精品解析：安徽省宿州市灵璧实验学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

八年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是分式的是（     ） A. B. C. D. 3. 对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 6. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若分式方程＝无解，则m的值为（） A. 0 B. 6 C. 0或6 D. 0或－6 9. 如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ） A. 增大 B. 减少 C. 增大 D. 减少 10. 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ） A. 8 B. C. D. 6 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 分解因式：___． 13. 如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 14. 等边三角形的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边、与、分别相交于、，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确的是______． ；；；的周长最小值是． 三、解答题（共90分） 15. 解方程： 16. 解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． 17. 先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）若有一格点，使得，则网格中满足条件的点共有 个． 20. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 21. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求的长． 22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式中是分式的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，判断一个代数式是否分式的关键是：看分母中是否含有字母． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．逐一判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A． ：分母为字母a，符合分式定义，故此选项符合题意； B． ：分母为，其中π是常数，不含字母，属于整式，故此选项不符合题意； C． ：分母为常数2，属于整式，故此选项不符合题意； D． ：分母为常数2，属于整式，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 分别利用平行四边形的判定方法判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 6. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 7. 如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 8. 若分式方程＝无解，则m的值为（） A. 0 B. 6 C. 0或6 D. 0或－6 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解＝， mx=6x+18 （m-6）x-18=0 ①m-6=0时，解得m=6，此时方程无解， ②当m-6≠0时，有题意可知，x==-3，解得m=0， 故m的值为0或6 故选C． 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是先把分式方程化为整式方程． 9. 如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ） A. 增大 B. 减少 C. 增大 D. 减少 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和外角，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 连接，得到四边形是平行四边形，是等边三角形，则，，由正多边形的内角和定理得到正五边形中，由此即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵正五边形每个内角都相等， ∴， ∴， ∴的度数增大了， 故选：A． 10. 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 13. 如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 等边三角形的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边、与、分别相交于、，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确的是______． ；；；的周长最小值是． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形边角之间的关系计算即可．因为点是三边垂直平分线的交点，可证、，利用可证，根据全等三角形对应边相等，可证正确；根据等边三角形的性质可以求出，，的面积随着的变化而变化，所以不成立，所以错误；由可知正确；由可知，所以的周长为，根据垂线段最短，当最小时，的周长最小，周长最小值为. 【详解】解：如下图所示，连接、， 是等边三角形， ，， 点是三边垂直平分线的交点， 、分别平分、，， ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 故正确； 由可知， ， 是等边三角形，， 如下图所示，连接并延长，交于点， 点是三边垂直平分线的交点， ，， ， ， 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ， ， ， ， 过点作， 由可知，， ， ，， ， ， ， 的面积随着的变化而变化， 不成立， 故错误； 由可知， 故正确； 由可知， ， 的周长为：， 当时，最小， 如下图所示，过点作， 则，， ， ， ， 解得：， 的最小值是， 的周长最小值是， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：． 三、解答题（共90分） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：原式去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 16. 解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． 【答案】， 在数轴上表示出不等式组的解集： 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集，根据一元一次不等式的解法及不等式组解集的求法求解，再利用不等式组解集在数轴上的表示方法作出图形即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 17. 先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先通分计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 由题意知，，， 解得，， 将代入得，原式． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2）猜想：； 证明如下：等式左边， 等式右边， 等式左边=等式右边， 猜想成立． 【解析】 【分析】（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）若有一格点，使得，则网格中满足条件的点共有 个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，轴中心对称图形，网格作图，数形结合是解题的关键； （1）根据平移的性质画出，即可求解； （2）根据中心对称的性质，找出关于点对称的对应点，顺次连接，即可求解． （3）根据网格得出是等腰直角三角形，进而作等腰直角，找到格点，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：根据网格可得是等腰直角三角形， ∴ 作等腰直角，如图所示，网格中满足条件的点共有个 故答案为：． 20. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）DE的长为4.75 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：．理由如下： 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 21. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，． 【小问1详解】 证明： ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元 （2）①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可； ②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． 【小问2详解】 解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：； ②获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 23. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当　　时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由． 【答案】（1） （2）或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； （3）1 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵， ∴， 由运动知，，， ∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形， 只要， 当点N在边上时，， ∴， ∴， 当点N在边的延长线上时，， ∴， ∴， ∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图， 连接交于O， ∵线段将平行四边形面积二等分， ∴必过的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形面积二等分． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $