上海外国语大学附属大境中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

上外附属大境中学二零二五学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．函数的最小正周期为_____． 2．已知扇形的弧长为8，半径为4，则扇形的面积为_____． 3．已知，在第二象限，则的值为________． 4．若复数满足，其中为虚数单位，则________． 5．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是_____． 6．已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为________． 7．如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为_____． 8．若（为虚数单位）为方程的一个根，则_____． 9．若，，则________． 10．如图，已知函数的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，则________． 11．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________． 12．在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数．若在圆上的点以及在圆上的点，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为_________． 二．选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13．设，是不共线的两个非零向量．则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．和 B．与 C与 D．与 14．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 15．若对任意实数都有，则角的终边在（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②．则两个命．题的真假为（ ） A．①真，②真 B．①真，②假 C．①假，②真 D．①假，②假 三．解答题（本大题共5题，共50分） 17．设，是两个单位向量，夹角为，且，，求与的夹角． 18．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于、的任意一点． 证明：平面； 19．如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 20．在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值 21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，．作：，，当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）已知，，求； （2）若向量（，，），求证：； 学科网（北京）股份有限公司 $