专项训练01 利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以勾股定理为核心，系统构建三角形与长方形折叠问题的模型化解题体系，通过分类提炼折叠模型结论，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形折叠模型（3类）|6道基础题型+综合题|提炼翻折后全等、垂直平分线、等腰三角形等结论，建立勾股定理等量关系|按折痕位置（顶点、斜边中点、任意两点）分类，从特殊到一般构建折叠变换逻辑链| |长方形折叠模型（3类）|6道基础题型+综合题|总结对角线/顶点/任意两点翻折的图形性质，强化折叠前后边长转化|以矩形性质为基础，延伸三角形折叠模型，形成平面图形折叠问题解决框架|

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练01利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题 知识复盘卡 【知识点1三角形中折叠问题】 1.直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 (1)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边上，折痕为： (2)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在斜边上，折痕为； (3)沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 2.直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 (1)沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合： (2)沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点。 (3)沿中线翻折，使得点落在点处，连结，· 3直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 (1)沿直线翻折，使得点落在点处，连结。 (2)沿直线翻折使得点与边上的点重合： 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 【知识点2长方形中折叠问题】 1.长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠△，点的对应点为. B 结论1：△ABC≌△ABC: 结论2：折痕垂直平方： 结论3：△是等腰三角形。 B 2.长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为 结论1：△ABE≌△ABE: 折在矩形内 结论2：折痕垂直平方。 结论1：△ABE≌△ABE: 折在矩形边上 结论2：折痕垂直平方。 B 结论1：四边形ABCE≌四边形ABCE: 折在矩形外 结论2：折痕垂直平方： 结论3：△是等腰三角形。 3.长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为，点的对应点为· 折在矩形内 结论1：△BEF≌△BEF； 2/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论2：折痕垂直平方。 结论1：四边形EBCF≌四边形EBCF: 折在矩形边上 DG 结论2：折痕垂直平方。 结论1：四边形EBCF≌四边形EBCF； 折在矩形外 结论2：折痕垂直平方； 结论3：△’是直角三角形。 培优拓展训练 ★了巩固提升练 【题型1直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 1,如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使 它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长等于cm. D B 2.有一块直角三角形纸片： D B 图1 图2 (I)如图1，若两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C与点E重合，则CD的长为一： (2)如图2，若两直角边AC=6,BC=8,点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB'D,边 AB与边BC交于点E.若△DEB为直角三角形，则BD的长为_ 【题型2直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 3.如图，直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合， 折痕为DE.则CE的长是() 6 8 ---A D A 3 c.4 4.如图，有一张直角三角形纸片△ABC,两直角边AC=8,BC=16,现将Rt△ABC折叠，使点B与点A 重合，得到折痕MN,则△ACM的面积为 M B. 【题型3直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 5.如图，在△ABC中，LB=90°，∠C=30°，己知AB=3. (1)BC的长为一 (2)点E,F分别是AB,AC上一点，沿着直线EF将△AEF折叠，得到△DEF,已知点D落在边BC ,若CDP是直角三角形，则CF的长为（注：+V3-》 4/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，在△ABC中∠ACB=90°，AC=12,BC=10,点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连 接DE.将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'.若△AEC为直角三角形，则AE的长为一 D 【题型4长方形中折痕过对角线模型】 7.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折叠，使点A落在点P处，PD交CB 于点Q,则CQ的长为 8.如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E,若AB=4,BC=8, 则△ACE的面积为 D B 【题型5长方形中折痕过一顶点模型】 9.如图将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，己知AD=5,AB=3，,则DE=一 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 10.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3,点在BC边上，将△CDP沿折叠，点落在点处， PE,DE分别交AB于点，，若GE=GB,则BF= E G D 【题型6长方形中折痕过任意两点模型】 11.如图，在长方形ABCD中，AB=8,AD=16,将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的 长度为 E D G 12.如图，有一个长方形纸片ABCD,AB=6cm,BC=10cm,点为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的 对应边B'C恰好经过点，则线段DE的长为 cm B A B 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★能力培优练 1.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm.将三角形纸片沿AD翻折， 使点B落在直角边AC延长线上的点E处，则CE的长为() C B E A.Icm B.1.5cm C.2cm D.3cm 2.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9Cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF, 则BF的长为() ------,D A.6cm B.7.5cm C.5cm D.4cm 3.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=25,沿过点A的直线将纸片折叠，使点B 落在BC上的点D处，折痕交BC于点F,再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E,交BC于 点G,则DE的长度为() A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将aCDE沿 DE所在直线折叠，点C落在点C处，连接AC,当△ACD为直角三角形时，CE的长为() 7/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B E A.4+47 B.4+V7 C.4+4v7或4-V万 D.4+V7或4-√万 5.(25-26八年级上甘肃酒泉期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，,BC=6,将△ABC沿 DE折叠，使点B与点A重合，则CE的长度为一· A D E B 6.如图，在长方形ABCD中，BC=2AB=4,将△ABC沿AC翻折，得到△AEC,其中，AD与CE相交于 点F,则DF为 B 7.如图，将边长为l2cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN.若CE的长 为8cm,则MN的长为 B N &.如图，在R△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D,E分别是边BC,AB上的两个动点.将△ABC 沿直线DE折叠，使得点B的对应点B'落在边AC的三等分点处，则线段BD的长为 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 9.如图.在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm,AC=9cm,现将直角边AC沿过点A的 直线折叠，使它落在AB边上、若折痕交BC于点D,点C落在点E处，你能求出CD的长吗？请写出求解 过程 A E IO.如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF 若AB=4,BC=6,求CF的长. D ★创新拓展练 1.我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形ABCO中 ∠A=∠ABC=∠C=∠AOC=90°，AB=CO,AO=BC,AB∥CO,AO∥BC.将长方形OABC沿OB翻 折，点A的对应点为D,OD与BC交于点E,OC=4,BC=8. 图1 图2 9/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求CE的长： (2)△BDE的面积为 (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着OA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒 当aOPE是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 2.综合与探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=m,AC=n,且m,n满足Vm-6+n-8=0,D,E分别是边AC, BC上的动点，连接DE,将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE,点F恰好落在边AB上 ch. D D 图1 图2 (1)求边AB的长. (2)如图1，若D为AC的中点.求证：∠BFE=∠DEF. (3)如图2，若F为AB的中点 ①试猜想线段BE,AD与DE之间的数量关系，并说明理由. ②直接写出线段BE的长。 3.在长方形ABCD中，AB=CD=1O,BC=AD=8.P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的 位置（点B落在点E处）· D C B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在边CD上时，求CP的长度， (2)如图2，当点E在边CD外时，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE,求BP的长」 (3)如图3，己知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCO沿CQ翻折，点B恰好落在直线D卫上的点B处， 求BQ的长」 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11 专项训练01 利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题 【知识点1 三角形中折叠问题】 1.直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 2.直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 3.直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 【知识点2 长方形中折叠问题】 1.长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 2.长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 3.长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 【题型1 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 2．有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 【题型2 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 3．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 4．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 【题型3 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 5．如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 【答案】 或 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算； （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分两种情况同理，当，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 6．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或7 【分析】分两种情形：和，分别就这两种情形求解即可． 【详解】①如图1，当时 根据折叠的性质得：，， ∵ ∴，，三点共线 ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ②如图2，当时， 根据折叠的性质得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ③的情形不存在 综上所述，的长为或7 故答案为或7． 【题型4 长方形中折痕过对角线模型】 7．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 8．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【题型5 长方形中折痕过一顶点模型】 9．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 10．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据证明，，设，利用勾股定理得方程，求出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， 由翻折的性质可知，， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴， ，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【题型6 长方形中折痕过任意两点模型】 11．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 12．如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 1．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 3．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 4．如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． 5．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 6．如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 7．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 根据平行线间的距离相等得， ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 9．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 10．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 1．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 2．综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ∴DE=DH 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 3．在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)4或16 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即； （3）解：当点Q在线段上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在延长线上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为4或16． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $