精品解析：广东省惠州市惠阳区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是无限不循环小数，是无理数； C、是分数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数． 2. 要清晰反映豆包大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（ ） A. 折线统计图 B. 扇形统计图 C. 频数分布直方图 D. 条形统计图 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵不同统计图有不同特点，折线统计图的特点是能清晰展示数据的变化趋势， ∵扇形统计图用于反映各部分占总体的比例，频数分布直方图用于反映数据的分布情况，条形统计图用于反映各组的具体数量， ∵题目要求反映连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势， ∴最合适的统计图是折线统计图． 3. 已知点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第三象限点的横纵坐标都小于0，解答即可． 【详解】解：点在第三象限， ． 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线段，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据五线谱的定义可知，利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知五线谱的五根线互相平行， ，  ， ， ． 5. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 6. 下列命题中的真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握定理是解题的关键．利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意； 若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意； 若，满足，则，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意； 故选B． 7. 已知，是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵，是方程的解， ∴将，代入，得， 整理得， 解得． 8. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴，故A错误； B、∵，∴，故B错误； C、∵，∴，故C错误； D、∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴，故D正确． 9. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得方程． 10. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，，再根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个正数的平方根分别是与，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 12. 如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可得出答案． 【详解】解：∵根据内错角相等，两直线平行，若，则， ∴仅添加一个条件为．（答案不唯一） 13. 为了解惠阳区多名初三学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，其中名学生体重数据达标，则样本容量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，样本容量是样本中个体的数目，明确本次抽查的样本中个体数量即可求解． 【详解】解：样本容量为． 14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【详解】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 由上可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴点的坐标是． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 17. 如图，点，，，，，，均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使得点，． （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）平移四边形，使得点与点重合，得到四边形，画出平移后的图形，并写出点、、的坐标． 【答案】（1）∵， ∴以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向， 画出坐标轴（此时点恰好落在，符合要求）．如图． （2） 由坐标系知，点坐标为， 点平移到点，平移规则为：向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度． 按平移规则找到对应点，顺次连接即可得到平移后的四边形． 原、、，平移后对应点坐标为：． 【解析】 【分析】（1）以已知点为坐标原点，结合点的坐标，确定轴、轴的正方向与单位长度，画出平面直角坐标系．根据画出的坐标系，确定点． （2）根据画出的坐标系确定点的坐标，计算点平移到点的横、纵坐标变化量，得到平移规则．先确定原四边形各顶点、、的坐标，再按照平移规则计算平移后对应点、、的坐标，依次连接各点得到平移后的四边形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 18. 【问题情境】“综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“…”或者“”的表示方法都不够准确． 【方法尝试】“善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 【解决问题】 （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． 【答案】（1） ， （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）根据题干中思路解答即可； （2）利用夹逼法将无理数夹在两个相邻整数之间，再根据题目要求求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是，小数部分是； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， ，根据题意可知是两个相邻的整数， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 年全民阅读暨“4·23”世界读书日活动启动以来，惠阳区某校“综合与实践”活动小组为了解全校名学生的读书情况，随机抽取了若干名学生进行了调查，统计他们上一周末课外阅读时长（单位：小时），并根据收集到的数据，整理后绘制了下列不完整的图表： 请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）该“综合与实践”活动小组抽取的学生有________人，扇形统计图中，小时时间段对应扇形的圆心角的度数是________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请通过计算估计该校上一周学生周末课外阅读时长不低于小时的人数． 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）利用A组人数除以A组占比，求得抽取的学生数；利用乘以小时时间段对应占比求得圆心角度数； （2）利用抽取的学生总数减去其余各项学生人数即可解答； （3）利用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：该“综合与实践”活动小组抽取的学生有人； 扇形统计图中，小时时间段对应扇形的圆心角的度数是 【小问2详解】 解：小时时间段对应人数为人， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校上一周学生周末课外阅读时长不低于小时的人数为人． 20. 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动． 【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律 （1）【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图展示了光的反射定律（为法线，为反射面，，分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），若，________； （2）【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：； 【答案】（1） （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据可知，根据即可求出，再根据入射角等于反射角可得； （2）根据可得，根据入射角等于反射角可得，由，，可证，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 21. 根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【解析】 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； （2）如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； （3）嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 （3）的度数为或或或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【小问1详解】 解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， ，即平分； 【小问3详解】 解：根据题意，分以下四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， 则， ； ④如图4，当时，此时重合， ． 综上所述，的度数为或或或． 23. 规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． （1）以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； （2）若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； （3）已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 【答案】（1）①③ （2） （3）①，② 【解析】 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； 【小问2详解】 解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍， ∴，，， ， 解得：， ∴； ∴点A的坐标为. 【小问3详解】 解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 要清晰反映豆包大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（ ） A. 折线统计图 B. 扇形统计图 C. 频数分布直方图 D. 条形统计图 3. 已知点在第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线段，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 若两个角的和为，则这两个角互补 C. 若，满足，则 D. 同位角相等 7. 已知，是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个正数的平方根分别是与，则为________． 12. 如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件：________．（写出一个即可） 13. 为了解惠阳区多名初三学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，其中名学生体重数据达标，则样本容量为________． 14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 15. 在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，点，，，，，，均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使得点，． （1）在图中画出平面直角坐标系； （2）平移四边形，使得点与点重合，得到四边形，画出平移后的图形，并写出点、、的坐标． 18. 【问题情境】“综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“…”或者“”的表示方法都不够准确． 【方法尝试】“善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 【解决问题】 （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 年全民阅读暨“4·23”世界读书日活动启动以来，惠阳区某校“综合与实践”活动小组为了解全校名学生的读书情况，随机抽取了若干名学生进行了调查，统计他们上一周末课外阅读时长（单位：小时），并根据收集到的数据，整理后绘制了下列不完整的图表： 请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）该“综合与实践”活动小组抽取的学生有________人，扇形统计图中，小时时间段对应扇形的圆心角的度数是________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请通过计算估计该校上一周学生周末课外阅读时长不低于小时的人数． 20. 在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动． 【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律 （1）【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图展示了光的反射定律（为法线，为反射面，，分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），若，________； （2）【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：； 21. 根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； （2）如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； （3）嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 23. 规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． （1）以下各点：①②③中是“倍差点”的有________（填序号即可）； （2）若点是“倍差点”，且点向右平移个单位，向下平移个单位后得到点在第四象限，且点到轴距离是到轴距离的倍，求此时点的坐标； （3）已知“倍差点”，，关于、的方程组与有相同的解，求：①用含的式子表示和；②若对于任意的值，等式始终成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $