精品解析：上海市嘉定区嘉一实验高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

嘉一实验高中2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：刘海琼 审核人：梁荣 孟淑慧 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 已知复数，______． 2. 已知等差数列中，，且，则的公差______． 3. 角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则______． 4. 已知平面向量，，满足，，在方向上的投影向量为______． 5. 直线与直线的夹角为________． 6. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 7. 已知数列满足，，则______． 8. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 9. 如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 10. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 11. 函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 12. 已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 二、选择题:（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 直线的倾斜角为（ ）． A. 0° B. 75° C. 90° D. 不存在 14. 已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（ ）． A. 和互为共轭复数 B. ， C. D. 15. 中，,在边上，且,.当的面积最大时，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，． （1）当时，求及； （2）若与平行，求实数m的值． 18. 已知直线． （1）讨论直线与直线的位置关系； （2）若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及在上的单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交BC于D，求AD的长． 20. 已知数列满足，，（n为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）若数列满足（n为正整数），是否存在非零整数，使得对任意正整数n，都有？ 21. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉一实验高中2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：刘海琼 审核人：梁荣 孟淑慧 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 已知复数，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法先求出z的代数形式，再计算模长. 【详解】由，得， 所以. 2. 已知等差数列中，，且，则的公差______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可即可. 【详解】，解得. 故答案为：2. 3. 角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则______． 【答案】 ##0.6 【解析】 【详解】可知. 4. 已知平面向量，，满足，，在方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以, , 则在方向上的投影向量为. 5. 直线与直线的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的斜率，再得其倾斜角，进而求解. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 设直线与直线交于点，与轴交于点， 所以，在中，， 所以直线与直线的夹角为， 故答案为：. 6. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 7. 已知数列满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 8. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形， 综上， 是等腰三角形或直角三角形. 9. 如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形面积的和是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 又因为再取线段的中点和线段的中点，得到三角形， 所以三角形的面积为， 所以三角形面积构成的数列为： ，，，， 所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列， 所以所有三角形面积的和是. 故答案为： 10. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 【答案】 【解析】 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 11. 函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】若，则 又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值， 所以当，即时， 只需满足，此时， 当，即时，函数一定存在最大值， 要让函数无最小值，则，即， 综上，，即的取值范围为 12. 已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得的范围，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 所以当时， 的最小值为，即的最小值是. 二、选择题:（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 直线的倾斜角为（ ）． A. 0° B. 75° C. 90° D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线的斜率不存在， 所以直线的倾斜角为. 14. 已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（ ）． A. 和互为共轭复数 B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A,C,D项，可以通过举反例排除，对于B项，则需要分情况求解验证. 【详解】对于A，可能为实根，如方程就有1和2两个实数根，故A错误； 对于B，当时，自然韦达定理成立；当时，解得，则有，，故B正确； 对于C．有可能成立，如方程的根的判别式为负数，故C错误； 对于D．若方程为，解得， 则而，两者不相等，故D错误. 故选：B． 15. 中，,在边上，且,.当的面积最大时，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的面积最大时，，，再利用正弦定理求解. 【详解】解：因为， 所以的面积最大时， 由题知，,,，可得， 所以， 由正弦定理可得，故， 故选：C. 16. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有且，对于从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可. 【详解】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且， 对于A：若，，，此时，对； 对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立， 此条件等价于且对任意成立， 构造数列，该数列满足，， 此时，，满足条件，故B正确； 对于C：当时，成立； 当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确； 对于D：当时，， 当时，（其中）。 由于，令括号内为， 因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数， 则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。所以，其形式为型奇数， 因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又， 故不存在使得，所以D错误。 故选：D 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知，． （1）当时，求及； （2）若与平行，求实数m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量的坐标运算和向量的夹角及模长公式求解即可； (2)利用向量共线的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，, 则，，， 由向量的夹角公式可得：， 因此 ； 利用向量加法计算可得：， 则模长； 【小问2详解】 由，可得： ，， 由两个向量平行的充要条件可得， 整理得，解得. 18. 已知直线． （1）讨论直线与直线的位置关系； （2）若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）当时，直线与重合；当时，直线与相交 （2）的最小值为，此时直线的方程为。 【解析】 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. 【小问2详解】 直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期及在上的单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交BC于D，求AD的长． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得，再由三角函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，再利用等面积法结合三角形的面积公式建立方程，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 则时，，时，， 又，则或 ， 故在上的单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知， 则，即， 所以，解得， 又，所以， 而的平分线交于，且，即， 由，则， 即，解得. 20. 已知数列满足，，（n为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）若数列满足（n为正整数），是否存在非零整数，使得对任意正整数n，都有？ 【答案】（1） （2） （3）存在非零整数， 【解析】 【分析】（1）由与的关系以及递推关系，得到的通项；（2）利用对数的运算性质化简的通项公式，最终可以用裂项相消法处理求和；（3）根据已有的通项公式代入得到，然后作差，将求参数的问题转成求不等式恒成立的问题，需要分类讨论的奇偶性。 【小问1详解】 已知，且，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，，所以. 【小问2详解】 已知 所以 . 【小问3详解】 由，得 ，即 当为偶数时，，最大值为，故； 当为奇数时，，最小值为1，故， 综上，非零整数, 所以存在非零整数，使得对任意正整数，都有. 21. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）具有性质不具有性质，理由见解析； （2）2027个； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义直接分析判断即可. （2）利用函数具有性质的定义，赋值计算即得的值，进而求出，再借助二倍角的正弦公式求出的零点，结合给定区间求出零点个数. （3）由（2）结合三角函数图象变换求出，探讨在区间上的性质，再利用零点的意义转化为直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数具有性质不具有性质，说明如下： ，， 对任意，都有，所以具有性质； ，， 所以不具有性质. 【小问2详解】 由函数具有性质，得，即， 而，则，， 若，不妨设，由， 得，只要充分大时，将大于1， 而的值域为，则上述等式不可能成立，因此必有成立，即， 又，即，则，解得， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 令，即， ①当时，，即， 得或，得或； ②当时，，即，而，无解， 因此的解为，在内，，共2027个零点. 【小问3详解】 函数，由，得，函数在上递增， 函数值从增大到8，在上递减，函数值从8减小到，函数的图象如图： 令，即， 解得或，由在上有3个零点，得在上 方程有2个不同的实根，有1个实根 或有1个实根，有2个不同的实根， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $