重难点专训06 导数中的隐零点问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦导数隐零点问题，构建“识别-判定-代换-估值”四步方法体系，通过分层题型实现从基础应用到综合证明的逻辑递进，培养数学推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|4大策略+4类技巧|设而不求、整体代换、存在唯一性判定、范围逼近，配套易错警示|从隐零点概念生成到代换原理推导，形成完整解题逻辑链| |题型通法|3题型（3典例+11变式）|初步应用、参数范围、不等式证明三类通法，含口诀与高分技巧|题型难度梯度上升，对应隐零点在不同场景的应用拓展| |分层过关练|16题（巩固8+创新8）|巩固层聚焦基础代换，创新层综合双隐零点与切线放缩|从单一隐零点处理到复杂情境迁移，强化数学思维的严谨性|

重难点专训06 导数中的隐零点问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 隐零点的初步应用 2 题型2 隐零点问题之参数范围综合 4 题型3 隐零点问题之不等式证明综合 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 1、利用导数研究隐零点问题的基本思路是： （1）对函数求导后，令导函数为零，若该方程无法直接求解（含有超越式如与混合，或为高次超越方程），则确认其为隐零点问题； （2）利用零点存在性定理和单调性，证明该零点存在且唯一，将其设出（通常记为），不需求其具体值； （3）利用建立等式，将超越式（如、）用代数式整体代换，从而化简目标表达式（如极值、不等式）； （4）结合所在的大致区间（通过估值确定），对化简后的表达式进行放缩或判断符号，完成求解。 2、隐零点的核心处理策略： （1）设而不求：隐零点的核心思想是“设出零点，利用关系代换，不必求出具体数值”。将零点记为，仅利用其满足的方程进行化简； （2）整体代换化简极值：若极值点为隐零点，则极值中通常含有或，利用将超越式替换为关于的代数式，使极值表达式降维为可处理的形式； （3）隐零点存在唯一性的判定：通过二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数在区间端点处的符号（或极限），由零点存在性定理判定零点存在且唯一； （4）隐零点范围的逐步逼近：利用二分法思想，取区间内特殊点（如、、等）代入一阶导数，判断符号，逐步缩小隐零点所在区间，为后续放缩提供精确的上下界。 3、实用技巧与转化方法： （1）隐零点代换后，若目标式为分式或根式，需进一步化简，注意分母不为零及开偶次方时被开方数非负； （2）化简后的表达式若仍含隐零点，可再次利用满足的方程进行二次代换，或转化为关于的单调函数，通过的范围直接判断符号； （3）证明含隐零点的不等式时，常需将的范围与常见不等式（如、）结合使用，对代换后的表达式进行适度放缩； （4）遇到复合型隐零点（如同时含和且无法一次代换干净）时，可先通过消去其中一个超越项，再观察剩余部分是否需要再次设元。 4、易错点与关键提醒： （1）隐零点存在的区间必须通过严格推理确定，不可凭直觉随意假设，端点值选取要便于计算且能明确符号； （2）代换时需确保变形等价，特别是涉及对数真数、分母、偶次根号时，代换后表达式若有定义域变化，需重新标注； （3）隐零点问题中，估值精度直接影响最终结论，若放缩过度导致符号无法判断，需进一步缩小零点区间或改用更精细的放缩； （4）设出隐零点后，所有推理均围绕进行，最终结论应不包含的显式表达，而是通过其范围或单调性给出定性判断； （5）检查最终结果时，可代入区间内特殊值进行验证，确保符号判断无误。 题型通法及变式提升 题型1 隐零点的初步应用 【典例1-1】已知函数. (1)设是的极值点，求，并求函数的单调区间； (2)证明：. 核心口诀：导数零点求不出，设而不求作桥梁；代入等式消超越，化隐为显判端详。 高分技巧： 隐零点的定义与识别：当 的根无法用初等函数显式表达时，称该根为隐零点。常见于含 与 混合的超越方程，如 型导数方程。识别标志：求导后得到的方程既含指数又含对数，或含无法分离的超越项； 设隐零点建立关系式：设 为 的根，则 满足 。将此等式作为核心关系式保留，利用它将目标式中的超越项用代数式替换。例如：若 ，则隐零点 满足 ，或 ； 利用隐零点判断原函数单调性：虽然 无法显式求出，但可通过零点存在定理确定 所在区间。例如判断 在 上的最小值，，，，故 ，进而判断原函数先减后增，最小值在 处取得； 隐零点区间估计（估值法）：利用放缩或二分法确定隐零点所在的大致范围。常用估值技巧：观察特殊点处的导数值符号（如 等），逐步缩小范围。在选填题中，只需判断隐零点落在哪个区间即可，不必求出精确值； 代入消元化简目标式：求 在隐零点 处的函数值时，将 代入 的表达式中，消去超越项（ 或 ），转化为关于 的代数式，再结合 的估值范围判断符号或大小； 隐零点与极值第二判定法的结合：若 且 ，则 为极小值点。 的符号通常可直接利用 进行化简判断，无需显式求出 。 易错警示：设隐零点时需先证明该零点的存在性和唯一性（通常利用 的单调性+零点存在定理）；代入消元时需注意等式方向，是将 换成 ，还是将 换成 ，以化简目标式为原则选择；隐零点所在区间必须准确，后续所有判断都依赖此区间。 【典例1-2】设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【典例1-3】已知函数，求： (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，总有，求整数的最小值. 【变式1-1】已知函数. (1)求的极值； (2)当时，证明：. 【变式1-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【变式1-3】设函数. (1)讨论的导函数的零点的个数； (2)证明：当时，. 【变式1-4】已知函数. （1）当时，讨论函数的零点存在情况； （2）当时，证明：当时，. 题型2 隐零点问题之参数范围综合 【典例2-1】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 核心口诀：含参分离遇隐零，最值表达带隐根；单调区间定参数，区间估值定临界。 高分技巧： 分离参数后隐零点处理：恒成立问题分离参数得 或 ，若 的极值点 为隐零点，则 的表达式中含有 。此时利用 满足的隐零点方程化简 ，再结合 的估值范围确定 的符号和大小，从而定出参数的临界值； 隐零点处最值的符号判定：若 恒成立，则需 。当最大值在隐零点 处取得时， 为含隐零点的表达式。利用隐零点方程消去超越项后， 化为关于 的单调函数，再结合 的估值区间判断其最值或临界符号； 双隐零点问题：若 有两个隐零点 （），需分别分析两个驻点处的函数值。常见情形： 先增后减再增（两个极值点），参数范围需同时满足 和 的符号条件，最终参数由两者共同约束； 临界值不可求时的替代策略：若隐零点处的临界值无法精确求出，可通过构造不等式对临界值进行放缩，如证明 或 ，利用 的区间范围对 进行整体估值，得出参数的必要条件或充分条件； 端点效应与隐零点的配合：若恒成立不等式在端点处取等，先用端点效应缩窄参数范围（必要范围），再在缩窄后的范围内讨论隐零点是否存在，避免对全体参数作无效讨论； 零点存在定理与隐零点的联动：要证明参数范围 时不等式恒成立，需先证明当 取边界值时隐零点对应函数值恰好为0（此时为临界情形），再证明 变化时该值单调变化，从而确保整个区间成立。 易错警示：隐零点处的函数值放缩时必须保证方向正确，要证 ，需对 放大（找上界），不可反向放缩；隐零点的唯一性需严格证明，否则参数范围可能因多个极值点而复杂化；双隐零点问题中两个零点的区间必须不重叠，且需分别界定。 【典例2-2】已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式2-1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【变式2-2】已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 题型3 隐零点问题之不等式证明综合 【典例3-1】已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 核心口诀：隐点代入化超越，放缩估值定符号；构函避开隐零点，切线放缩巧替代。 高分技巧： 隐零点代入化简不等式：待证不等式涉及 在隐零点 处的取值时，将 代入 ，消去 或 ，化为关于 的单变量代数不等式。例如要证 ，利用 （若满足此关系）直接转化为 ，矛盾则说明原假设不成立，实际中需根据隐零点具体关系灵活处理； 构造“无隐零点”的辅助函数：若待证不等式直接涉及隐零点，难以处理，可重新构造函数 ，通过分析 在整个区间上的单调性和端点值来证明 ，从而避开隐零点的显式求解，即“绕开隐点，整体把控”； 切线放缩替代隐零点：若要证明 在区间 上恒成立，且 的最小值在隐零点 处取得，可在 附近用切线 放缩。但 未知时，可选取一个显式的特殊点 作切线（如 ），证明 切线，再证明切线 ，绕过隐零点； 隐零点表达式的“单调消元”技巧：若 为含 的表达式，且 本身满足隐零点方程 ，可通过构造 选取合适的 使 更易处理。核心思想：在隐零点处 ，但 在区间上可能更易分析； 转化命题避开隐零点：有时直接证明原命题较难，可等价转化为另一形式。例如要证 ，可先证 在 附近的最小值大于0，等价于证 在区间端点处均大于0（若函数单调），从而完全避开隐零点； 利用特殊值检验隐零点结论：选填题中若判断隐零点处不等式是否成立，可取隐零点所在区间内的特殊值（如 或 ）代入检验，快速排除错误选项。 易错警示：利用隐零点区间估值时，若 在区间上不单调，则估值可能失效，需先分析 的单调性；切线放缩替代隐零点时需保证切线确实位于函数图象下方（凹向上）或上方（凸向上），且放缩方向与待证不等号方向一致；绕过隐零点的构造法需确保构造出的函数与原始函数在关键点处的值对应；隐零点关系的代换必须等价，不可只代换一部分而保留另一部分相同的超越项。 【典例3-2】设函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 【变式3-1】已知函数. (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，证明：. 【变式3-2】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 3．