专项训练08 一次函数与三角形的综合问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“坐标几何”为核心，构建“交点-边长-面积-存在性”四层解题体系，系统整合一次函数与三角形的综合方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点1|3类核心方法|交点定顶点（联立方程）、面积双解法（公式/割补）、存在性分类讨论（两圆一线/两垂一圆）|从坐标计算到图形性质，形成“代数运算→几何特征→问题解决”的逻辑链| |面积问题|2题|坐标轴三角形面积公式、铅锤法求斜三角形面积|结合一次函数与坐标轴交点特性，简化面积计算模型| |全等问题|2题|利用坐标对应关系列方程，验证三角形存在条件|通过全等性质建立函数与几何的关联，强化模型观念| |存在/折叠问题|4题|动点坐标参数化、折叠性质转化等量关系|综合运用分类讨论与方程思想，提升复杂问题解决能力|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练08一次函数与三角形的综合问题 知识复盘卡 【知识点1二次根式的定义】 1.核心关系：交点定顶点，坐标定边长 -求交点：联立一次函数与三角形边（或抛物线）所在直线方程，解得顶点坐标。 ·定边长：利用两点间距离公式d-x-x2+y1-y2?求线段长度，作为三角形底或高。 -判位置：判断点是否在三角形内部、边上或外部（代入边界直线比较符号）。 2.面积问题：两大方法灵活用 ,公式法：若底边在坐标箱上（或水平竖直），直接用8一一底×高。 1 -割补法（铅锤法）：对斜三角形，过顶点作竖直线，面积$=2×水平宽×铅锤高。 -关键：一次函数常提供水平或竖直的底边（如与坐标轴交点），简化计算。 3.存在性问题：分类讨论建方程 -等腰三角形：按三边相等分三类，用距离公式列方程（“两圆一线”)。 -直角三角形：按直角顶点分三类，用勾股定理列方程(“两垂一圆”)。 -全等/相似：利用对应边成比例，结合一次函数上的动点坐标列方程求解。 -注意：所有解需验证是否满足三角形存在条件（不共线、不重合）。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1一次函数与三角形的面积问题】 1.若直线y=3x+m与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 2.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如， 图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,则△OAB为此函数的坐标三角形. 118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求函数y=-x+3的坐标三角形的面积： ②若函数y=-子+b(b为常数)的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积 3 【题型2：一次函数与三角形全等问题】 3.如图，直线AB的解析式为y=-x+b分别与x,y轴交于A,B两点，点A的坐标为(3，O),过点B的直 线交x轴负半轴于点C,且OB:OC=3:1.在x轴上方存在点D,使以点A,B,D为顶点的三角形与 △4BC全等，则点D的坐标为 O1 4如图：直线y=:+3与r轴、y轴分别交于有八B两点010B,点CK,列是直线=标+3上与4小 3 B不重合的动点 B B A A 备用图1 备用图2 (1)求直线AB的解析式： (2)作直线OC,当点C运动到什么位置时，△AOB的面积被直线OC分成1：2的两部分； (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，说明理由. 218 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型3一次函数与三角形存在问题】 5.如图，A(m,0),B(n,0),且m，n满足(m+2}2+1n-2非0，直线4C恰好是一次函数y=2x+1的图象， CB⊥x轴于B. B (I)求点C的坐标，并求△ABC的周长： (2)在y轴上是否存在点P,使得S△c=S△C?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=一3x+4与x轴、y轴分别交于点A点B'点D在y轴的 负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， 0 (I)求点A和点B的坐标以及AB的长； (2)求点C和点D的坐标： 1 ()y轴上是否存在一点p,使得S,Ps-2S.m,若存在，直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型4一次函数中折叠的综合问题】 4 7.如图，直线y=3x+8与x轴、y轴分别交于点B和点A'点c是线段OA上的一点，若将A4BC沿BC 折叠，点A恰好落在x轴上的A'处，若P是'轴负半轴上一动点，且△BCP是等腰三角形，则P的坐标为- 318 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 A'Z 4 8如图，直线y=- +4与x轴、y轴分别相交于点A”B点C在y轴上，将MOC沿AC折叠，点0 恰好落在直线AB上，求点C的坐标. ★☆能力培优练 1.一次函数y=-3x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是() 4 A.3 B. C.2 D.4 2.如图，直线y=-2x+m上三点A,B,C的横坐标依次为-1,1,2，分别过点A、B,C作x轴与y轴的 垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为() 3 A.2 B.3 c.2(m-) n.-2 3.一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为 4.如图，直线y=3x+4与x轴，y轴分别交于A'B两点，射线4C1AB于点A,若点p是射线AC上 4/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一动点，点D是x轴上的一动点，若以A,D,P为顶点的三角形与△AOB全等，则点P的坐标为一 B 5.如图，直线！的表达式为y=-3x+3,且与x轴交于点A,直线，的表达式为y=2x-6,且与x轴交于 点B(4,0),直线4,4交于点C, B4,0)x (1)求A、C两点的坐标： (2)求三角形ABC的面积： (3)在直线上存在一点P,使得S△4Bn=2S△c,请直接写出点P的坐标. 6如图，直线y=于-4与x轴、y轴分别交于AB两点. 4 y 3 B (1)求OA、OB的长： 5/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知点C(0,3),在x轴上是否存在点D,使得以D、C、O为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，请 直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由 ★创新拓展练 15 1,如图，直线y=一2x+2与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B. (1)求点A,B的坐标： (2)判断△AB0是什么特殊三角形，并说明理由 2.如图，在平面直角坐标系O)中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B. y B A 0 (1)求点A,B的坐标： (2)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由： (3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC,求折痕BC所在直线的表达式. 3.如图，直线y=2x+3分别交x轴，y轴于点4'B'点C(0,6),动点M从点4出发以每秒1个单位 的速度沿x轴负方向移动，设点M的移动时间为秒 618 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M\A (1)求A,B两点的坐标. (2)设△COM的面积为S,当0<t<6时，求S关于t的函数表达式. (3)当t为何值时，△COM与△AOB全等， 4.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=了x+4与x轴交于点B与y轴交于点A 2 F 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标： (2)若在直线AB上有一点M,使得△OBM的面积为9，求点M的坐标： (3)如图2，点C为线段AB中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D,若点E为y轴负半轴上一点，连接CE 交x轴于点F,且CF=FE,在直线CD上有一点P,使得AP+EP最小，求P点坐标； ④如图3，直线CD上存在点使得∠4B0=45°，请直接写出点的坐标. 5.【模型建立】 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=9O°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过 B作BE⊥ED于点E,易证明aBEC≌aCDA(无需证明)，我们将这个模型称为“K形图”.接下来我们就 利用这个模型来解决一些问题： B B D ●A ( 图1 图2 图3 718 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型运用】 (1)如图1，若AD=1,BE=3,则△ABC的面积为_； (②)如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB,∠ACB=90,AC=BC,点C的坐标为(0，-3)，A点的坐 标为(6,0)，求AB与y轴交点D的坐标： (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线1函数关系式为：y=2十1，点A(4,2),在直线1上是否存在点B, 使直线AB与直线I的夹角为45°？若存在，请直接写出点B的坐标：若不存在，请说明理由. 818 专项训练08 一次函数与三角形的综合问题 【知识点1 二次根式的定义】 1. 核心关系：交点定顶点，坐标定边长 - 求交点：联立一次函数与三角形边（或抛物线）所在直线方程，解得顶点坐标。 - 定边长：利用两点间距离公式d =求线段长度，作为三角形底或高。 - 判位置：判断点是否在三角形内部、边上或外部（代入边界直线比较符号）。 2. 面积问题：两大方法灵活用 - 公式法：若底边在坐标轴上（或水平/竖直），直接用S = ×底×高。 - 割补法（铅锤法）：对斜三角形，过顶点作竖直线，面积S = ×水平宽×铅锤高。 - 关键：一次函数常提供水平或竖直的底边（如与坐标轴交点），简化计算。 3. 存在性问题：分类讨论建方程 - 等腰三角形：按三边相等分三类，用距离公式列方程（“两圆一线”）。 - 直角三角形：按直角顶点分三类，用勾股定理列方程（“两垂一圆”）。 - 全等/相似：利用对应边成比例，结合一次函数上的动点坐标列方程求解。 - 注意：所有解需验证是否满足三角形存在条件（不共线、不重合）。 【题型1 一次函数与三角形的面积问题】 1．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形． (1)求函数的坐标三角形的面积； (2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积． 【答案】(1)4.5 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理， 对于（1），分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而可得三角形的面积； 对于（2），先用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数的坐标三角形的面积为； （2）解：直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， 根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为， 当时，，得，此时，坐标三角形面积为； 当时，，得，此时，三角形面积． 综上，当函数的坐标三角形周长为16时，面积为． 【题型2 一次函数与三角形全等问题】 3．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分点在轴右侧、点在轴左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 则点，，则， 即点； ①如图，当点在轴右侧时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当点在轴左侧时， 则，则点、到的距离相等， 则直线， 设直线的表达式为：， 将点代入上式得，解得：， 直线的表达式为：， 设点， ，，为顶点的三角形与全等， 则， 解得：， 故点； 故答案为：或． 4．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【题型3 一次函数与三角形存在问题】 5．如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的周长为（）； (2)存在，或． 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，进而求出点的坐标，求出点横坐标，代入解析式，进而求出点坐标，勾股定理求出的长，再利用周长公式进行计算即可； （2）设，直线与轴交点为，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由得， ∴，， ∵轴于，又点在的图象上， 设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）如图，假设存在点满足题意，设，直线与轴交点为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴，解得或， ∴或． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),， (2), (3)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令，求出；令，求出；继而求出； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 【题型4 一次函数中折叠的综合问题】 7．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______． 【答案】或或 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可． 【详解】当时，， 点的坐标为； 当时，，解得：， 点的坐标为． ． 由折叠的性质可得， ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， ∵， ∴点O是的中点， ∴； 当时，则； 当时，设，则， ，解得， 此时； 综上，点的坐标为或或； 故答案为：或或 8．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【答案】或 【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 1．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 2．如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 3．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 4．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点，点，则，，当以，，为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点的坐标；②时，过点作于，由于，因此当时，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而再求出，据此可得点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，， ，， ， 当时，，， ， 点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知， 当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 故答案为：或． 5．如图，直线的表达式为，且与x轴交于点A，直线的表达式为，且与轴交于点，直线，交于点C． (1)求A、C两点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在直线上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，准确求出交点的坐标为解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点坐标特点求出交点坐标即可； （2）过点C作轴，求出两直线交点坐标，利用三角形面积公式进行求解即可； （3）设点，如图过点P作轴，表示出，结合已知求出b的值，代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A， ， ， ， 直线，交于点C ， 解得：， ； （2）如图，过点C作轴， ， ， ， ； （3）设点，如图过点P作轴， ， ， ， ， ， 或 当时，，解得：， 当时，，解得：， 或． 6．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当，则； 当，则， ∴A点坐标为：，B点坐标为：； ∴； （2）解：， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为或． 1．如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，勾股定理及逆定理，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质及勾股定理及逆定理． （1）由，得，可得，再联立方程组求得点B的坐标； （2）过点B作轴于点C，先求得，，，在中，由勾股定理得：，同理可得，再用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）由，得， ∴， 由得． ∴； （2）是直角三角形，理由如下： 如图，过点B作轴于点C， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ∴， 又， ∴， ∴是直角三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 3．如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，与全等 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先判断出只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由（1）已得：点的坐标为， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴的面积为， 所以关于的函数表达式为． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∵，，，轴轴， ∴，，， ∴与全等只有一种情况：， ∴，即， 解得或， 所以当或时，与全等． 4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 5．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $