第06讲 有理数的乘方（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第06讲 有理数的乘方（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 乘方 2 知识点02 科学记数法 3 知识点03 近似数 4 剖题型·讲技巧 题型1 乘方概念识别（基础送分） 4 题型2 基础乘方计算 6 题型3 有理数混合运算（高频大题） 8 题型4 科学记数法表示大数&还原原数 11 题型5 近似数精确度判断 13 释疑惑·重难拓展 题型1 规律探究（考试压轴填空） 14 题型2 混合运算培优复杂题型 17 题型3 实际应用题 20 知中考·真题探源 29 练好题·提分培优 31 课标要点 1. 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式； 2. 熟练进行有理数乘方运算，区分 与 两种形式的计算差异； 3. 掌握有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）； 4. 会用科学记数法表示大于10的大数，能还原科学记数法对应的原数； 5. 理解近似数、精确度，会按要求取近似数； 6. 能结合乘方解决规律探究、实际应用、符号判断类培优难题，培养分类讨论思想。 知识点01 乘方 一、乘方的定义 1. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 （n个a相乘） 2. 各部分名称： ：读作 的 次方 / 的 次幂 ：底数（相同的因数） ：指数（相同因数的个数） 运算结果：幂 3. 特殊规定： 单独一个数可看作一次方：，指数1省略不写； 的正整数次幂都等于 ； 任何非零数的0次幂：初中预习暂不拓展，仅记课本基础。 二、乘方符号法则（重中之重） 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； 3. 0的任意正整数次幂为0。 速记：正恒正，负看奇偶，偶正奇负 三、易混辨析（必考易错点） 1. ：底数是 ，整体乘方 例： 2. ：底数是 ，先算 ，再取相反数 例： 3. 分数乘方必须加括号： ，，两者完全不同 四、有理数混合运算顺序 1. 一级运算：加减；二级：乘除；三级：乘方 2. 运算优先级： 先乘方 → 再乘除（从左到右）→ 最后加减（从左到右） 3. 有括号：先小括号→中括号→大括号，逐层计算 练习 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点02 科学记数法 1. 定义：把大于10的数写成 （， 为正整数） 2. 确定方法：原数整数位数-1 例：（56000共5位，） 3. 还原：，把 小数点向右移动 位 练习 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 【答案】 【详解】解：． 知识点03 近似数 1. 近似数：接近准确数、不完全相等的数；准确数：完全符合实际的数 2. 精确度表示：精确到个位、十位、十分位、百分位等； 3. 取近似方法：四舍五入法。 练习 3．（23-24七年级下·上海·期末）近似数万精确到____________位． 【答案】百 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 题型1 乘方概念识别（基础送分） 方法技巧 1. 区分底数、指数：带括号负数，底数含负号；无括号负号不属于底数； 2. 读题看清“几次方/几次幂”，书写不要漏括号。 例：指出 与 底数、指数 解： 底数，指数3； 底数4，指数3。 【典例1-1】（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，表示3个2相乘，即. 【典例1-2】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 【典例1-3】的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 【变式1-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【变式1-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 【变式1-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 题型2 基础乘方计算 方法技巧 1. 先判断符号（看底数正负、指数奇偶），再算数字部分； 2. 分数乘方分子分母分别乘方； 3. 1的任意次幂=1；偶次幂=1，奇次幂=-1。 常用速记：，；，， 【典例2-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 【典例2-2】（24-25七年级上·云南昭通·阶段检测）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果n是正整数，计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 【变式2-2】（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 题型3 有理数混合运算（高频大题） 方法技巧 标准解题步骤 1. 标记所有乘方，优先计算； 2. 统一除法为乘法，约分简化； 3. 同级运算从左往右； 4. 加减分段计算，减少符号错误。 避坑技巧 负号和乘方分开算，不要直接连写； 多重括号由内向外逐层去，不要跳步。 【典例3-1】计算：． 【答案】8 【详解】解：原式． 【典例3-2】计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 【典例3-3】（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【详解】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； （2）解： ． 【变式3-1】计算：． 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：（1） （2）解：∵※4 ； ∴ 【变式3-4】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 题型4 科学记数法表示大数&还原原数 方法技巧 1. 写 时， 必须满足； 2. 带单位大数先去单位再转化，最后补上单位； 3. 还原时小数点移动位数等于 ，不足补0。 【典例4-1】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【典例4-2】（2026·福建厦门·三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【详解】∵ ， ∴ ． 【变式4-1】（2026·山东临沂·二模）预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 【答案】C 【详解】亿． 【变式4-2】地球表面平均上的空气质量约为，地球表面的面积大约是，地球表面全部空气的质量约为多少千克？已知地球的质量约为，它的质量大约是地球表面全部空气质量的多少倍？ 【答案】地球表面全部空气的质量约为，地球质量大约是地球表面全部空气质量的倍 【详解】解：地球表面全部空气的质量约为：； ， 答：地球表面全部空气的质量约为，地球质量大约是其表面全部空气质量的倍． 【变式4-3】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元 【详解】解：（粒）， （克）， 因为1千克克， 所以（千克）， 则总钱数为：（元）． 答：一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元． 题型5 近似数精确度判断 方法技巧 1. 普通小数：看最后一位数字所在数位； 2. 科学记数法近似数：还原后看 末尾数字对应数位。 【典例5-1】用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 【典例5-2】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【详解】解：175亿． 【变式5-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 【变式5-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 【变式5-3】用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 题型1 规律探究（考试压轴填空） 【典例1-1】（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 【典例1-2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】1 【详解】解：，，，，，…， 由此发现，式子末尾数字以3、9、7、1这4个数作循环， ∵， ∴所以的个位数字是1． 故答案为：1． 【变式1-2】观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 【答案】 40 【详解】解：（Ⅰ）∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （Ⅱ）， 故答案为：； （Ⅲ）原式 故答案为：40． 题型2 混合运算培优复杂题型 【典例2】（2025七年级上·全国·专题练习）按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 【详解】解：第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 80 320 … 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 【变式2-2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 【变式2-3】（25-26七年级上·北京·期中）我国古老的八卦体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0） (1)【观察发现】图中左起第一、二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，_____，_____； (2)【解决问题】日常生活中，我们用十进制来表示数，进制数转换成十进制数的方法是：将进制数的右起．第一位乘以1，右起第二位开始，每一位数乘以的相应次方，即从右往左每一位数依次对应乘以1，，依此类推，然后相加．例如：，． ①按如图所示的运算程序，若输入的八进制数，则_____，最终的输出结果为_____；（用十进制数表示） ②计算机中采用二进制，主要用到两个数码0和1，此时需要把十进制转化为二进制，例如十进制，表示的二进制为．十进制50改写成二进制为_____； ③计算：．（用二进制数表示） 【详解】（1）解：根据观察，发现完整实线代表阳爻，用数字1表示，两条短线段表示阴爻，用数字0表示，继而得到第三个、四个符号表示的二进制数分别为，， 故答案为：，； （2）①根据题意，得输入的八进制数， 得， 不满足， 故， 故答案为,85，35； ②解：根据题意，得， 故表示的二进制为． 故答案为： ． ③解：， ， 故， 故， 故答案为：1． 题型3 实际应用题 【典例3】十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 【详解】（1）解： 101110转化为十进制数是： ， 故答案为：； （2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 【变式3-1】阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”请你阅读以上材料并完成下列问题： 【直接应用】（1）直接写出计算结果：________________，________________； 【归纳总结】（2）提出问题：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 仔细思考，将下列运算结果直接写成幂的形式．________________；________________；________________． 归纳总结：________________； 【灵活应用】（3）计算：． 【详解】解：（1）， 故答案为：；； （2）， ， ； ； 故答案为：；；；． （3） ． 【变式3-3】曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【变式3-4】（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，205； （2）解： ； （3）解：， 54为偶数时，需要表示成七进制． ． 故答案为：105； （4）解：由题意知， ， 店家至少需要推出4种不同重量的密封礼盒，重量分别为1斤，2斤，4斤，8斤， 故答案为：4． 【变式3-5】（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【详解】解：（1）， 故答案为：36； （2）（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米． （3）， 故答案为：0.015； （4）这卷缎带的总长度大约 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 1．（2026·天津·中考真题）年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 3．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解： ， 故选C 4．（2026·新疆·中考真题）截至2025年底，新疆电网新能源装机容量达亿千瓦，占全疆总装机容量的，风电、光伏装机规模均稳居全国前列．将数据亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【详解】解：亿， 因此亿． 5．（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解：根据题意列算式计算得：． 6．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【答案】 【详解】解：将用科学记数法表示为：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 【答案】 【详解】解：（精确到千分位）． 6．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列式子：根据其中的规律，第8个式子是_____． 【答案】 【详解】解：由题意知，， ， ， ， … ∴可推导一般性规律为：第个式子为， ∴第8个式子是， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 10．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 11．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【详解】解：（1） ； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 12.【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 【详解】（1）． 故答案为． （2）， ． 故答案为；． （3）① ． ②原式． 设， 则． 因为， 所以，所以， 所以． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 乘方 2 知识点02 科学记数法 3 知识点03 近似数 3 剖题型·讲技巧 题型1 乘方概念识别（基础送分） 4 题型2 基础乘方计算 5 题型3 有理数混合运算（高频大题） 6 题型4 科学记数法表示大数&还原原数 8 题型5 近似数精确度判断 9 释疑惑·重难拓展 题型1 规律探究（考试压轴填空） 10 题型2 混合运算培优复杂题型 11 题型3 实际应用题 14 知中考·真题探源 19 练好题·提分培优 20 课标要点 1. 理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式； 2. 熟练进行有理数乘方运算，区分 与 两种形式的计算差异； 3. 掌握有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）； 4. 会用科学记数法表示大于10的大数，能还原科学记数法对应的原数； 5. 理解近似数、精确度，会按要求取近似数； 6. 能结合乘方解决规律探究、实际应用、符号判断类培优难题，培养分类讨论思想。 知识点01 乘方 一、乘方的定义 1. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 （n个a相乘） 2. 各部分名称： ：读作 的 次方 / 的 次幂 ：底数（相同的因数） ：指数（相同因数的个数） 运算结果：幂 3. 特殊规定： 单独一个数可看作一次方：，指数1省略不写； 的正整数次幂都等于 ； 任何非零数的0次幂：初中预习暂不拓展，仅记课本基础。 二、乘方符号法则（重中之重） 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； 3. 0的任意正整数次幂为0。 速记：正恒正，负看奇偶，偶正奇负 三、易混辨析（必考易错点） 1. ：底数是 ，整体乘方 例： 2. ：底数是 ，先算 ，再取相反数 例： 3. 分数乘方必须加括号： ，，两者完全不同 四、有理数混合运算顺序 1. 一级运算：加减；二级：乘除；三级：乘方 2. 运算优先级： 先乘方 → 再乘除（从左到右）→ 最后加减（从左到右） 3. 有括号：先小括号→中括号→大括号，逐层计算 练习 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 科学记数法 1. 定义：把大于10的数写成 （， 为正整数） 2. 确定方法：原数整数位数-1 例：（56000共5位，） 3. 还原：，把 小数点向右移动 位 练习 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 知识点03 近似数 1. 近似数：接近准确数、不完全相等的数；准确数：完全符合实际的数 2. 精确度表示：精确到个位、十位、十分位、百分位等； 3. 取近似方法：四舍五入法。 练习 3．（23-24七年级下·上海·期末）近似数万精确到____________位． 题型1 乘方概念识别（基础送分） 方法技巧 1. 区分底数、指数：带括号负数，底数含负号；无括号负号不属于底数； 2. 读题看清“几次方/几次幂”，书写不要漏括号。 例：指出 与 底数、指数 解： 底数，指数3； 底数4，指数3。 【典例1-1】（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【典例1-3】的底数是________，读作________． 【变式1-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）为了简便，可以将记为_____． 【变式1-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 题型2 基础乘方计算 方法技巧 1. 先判断符号（看底数正负、指数奇偶），再算数字部分； 2. 分数乘方分子分母分别乘方； 3. 1的任意次幂=1；偶次幂=1，奇次幂=-1。 常用速记：，；，， 【典例2-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2-2】（24-25七年级上·云南昭通·阶段检测）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果n是正整数，计算：． 【变式2-2】（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 题型3 有理数混合运算（高频大题） 方法技巧 标准解题步骤 1. 标记所有乘方，优先计算； 2. 统一除法为乘法，约分简化； 3. 同级运算从左往右； 4. 加减分段计算，减少符号错误。 避坑技巧 负号和乘方分开算，不要直接连写； 多重括号由内向外逐层去，不要跳步。 【典例3-1】计算：． 【典例3-2】计算： 【典例3-3】（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【变式3-3】（25-26七年级上·甘肃武威·期末）对于任意有理数、，规定一种新运算法则※．a※．例如：1※2＝． (1)求2※（－5）的值； (2)求的值． 【变式3-4】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 题型4 科学记数法表示大数&还原原数 方法技巧 1. 写 时， 必须满足； 2. 带单位大数先去单位再转化，最后补上单位； 3. 还原时小数点移动位数等于 ，不足补0。 【典例4-1】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·福建厦门·三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【变式4-1】（2026·山东临沂·二模）预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 【变式4-2】地球表面平均上的空气质量约为，地球表面的面积大约是，地球表面全部空气的质量约为多少千克？已知地球的质量约为，它的质量大约是地球表面全部空气质量的多少倍？ 【变式4-3】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 题型5 近似数精确度判断 方法技巧 1. 普通小数：看最后一位数字所在数位； 2. 科学记数法近似数：还原后看 末尾数字对应数位。 【典例5-1】用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【典例5-2】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【变式5-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【变式5-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【变式5-3】用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 题型1 规律探究（考试压轴填空） 【典例1-1】（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【典例1-2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【变式1-2】观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【变式1-3】（24-25七年级上·天津西青·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 题型2 混合运算培优复杂题型 【典例2】（2025七年级上·全国·专题练习）按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【变式2-2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【变式2-3】（25-26七年级上·北京·期中）我国古老的八卦体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．（提示：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0） (1)【观察发现】图中左起第一、二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，_____，_____； (2)【解决问题】日常生活中，我们用十进制来表示数，进制数转换成十进制数的方法是：将进制数的右起．第一位乘以1，右起第二位开始，每一位数乘以的相应次方，即从右往左每一位数依次对应乘以1，，依此类推，然后相加．例如：，． ①按如图所示的运算程序，若输入的八进制数，则_____，最终的输出结果为_____；（用十进制数表示） ②计算机中采用二进制，主要用到两个数码0和1，此时需要把十进制转化为二进制，例如十进制，表示的二进制为．十进制50改写成二进制为_____； ③计算：．（用二进制数表示） 题型3 实际应用题 【典例3】十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 【变式3-1】阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【变式3-2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”请你阅读以上材料并完成下列问题： 【直接应用】（1）直接写出计算结果：________________，________________； 【归纳总结】（2）提出问题：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 仔细思考，将下列运算结果直接写成幂的形式．________________；________________；________________． 归纳总结：________________； 【灵活应用】（3）计算：． 【变式3-3】曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【变式3-4】（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【变式3-5】（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 1．（2026·天津·中考真题）年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 3．（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 4．（2026·新疆·中考真题）截至2025年底，新疆电网新能源装机容量达亿千瓦，占全疆总装机容量的，风电、光伏装机规模均稳居全国前列．将数据亿用科学记数法表示为____________． 5．（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 6．（2024·广西·中考真题）计算： 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 5．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 6．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 7．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列式子：根据其中的规律，第8个式子是_____． 8．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：． 9．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 10．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 11．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 12.【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $