1.1 二次函数的意义（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数概念及待定系数法求解析式核心知识点，从实际情境抽象变量关系建立模型，到理解定义、判定函数，再到求解析式和函数值，构建从具体到抽象的学习支架。 资料紧扣课标突出重难点，通过正方形面积、头盔销售等实际问题抽象函数关系培养抽象能力（数学眼光），题型解析含解题贴士，如判定函数时先化简查次数和系数，培养推理意识（数学思维），随学随练与拓展题助力课中教学和课后查漏，强化模型意识（数学语言）。

第一章 二次函数 1.1 二次函数意义 课标要点 1.结合实际情境，抽象变量关系，体会二次函数实际意义，建立二次函数模型。 2.理解二次函数定义与一般形式，能判定二次函数，区分各项系数。 3.会求函数值，能根据定义求含参数解析式中字母的值。 4.会用三点待定系数法求简单二次函数解析式，结合实际确定自变量取值范围。 5.类比一次函数，形成函数研究思路，发展模型、符号意识。 学习重难点 重点： 1.二次函数的定义与一般函数。 2.二次函数的判定。 3.基础计算题型。 4.简单实际问题列二次函数关系式 难点： 1.理解a≠0的必要性。 2.复杂式子先化简在判定。 3.实际问题建立二次函数模型。 4.含参数综合题型逻辑。 知识点1 二次函数的概念 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 特别提醒 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 随学随练 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 6．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 知识点2 待定系数法求二次函数解析式（重点） 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 随学随练 1．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，当时，函数值是5；当时，函数值是6． (1)求这个二次函数的表达式． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． (1)求这个二次函数的表达式． 4．（21-22九年级上·吉林·阶段检测）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如表： x …… ﹣4 ﹣1 0 1 …… y …… ﹣2 1 ﹣2 ﹣7 …… （1）求二次函数的解析式； 拓展1 忽略二次项系数导致出错 一、核心依据 二次函数标准形式为y=a+bx+c（\(a、b、c\) 为常数），要满足两个硬性条件，二者缺一不可： 1.含自变量 x 的最高次数等于 2； 2.二次项系数a≠0。 二、标准解题步骤 由 “最高次数为 2” 列出方程，解出参数全部候选值； 由 “二次项系数不能为 0” 列出不等式，排除不符合的参数； 剩下的数值才是参数正确取值。 活学活用 1．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 2．（16-17九年级下·全国·单元测试）当_____时，是关于的二次函数． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知为二次函数，则m的值为________． 题型1 二次函数的判定 解题贴士 1.整理式子：去括号、移项、合并同类项，把函数化成标准多项式形式； 2.看最高次数：自变量x最高次数必须等于 2； 3.查二次项系数：前面的系数不能为 0； 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【对点练1-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【对点练1-2】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【对点练1-3】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2 写二次函数解析式 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【对点练2-1】（18-19九年级上·河北张家口·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，函数值为5，当x＝﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式． 【对点练2-2】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【对点练2-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 题型3 二次函数的组成 【例3】（23-24九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 【对点练3-1】（21-22九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______． 【对点练3-2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 题型4 待定系数法求二次函数的表达式 解题贴士 1.将已知的自变量与函数值分别代入二次函数解析式 2.得到关于未知系数的方程组 3.解方程组，得到未知系数的值 【例4】（20-21九年级上·湖北孝感·阶段检测）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为_______________________． 【对点练4-1】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【对点练4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的变量与的部分对应值如下表，那么时，对应的函数值___________． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 7 0 7 ．．． 题型5 求二次函数的函数值 【例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【对点练5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【对点练5-2】（22-23八年级下·山西晋城·期中）已知函数，当时，__________． 【对点练5-3】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数，当时，____________． 题型6 根据二次函数的定义求参数 解题贴士 1.根据 “次数为 2” 列方程，解出参数所有候选值； 2.根据 “二次项系数≠0” 列不等式，剔除使系数为 0 的参数； 3.剩余数值就是参数最终取值。 【例6】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【对点练6-1】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【对点练6-2】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【对点练6-3】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 基础通关 1．（若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 8 3 0 -1 0 … 则当=4时，函数值为（      ） A．-1 B．0 C．3 D．8 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 11．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 12．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段检测）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 素养提升 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 3．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 4．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 5．（22-23九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是______． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 7．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 迁移创新 1．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 2．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.1 二次函数意义 课标要点 1.结合实际情境，抽象变量关系，体会二次函数实际意义，建立二次函数模型。 2.理解二次函数定义与一般形式，能判定二次函数，区分各项系数。 3.会求函数值，能根据定义求含参数解析式中字母的值。 4.会用三点待定系数法求简单二次函数解析式，结合实际确定自变量取值范围。 5.类比一次函数，形成函数研究思路，发展模型、符号意识。 学习重难点 重点： 1.二次函数的定义与一般函数。 2.二次函数的判定。 3.基础计算题型。 4.简单实际问题列二次函数关系式 难点： 1.理解a≠0的必要性。 2.复杂式子先化简在判定。 3.实际问题建立二次函数模型。 4.含参数综合题型逻辑。 知识点1 二次函数的概念 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 特别提醒 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 随学随练 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 3．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 4．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 6．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 知识点2 待定系数法求二次函数解析式（重点） 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 随学随练 1．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ， 解得： ， 则二次函数解析式为y=x2-x+13． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，当时，函数值是5；当时，函数值是6． (1)求这个二次函数的表达式． 【答案】(1) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用待定系数法求二次函数解析式； 【详解】（1）解：∵二次函数，当时，函数值是5；当时，函数值是6， ∴． 解得：． 所以二次函数表达式为； 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． (1)求这个二次函数的表达式． 【答案】(1) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）把两组x，y值代入解析式得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组即可得解； 【详解】（1）解：当时，函数值是4；当时，函数值是3， ， 解得， 这个二次函数的表达式为； 4．（21-22九年级上·吉林·阶段检测）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如表： x …… ﹣4 ﹣1 0 1 …… y …… ﹣2 1 ﹣2 ﹣7 …… （1）求二次函数的解析式； 【答案】（1）； 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可； 【详解】（1）将代入，得 解得 二次函数的解析式为 拓展1 忽略二次项系数导致出错 一、核心依据 二次函数标准形式为y=a+bx+c（\(a、b、c\) 为常数），要满足两个硬性条件，二者缺一不可： 1.含自变量 x 的最高次数等于 2； 2.二次项系数a≠0。 二、标准解题步骤 由 “最高次数为 2” 列出方程，解出参数全部候选值； 由 “二次项系数不能为 0” 列出不等式，排除不符合的参数； 剩下的数值才是参数正确取值。 活学活用 1．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 2．（16-17九年级下·全国·单元测试）当_____时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知为二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是二次函数定义的熟练掌握． 根据二次函数的定义，最高次数项为次，且系数不为零，列方程求解． 【详解】解：由题意，函数为二次函数，则 的最高次数为，即 ， 解得 ， ∴ ． 又∵二次项系数不能为零，即 ， ∴ ． 因此 ． 故答案为：． 题型1 二次函数的判定 解题贴士 1.整理式子：去括号、移项、合并同类项，把函数化成标准多项式形式； 2.看最高次数：自变量x最高次数必须等于 2； 3.查二次项系数：前面的系数不能为 0； 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【对点练1-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【对点练1-2】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【对点练1-3】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 题型2 写二次函数解析式 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【对点练2-1】（18-19九年级上·河北张家口·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，函数值为5，当x＝﹣1或﹣5时，函数值都为0，求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝x2+6x+5 【分析】根据题意可得出二次函数y＝ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点，列方程组计算即可． 【详解】由题意得，二次函数y＝ax2+bx+c，过（0，5）（﹣1，0）（﹣5，0）三点， ∴， 解得a＝1，b＝6，c＝5， ∴这个二次函数的解析式y＝x2+6x+5． 【点睛】此题考查用待定系数法求二次函数的解析式，三元一次方程组的解法．解题关键在于掌握运算法则. 【对点练2-2】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【对点练2-3】（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 题型3 二次函数的组成 【例3】（23-24九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【对点练3-1】（21-22九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______． 【答案】 －16 12 【解析】略 【对点练3-2】（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 题型4 待定系数法求二次函数的表达式 解题贴士 1.将已知的自变量与函数值分别代入二次函数解析式 2.得到关于未知系数的方程组 3.解方程组，得到未知系数的值 【例4】（20-21九年级上·湖北孝感·阶段检测）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为_______________________． 【答案】y＝2x2＋4x－1 【分析】把两组对应值代入y＝ax2＋4x＋c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可． 【详解】根据题意得：， 解得， 所以抛物线解析式为y＝2x2＋4x－1， 故填：y＝2x2＋4x－1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【对点练4-1】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 【对点练4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的变量与的部分对应值如下表，那么时，对应的函数值___________． ．．． 1 3 5 ．．． ．．． 7 0 7 ．．． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用待定系数法求出函数解析式，再把代入，即可求解． 【详解】解：把代入得： ∴， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，． 故答案为：0． 题型5 求二次函数的函数值 【例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 【对点练5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【对点练5-2】（22-23八年级下·山西晋城·期中）已知函数，当时，__________． 【答案】 【分析】把代入可得答案． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，掌握求解函数值的方法是解本题的关键． 【对点练5-3】（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数，当时，____________． 【答案】10 【分析】把代入计算即可． 【详解】把代入，得 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键． 题型6 根据二次函数的定义求参数 解题贴士 1.根据 “次数为 2” 列方程，解出参数所有候选值； 2.根据 “二次项系数≠0” 列不等式，剔除使系数为 0 的参数； 3.剩余数值就是参数最终取值。 【例6】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【对点练6-1】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 【对点练6-2】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【对点练6-3】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 基础通关 1．（若二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 8 3 0 -1 0 … 则当=4时，函数值为（      ） A．-1 B．0 C．3 D．8 【答案】D 【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=4时的函数值. 【详解】由表可知，二次函数的图象经过（0，0），（1, ﹣1），（2，0） 则 解得： ∴二次函数解析式为： 当x＝4时，函数值y＝16－8＝8. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式. 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．选项A是含有分式的函数，选项B和C是一次函数，只有选项D符合定义． 【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是一次函数，故选项B不符合题意； C、，是一次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，需根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数且的整式函数，自变量最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义； B选项：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义； C选项：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数； D选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义， 故选：C． 5．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】 2 【分析】本题考了二次函数的定义，二次函数的一般形式：根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项，且二次项系数不能为零。因此，需要满足指数条件 且系数条件 。 【详解】因为函数是关于 的二次函数，所以 的最高次项为二次，即 。 解方程 ，得 ，所以 或 。 又因为二次项系数 ，当 时，，不符合条件，故 舍去。 因此，。 当 时，函数为 ，满足二次函数定义。 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 12．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段检测）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 素养提升 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 4．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 5．（22-23九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据表格得出时，；时，，然后计算的值即可． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的函数值，找出合适的自变量代入是解题的关键． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 7．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 迁移创新 1．（2026·广东惠州·二模）已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $