重难点专训02 利用导数证明不等式（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数性质为核心，构建“转化-构函-求导-放缩”四步方法体系，覆盖5类主流题型，通过分层训练实现从基础到创新的逻辑递进，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法技巧|1模块|含基本思路、5类构造法、含参策略及易错点|从导数工具性出发，建立“不等式→函数→导数→最值”转化链条| |5大题型|每题型3典例+3变式|直接法、构造法（作差/商/同构）、双函数法、数列放缩、三角函数分段讨论|按“简单→复杂”递进，从单一函数到跨模块综合（指对/数列/三角）| |分层过关|巩固5题+创新5题|融合高考真题变式，强调隐零点代换、极值点偏移等高频技巧|从基础应用到创新拓展，匹配一轮复习螺旋上升需求|

重难点专训02 利用导数证明不等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 直接法证明简单不等式 2 题型2 构造函数证明不等式 5 题型3 转为两个函数类型证明不等式 9 题型4 数列类型不等式的证明 13 题型5 三角函数类型不等式的证明 23 重难专题分层过关练 32 巩固过关 32 创新提升 38 解题方法及技巧提炼 1、利用导数证明不等式的基本思路是： （1）将待证不等式通过移项、变形转化为函数不等式，构造适当的辅助函数； （2）对辅助函数求导，利用导数判断其单调性，确定函数在给定区间上的最大值或最小值； （3）将不等式证明转化为函数最值与0的大小比较，即证明函数的最小值大于0或最大值小于0； （4）当一次求导无法直接判断符号时，通过二阶导数或多次求导辅助判定一阶导数的符号分布，逐步完成证明。 2、常用构造函数与转化技巧： （1）直接作差法：将不等式 转化为 ，证明 的最小值大于0； （2）等价变形后构造：对不等式取对数、乘除正数等恒等变形后构造更简洁的函数，但需注意变形过程中的定义域变化及不等号方向； （3）分离构造法：将不等式两端分别构造为两个函数，分别求其最值，转化为证明一个函数的最小值大于另一个函数的最大值； （4）替换构造法：当待证不等式中含有 、 等超越式时，利用常见放缩关系（如 、 等）将超越式替换为多项式，简化构造； （5）多元不等式的处理：将其中一个变量视为主元，其余视为参数，构造函数后利用导数研究其单调性，再逐层处理。 3、含参不等式的证明策略： （1）参数影响单调性或最值时，需对参数分类讨论，分别证明各类情形下不等式成立； （2）利用参数分离法，将参数置于不等式一侧，转化为证明不含参函数的不等式恒成立问题； （3）当参数出现在端点或边界时，利用极限思想分析端点处的函数值，确定参数的允许范围； （4）遇到隐零点问题时，设零点为 ，利用 进行整体代换，将目标最值化简为关于 的表达式，再结合 的范围完成放缩。 4、易错点与放缩精度提醒： （1）构造新函数后要明确其定义域，所有求导及最值讨论必须在定义域内进行； （2）利用常见放缩公式时，注意公式成立的条件（如 对所有实数成立，而 仅对 成立， 也需注意适用范围）； （3）多次求导时需清晰标注导数符号，避免混淆 、 的单调性判断顺序； （4）利用端点效应处理含参不等式时，需验证端点处的导数条件是否充分，避免遗漏边界讨论； （5）放缩过度会导致证明失败，放缩应紧扣目标函数的极值，以恰好够用为原则，不求过强的不等式。 题型通法及变式提升 题型1 直接法证明简单不等式 【典例1-1】证明不等式： (1)，； (2)． 【答案】(1)证明：设，，则． 令，得． 当时，，从而在内单调递增； 当时，，从而在内单调递减． 所以当时，在区间上取最大值． 所以，所以，，． (2)证明：设，则．令，得． 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减． 所以当时，取最小值． 所以，所以，． 【分析】（1）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， （2）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， 【详解】（1）略 （2）略 核心口诀：移项构函看端点，单调定号证恒正，一阶不行二阶上。 高分技巧： 移项构造差函数法：将待证不等式化为 （或 ）的形式，只需证明 的最小值大于0；核心操作是求 ，分析 的单调性，结合区间端点值或极值确定最小值的符号； 端点效应优先判定：若 且 在 上恒成立，则 恒成立；若 且 在 上恒成立，则 恒成立——一步到位无需再求极值； 一阶导无法判定符号时的策略：若 的符号无法直接判断，求二阶导 ，分析 的单调性及端点值，进而反推 的符号，最后得出 的单调性——此为“二阶导递推判定法”； 寻找隐零点：若 无法显式求解，设隐零点 满足 ，利用 的关系式将 中的超越项消去，转化为关于 的代数式判断符号； 区间分段讨论：若导函数在不同区间符号不同，需按区间分段讨论函数的单调性，在各段上分别求出最小值或最大值，确保各段均满足不等式； 常用不等式链直接套用：熟知 、、（）、 等经典不等式，在证明过程中直接引用可大幅简化推理。 易错警示：证明 时，若 在区间端点处无定义，需单独讨论端点极限值；使用隐零点时需严格证明隐零点的唯一性（通常借助 的单调性）；二阶导递推时注意层级不宜过多，一般到二阶导足够，再往上计算量过大。 【典例1-2】证明：当时，； 【答案】证明见解析 【分析】分别构造函数、，利用导数可证得单调性，得到，由此可得结论. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即当时，； 令，则， 令，则， 当时，单调递增，即单调递增，， 在上单调递增，， 即当时，； 综上所述：当时，. 【典例1-3】证明：在上恒成立. 【答案】证明见解析 【分析】令函数，，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式. 【详解】证明：令函数，，则， 当时，，则， 所以，则函数在上单调递增， 所以，即在上恒成立. 【变式1-1】求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】令，利用导数求最值证明不等式即可. 【详解】令， 令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 故． 所以． 【变式1-2】求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】利用导数确定函数最值即可证明. 【详解】令，， 则， 故单调递减，， 所以，． 【变式1-3】已知，证明： 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，求导即可求证，结合指数函数的单调性可证. 【详解】令， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立， 即， 从而，所以. 综上， 题型2 构造函数证明不等式 【典例2-1】（2026·山东泰安·三模）已知函数在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)证明：． 【答案】(1) (2)由（1）知，定义域， ， 则，， ∴存在，使， ，即. 均在上单调递增，∴在上单调递增, 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ， . ， 即． 【分析】（1） 先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解； （2）由（1）得，由，得存在，使，从而有，再结合的单调性及零点求得的最小值，通过证得即可证得结论. 【详解】（1）由，得， 在处的切线方程为， ，即， 解得，. （2）略 核心口诀：构造技巧看结构，比差比商同构凑，指对跨阶用变形。 高分技巧： 作差构造（最常用）：将不等式移项为 ，令 ，转化为证明 。适用于大多数多项式、指对混合型不等式； 作商构造（正数型）：当不等式两边均为正数时，可构造 ，转化为证明 （或 ）。求导判断 与1的大小关系，常用于幂指函数、指数函数与幂函数比较； 取对数构造（幂指型）：若不等式含 、 等幂指结构，先取对数再构造函数，将指数运算降级为乘法或加法运算。如证明 ，取对数得 ，再构造函数 ； 同构构造法（指对跨阶型）：当不等式同时含有指数函数和对数函数且次数不匹配时，通过变形使两边结构一致，构造 与 的形式，利用外层函数的单调性剥离外层。核心变形技巧：，将幂函数改写为 ；或将指数改写为 等，实现“指对同构”； 比值/差值换元构造（极值点偏移型）：若待证不等式涉及两个变量的函数值关系（如 ，证明 ），构造函数 或利用比值换元 将双变量问题转化为单变量函数的最值问题； 主元构造（含参型）：若不等式含参数 且 的范围已知，将 视为主元构造函数，将原不等式转化为关于 的一次或二次函数，利用参数范围求最值； 放缩构造：将复杂表达式适度放缩为更简单的函数，证明放缩后的不等式成立。如 ， 等经典放缩，或利用 对三角函数放缩。 易错警示：作商构造时必须确保分母恒正（或恒负），否则需分类讨论；取对数构造时需保证真数恒正；同构构造时需注意外层函数的单调区间，若外层函数在定义域内不单调，则不能直接剥离；放缩构造需确保放缩方向正确（放大还是缩小），放缩过度可能导致无法证明原不等式。 【典例2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 【变式2-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)由（1）知， 依题意，即证，即证， 设，求导可得， 令，解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点， 因为，， 所以当时，， 故当时，． 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负情况得到函数的单调区间； （2）将不等式转化为函数的最小值大于等于，构建辅助函数，通过求导得到辅助函数的单调区间和极小值，从而证得不等式成立. 【详解】（1）函数的定义域为，求导可得， 令，解得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）略 【变式2-2】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 【答案】(1) (2)见详细解析 (3)2 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【详解】（1）将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． （2）当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． （3），令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 题型3 转为两个函数类型证明不等式 【典例3-1】设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 【分析】（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）略 【点睛】考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 核心口诀：一上一下找分离，最大值与最小值，各证各的再传递。 高分技巧： 分离为 型：若直接构造函数 求导过于复杂，可转化为分别求两个函数的最值——证明 （适用于在区间上 恒在 上方）； 转化为切线/割线放缩：若 在区间上为凹向上（），则 在任意切线之上；若为凸向上（），则 在任意切线之下。利用这一几何性质，将复杂函数放缩为某点处的切线（一次函数），再证明切线不等式——尤其在证明 、 等经典不等式时极为高效； “上界函数与下界函数”分离：若不等式形如 ，可分别证明左侧和右侧两个不等式——证明 时找 的上界，证明 时找 的下界，使两端向中间靠拢； 转化为曲线与直线的位置关系：将不等式整理为 或 的形式，利用图象判断——若 为凹向上，则其图象在其切线之上；若 为凸向上，则其图象在其切线之下。选填中结合图象可快速判断，解答题中需求导证明切点处取等号； 恒成立问题中的分离参数：若不等式含参数 ，可分离为 或 的形式，转化为求 的最大值或最小值。此时也可看作两个函数——常数函数 与函数 的图象位置关系问题； 中间桥梁法：若 与 直接比较困难，引入中间函数 ，证明 且 ，利用传递性得证。 易错警示：证明 时需确保 的最小值和 的最大值在区间内均可取到（闭区间连续函数）；若 的最小值点与 的最大值点不同，取等条件可能不成立，但不影响不等式成立；切线放缩时务必确认函数的凹凸方向，方向反了不等号方向就反了。 【变式3-1】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 【答案】（1）见解析（2）证明见解析 【分析】（1）函数定义域为，求出导函数，通过，，判断导函数符号，求解函数的单调区间；（2）运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证，只需证：，令，求导判断导数值符号即可；法二中只需证，设，，在上恒成立，求出，的最值进行比较即可；法三中只需证：.设，判断，函数单调递增，，证明即可. 【详解】（1）函数定义域为， . ①若时，则，在上单调递减； ②若时，，令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增；    ③若时，， 令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增； （2）法一：，， 要证，只需证， 只需证：， 只需证：，设， 即， 在上单调递减，所以，即原不等式成立. 法二：要证，只需证， ，只需证， 设，， 在上恒成立， 所以在上单调递增. 所以， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即原不等式成立. 法三：，. 要证：成立， 只需证：. 设， ， 所以在上单调递增， 所以. 即原不等式成立. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，是难题. 题型4 数列类型不等式的证明 【典例4-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数 (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，将问题转化为导函数有两个变号零点即可求解； （2）按照和分类讨论，当时，参变分离，构造函数，利用导数研究的最大值即可求解； （3）由（2）可知，恒成立，即恒成立，取， 可得，化简可得，利用累加法即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； （2）在时恒成立，即恒成立， 当时, ，此时，符合题意， 当时，转化为恒成立， 设，则 则， 设，，， 当时，，为增函数， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，综上， 又，且，则； （3）由（2）可知，当时，当必有恒成立， 即恒成立，取， 可得， 两边同时乘以n，可得， 则必有， … ， ， 累加可得，① 再取，可得，则必有， ， … ，， 累加可得，② ①②可得，证毕． 核心口诀：通项放缩裂项消，递推构造函数桥，积分放缩和与积。 高分技巧： 通项放缩+裂项求和法：将数列通项 放缩为可裂项的形式 （或 ），使前 项和 （相消），转化为有限项的比较。常用变形：，，（）； 构造函数证明数列不等式：将数列视为某函数在正整数点处的取值，如 。若原数列不等式难以直接处理，可先证明对应的函数不等式 （），再取 得证——此法适用于通项表达式已知且连续延拓后函数性质良好的情况； 递推数列不等式：若数列由递推式 定义，需证明 有界或单调。构造辅助函数 ，通过分析 的符号判断递推方向，结合初始值归纳证明； 数学归纳法：先验证 时成立；假设 时成立，推导 时成立。关键在于归纳过渡中需利用递推式或放缩技巧； 构造新数列求通项：若递推式为 或 型，可构造等比数列求出通项公式，再代入证明原不等式（适用于通项可求的线性递推）； 利用已知数列不等式结论：熟记 ，， 等经典结论，可直接引用。 易错警示：放缩时需确保不等号方向一致（所有项同向放缩）；裂项时注意项数匹配（起始项是1还是2，末项是 还是 ）；积分放缩时务必判断函数的单调性，方向不能搞反；数学归纳法中归纳假设的使用要精准，不能在推导 时丢失假设条件。 【典例4-2】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，，． 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，． 当，时，，令，得，即． 因， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率得解； （2）先探索出，此时有，再利用导数证明即可； （3）由（2）可得当，时，，令，化简即可得证. 【详解】（1）当时，，． ， 故所求切线方程为，即． （2）因为，，，所以 因，由，可得． 下面证明当时，，． 当时， 令函数，． ， 所以在上单调递减，所以， 即当时，，． 综上，a的取值范围是. （3）略 【变式4-1】（2026·广西桂林·模拟预测）设函数，函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设函数的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）对参数范围分类讨论，进而得到取值范围即可. （3）结合题意并利用导数得到，进而结合放缩法证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得，且， ，， 即曲线在点处的切线方程是. （2）由已知得， 当时，，可得函数在定义域是上的递减函数， 则，不合题意； 当时， 所以函数在定义域是上的递增函数， 所以，符合题设； 当时，可得， 因为函数是上的增函数， 所以存在，使得当时，， 所以函数在上是递减函数，所以，不合题意； 综上可得，的取值范围是. （3）由题意得 令，可得，令，可得， 在区间是减函数，在区间是增函数， 是的唯一的极小值点，， 由（2）得，当时，，所以， 令，得， . 【变式4-2】（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，． (1)若有3个零点，求的取值范围； (2)设，为的极值点，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）数列满足，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由，得， 若为的极值点，则在有两个不等的实数根， 即在有两个不等的实数根， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，当时，， 当时，在有两个不等的实数根，且. 所以当时，，时，， 所以函数在时，单调递增. 由， 得，令， 要证明，只需证明， 又， 所以由不等式，可得，所以， 进一步分析函数， 由， 所以若证明，等价于证明， 又，则， ， 所以函数在上单调递增，即只需证明，即， 由，得， 令，得，所以， 要证明：，等价于证明：，等价于证明， 即，所以，所以， 上式显然成立，所以； （ⅱ）由，得， 又，则，因此， 又，得，且， 函数在上单调递增，则。 所以数列单调递减，且， 对任意，， 利用递推关系，得， 所以，因此， 故 【分析】（1）由，可得，通过换元得令，，进而可得当时，函数有一个零点，进而可得，求导分类讨论可求得的取值范围； （2）（ⅰ）求导结合已知得，令，利用换元得，，进而可证结论成立；（ⅱ）由题意可得，进而可得，结合可证结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以， 令，令，又，， 若在上有3个零点， 则只需分析当时，函数有一个零点， ， 由于不符合题意，所以，由，解得， 而当时，，所以函数在上单调递增， 即与题意不符， 又当时，函数在上单调递增，，无零点，与题意不符合， 所以， 由，令，得，解得或，且，故， 又，当时，，函数单调递增， 当时，， 函数单调递减， 因为，所以，当时，， 由零点存在性定理，得存在，使得. 因此，存在，使得，且， 故当时，函数有3个零点，即有3个零点； （2）略. 【变式4-3】（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数有两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2) 由（1）可知，是的两个不相等的正根， 即，可得，则， （由三次方程韦达定理：，，， 因，则其中必有一根为负，记为，则，）， 则， （*）， 由，得，同理可得， 则， 将其代入（*）可得： ， ， 又因为，则，可得， 则， 令，则，， 求导得，则在上单调递增， 故有，即. (3) 令，求导可得： ， 所以在上单调递减， 则当时，， 即，移项可得， 令，，则，即. 因，，，， 将以上个不等式左右相加得：（**）， 又因，， 则（**）为， 两边乘以可得：， 故得得证. 【分析】（1）先求导得，将问题转化为在有两正根，再通过研究函数的单调性和极值确定范围. （2）由韦达定理和极值点关系得到，将化简为关于的表达式，令，可得，，利用求导判断函数单调性即可证明. （3）令，求导判断其单调性，即得当时，，令代入并运用累加法与对数的运算性质即可得证. 【详解】（1）已知，其定义域为， 对求导可得：， 因为函数有两个不同的极值点， 所以在上有两个不同的正根， 令，对求导可得：， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又因为当时，，当时，， 要使在上有两个不同的正根，则需， 解得，因此的取值范围是. （2）略 （3）略 题型5 三角函数类型不等式的证明 【典例5-1】（2026·北京海淀·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线经过点的切线条数； (2)当时，求证：对任意； (3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 【答案】(1)3； (2)证明：函数的定义域为R，求导得， 令，求导得， 由，，得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，函数在上单调递增， ， 所以当时，对任意. (3). 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过点的切线方程，进而确定切线条数. （2）求出函数的导数并确定其单调性，由最大值推理得证. （3）由（2）可得是的一个解，再分离参数构造函数，利用导数求出其值域即可求出的范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 设切点坐标为，则切线方程为， 而切线过点，因此，整理得， 解得或，当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为， 所以曲线经过点的切线条数为3. （2）略 （3）由（2）知，，， 因此是方程在的解，由方程在上有且仅有1个解， 得当时，无解，由， 得，令函数， 求导得 ，而，则， 函数在上单调递减， 当从小于的方向趋近于时，，又 当时，， 则恒成立，当且仅当时取等号， 即，，且当从大于的方向趋近于时，， 因此函数在上的值域为，由在无解，得， 由关于的方程在区间上有且仅有1个解，得， 所以的最小值为. 三角函数与多项式混合型：对于形如 或 的不等式，常用二阶导或高阶导分析。如证明 ，构造 ，求导 ，由 得 ，结合 得证； 三角函数与对数/指数混合型：先用 或 对三角函数部分进行放缩，将原不等式转化为不含三角函数的不等式，再按常规方法证明； 区间分段讨论法：由于三角函数的周期性，证明时通常只需考虑一个周期内的区间。在 、、 等区间上分别讨论符号和单调性，再利用周期性推广至全体实数； 泰勒展开/麦克劳林展开放缩：选填中可直接使用 、 的符号判断；解答题中可利用二阶展开 （）或 进行证明。 易错警示：三角函数单调性的判断需严格注意区间端点及开闭—— 在 上单调递增，在 上单调递减；使用 时需保证 ， 时不等号方向反转；分段讨论时注意 和 等关键点的取值；单位圆几何关系 仅适用于 ，不可随意扩大使用范围。 【典例5-2】（2026·安徽合肥·三模）（1）求函数在上的最值. （2）证明：，， . （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最大值为，最小值为. （2） . 因为，所以由（1）可知， ， 则 . 又，，，所以 ， 则， ，，. （3） 【分析】（1）通过求导分析函数单调性，利用导数符号判断函数在区间上的最值点. （2）将目标式展开为三角函数形式，利用第一问结论建立不等式关系，结合三角恒等变换完成证明. （3）通过构造函数并利用端点值分析的必要条件，再通过构造辅助函数证明充分性，最终确定的唯一值. 【详解】（1）由 ，得 . 令 ，则. 因为，所以，，则在上恒成立， 则在上单调递减. 又，所以，即在上恒成立， 则在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为. （2）略； （3），. 令， 则， . 若，则，根据函数零点存在定理可知， ，，不符合题意，故. 同理可得，. 令，则， ， 若，则， 根据函数零点存在定理可知，， ，不符合题意，故. 综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立， 即，. 对于左侧不等式， 由，可得，且， 则由（2）可得， 不等式成立. 对于右侧不等式， 设常数，令，， 则. 令， 则. 由，，可得，， 则，从而在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 则在上单调递增，所以. 令，，满足，代入， 即可得，不等式成立. 综上所述，的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【答案】（1）证明见下详解；（2） 【分析】（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明； （2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可. 【详解】（1）解：设，，则， 又，所以单调递增，即， 所以在单调递增，因此，所以； 再设，，则， ，由，则， 所以， 则单调递减，所以，因此在单调递减， 则，所以，即， 因此，当时，； （2）由（1）知当时，， 取，则， ， 又，所以， 因此. 【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 【答案】(1)或 (2)令，则， 当时，因为在上单调递增，且， 所以当 时，单调递减； 当 时， 单调递增， 所以． 当时，因为，所以， 综上所述，当时，，即． (3) 【分析】（1）先将代入，再用辅助角公式化简方程，最后根据正弦函数性质求解. （2）构造函数，求导分析其单调性得最小值，再结合函数性质判断其他区间函数值情况，最终得出. （3）构造函数，根据可知，即，并代入检验即充分性即可. 【详解】（1）当时，， 则，所以， 所以， 即或， 解得或． 所以方程的所有实数解为或． （2）略 （3）构造函数， 则， 因为对任意内恒成立， 且，可知为极小值点，则，即， 若，因为，则， 由（2）知，当时，成立， 所以在上单调递增， 则，由的单调性知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，满足题意， 综上所述，． 【变式5-3】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若是的导函数的极大值点，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数，分析函数的单调性，得到函数的最小值，求解即可. （2）根据极大值点以及的取值范围，分析讨论函数的单调性，结合零点存在定理，求出的取值范围； （3）利用（2）中的结论以及二倍角的正弦公式得到，进而证明即可. 【详解】（1）， ， 令单调递增， 且， 唯一使得， 在递增，在递减， ． （2）令， . 令，易知，故为奇函数． 而． 当时，有， 又因为，有， 故在单调递减，因为为奇函数，则在也单调递减，且， 即时，在单调递增； 时，在单调递减， 又因为，则是的极大值点． 当时，有， 令，则 又因为，有，故， 则在单调递减，因为为偶函数，则在单调递增， 又因为， 由零点存在性定理得，在和各有一个零点，分别记为， 则时，在单调递增； 即时，在单调递减； 时，在单调递增， 又因为，则是的极小值点，不符合题意． 综上，． （3）， 由（2）知时，在单调递减，， . ，即， ， . 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2)证明：因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）略 2．（2026·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)见解析. 【分析】(1)利用导数判断函数的单调性， (2) 当时，，问题转化为证明，从而利用导数研究最值即可得证. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令， 则，故即在上单调递增， 又时，时， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明：当时，， 令，则 ， 令，， 在单调递增，又， ，使得，且是在上的唯一零点， 在上为负，在上为正， 故在处取到极小值，也就是最小值. ，即，， ， 当时，. 3．（2026·重庆·模拟预测）（1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 【答案】（1）减区间为，增区间为. （2）（ⅰ）极小值为0，无极大值. （ⅱ）证明：因为，，所以在点处的切线方程为， 即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）（ⅰ）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （ⅱ）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1）的定义域为，， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为. （2）（ⅰ），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （ⅱ）略 4．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 . (1)设 ，求 的单调区间； (2)设 是 的极小值点，求证：. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)因为 是 的极小值点， 则， 即，即， 所以 由于，，由于在上单调递增， 所以， 令，所以在上单调递减， 则， 即 【分析】（1）求出，利用导数研究函数单调性的即可； （2）由题可得，由（1）结合零点存在定理可得，令，结合二次函数的单调性即可证明结论. 【详解】（1）由题可得， 所以， 令，解得：， 令，解得：， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）略 创新提升 6．（2026·河北·三模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)已知数列满足，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值范围分类讨论可求得其单调性； （2）根据（1）中的结论可知当时，求出其单调性可得，再构造函数，求出其单调性和最值可得，可得结论； （3）由（2）可知令，可得，所以，设，令，只需证，即证 ，设 ，则，即可得出结论. 【详解】（1）易知的定义域为， 易知. ①当时， 恒成立，即，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，， 由（1）知，在上单调递减，则，即， 令，则， 当时，，故在上单调递增，则，即， 综上可知，当时， . （3）证明：由（2）可知，当时， ， 令， 因为，且，易知， 则，两边同时取倒数得， 所以，即，即. 设， 令，则有， 即， 当时，要证，即证，只需证， 只需证，即证，即证 ， 故设 ，由知， 则， 令，， 当时，，单调递减； 故，从而，在上单调递减，，即， 由上式知，则. 当时，，不等式也成立； 综上，得证. 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i） （ii）证明：由（i）知，若存在两个零点，则， 此时有最小值，只需证即可， 因为， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 又因为，所以， 所以， 即当时，存在，使得. 【分析】（1）先求导可得，分别讨论和的情况，进而求解即可； （2）（i）当时由函数在上单调则不符合题意；当时，分析时，都有，存在两个零点只需，可得； （ii）利用作差法证明极小值，即可得证. 【详解】（1）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由于有两个零点， 由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，， ， 因为时，，时，，，即， 所以函数存在两个零点，只需， 由，所以， 令，显然在上单调递增， 又，所以由可得. 综上，当时，有两个零点. （ii）略. 8．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； (2)当时，证明：； (3)当时，若，求整数的最小值. 【答案】(1)，极大值 (2) ， 令，则， 则的最值问题可转化为的最值问题，. 当时，（不恒为零），所以在上单调递增， ， 由，得， 所以，所以，即； 当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 而，由上知，所以， 又，所以， 所以，所以，即. 综上，当时，. (3)3 【分析】（1）根据极值点处的导函数值为0可求得a，进而对导函数进行三角恒等变换可求解；（2）首先对的解析式进行三角恒等变换，使得解析式为关于的函数，通过换元法，令，构造函数，通过，分类讨论的最大值即可证明；（3）构造函数，则恒成立，通过导数研究的范围可知，进而研究的情况即可得解. 【详解】（1）因为，所以. 因为在处取得极值，所以，解得. 当时，， 当在区间变化时，，的变化情况如下表所示： 0 极大 所以在处取得极大值. （2）略 （3）当时，， 令，由题意知恒成立. 而，， 当时，，，当时，， 所以在上单调递减，，不合题意舍去，故. 当时，， ， ， ， 所以，当时，， 则在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，，不合题意舍去. 当时，， ， 当时，， 所以在上单调递增，，符合题意； 当时，由（2）可知，， 所以. 综上，整数的最小值为3. 9．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点； (3)已知，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，通过求导得到函数的单调性即可求解； （2）构造函数，利用导数研究函数的单调性得时，函数单调递增，时，函数单调递减，再结合，符号即可证明； （3）结合（1），令，有，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分. 【详解】（1）已知函数，当时，， 由，解得，因此函数的定义域为， 对函数求导，得， 当时，，当时，， 因此函数在单调递增，在单调递减，因此函数在取极大值，同时也是最大值， 由于，所以恒成立. （2）当时，， 构造函数，，所以， 令，，则， 由于在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减， 因为，，所以存在使得，即， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因为，，， 所以存在，使得，即， 当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减， 因为，， 所以在恒成立，即， 所以对任意，有， 即当时，函数的图象与的图象无交点. （3）先证， 由（1）知，当时，函数在单调递减，故当时，，即， 令，则，即， 令，由恒成立，所以在单调递减， 所以，即，故当时，有， 令，则， 所以， 所以， 再证， 由（2）知，，即在恒成立， 令，则， 所以，即， 综上，. 10．（2026·山东威海·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，然后代入方程计算即可； （2）构造新函数，求导，再对分类讨论即可； （3）化简原不等式，再根据（2）结论放缩，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，可得， 由题意可知，则，解得，. （2）由（1）得， 设，则， 当时，， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以，因此符合题意； 当时，，因此不符合题意． 综上可得，m的取值范围是． （3）要证， 只需证，即证， 由（2）知，当时，， 所以，因此， 令，则， 可得， 两式相减得， 所以，因此，得证． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 利用导数证明不等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 直接法证明简单不等式 2 题型2 构造函数证明不等式 3 题型3 转为两个函数类型证明不等式 4 题型4 数列类型不等式的证明 5 题型5 三角函数类型不等式的证明 7 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 1、利用导数证明不等式的基本思路是： （1）将待证不等式通过移项、变形转化为函数不等式，构造适当的辅助函数； （2）对辅助函数求导，利用导数判断其单调性，确定函数在给定区间上的最大值或最小值； （3）将不等式证明转化为函数最值与0的大小比较，即证明函数的最小值大于0或最大值小于0； （4）当一次求导无法直接判断符号时，通过二阶导数或多次求导辅助判定一阶导数的符号分布，逐步完成证明。 2、常用构造函数与转化技巧： （1）直接作差法：将不等式 转化为 ，证明 的最小值大于0； （2）等价变形后构造：对不等式取对数、乘除正数等恒等变形后构造更简洁的函数，但需注意变形过程中的定义域变化及不等号方向； （3）分离构造法：将不等式两端分别构造为两个函数，分别求其最值，转化为证明一个函数的最小值大于另一个函数的最大值； （4）替换构造法：当待证不等式中含有 、 等超越式时，利用常见放缩关系（如 、 等）将超越式替换为多项式，简化构造； （5）多元不等式的处理：将其中一个变量视为主元，其余视为参数，构造函数后利用导数研究其单调性，再逐层处理。 3、含参不等式的证明策略： （1）参数影响单调性或最值时，需对参数分类讨论，分别证明各类情形下不等式成立； （2）利用参数分离法，将参数置于不等式一侧，转化为证明不含参函数的不等式恒成立问题； （3）当参数出现在端点或边界时，利用极限思想分析端点处的函数值，确定参数的允许范围； （4）遇到隐零点问题时，设零点为 ，利用 进行整体代换，将目标最值化简为关于 的表达式，再结合 的范围完成放缩。 4、易错点与放缩精度提醒： （1）构造新函数后要明确其定义域，所有求导及最值讨论必须在定义域内进行； （2）利用常见放缩公式时，注意公式成立的条件（如 对所有实数成立，而 仅对 成立， 也需注意适用范围）； （3）多次求导时需清晰标注导数符号，避免混淆 、 的单调性判断顺序； （4）利用端点效应处理含参不等式时，需验证端点处的导数条件是否充分，避免遗漏边界讨论； （5）放缩过度会导致证明失败，放缩应紧扣目标函数的极值，以恰好够用为原则，不求过强的不等式。 题型通法及变式提升 题型1 直接法证明简单不等式 【典例1-1】证明不等式： (1)，； (2)． 核心口诀：移项构函看端点，单调定号证恒正，一阶不行二阶上。 高分技巧： 移项构造差函数法：将待证不等式化为 （或 ）的形式，只需证明 的最小值大于0；核心操作是求 ，分析 的单调性，结合区间端点值或极值确定最小值的符号； 端点效应优先判定：若 且 在 上恒成立，则 恒成立；若 且 在 上恒成立，则 恒成立——一步到位无需再求极值； 一阶导无法判定符号时的策略：若 的符号无法直接判断，求二阶导 ，分析 的单调性及端点值，进而反推 的符号，最后得出 的单调性——此为“二阶导递推判定法”； 寻找隐零点：若 无法显式求解，设隐零点 满足 ，利用 的关系式将 中的超越项消去，转化为关于 的代数式判断符号； 区间分段讨论：若导函数在不同区间符号不同，需按区间分段讨论函数的单调性，在各段上分别求出最小值或最大值，确保各段均满足不等式； 常用不等式链直接套用：熟知 、、（）、 等经典不等式，在证明过程中直接引用可大幅简化推理。 易错警示：证明 时，若 在区间端点处无定义，需单独讨论端点极限值；使用隐零点时需严格证明隐零点的唯一性（通常借助 的单调性）；二阶导递推时注意层级不宜过多，一般到二阶导足够，再往上计算量过大。 【典例1-2】证明：当时，； 【典例1-3】证明：在上恒成立. 【变式1-1】求证：，． 【变式1-2】求证：，． 【变式1-3】已知，证明： 题型2 构造函数证明不等式 【典例2-1】（2026·山东泰安·三模）已知函数在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)证明：． 核心口诀：构造技巧看结构，比差比商同构凑，指对跨阶用变形。 高分技巧： 作差构造（最常用）：将不等式移项为 ，令 ，转化为证明 。适用于大多数多项式、指对混合型不等式； 作商构造（正数型）：当不等式两边均为正数时，可构造 ，转化为证明 （或 ）。求导判断 与1的大小关系，常用于幂指函数、指数函数与幂函数比较； 取对数构造（幂指型）：若不等式含 、 等幂指结构，先取对数再构造函数，将指数运算降级为乘法或加法运算。如证明 ，取对数得 ，再构造函数 ； 同构构造法（指对跨阶型）：当不等式同时含有指数函数和对数函数且次数不匹配时，通过变形使两边结构一致，构造 与 的形式，利用外层函数的单调性剥离外层。核心变形技巧：，将幂函数改写为 ；或将指数改写为 等，实现“指对同构”； 比值/差值换元构造（极值点偏移型）：若待证不等式涉及两个变量的函数值关系（如 ，证明 ），构造函数 或利用比值换元 将双变量问题转化为单变量函数的最值问题； 主元构造（含参型）：若不等式含参数 且 的范围已知，将 视为主元构造函数，将原不等式转化为关于 的一次或二次函数，利用参数范围求最值； 放缩构造：将复杂表达式适度放缩为更简单的函数，证明放缩后的不等式成立。如 ， 等经典放缩，或利用 对三角函数放缩。 易错警示：作商构造时必须确保分母恒正（或恒负），否则需分类讨论；取对数构造时需保证真数恒正；同构构造时需注意外层函数的单调区间，若外层函数在定义域内不单调，则不能直接剥离；放缩构造需确保放缩方向正确（放大还是缩小），放缩过度可能导致无法证明原不等式。 【典例2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【变式2-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【变式2-2】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 题型3 转为两个函数类型证明不等式 【典例3-1】设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 核心口诀：一上一下找分离，最大值与最小值，各证各的再传递。 高分技巧： 分离为 型：若直接构造函数 求导过于复杂，可转化为分别求两个函数的最值——证明 （适用于在区间上 恒在 上方）； 转化为切线/割线放缩：若 在区间上为凹向上（），则 在任意切线之上；若为凸向上（），则 在任意切线之下。利用这一几何性质，将复杂函数放缩为某点处的切线（一次函数），再证明切线不等式——尤其在证明 、 等经典不等式时极为高效； “上界函数与下界函数”分离：若不等式形如 ，可分别证明左侧和右侧两个不等式——证明 时找 的上界，证明 时找 的下界，使两端向中间靠拢； 转化为曲线与直线的位置关系：将不等式整理为 或 的形式，利用图象判断——若 为凹向上，则其图象在其切线之上；若 为凸向上，则其图象在其切线之下。选填中结合图象可快速判断，解答题中需求导证明切点处取等号； 恒成立问题中的分离参数：若不等式含参数 ，可分离为 或 的形式，转化为求 的最大值或最小值。此时也可看作两个函数——常数函数 与函数 的图象位置关系问题； 中间桥梁法：若 与 直接比较困难，引入中间函数 ，证明 且 ，利用传递性得证。 易错警示：证明 时需确保 的最小值和 的最大值在区间内均可取到（闭区间连续函数）；若 的最小值点与 的最大值点不同，取等条件可能不成立，但不影响不等式成立；切线放缩时务必确认函数的凹凸方向，方向反了不等号方向就反了。 【变式3-1】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 题型4 数列类型不等式的证明 【典例4-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数 (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：． 核心口诀：通项放缩裂项消，递推构造函数桥，积分放缩和与积。 高分技巧： 通项放缩+裂项求和法：将数列通项 放缩为可裂项的形式 （或 ），使前 项和 （相消），转化为有限项的比较。常用变形：，，（）； 构造函数证明数列不等式：将数列视为某函数在正整数点处的取值，如 。若原数列不等式难以直接处理，可先证明对应的函数不等式 （），再取 得证——此法适用于通项表达式已知且连续延拓后函数性质良好的情况； 递推数列不等式：若数列由递推式 定义，需证明 有界或单调。构造辅助函数 ，通过分析 的符号判断递推方向，结合初始值归纳证明； 数学归纳法：先验证 时成立；假设 时成立，推导 时成立。关键在于归纳过渡中需利用递推式或放缩技巧； 构造新数列求通项：若递推式为 或 型，可构造等比数列求出通项公式，再代入证明原不等式（适用于通项可求的线性递推）； 利用已知数列不等式结论：熟记 ，， 等经典结论，可直接引用。 易错警示：放缩时需确保不等号方向一致（所有项同向放缩）；裂项时注意项数匹配（起始项是1还是2，末项是 还是 ）；积分放缩时务必判断函数的单调性，方向不能搞反；数学归纳法中归纳假设的使用要精准，不能在推导 时丢失假设条件。 【典例4-2】（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，，． 【变式4-1】（2026·广西桂林·模拟预测）设函数，函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设函数的极小值点为，证明：． 【变式4-2】（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，． (1)若有3个零点，求的取值范围； (2)设，为的极值点，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）数列满足，证明：． 【变式4-3】（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数有两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)证明：． 题型5 三角函数类型不等式的证明 【典例5-1】（2026·北京海淀·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线经过点的切线条数； (2)当时，求证：对任意； (3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值． 三角函数与多项式混合型：对于形如 或 的不等式，常用二阶导或高阶导分析。如证明 ，构造 ，求导 ，由 得 ，结合 得证； 三角函数与对数/指数混合型：先用 或 对三角函数部分进行放缩，将原不等式转化为不含三角函数的不等式，再按常规方法证明； 区间分段讨论法：由于三角函数的周期性，证明时通常只需考虑一个周期内的区间。在 、、 等区间上分别讨论符号和单调性，再利用周期性推广至全体实数； 泰勒展开/麦克劳林展开放缩：选填中可直接使用 、 的符号判断；解答题中可利用二阶展开 （）或 进行证明。 易错警示：三角函数单调性的判断需严格注意区间端点及开闭—— 在 上单调递增，在 上单调递减；使用 时需保证 ， 时不等号方向反转；分段讨论时注意 和 等关键点的取值；单位圆几何关系 仅适用于 ，不可随意扩大使用范围。 【典例5-2】（2026·安徽合肥·三模）（1）求函数在上的最值. （2）证明：，， . （3）若，，求的取值范围. 【变式5-1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【变式5-2】（2026·河南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 【变式5-3】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若是的导函数的极大值点，求的取值范围； (3)证明：． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 2．（2026·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 3．（2026·重庆·模拟预测）（1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 4．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 . (1)设 ，求 的单调区间； (2)设 是 的极小值点，求证：. 创新提升 6．（2026·河北·三模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)已知数列满足，且，证明：. 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 8．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； (2)当时，证明：； (3)当时，若，求整数的最小值. 9．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点； (3)已知，证明：． 10．（2026·山东威海·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)证明：，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $