关于x'y的二元一次方程组x+3y=k-1②，若方程组的解满足x-y=-1,求k的值. 12.在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题. 【类比观察】(1)求下列方程组的解 2a+3b=8 方程组a+2b=5的解为： 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x+3y=8 方程组x+2y=5的解为： 【探究结论】(2)两个方程组的未知数的系数 一；两个方程组的解 ax+by=54 x=4 【探究应用】(3)利用探究的结论解答：已知关于x'y的方程组Cx+d山=32的解为=-3，求关于m' a(m+n)+b(m-n)=54 ,的方程组c(m+n)+d(m-n)=32的解. ★创新拓展练 [2a-3b=13 a=8.3 2(x+2)-3(y-1)=13 1.若方程组 3a+5b=30.9的解为 6=1.2,则方程组3(x+2)+50-1)=30.9的解为(） [x=8.3 x=10.3 x=9.3 x=6.3 A. B y=1.2 y=0.2 C. y=-1.2 D. y-2.2 2.规定：关于x,y的两个方程x+y=b与+y=b互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程 x+ky=b x+(2a-b)y=2b-a 组成的方程组 +y=b叫作共轭方程组.若关于， 的方程组(a+6)x+y=b-2a 为共轭方程组，则 a,b的值分别为() A.3,-3 B.4,3 C.5,-5 D.3,2 a b a b 3.阆读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号cd称为2x2阶行列式，并且规定： =axd-bxc 2 3=2×(1)-3×(-2).二元一次方程组 ax+by=c -2-11 ax+bay=c2 的解可以利用，x,阶行列式表示为：x=D 2×2 D D y= ：其中D a a c D= 问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 2x+y=1 13x-2y=12时，下面说法错误的是() A.D= 21 3-21 -7 B.D,=-14 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=2 C.D,=27 D.方程组的解为 y=-3 ax+by=c x=3 3a x+4by=5c 4.已知方程组 ax+bay=c2 的解是 y=4 老师让同学们解方程组 3a,x+4h,y=5C,，小聪先觉得这道题 3 4 a1·=x+b·-y=G 5 5 好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得 3 4 ,运用换元思想，得 x+63= 3 x=3 5 所以方程组「3ax+4by=5c的解为「x=5.现给出方程组[ax-by=m的解是x=8,请你 54 3a2x+4b2y=5c2 y=5 ax-bay=n y=10 a(x-2)-b(y+1)=m 写出方程组 a,(x-2)-b,(0y+)=n的解- [x'=ax+by 5.定义：数对(x,y)经过运算可以得到数对(K,y),记作(x,y)=(K,y),其中y=ar-by（a,b为常 数).如当a=1,b=1时，p(-2,3)=(1,-5), (1)当a=2,b=1时，p(1,0)= (2)若p(2,1)=(0,4),则a=一，b= 3x-2y=8..① 6.解二元一次方程组33x-2)+4y-=20.…②时，可把①代入②得：3x8+4y=20,求得y=-1再把 x=2 y=-1代入①得：x=2'所以二元一次方程组的解为少=-1，这种解法称为“整体代入法”，请用这样 [2x-3y=12 的方法解下列方程组13(2x-3y)+5y=26: 7.定义：对于任意实数x,y,规定新的一种运算规则：r*y=ar+by,※y=r-by, (1)当x=1,y=2时，x*y=0,※y=4,求a,b的值： xxy =5m (②若关于x'y的方程组x*y=4-m,（,m为常数)的解也满足关于x'y的方程3x*y+2※y=3,求 m m的值。 8.定义：可化为其中一个未知数的系数都为1，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y=b 二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”.如 (kx+x=-b. 5x+y=3 (1)若关于的方程组 x+y=b是“相关倒反方程组”，则 x、y a=b= mx+3=y (②)若关于xy的方程组 -x+2y=n可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解。 9.对于有理数x,y,定义新运算：*y=r+by,x⑧y=ar-by,其中a,b是常数.已知3*2=-1， 2⑧1=4 (1)求a,b的值； (2)若*y+x⑧y=10,求x的值： x*y=8+m (3)若关于xy的方程组x②y=5m的解也满足方程x-y=6,求m的值： ax*by=c x=12 ④若关于xy的方程组a,x⑧，y=C,的解为=5，直接写出关于x,y的方程组 4a,(x+y)*5b(x-y)=3c 4a,(x+y)⑧5b,(x-y)=30,的解 (a-1)+2(b+2)=6 10.【知识累计】解方程组2(a-1)+(6+2)=9 x+2y=6 解：设。-1=x'b+2=y:原方程组可变为2x+y=9 x=4 「a-1=4 a=5 解得： y=1·所以b+2=1,解得b=-1'此种解方程组的方法叫换元法. (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： ax+by=c x=5 (②)【能力运用】已知关于x’y的方程组 a,x+bay=c2 的解为y=3’直接写出关于mn 的方程组 m n 5a(m-3)-3b(n+2)=c 5a,(m-3)-36,n+2)=c的解为— 9/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为 简单问题， a-2ab+b=1 例如，已知方程组： 2a+ab+2b=-3,求 +b'b的值. a+b-2ab=1 解：原方程组即为2(a+b)+ab=-3,设 +b=x’ab=y [x-2y=1 原方程组可变形为： 2x+y=-3? x=-1 a+b=-1 解得， y=-1即ab=-1· 理解上述内容，解决下列问题： ()若关于x的一元一次方程ax+b=2x(a,b为常数，且a≠2)的解为x=-4,则关于y的一元一次方 程a(y-9)+b=2y-18的解为y=一： 3m-2mn-6n=-9 ②已知关于m'n的方程组2m+m-4n=1，求 +2m的值， 3a-b+9c=-34 3)已知关于a'b'。的方程组-2a+4b-1lc=16,求a+b+e的值. 12. 阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 2x+3y+2x-3y=7 4 3 解方程组： 2x+3y+2x-3y=8 3 2 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的(2x+3y) 看成一个整体，把(2x-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题. 以下是他的解题过程：令m=2x-3y,n=2x-3y m.n=7 43 原方程组化为 ,解得〔m=60, 十 n=-24 m=60 把n=-24代入m=2x-3y,n=2x-3y' 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2x+3y=60 得12x-3y=-24' x=9 x=9 解得y=14,所以原方程组的解为y=14: 2(x+1)+3(y-2)=1 (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (x+1)-2(y-2)=4 ax+by=c x=3 ②拓展提升已知关于。y的方程组a,x+么，y=G的解为=4请直接写出关于m'n 的方程组 m n a1(m+2)-b,n=c 4(m+2)-b,n=G,的解是 11/11