专题07 平面直角坐标系存在性问题（共30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题07 平面直角坐标系存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接．    (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点，的坐标； (2)如图，若，且，分别平分，，求的值； (3)如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，点满足．    (1)直接写出点A的坐标； (2)如图，将线段沿x轴向右平移4个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点F使得，若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，，，点在轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为15?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 7．如图长方形中，为 平面直角坐标系的原点，点的坐标为点的坐标为 且满足点在 第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的 线路移动，设运动时间为秒    (1)点的坐标为 ；当点移动3.5秒时，点的坐标为_____ (2)在移动过程中，当点到轴的距离为3个单位长度时，求点移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点使的面积是10，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点P为y轴上一动点，b、c满足． (1)直接写出b、c的值：________，________； (2)求梯形的面积； (3)当点P在y轴上运动时，是否存在一个点P，使三角形的面积是梯形面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P在y轴正半轴上运动时（不包括点O、C），、、三者之间是否存在某种固定的数量关系？如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． (1)的值为？ (2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形，点的对应点分别为，，，． (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积； (4)在y轴上是否存在点M，使以，，M，三点为顶点的三角形面积为6？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图， 在平面直角坐标系中，已知， 且满足 点在第一象限的角平分线上， ． (1)求点 A，B的坐标； (2)求的值； (3)y轴上是否还存在点 D，使 若存在直接写出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图1，以的直角顶点O为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点，满足． (1) ________； ________； (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得把四边形的面积分为的两部分．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，如图2，若，点是第四象限中一点，并且x轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 15．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E从O点出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴负半轴方向运动（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，点C的坐标为，且． (1)直接写出点C的坐标，并在图中画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；请写出平移后三点的坐标，并画出三角形； (3)在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，．      (1)求点，的坐标； (2)如图，若点在轴负半轴上，连接，，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 18．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 19．如图所示，把三角形向上平移3单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)直接写出点A和点B的坐标并求出的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 21．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分、，求的度数；（用含的代数式表示） (3)如图3，在y轴上存在一点P，使得三角形的面积和三角形的面积相等．请直接写出点P坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，其中a为16的算术平方根，b为8的立方根． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图，两动点P、Q同时出发，P点从B点出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向右移动．设运动时间为秒，当时，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)C点的坐标为_______；A点的坐标为______． (2)如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1.5个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点时整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，连接交x轴于点C． (1)求a，b的值； (2)如图1，若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为8，求出点P的坐标； (3)如图2，直线交y轴于点D，过点A作直线与平行，且与x轴相交于点，点Q为直线上一点，使得，求出点Q的坐标（用含m的式子表示）． 26．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（，），点坐标为（，），且是方程的解． (1)求出、两点的坐标； (2)点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连结，若的面积为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，连结，在轴上是否存在点，使？，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)C点的坐标为 ；A点的坐标为 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动, 点Q到达A点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． (3)点F是线段上一点，满足，点G是第二象限中一点，连，平分．点E是线段上一动点，连交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究， ，之间的关系． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，），点B（，），其中、满足． (1)求、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； (4)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，沿路线向点运动；动点从点出发，沿路线向点运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接，其中不垂直于轴．    (1)直接写出两点的坐标； (2)点开始运动后，，，三者之间存在何种数量关系，请说明理由； (3)若动点分别以每秒和每秒的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形的面积为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题07 平面直角坐标系存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接．    (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)存在，， 【分析】（1）运用非负数的性质，确定a，b的值，得到A，B的坐标，根据平移的规律得到C，D的坐标，根据计算即可． （2）如图，过点E作，则，运用平行线性质证明即可． （3）设点M坐标为或点M坐标为，根据面积公式计算即可． 本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：， 理由如下：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， 当点M在y轴正半轴上时，设点， 如图，点M在线段上时，    ∵ ∴ ∴(不合题意舍去)， 如图，点M在线段的延长线上，    ∵ ∴ ∴， ∴点 综上所述：当点或时，使三角形的面积是三角形面积的 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形问题，列代数式等知识，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题． （1）根据非负数性质可得、的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出，设，则，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）如图1所示， 过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴． （3）解：时，， 设，则， ， ∴， 解得， ∴或． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点，的坐标； (2)如图，若，且，分别平分，，求的值； (3)如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案； （3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， ，； （2）如图，过点作，交轴于点，   ， 又∵， ， ， ， ∴； （3）解：存在． ∵，，， ∴的面积， 当点在轴上时，设，   ， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，点满足．    (1)直接写出点A的坐标； (2)如图，将线段沿x轴向右平移4个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点F使得，若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，F点坐标为或． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形性质，非负数的性质，解题的关键是能够将图形的面积，线段的长以及点的坐标相结合，构造方程解决问题． （1）根据非负数的性质求出a值，从而可得b值； （2）设D的坐标为，根据平移得到，，则有，分别表示出相应部分的面积，根据，可得方程，解之求出x值即可得解； （3）分点F在D点左侧，点F在D点右侧，两种情况，设，表示出，根据已知面积，列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设D的坐标为，由平移可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵， 即，解得， ∴； （3）解：存在，理由是： 由（2）知， 当点F在D点左侧时，设，则， ∵， 解得， ∴F点坐标为， 当点F在D点右侧时，设，则， ∵， 解得， ∴F点坐标为， 综上所述，F点坐标为或． 5．如图，，，点在轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为15?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为或 (2)6 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）∵点B在x轴上， ∴点B纵坐标为0．                    ∵，                        ∴点B的坐标为或． （2）∵的底边等于3，高等于4，     ∴； （3）存在．                                   设点P到x轴的距离为h，则： ，解得．                  当点P在y轴正半轴时，；          当点P在y轴负半轴时，；           综合上述，点P的坐标为或 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．    (1)求点A、B的坐标； (2)求点F的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查非负数的性质、用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积． （1）根据非负数的性质求出a，b的值的即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，再令，即可求解； （3）先求出的面积，设，则，由列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ∴， 解得：， ∴． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． （3）解：y轴上是存在一点P，使的面积和的面积相等． ∵， ∴， ∴， 设，如图，    则， ∴， 若的面积和的面积相等， 则， 解得：或． ∴或． 7．如图长方形中，为 平面直角坐标系的原点，点的坐标为点的坐标为 且满足点在 第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的 线路移动，设运动时间为秒    (1)点的坐标为 ；当点移动3.5秒时，点的坐标为_____ (2)在移动过程中，当点到轴的距离为3个单位长度时，求点移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点使的面积是10，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)， (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是1.5秒或6.5秒 (3)存在点使的面积是10，此时t的值为2.5秒或秒或7.5秒或秒 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，以及一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质可求出a，b的值，进而可求出点B的坐标；再求出点移动3.5秒的距离即可得出点P的坐标， （2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可； （3）分四种情况由三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴点的坐标为， 又点移动3.5秒距离为： ∵ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：秒； 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：秒， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是1.5秒或6.5秒． （3）解：设t秒后的面积为10． 当点P在上，由题意得， ， 解得， ∴秒； 当点P在上，由题意得， ， 解得， ∴秒； 当点P在上，由题意得， ， 解得，， ∴秒； 当点P在上，由题意得， ， 解得， ∴秒． 综上可知，存在点使的面积是10，此时t的值为2.5秒或秒或7.5秒或秒． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点P为y轴上一动点，b、c满足． (1)直接写出b、c的值：________，________； (2)求梯形的面积； (3)当点P在y轴上运动时，是否存在一个点P，使三角形的面积是梯形面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P在y轴正半轴上运动时（不包括点O、C），、、三者之间是否存在某种固定的数量关系？如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；4 (2) (3)或． (4)存在，①当点P在线段上时，；②当点P在线段的延长线上时，． 【分析】（1）利用非负数的性质，求出、即可； （2）直接运用梯形面积公式列式计算，即可作答． （3）设，根据，构建方程即可解决问题； （4）分三种情形，分别画出图形利用平行线的性质解决问题即可． 本题考查平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． 【详解】（1）解：， 又，， ，． 故答案为：6，4； （2）解：∵，． ∴，， ∵， ∴ ∴梯形的面积为； （3）解：设点的坐标为， 由（1）可知：、， ， 即：， 解得：， 的坐标为或． （4）证明：①如图1中，当点在线段上时， 过点作， ， ， ，， ， 即； ②如图3中，当点在的延长线上时， 过点作， ， ， ，， ， ． ∴①当点P在线段OC上时，；②当点P在线段OC的延长线上时， 9．在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 10．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． (1)的值为？ (2)如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； 【答案】(1)20 (2)2.4 【分析】此题主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）利用非负性即可求出，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ，， 由运动知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， ， 存在时，使得与的面积相等． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，从而求得点的坐标，根据平移的性质即可求得的坐标； （2）过点.作直线，根据平行线的性质与判定即可得证； （3）根据题意先求得四边形的面积为28，进而可知点在点下方，结合图形可知，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， 线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为， ， （2），理由如下， 如图，过点.作直线， ， 是由平移得到的， ， ， ， （3） ，， ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积等于， 点在点下方，如图， 从点出发，以每秒个单位的速度沿着轴向上平移运动，设运动时间为秒 ， ， ， ， 解得， 此时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形，点的对应点分别为，，，． (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积； (4)在y轴上是否存在点M，使以，，M，三点为顶点的三角形面积为6？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点、的坐标分别为、； (3)四边形的面积为； (4)点M的坐标为或． 【分析】本题考查的是作图−平移变换，平移的性质、由平移得到点坐标，以及三角形的面积，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）由点P的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此依据平移的点的坐标变化规律可得； （2）根据点的位置，即可写出点、的坐标； （3）根据特殊四边形的面积公式即可求解； （4）根据三角形的面积公式以及点的坐标特点列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点，经平移后对应点为， ∴四边形向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 四边形如图所示； ； （2）解：由图像知点、的坐标分别为、； （3）解：四边形的面积； （4）解：设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或． 13．如图， 在平面直角坐标系中，已知， 且满足 点在第一象限的角平分线上， ． (1)求点 A，B的坐标； (2)求的值； (3)y轴上是否还存在点 D，使 若存在直接写出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积公式，数形结合是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可求出点A的坐标，根据第一象限角平分线上点的横纵坐标相等可求出c； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，根据列方程求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴． ∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∴； （2）∵，， ∴轴，， ∵， ∴； （3）设， ∵， ∴， 解得或， ∴还存在点． 14．如图1，以的直角顶点O为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点，满足． (1) ________； ________； (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得把四边形的面积分为的两部分．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，如图2，若，点是第四象限中一点，并且x轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)6，8 (2)存在，或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的判定与性质： （1）利用非负性即可求出a，b，根据三角形的面积公式即可得出结论； （2）先表示出，利用面积关系，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且 ∴， ∴， 故答案为：6，8； （2）解：由（1）知，，， ，， 由运动知，，， ， ∵， ， ， 当， ， ； 当 ， ， 综上，或时，使得把四边形的面积分为的两部分； （3）解：结论：，理由如下： 轴平分， ， ， ， ， 如图，过点H作交x轴于F， ， ， 即， ． 15．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E从O点出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴负半轴方向运动（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案； （3）设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解 ∶ 的度数不发生变化， 理由如下：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ； （3）解 ∶ 存在， 理由如下：设点的坐标为， 点在轴负半轴上， ， 由题意得，，， 的面积， 过点B作轴于H，如图3， ∴的面积梯形的面积的面积的面积 ， 由题意得，， 解得，， 则的面积等于的面积的时，点坐标的坐标为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，点C的坐标为，且． (1)直接写出点C的坐标，并在图中画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；请写出平移后三点的坐标，并画出三角形； (3)在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，图见解析 (2)，，，图见解析 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求出点C的坐标，依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可； （2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接即可； （3）先求出的面积，再由面积相等求出即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图： （2）如图：，，； （3）存在，如图， ，， 或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标系内图形的平移及等积法求边长即坐标；解题的关键是熟练掌握坐标与图形的关系． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，．      (1)求点，的坐标； (2)如图，若点在轴负半轴上，连接，，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，． 【分析】（）运用非负数的性质，确定的值,得到，的坐标，根据平移的规律得到，的坐标； （）过作，证明，则，，再根据角度和差即可； （）设点坐标为，根据面积公式计算即可； 本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴，， 根据点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位， ∴，， 即，； （2）的数量关系为，理由如下：    过作， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）设点坐标为，根据题意，得， 整理得 ， 解得： 或， 故点，． 18．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接的延长线交y轴于点K． (1)点A的坐标________，点B的坐标________． (2)点P是线段上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论． (3)连接，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)当点在上时，，当点在上时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据算式平方根的非负性质、偶次方的非负性质分别求出a、b的值，即可得到点A，B的坐标； （2）分点过在上和点在上，两种情况，进行讨论求解即可； （3）先求出的面积，再分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， 解得：， ∴ 点A，B的坐标分别为． （2）当点在上时：．理由如下： 如图2，过P作， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 当点在上时： 作，则， ∴ ∴； （3）由题意得：点C的坐标为，点D的坐标为， 则，当点M在x轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：， 解得：， 此时点M的坐标为或； 当点M在y轴上时，设点M的坐标为， 则，由题意得：，解得：， 此时点M的坐标为或； 综上所述，在坐标轴上存在点M，使的面积与的面积相等，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了非负性，平行线的判定和性质，平移规律，分类思想，熟练掌握非负性，平行线的判定和性质，平移规律是解题的关键． 19．如图所示，把三角形向上平移3单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)存在，点P的坐标是或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）先求出三角形的面积为，设点P的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形； （2）解：由图可知点的坐标为，点的坐标为； （3）解：由题意得三角形的面积为， 设点P的坐标为， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标是或． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)直接写出点A和点B的坐标并求出的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，4 (2)45° (3)点坐标为或 【分析】本题考查的是非负数的性质、角平分线的定义 （1）根据非负数的性质求出、，可求出点A和点B的坐标,根据三角形的面积公式计算即可； （2）作，根据平行线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可； （3）根据三角形中位线定理求出，设点的坐标为：，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得，，， 则，， ，， ∵轴于B 故 则的面积； （2）解：如图2，作， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ，， ， ，， ，， ； （3）解：∵O为的中点， ∴， 设点的坐标为：， 由题意得，， 解得，或， 答：和的面积相等时，点坐标为或． 21．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A、B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分、，求的度数；（用含的代数式表示） (3)如图3，在y轴上存在一点P，使得三角形的面积和三角形的面积相等．请直接写出点P坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可得出答案； （2）过M作，证明，，则可得出答案； （3）连接，根据三角形面积可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，． 故答案为：，； （2）如图，过M作， ， ， ，， ∵分别平分、， ，， ， 即； （3）如图，连接， ， 即， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 设， ， 或， 即或， 或． 22．如图，在平面直角坐标系中，点，其中a为16的算术平方根，b为8的立方根． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图，两动点P、Q同时出发，P点从B点出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向右移动．设运动时间为秒，当时，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A、点B的坐标分别为 (2)存在，点M的坐标为 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，坐标与图形． （1）利用算术平方根和立方根的定义即可求得答案； （2）设，由题意得，根据，可得，进而得出，再利用三角形面积即可求得答案． 【详解】（1）解：∵a为16的算术平方根，b为8的立方根 ∴， ∴ （2）解：存在，设， 由题意得：, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． ∴点M的坐标为或． 23．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点C的坐标______； (2)如图2，过点C作轴于点D，在x轴正半轴有一点，过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点P，使得的面积为，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）①当在的上方时，将补成直角梯形，设，由即可求解；②当在轴上方，的下方时，由可判断此情况不存在；③当在的下方时，将补成直角梯形，同理①即可求解； 掌握“割补法”求面积，能根据动点的位置进行分类讨论，并将面积转化为是解题的关键． 【详解】（1）解：由平移得：； （2）解：如图， 轴， ， ， ∵，轴， ； 故的面积为； （3）解：①当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； ②当在轴上方，的下方时， 因为 但是 此种情况不存在； ③当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设， ，，，，， ， 的面积为， ， 解得：， ； 综上所述：点P的坐标为或． 24．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)C点的坐标为_______；A点的坐标为______． (2)如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1.5个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点时整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在， (3)的值不变，其值为2． 【分析】（1）利用非负数的性质即可得出答案； （2）用含有的式子表示点和点，然后用含有的式子表示线段和的长，最后根据构建方程即可解决问题； （3）过点作的平行线，交轴于点，根据角的和差关系以及平行线的性质，得出，，最后代入进行计算即可． 本题属于三角形综合题、考查了非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【详解】（1）解： ． 又 ，， ，， ， ，． 故答案为：，； （2）解：存在． 理由：， 由题意可知：，，，， ，， ， ， ； （3）解：结论：的值不变，其值为2．理由如下： 如图2中， ， ， ， 如图，过点作的平行线，交轴于， 则，， ， ， ． 25．在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，连接交x轴于点C． (1)求a，b的值； (2)如图1，若x轴上存在一点P，使得三角形的面积为8，求出点P的坐标； (3)如图2，直线交y轴于点D，过点A作直线与平行，且与x轴相交于点，点Q为直线上一点，使得，求出点Q的坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性，坐标与图形的性质，两点之间的距离等知识． （1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a，b即可 （2）由（1）知，，，作轴于点H，利用求出点C的坐标，再利用求出，进一步即可求出点P的坐标． （3）由已知条件得出，即可求出，分情况讨论，当点Q在第二象限时和当点Q在第一象限时，画出图形，利用面积关系分别求出即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得，． （2）由（1）知，， 如图，作轴于点H， ∴， ∴，， ∵， 即， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或． （3）∵，， 又， ∴， ∴． 当点Q在第二象限时，如图①， ∴，连接OQ， ∵， 即， ， ∴， ∴． 当点Q在第一象限是，如图②， ∴， 作轴于点G，∴， ∵， 即， ， ∴， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 26．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（，），点坐标为（，），且是方程的解． (1)求出、两点的坐标； (2)点在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连结，若的面积为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，连结，在轴上是否存在点，使？，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了解一元一次方程，坐标与图形性质，解答本题的关键要熟练掌握利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住平面直角坐标系中各特殊位置点的坐标特征． （1）通过解一元一次方程求出，从而得到点和的坐标； （2）先确定点坐标为，根据点平移的规律得到点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，所以点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点，即，再计    算出，然后设点坐标为，利用三角形面积公式得到，再求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解方程， 解得：， ，， ，； （2）轴， 点的纵坐标为3， 的对应点为点， ， 点向上平移了4个单位， 点向上平移了4个单位， 点到的距离为4， ， ； （3），轴， 点坐标为， 点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点， 点向上平移4个单位，再向右平移4个单位得到点， ， 如图，连接， ， 设点坐标为， ， 解得或， 点的坐标为或． 27．如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)C点的坐标为 ；A点的坐标为 ． (2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动, 点Q到达A点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． (3)点F是线段上一点，满足，点G是第二象限中一点，连，平分．点E是线段上一动点，连交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究， ，之间的关系． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案； （2）先得出，，再根据，列出关于t的方程，求得t的值即可； （3）过点H作，交于点M，先判定，再根据平行线的性质，得出，进而得到答案． 【详解】（1）解： ， ，， 解得，， ；； 故答案为：；． （2）解∶由已知条件可知：点P从点C运动到点O时间是（秒）． 点Q从点O运动到点A的时间是（秒）， ，点P在线段上， ，， 又中点， ， ， ， ； （3）解：过点H作，交于点M， ， ， 平分， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，），点B（，），其中、满足． (1)求、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； (4)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值是2，的值是3 (2)四边形面积 (3)； (4)存在，或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解方程即可得到，的值； （2）过点作轴于点．根据四边形面积求解即可； （3）先求出，进而得到，解之即可得到答案； （4）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当在轴上时，②当在轴上时，进行讨论得到点的坐标． 【详解】（1），满足， ，， 解得，． 故的值是2，的值是3； （2）过点作轴于点． 四边形面积 ； （3）， ， ， ； （4）当时，四边形的面积． ， ①当在轴上时，设，则 ， 解得或 ②当在轴上时， 设，则， 解得或． ∴或或或． 【点睛】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得，的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． 29．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，沿路线向点运动；动点从点出发，沿路线向点运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接，其中不垂直于轴．    (1)直接写出两点的坐标； (2)点开始运动后，，，三者之间存在何种数量关系，请说明理由； (3)若动点分别以每秒和每秒的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形的面积为． 【答案】(1)，； (2)或，理由见解析； (3)秒或秒． 【分析】（）根据题意即可求解； （）分四种情况：当点在上，在上时；当点在上，在上时；当点在上，在上时；当点在上，在上时；进行解答即可求解； （）分两种情况： 时，点在上，在上；时，点在上，在上；进行解答即可求解； 本题考查了坐标与图形性质、平行线的性质、三角形面积、梯形面积、一元一次方程的几何应用，熟练掌握平行线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵轴，轴，且，，， ∴，，， ∴； （2）解：或，理由如下： 分四情况讨论：当点在上，在上时，如图所示，    ∵轴， ∴， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    过作，则， ∴， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    过作，则，， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴； 当点在上，在上时，如图所示，    ∵轴， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， ∴， 综上所述，三者数量关系为：或； （3）解：设点的运动时间为秒，分两种情况： 时，点在上，在上，如图所示，    则， 由题意得，的面积， 解得； 时，点在上，在上， 过作的平行线交的延长线于，如图所示，    则，， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 解得； 综上所述，运动时间为秒或秒时，三角形的面积为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$