已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 4．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 创新提升 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 6．已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 7．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 8．已知函数 (1)当时， 求 在处的切线方程； (2)当 时，   单调递增， 求a的取值范围； (3)若 恒成立，求a的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训06 导数中的隐零点问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 隐零点的初步应用 2 题型2 隐零点问题之参数范围综合 11 题型3 隐零点问题之不等式证明综合 18 重难专题分层过关练 25 巩固过关 25 创新提升 31 解题方法及技巧提炼 1、利用导数研究隐零点问题的基本思路是： （1）对函数求导后，令导函数为零，若该方程无法直接求解（含有超越式如与混合，或为高次超越方程），则确认其为隐零点问题； （2）利用零点存在性定理和单调性，证明该零点存在且唯一，将其设出（通常记为），不需求其具体值； （3）利用建立等式，将超越式（如、）用代数式整体代换，从而化简目标表达式（如极值、不等式）； （4）结合所在的大致区间（通过估值确定），对化简后的表达式进行放缩或判断符号，完成求解。 2、隐零点的核心处理策略： （1）设而不求：隐零点的核心思想是“设出零点，利用关系代换，不必求出具体数值”。将零点记为，仅利用其满足的方程进行化简； （2）整体代换化简极值：若极值点为隐零点，则极值中通常含有或，利用将超越式替换为关于的代数式，使极值表达式降维为可处理的形式； （3）隐零点存在唯一性的判定：通过二阶导数确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数在区间端点处的符号（或极限），由零点存在性定理判定零点存在且唯一； （4）隐零点范围的逐步逼近：利用二分法思想，取区间内特殊点（如、、等）代入一阶导数，判断符号，逐步缩小隐零点所在区间，为后续放缩提供精确的上下界。 3、实用技巧与转化方法： （1）隐零点代换后，若目标式为分式或根式，需进一步化简，注意分母不为零及开偶次方时被开方数非负； （2）化简后的表达式若仍含隐零点，可再次利用满足的方程进行二次代换，或转化为关于的单调函数，通过的范围直接判断符号； （3）证明含隐零点的不等式时，常需将的范围与常见不等式（如、）结合使用，对代换后的表达式进行适度放缩； （4）遇到复合型隐零点（如同时含和且无法一次代换干净）时，可先通过消去其中一个超越项，再观察剩余部分是否需要再次设元。 4、易错点与关键提醒： （1）隐零点存在的区间必须通过严格推理确定，不可凭直觉随意假设，端点值选取要便于计算且能明确符号； （2）代换时需确保变形等价，特别是涉及对数真数、分母、偶次根号时，代换后表达式若有定义域变化，需重新标注； （3）隐零点问题中，估值精度直接影响最终结论，若放缩过度导致符号无法判断，需进一步缩小零点区间或改用更精细的放缩； （4）设出隐零点后，所有推理均围绕进行，最终结论应不包含的显式表达，而是通过其范围或单调性给出定性判断； （5）检查最终结果时，可代入区间内特殊值进行验证，确保符号判断无误。 题型通法及变式提升 题型1 隐零点的初步应用 【典例1-1】已知函数. (1)设是的极值点，求，并求函数的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明：法一：，令， 则，即在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，使得，即， 所以， 当时，时，， 所以， 当且仅当时取等．故得证． 法二：先证， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 故，即证得（当时取等）， 将替换为，得，即（当时取等）， 所以（当且，即时，等号成立）. 故得证． 【分析】（1）根据，即可求出值，再求出单调区间即可； （2）法一：求导后，再利用隐零点法即可证明不等式；法二：利用不等式进行合理放缩即可. 【详解】（1），， 由，得， 此时，令，则， 所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）略 核心口诀：导数零点求不出，设而不求作桥梁；代入等式消超越，化隐为显判端详。 高分技巧： 隐零点的定义与识别：当 的根无法用初等函数显式表达时，称该根为隐零点。常见于含 与 混合的超越方程，如 型导数方程。识别标志：求导后得到的方程既含指数又含对数，或含无法分离的超越项； 设隐零点建立关系式：设 为 的根，则 满足 。将此等式作为核心关系式保留，利用它将目标式中的超越项用代数式替换。例如：若 ，则隐零点 满足 ，或 ； 利用隐零点判断原函数单调性：虽然 无法显式求出，但可通过零点存在定理确定 所在区间。例如判断 在 上的最小值，，，，故 ，进而判断原函数先减后增，最小值在 处取得； 隐零点区间估计（估值法）：利用放缩或二分法确定隐零点所在的大致范围。常用估值技巧：观察特殊点处的导数值符号（如 等），逐步缩小范围。在选填题中，只需判断隐零点落在哪个区间即可，不必求出精确值； 代入消元化简目标式：求 在隐零点 处的函数值时，将 代入 的表达式中，消去超越项（ 或 ），转化为关于 的代数式，再结合 的估值范围判断符号或大小； 隐零点与极值第二判定法的结合：若 且 ，则 为极小值点。 的符号通常可直接利用 进行化简判断，无需显式求出 。 易错警示：设隐零点时需先证明该零点的存在性和唯一性（通常利用 的单调性+零点存在定理）；代入消元时需注意等式方向，是将 换成 ，还是将 换成 ，以化简目标式为原则选择；隐零点所在区间必须准确，后续所有判断都依赖此区间。 【典例1-2】设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）略 【典例1-3】已知函数，求： (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，总有，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题. 【详解】（1）当时， 在点处的切线方程为即 （2）由题意，，即，即， 又，恒成立. 令， 令，则恒成立. 在上递减， ， 使，即，则， 当时，，当时， 因为，且，，即整数k的最小值为-3 【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。 【变式1-1】已知函数. (1)求的极值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性，得到极值情况； （2）令，求出导函数得到函数单调性，故，证明出结论； 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则， 当时，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； 综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； （2）证明：当时，，设， ， 令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 整理得，因为，所以， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故， 即，即，则. 【变式1-2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解. 【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ， ， 即， (i)若， 则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； (ii) 若， 令，即，解得, 令，即，解得, 所以在上单调递减，上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，上单调递增. （2）当时，， 要证明，只用证明， 令，， 令，即，可得方程有唯一解设为，且， 所以， 当变化时，与的变化情况如下， 单调递减 单调递增 所以， 因为，因为，所以不取等号， 即，即恒成立， 所以，恒成立， 得证. 【变式1-3】设函数. (1)讨论的导函数的零点的个数； (2)证明：当时，. 【答案】(1)，没有零点；时，一个零点 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分，和讨论，结合零点存在定理，即可得出零点的个数； （2）根据（1）的结论，可推得在时，取得最小值.由，即，两边取对数化简.代入化简求得，变形根据基本不等式，即可得出，得出证明. 【详解】（1）的定义域为，且. ①时，在上恒成立，此时没有零点； ②时，由于单调递增，在上单调递增， 在单调递增. 由于， . 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以. 根据零点存在定理以及的单调性可知，只有一个零点. 综上：，没有零点；时，一个零点. （2）由（1）知，当时，导函数在上存在唯一的零点. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 故在时，取得最小值. 由，即， 从而有. 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，当时，. 【变式1-4】已知函数. （1）当时，讨论函数的零点存在情况； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）两个零点；（2）证明见解析. 【分析】(1)将代入可得，求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解； (2)根据已知条件构造函数，证明在时恒成立即可得解. 【详解】(1)当时，，显然，即1是的一个零点， 求导得，在上单调递增，且， 则在上存在唯一零点，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增，而，， 从而得在上函数存在一个零点， 所以函数存在两个零点； (2)令，，则，由(1)知在上单调递增，且在上存在唯一零点，即， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此，，即，则， 而，有，于是得， 所以当，时，. 题型2 隐零点问题之参数范围综合 【典例2-1】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增； (2) 【分析】(1)先求的导数，化简为，用放缩法得；设，则可判断当和时，和的正负，从而判断的正负，得到含参数的的单调性；再把代入，求出此时的，从而求出的单调性.或先把代入，求的导数，再分和两类讨论，通过二次求导和构造函数来求函数的单调性. (2)由(1)求出的单调性可求含参数和的的最小值，将代入消去即可得到关于的不等式，化简后构造函数，得到的取值范围，结合不等式得到的取值范围，从而得到的取值范围，即的取值范围. 【详解】（1）解法一：因为， 所以 易知，设， 则当时，，，所以， 则在单调递减； 当时，，，所以， 则在单调递增； 所以当时，即，即， 所以在单调递减，在单调递增. 解法二： 当时， 则 当时，令，则 所以在单调递增，， 又关于单调递增且， 所以关于单调递增，关于单调递增， 所以单调递增，则， 所以在单调递增. 当时，， ， 令，易知在单调递增，， 所以，所以在单调递减. 综上，在单调递减，在单调递增. （2）由(1)的解法一知，则在单调递减，在单调递增， 所以 将代入可得 即 即 即 即， 即 当时，易得；当时，， 所以由解得， 所以，即. 又因为，所以， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 核心口诀：含参分离遇隐零，最值表达带隐根；单调区间定参数，区间估值定临界。 高分技巧： 分离参数后隐零点处理：恒成立问题分离参数得 或 ，若 的极值点 为隐零点，则 的表达式中含有 。此时利用 满足的隐零点方程化简 ，再结合 的估值范围确定 的符号和大小，从而定出参数的临界值； 隐零点处最值的符号判定：若 恒成立，则需 。当最大值在隐零点 处取得时， 为含隐零点的表达式。利用隐零点方程消去超越项后， 化为关于 的单调函数，再结合 的估值区间判断其最值或临界符号； 双隐零点问题：若 有两个隐零点 （），需分别分析两个驻点处的函数值。常见情形： 先增后减再增（两个极值点），参数范围需同时满足 和 的符号条件，最终参数由两者共同约束； 临界值不可求时的替代策略：若隐零点处的临界值无法精确求出，可通过构造不等式对临界值进行放缩，如证明 或 ，利用 的区间范围对 进行整体估值，得出参数的必要条件或充分条件； 端点效应与隐零点的配合：若恒成立不等式在端点处取等，先用端点效应缩窄参数范围（必要范围），再在缩窄后的范围内讨论隐零点是否存在，避免对全体参数作无效讨论； 零点存在定理与隐零点的联动：要证明参数范围 时不等式恒成立，需先证明当 取边界值时隐零点对应函数值恰好为0（此时为临界情形），再证明 变化时该值单调变化，从而确保整个区间成立。 易错警示：隐零点处的函数值放缩时必须保证方向正确，要证 ，需对 放大（找上界），不可反向放缩；隐零点的唯一性需严格证明，否则参数范围可能因多个极值点而复杂化；双隐零点问题中两个零点的区间必须不重叠，且需分别界定。 【典例2-2】已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，函数 在 上单调递减； 当时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． (2) 【分析】（1）先对函数求导，再根据a的值分和两种情况讨论可得； （2）先由函数可得，进而可得，从而将不等式转化为对恒成立，再构造函数，用导数求函数的最小值可得. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，当时，，单调递增，显然不成立； 当时，由，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为.由恒成立，得，即，解得. 原不等式化为对任意和恒成立. 令，则. 当时，的最小值为的最小值，故.， ，令，， 则恒成立，在上单调递增． 由于，，由零点存在性定理， ，使得，即，（*） 当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 由（*）式可知，，， 令，，又，，即在上为增函数， ，即，，由及代入， ， ，即实数m的取值范围为 【变式2-1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）设，得到在上单调递增，所以恒成立，由基本不等式求出，从而得到，求出答案； （3）变形得到，构造函数，求导，结合零点存在性定理得到，当且仅当时取等号，其中，当时，成立. 当时，，所以，推出矛盾，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2），即， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. （3），即. 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，当且仅当时取等号. 令，则在上单调递增， 又因为，，所以存在唯一， 使得，① 所以，当且仅当时取等号. 当时，成立. 当时，由①知，， 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为. 【变式2-2】已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 题型3 隐零点问题之不等式证明综合 【典例3-1】已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答. （2）（i）求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可. （ii）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，. 因为函数在区间单调递减，所以. 则，化简得. 解得. （2）（i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）由（i）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证， 即证， 构造函数，， 则， 又在上为减函数，所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即， 故. 核心口诀：隐点代入化超越，放缩估值定符号；构函避开隐零点，切线放缩巧替代。 高分技巧： 隐零点代入化简不等式：待证不等式涉及 在隐零点 处的取值时，将 代入 ，消去 或 ，化为关于 的单变量代数不等式。例如要证 ，利用 （若满足此关系）直接转化为 ，矛盾则说明原假设不成立，实际中需根据隐零点具体关系灵活处理； 构造“无隐零点”的辅助函数：若待证不等式直接涉及隐零点，难以处理，可重新构造函数 ，通过分析 在整个区间上的单调性和端点值来证明 ，从而避开隐零点的显式求解，即“绕开隐点，整体把控”； 切线放缩替代隐零点：若要证明 在区间 上恒成立，且 的最小值在隐零点 处取得，可在 附近用切线 放缩。但 未知时，可选取一个显式的特殊点 作切线（如 ），证明 切线，再证明切线 ，绕过隐零点； 隐零点表达式的“单调消元”技巧：若 为含 的表达式，且 本身满足隐零点方程 ，可通过构造 选取合适的 使 更易处理。核心思想：在隐零点处 ，但 在区间上可能更易分析； 转化命题避开隐零点：有时直接证明原命题较难，可等价转化为另一形式。例如要证 ，可先证 在 附近的最小值大于0，等价于证 在区间端点处均大于0（若函数单调），从而完全避开隐零点； 利用特殊值检验隐零点结论：选填题中若判断隐零点处不等式是否成立，可取隐零点所在区间内的特殊值（如 或 ）代入检验，快速排除错误选项。 易错警示：利用隐零点区间估值时，若 在区间上不单调，则估值可能失效，需先分析 的单调性；切线放缩替代隐零点时需保证切线确实位于函数图象下方（凹向上）或上方（凸向上），且放缩方向与待证不等号方向一致；绕过隐零点的构造法需确保构造出的函数与原始函数在关键点处的值对应；隐零点关系的代换必须等价，不可只代换一部分而保留另一部分相同的超越项。 【典例3-2】设函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)先求函数的定义域及其导函数，设，利用导数判断的单调性，由此确定不等式和的解集，由此确定函数的单调性； (2)设切点为，由导数的几何意义可得，，设，利用导数研究函数的性质，由此求，； (3)设，利用导数研究函数的单调性，由此确定函数的单调性，并求其最小值，集合基本不等式证明结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， 设，则， 所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增， 又因为，所以，，在上为减函数， ，，在上为增函数. （2）由（1）得 设切点为，则， 因为，所以，得， 所以 设，则， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以 因为方程仅有一解，所以； （3）因为， 设，则有 所以在单调递增． 因为， 所以存在，使得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 因为，所以， 所以． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 【变式3-1】已知函数. (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1)在区间，上单调递增，在区间单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可； （2）由函数有两个极值点可得在上有两个根，从而求得的取值范围，再结合韦达定理可知，则原不等式转化为证明，利用导数研究单调性进而证明即可. 【详解】（1）当时，定义域为， ， 令解得或，且当或时，，当时，， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 综上在区间，上单调递增，在区间单调递减. （2）由已知，可得， 函数有两个极值点，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理得，使得， 即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， 又由对勾函数知在上单调递增， 所以 所以，即得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数； （3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明. 【变式3-2】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【详解】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的最小值为，无最大值. (2) 【分析】（1）对求导，令导数为得.根据导数正负判断单调性，时递减，时递增，所以处取最小值，无最大值. （2）由不等式参变分离变形得恒成立，设.借助导数得到最值，进而得到. 【详解】（1）已知，所以. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减. 当时，，，则，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，同时也是最小值. 将代入可得：. 因为当时，，所以函数无最大值. 则的最小值为，无最大值. （2）原不等式等价于 即,在上恒成立， 等价于,在上恒成立， 令 令,则为上的增函数， 又当时, 在存在唯一的零点,即 由 又有在上单调递增， ∴b的取值范围是 2．已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)1 【分析】（1）由题可得，据此可得单调性及极值情况； （2）由题可得，令，可得，据此再令，由其单调性及零点存在性定理可得单调性及最值，据此可得答案. 【详解】（1）因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，函数取得极大值，无极小值. （2）因为不等式恒成立， 即恒成立， 由于，则，设， 则， 设，则，所以在上单调递减， 又，， 所以存在，使，即． 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 所以． 又，则，由于恒成立，，且 所以的最小值为1． 3．已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【详解】（1），因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 4．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； （3）若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 创新提升 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 6．已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 7．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【详解】（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （2）令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 8．已知函数 (1)当时， 求 在处的切线方程； (2)当 时，   单调递增， 求a的取值范围； (3)若 恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解. （2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解. （3）构造函数，根据函数单调性得出函数最值，应用隐零点计算求解. 【详解】（1）当时，由，得， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为, 即． （2）因为时，单调递增， 所以时，恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 则时，，所以在上单调递减，可得； 当时， ， 所以，所以，单调递增时，的取值范围是． （3）因为 恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 设，则，则， 因为，所以， 令单调递增，，所以，， 所以单调递减；单调递增； 因为，所以， 所以， 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $