专项训练05 平面直角坐标系中面积与规律、新定义型问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以平面直角坐标系核心概念为基础，系统整合面积计算、规律探究、新定义及几何综合四大题型，提炼面积转化、周期归纳等方法，培养抽象能力与推理意识，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面直角坐标系|5个核心知识点|坐标特征/距离/对称/直线表示/角平分线规律|从点的坐标概念到直线特征，形成几何直观基础| |动点面积问题|2-3典例|面积关系转化法/分割补形法|运用坐标距离公式推导面积，培养模型意识| |规律探究问题|2-3典例|周期归纳法/递推关系法|通过点的运动抽象规律，发展抽象能力| |新定义型问题|2-3典例|定义迁移法/参数方程法|将新定义转化为坐标运算，提升应用意识| |几何综合问题|2-3典例|坐标几何法/全等相似证明|结合几何性质与坐标运算，强化推理意识|

专项训练05 平面直角坐标系中面积与规律、新定义型问题 【知识点1 平面直角坐标系】 1.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 2.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 3.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 4.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 5.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【题型1 平面直角坐标系中的动点面积问题】 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 【题型2 平面直角坐标系中点的规律探究问题】 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，故是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第三个点的坐标可推导一般性规律为，最后计算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，……， 纵坐标每四个点一个循环， ， 是第507个周期的第三个点， 每一个周期第三个点的坐标为：，，，……， ， ， 故答案为：． 4．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 【题型3 平面直角坐标系中的新定义型问题】 5.点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 6．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】(1)点 (2)， (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； （2）解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； （3）解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 【题型4 平面直角坐标系中与几何证明的综合问题】 7．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求出的值，进而得出点的坐标； （2）过点作轴于点，作轴于点，易证，即可证明，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点坐标为； （2）证明：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ∵在和中， ， ， ． 8.如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 2．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 3．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属衍生点”，例如：的“2属衍生点”为，即，若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为点．且线段的长度为线段长度的3倍，则k的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设，则，，根据线段的长度为线段长度的3倍得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵线段的长度为线段长度的3倍， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，连接． (1)求四边形的面积； (2)过的中点作直线轴，交于点，求点的坐标．（提示：根据三角形ABO的面积求） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则，，，然后通过四边形的面积三角形的面积三角形的面积即可求解； （）连接，求出点的横坐标为，然后通过三角形的面积三角形的面积三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴四边形的面积三角形的面积三角形的面积 ； （2）解：如图，轴，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积 ∴， 解得， ∴点． 6．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点C是第二象限内一点，且，过点A作于F，求证：． 【答案】(1)A、B两点的坐标分别为 (2)证明见解答 【分析】（1）由非负数的性质得，所以，则A、B两点的坐标分别为； （2）先由“同角的余角相等”证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ， ∴ A ， B两点的坐标分别为． （2）证明：∵于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 7．若点的坐标满足，我们称点为“横和点”． (1)已知点为“横和点”，求的值； (2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点A，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，若点A，点均为“横和点”，且三角形的面积为8，求的值 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键． （1）依据题意，由点是“横和点”，从而，进而计算可以得解； （2）依据题意，，，进而可得，，，根据点和点的纵坐标相同，可得轴，即可列出方程进行解答． 【详解】（1）解：点是“横和点”， ， 的值为4 （2）解：点和点是“横和点”， ，， ，， ，， ， 点和点的纵坐标相同， 轴 ，解得：， 8．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 1．如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变化规律． （1）根据“友好点”定义直接计算； （2）先找出点的坐标循环规律，再结合的坐标推出的坐标，进而求． 【详解】解：（1）已知对于点“友好点”． 点的坐标为，那么的“友好点”的坐标，将代入“友好点”定义式： 横坐标为，纵坐标为． 所以的坐标为； （2）设，则； ； ； ． 可以发现每4个点为一个循环周期． 因为，其中余数为2，说明的坐标与的坐标相同． 已知，所以，则可得方程组 解得，． 所以． 故答案为：；． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 5．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练05平面直角坐标系中面积与规律、新定义型问题 知识复盘卡 【知识点1平面直角坐标系】 1.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为(0,0)： ②第一象限内的点，x、y同号，均为正： ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正： ④第三象限内的点，x、y同号，均为负： ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负： ⑥横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x,0),所以，横轴也可写作：y=0(表示一条直线) ⑦纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0(表示一条直线) 2.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x 轴)的距离. 注：①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解。 ②坐标平面内任意两点A(x,y)、Bx2,y2)之间的距离公式为：d=2-xH-) 3.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A'（a,-b),特点为：x不变，y相反： ②一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A'(-4,b),特点为：y不变，x相反： ③一个点A(4,b)关于原点对称的点的坐标为A'(-4,-b),特点为：x、y均相反. 4.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=(α为 纵坐标)的形式，α的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差 的绝对值： ②平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为 横坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差 的绝对值. 5.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号） 培优拓展训练 ★巩固提升练 119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1平面直角坐标系中的动点面积问题】 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于4，B两点，若点A(0,),B(b,0),满足 12a-b-9+Va+2b-12=0」 (1)求a,b的值： (2)若点C的坐标为(-1,2)，连接AC,BC.则△ABC的面积为： (3)点D在直线AB上，且AD=2BD.数学活动小组的同学发现：当点D在线段AB上时，可连接OD, AOBD的面积是△OAB面积的3，根据两者间的面积关系，即可求出点D坐标，请你根据活动小组的思路， 直接写出满足条件点D的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A,B两点，若线段OA与OB的长满足等式 OB-3+OB-204+9=0 y A B\x B\ 备用图 (1)求线段OA,OB的长： (2)若点C的坐标为-1,2)，连接AC,BC,则△ABC的面积为 (3)若点D在线段AB上，且AD=2BD,点Q在x轴上且SD0=10,请直接写出点D的坐标一，点Q 1 的坐标 (数学活动小组的同学发现：可连接OD,AOBD的面积是△OAB面积的3，△OAD的面 积是△OAB面积的3，利用其面积即可求出点D坐标. 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型2平面直角坐标系中点的规律探究问题】 3.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动， 每次移动一个单位长度，得到点4(0，)，4，(1，)，4(1,0)，A(2,0)…,那么点4m的坐标为一 0 4.长方形ABCD的两边BC,CD分别平行于y轴，x轴，点A的坐标为(-2,3)，点C的坐标为(-1，).如图 1,将长方形ABCD绕图形右下侧顶点C顺时针旋转90°，再沿x轴翻折得到长方形ABCD,称为一次操 作；如图2，接着将长方形ABCD继续绕图形右下侧顶点A顺时针旋转90°，再沿x轴翻折得到长方形 A,B,C2D2,称为第二次操作；以此类推，… B2 A B D D C C C B D D D A 图1 图2 图3 (I)经过3次操作后，点B的坐标为 (2)经过2025次操作后，点B2025的坐标为_， 【题型3平面直角坐标系中的新定义型问题】 5.点P(a,b)是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为ka+b,0+kb)(其中k为常数且k≠0)， 则称点0为点P的“k拓点”，例如：点P(1,2)的“2拓点”Q州2×1+2,1+2×2)，即点0为(4,5). (1)求点P(-2,1)的“3拓点”Q的坐标： (2)若点P-l,m)的“4拓点”Q的坐标是-2，n),求mn的值. 6对于平面直角坐标系0y中的点Pa,b),若点p的坐标为a+,b+号 k (其中k为常数，k≠0)，则 3 称点p为点p的“k系友好点”：例如：P(3,2)的“3系友好点”为P3+3×2,2+ 3’ 即P':(9,3) 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请完成下列各题： (1)求点P(-2,1)的“2系友好点”P的坐标为： (2)若点P(6,3)的“k系友好点”P'的坐标为(-3，”)，求k和n的值： (3)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系友好点”为点P,若在△OPP'中，PP=2OP,求k的值. 【题型4平面直角坐标系中与几何证明的综合问题】 7.如图，在直角坐标系中，B点的坐标为(a,b),且a、b满足Va+2b-6+(a-b)}=0. (1)求B点的坐标： (2)点A为y轴上一动点，过B点作BC⊥AB,交x轴正半轴于点C,求证：BA=BC, 8如图，A-2,0,B(0,-4),以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC. ① (1)点C的坐标为 (2)如图②，A-2,0,P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点， PA为腰向右作等腰直角三角形APD,过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值. ★能力培优练 4/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在平面直角坐标系中，己知A(a,0),B(b,0),其中a,b满足a+1+(b-3=0.点M的 坐标(-2，-)，在y轴的正半轴上有一点P,使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等，则点P 的坐标为() A B A.(2,0) B.(0,1) c.(0,-1) D.(0,2) 2.如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示的方向依次运动，第1次从点(1,0)运动到点(0，)， 第2次运动到点（山，0），第3次运动到点(2，-2)，，按照这样的运动规律，动点P第2025次运动到点的坐 标为() y (0,1) (4,1) (-1,0) (1,0) 7(⑤，0) 73,0) 7,0)x (2,2) (6,2) A.(2024,0) B.(2024,1) C.(2025,0) D.(2024,-2) 3.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P的坐标为(a+b,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)， 则称点P为点P的“k属衍生点”，例如：P(2,3)的“2属衍生点”为P(2+2×3,2×2+3),即P'(8,7), 若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属衍生点”为P点.且线段PP的长度为线段OP长度的3倍，则k 的值 4.如图，在平面直角坐标系中，点B(0,-),C(4,4),E(0,4),BC=5,点A在x轴正半轴上，线段 AB与线段CE交于点D.若△EBD与△ACD面积相等，则A到直线BC的距离是 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 5.在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(-2,0),C(4,3),连接AB、AC、BC. ō主 (1)求四边形ACBO的面积： (②)过BO的中点D作直线DE∥y轴，交AB于点E,求点E的坐标.（提示：根据三角形ABO的面积 求) 6.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(b,0),且满足Va-4+(b+4)}=0. F B (I)求A、B两点的坐标： (2)若点C是第二象限内一点，且∠BC0=90°，过点A作AD⊥OC于F,求证：FA=C0. 7.若点P(x,)的坐标满足x-2y=-2,我们称点P(x,)为“横和点”. (1)已知点Q(9,3)为“横和点”，求9的值： (2)在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移得到三角形DEF,点A,B,C的对应点分别是点D,E, F,已知点A(m,nm>0),点B(O,b),点D(2m,b),若点A,点B均为“横和点”，且三角形ABD的面 积为8，求m的值 6/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动， 每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示. (1)填写下列各点的坐标：A( ),A( ),A5( (2)求点A025的坐标： (3)指出蚂蚁从点2024到点402s的移动方向. ★创新拓展练 1.如果A(0,4),B(-3,0),点C在y轴上且三角形的面积是15，C点坐标是 ；若点D在x轴 上，且△ABD为直角三角形，D点坐标是 2.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b),我们把P(b-山，-Q-)叫作点P的“友好点”.已知点4的“友 好点”为A,点A的“友好点”为A,点A的“友好点”为A,…,这样依次得到各点.若点A26的坐 标为（-3,2) (1)点A2026的“友好点”A2027的坐标为」 (2)设A(x,y),则x+y的值为 3.如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即 A(0,0)→4(1,3)→4(2,0)→4(3，-2)→4(4,0)→4(5,3)→A,(6,0)→，…，按这样的运动规律，完成 下列任务： 7/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,A Ag As 41oA12 (1)点A,的坐标为，点A8的坐标为一， 点A的坐标为一一，点4024的坐标为一一一； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点(，乃)，(，乃)，（x,),（4少4)，请直接写出×1，， ,x4之间满足的数量关系为一一，少，2，少，y4之间满足的数量关系为一 4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),C(3,c)三点，且a,b满足关系式la-2+Vb-3=0, BC=2OA」 C (1)a= ,b=,C= (2)四边形AOBC的面积为一； 3)是否存在点Pm,3m, 使得。4OP的面积为四边形4OBC面积的2倍？若存在，求出点p的坐标：若 不存在，请说明理由。 5.如下图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OAB,第二次将△OAB变换成△O4,B,第 三次将△0A,B变换成△OA,B3,已知A1,3),4(2,3),A,(4,3),A,(8,3),B(2,0),B(4,0),B2(8,0),B(16,0), AA A B B B2 B, (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将△OA,B,变换成△OAB,则4的坐标 是一， B的坐标是—一 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若按第(1)题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA,B。,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变 化，找出规律，请推测A,的坐标是—一，B。的坐标是—一 9/9