精品解析：安徽宿城第一初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试数学试卷

宿城第一初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对角线相等 5. 某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 9. 如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着移动一周．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则b的值为（ ） A. 17 B. 19 C. 36 D. 37 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是____． 12. 若，，则_____． 13. 如图，在中，，，，则______． 14. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，． （1）顺次连接四边形各边中点所围成的四边形的周长是 __ ； （2）的最小值是 __ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 因式分解： （1）； （2） 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 19. 已知关于的分式方程． （1）当时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求的值． 20. 【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则旧、新两位数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）当时，原来的两位数为 ，新的两位数为 ； （2）用含a的代数式表示原来的两位数和新的两位数（结果需化简）； （3）在（2）的基础上说明【发现】中的结论正确． 21. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 22. 把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． （1）求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 23. 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿城第一初级中学2025-2026学年第二学期八年级期末测试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④ x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式． 2. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式定义：一般地，如果，表示两个整式，，且中含有字母，那么式子是分式； 【详解】解：∵是整式，的分母是常数，是整式，均不符合分式定义； 的分母含有字母，符合分式定义． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的概念，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对各选项依次判断即可得到答案. 【详解】解：A. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B. ，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D. ，属于因式分解，符合题意. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定定理，逐一判断各选项命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A，平行四边形的对边相等，是平行四边形的性质定理，是真命题，不符合题意； 选项B，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合题意； 选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合题意； 选项D，平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，只有矩形这类特殊平行四边形的对角线才相等，因此原命题是假命题，符合题意． 5. 某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照解分式方程的常规步骤，先去分母转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴ 原分式方程的解为． 7. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 8. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 9. 如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，由平行四边形的性质推出，，得到，由题意得不到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 、分别平分、， ，， ， ． 故D不符合题意； 平分， ． ， ， ， ， 同理：． 故A不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故B不符合题意； 由题意得不到， 故C符合题意． 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着移动一周．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则b的值为（ ） A. 17 B. 19 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：     由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，直接求取值范围即可． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 12. 若，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，将代数式因式分解为 ，再代入已知条件计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 13. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于D，则，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，． （1）顺次连接四边形各边中点所围成的四边形的周长是 __ ； （2）的最小值是 __ ． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，，，因此四边形的周长； （2）过作，使，连接，，判定四边形是平行四边形，得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）如图，、、、是四边形的四边中点， 、分别是和的中点， ， 同理：，，， 四边形的周长， 故答案为：5． （2）如图，过作，使，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，由三角形三边关系定理得到． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，中间涉及到完全平方公式，先将分式方程转化成整式方程，解出，检验的值确定原方程无解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 当时，， 才能满足分式要求， 原方程无解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的异分母分式通分相加，再对分母多项式因式分解，约分后得到最简结果，最后代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 19. 已知关于的分式方程． （1）当时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 20. 【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则旧、新两位数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）当时，原来的两位数为 ，新的两位数为 ； （2）用含a的代数式表示原来的两位数和新的两位数（结果需化简）； （3）在（2）的基础上说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，涉及了平方差公式，注意计算的准确性即可． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得即可求解； （3）计算并化简即可求证； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴原来的两位数为：， 新的两位数为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， ∴新的两位数为：． 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ∵a是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 21. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22. 把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． （1）求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 【答案】（1），两种型号帐篷的单价分别为800元、500元 （2）①型号帐篷至少要买10顶；②计划资金一定够用 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，根据用3200元购买A种帐篷的数量与用2000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，根据购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍列出不等式求出m的取值范围， ②设总费用为元，列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有： ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴ ． 故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元． 【小问2详解】 解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有： ， 解得：． 故：型号帐篷至少要买10顶． ②设总费用为元，则有： ， ． ， 随的增大而减小． 又， ∴当时， ． 故：此计划资金一定够用． 23. 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． （3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $