第03讲 绝对值与有理数的大小比较（暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第03讲 绝对值与有理数的大小比较 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 绝对值 2 知识点02 有理数大小比较三大方法 3 知识点03 培优专属绝对值核心性质 4 剖题型·讲技巧 题型1 基础求值：直接求有理数绝对值 5 题型2 易错题：已知绝对值，反向求原数 6 题型3 基础必考：有理数大小排序比较 8 题型4 培优重点：数轴辅助化简绝对值 9 题型5 高频培优：绝对值非负性求值 11 题型6 分数负数大小比较（考试高频） 12 释疑惑·重难拓展 题型1 分类讨论：含字母绝对值化简（月考压轴） 14 题型2 绝对值最值培优模型 17 题型3 数轴距离综合题型 20 知中考·真题探源 23 练好题·提分培优 27 课标要点 ✅基础课标要求 1.结合数轴理解绝对值的几何意义，掌握有理数绝对值的求解方法； 2.熟记绝对值代数性质，能化简普通数字型绝对值式子； 3.掌握数轴比较法、绝对值比较法，熟练比较任意两个有理数大小； 4.掌握正数、0、负数大小关系，精准掌握两个负数的大小比较法则。 ✅培优拔高课标要求 1.已知绝对值反向求原数，规避漏解，掌握分类讨论思想； 2.结合数轴判断字母正负，完成含字母、复合型绝对值化简； 3.活用绝对值非负性，解决求值、参数求解、定点求值题型； 4.理解绝对值距离含义，解决数轴距离、绝对值最值、综合排序压轴题型。 知识点01 绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作. 读作“ 的绝对值”. 2. 几何意义（必考） 数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作：。 核心本质：距离不为负数，因此绝对值具有非负性，即：。 3. 代数化简法则（去绝对值核心公式） 课本口诀：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 4. 基础必考结论 互为相反数的两个数绝对值相等： 绝对值等于本身的数：非负数（正数、0） 绝对值等于相反数的数：非正数（负数、0） 绝对值最小的有理数：0 练习 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是． 知识点02 有理数大小比较三大方法 方法一：数轴比较法（通用万能法） 数轴上，右边的数永远大于左边的数。 方法二：符号直接比较法（快速口算） 1.正数＞0，负数＜0，正数＞负数； 2.两个负数比较大小：绝对值大的负数，数值反而小。 方法三：负数标准化比较步骤 ①求两个负数绝对值→②比较绝对值大小→③绝对值越大，原负数越小。 练习 2．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知， ∴，，， 只有C正确． 故选：C． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 【答案】 【详解】解：（1）因为2是正数，是负数，正数大于一切负数，所以； （2）因为 负数都小于零，所以； （3），，，所以． 知识点03 培优专属绝对值核心性质 1.非负性模型（高频考点）：若，则（多个绝对值相加为0，每一项均为0） 2.距离含义：表示数轴上数、数两点之间的距离 3.解方程结论：若，则（双解）；若，则（唯一解） 4.等价结论：若，则或 练习 4．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【详解】解：A、若，则，不一定为负数，故A选项不符合题意； B、绝对值不大于3的整数包括，，和0，共7个，故B选项不符合题意； C、若，则正确；但反之若，则，故C选项不符合题意； D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 题型1 基础求值：直接求有理数绝对值 方法技巧 先判正负，再套代数法则，负数化简取相反数。 典例：求 解： 【典例1-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）有理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 有理数的绝对值是． 故选：B． 【变式1-1】________． 【答案】16 【详解】解：． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）__________________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为；． 【变式1-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型2 易错题：已知绝对值，反向求原数 方法技巧 正数绝对值对应一正一负两个数，0只有本身，切记不丢负解。 典例：若，求 解：或 易错警示：极易只写正数解，漏掉负数解。 【典例2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 【答案】3或 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示x到原点的距离为3， ∴或． 故答案为：3或． 【变式2-1】如果，那么_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则______． 【答案】 【详解】解：因为， 所以或， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 题型3 基础必考：有理数大小排序比较 方法技巧 先分正负，正数直接大，负数比绝对值，绝对值越大数值越小。 典例1：比较和 解：，，故 典例2：将从小到大排序 解：化简，排序： 【典例3-1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 【答案】＜ 【知识点】有理数大小比较 【详解】解：根据题意，得． 【典例3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）比较大小：_______（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：，， 由于， 所以， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得． 故答案为：． 【典例3-3】（25-26七年级上·广西河池·期末）在四个数，，，中，最小的数是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴四个数，，，中，最小的数是． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽六安·期末）比较大小：________0． 【答案】 【详解】解：根据有理数大小比较的法则，负数小于0． ∴． 【变式3-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）比较大小：_____．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【详解】解：, 如图 ． 题型4 培优重点：数轴辅助化简绝对值 方法技巧 数轴定符号→判断绝对值内部正负→依据法则去绝对值符号。 典例：数轴满足，化简 解：，则；，则，原式 【典例4】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 【变式4-2】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ 【变式4-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：A和B之间的距离是，点C和1之间的距离是，将点A向右移动5个单位长度为，或向左移动5个单位长度为； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型5 高频培优：绝对值非负性求值 方法技巧 和为0，每一项绝对值单独为0，列方程求解。 典例：已知，求的值 解：由绝对值非负性得：，解得 原式 【典例5】）若，则______． 【答案】1 【详解】解：∵，且 ， ∴． 解得 ． ∴． 故答案为 1． 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则__________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴ 且， 解得：，． 则． 故答案为：9 【变式5-2】已知，求的值． 【答案】1 【详解】解：由题意得    解得 【变式5-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 【答案】或 【详解】解：， ，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，． 当时，． 题型6分数负数大小比较（考试高频） 方法技巧 通分统一分母，再比较绝对值大小，反向判定原数大小。 典例：比较和 解：，，故 【典例6-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 【典例6-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【典例6-3】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 【变式6-1】（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 【变式6-2】（23-24七年级上·山东聊城·阶段检测）比较大小： (1)与； (2)与． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴ （2）解：，， ∴ 【变式6-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 题型1 分类讨论：含字母绝对值化简（月考压轴） 方法技巧 找零点分段，以绝对值内部为0为分界点，分三类讨论 典例：化简 1.当时，，原式 2.当时，原式 3.当时，，原式 1.化简：. 【详解】试题分析：要去掉绝对值符号，需知绝对值中式子的符号，x的取值是有理数范围内任一数，所以要对x的取值分情况讨论，再去绝对值符号． 试题解析： ①当时，原式 ②当时，原式 ③当时，原式 ④当时，原式 综上所述： 2．（23-24七年级下·广西河池·期中）阅读下面材料，并解决有关问题 在实数范围内我们知道： 现在我们可以用这一结论来化解含有绝对值的代数式如化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为和的零点值）在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下三种情况： （1）   （2）   （3） 从而化简代数式，可分以下三种情况： ①时，原式 ②时，原式 ③时，原式 通过以上阅读，请你完成下列问题： (1)【仿一仿】的零点值是_______； (2)【分一分】要化简代数式可分为哪三种情况？它们分别是_______、_______和_______； (3)【试一试】按②的三种情况化简代数式． 【详解】（1）解：令得：， ∴的零点值是； （2）解：令得：， ∴的零点值是； 令得：， ∴的零点值是； 要化简代数式可分为三种情况：、、； （3）当时，； 当时，； 当时，． 3．（24-25七年级上·全国·暑假作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 【详解】（1）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式， ∴． 题型2 绝对值最值培优模型 方法技巧 1.，当时，取最小值0，无最大值； 2.，当时，式子取最小值0； 3.拓展：存在最小值，无最大值。 4.（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 8．（24-25七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 题型3 数轴距离综合题型 方法技巧 ，代表数轴上动点到定点的距离，常用于动点压轴题。 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 10．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 11．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 12．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 【答案】（），或；（），；（）；（）；（）． 【详解】解：（）数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示数和的两点之间的距离是，则有， ∴或， 故答案为：，或； （）∵，， ∴或，或， ∴当，时，，两点间有最大距离， 当，时，，两点间有最小距离， 故答案为：，； （）∵， ∴， ∴符合条件的整数点的值为，，，，，，，， ∴点表示的数的和是， 故答案为：； （）由表示与，的距离之和， 当时，距离和有最小值， 故答案为：； （）当时，距离和有最小值，为 ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·四川遂宁·中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是 2．（2026·安徽·中考真题）下列比0小的数是（     ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴比小的数是． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 4．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．   故选：D． 二、填空题 5．（2025·江苏无锡·中考真题）___________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 6．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是______． 【答案】0(答案不唯一) 【详解】解：比大的数如：0， 故答案为：0(答案不唯一)． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 8．（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）在有理数，，，0中，最小的数是___________． 【答案】 【详解】解：在有理数，，，0中， 是正数，大于0；和是负数，都小于0和正数， 又因为，，且， 所以， 所以， 因此最小的数是． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·湖南常德·期末）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河南漯河·期末）计算：___________． 【答案】0 【详解】解：计算：，则原式变为 ， 计算绝对值内：，故 ， 最后取负：， 故答案为 ：0． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 7．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求的值． 【答案】或 【详解】解：根据绝对值的定义， 若，说明对应的点到原点的距离为， 在数轴上，到原点距离为的点对应的数有两个：和， 故的值为或． 答：或． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，且表示a，b的两个点在数轴上原点的同侧，试比较a，b的大小． 【详解】解：∵， ∴， 当表示a，b的两个点在数轴上原点的左侧时，， ∴； 当表示a，b的两个点在数轴上原点的右侧时， ∴ 综上所述，当表示a，b的两个点在数轴上原点的左侧时，；当表示a，b的两个点在数轴上原点的右侧时，． 9．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 10．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【详解】（1）解：，， 数轴上表示各数如下： ； （2）①， ， 故答案为：； ② ，，且， ， 故答案为：； ③， ， 故答案为：． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 【详解】解：（1）， ． ，， ． 故答案为：； （2）， ． ，， ； 故答案为：2； （3），， ，． ， ，； （4），， ，． ， ，． 12．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； （2）解：①若，则或， 解得：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为； （3）解：表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合； （4）解：①表示的点和 表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是． 14．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）解：设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值与有理数的大小比较 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 绝对值 2 知识点02 有理数大小比较三大方法 3 知识点03 培优专属绝对值核心性质 3 剖题型·讲技巧 题型1 基础求值：直接求有理数绝对值 4 题型2 易错题：已知绝对值，反向求原数 5 题型3 基础必考：有理数大小排序比较 5 题型4 培优重点：数轴辅助化简绝对值 6 题型5 高频培优：绝对值非负性求值 7 题型6 分数负数大小比较（考试高频） 8 释疑惑·重难拓展 题型1 分类讨论：含字母绝对值化简（月考压轴） 9 题型2 绝对值最值培优模型 11 题型3 数轴距离综合题型 12 知中考·真题探源 14 练好题·提分培优 15 课标要点 ✅基础课标要求 1.结合数轴理解绝对值的几何意义，掌握有理数绝对值的求解方法； 2.熟记绝对值代数性质，能化简普通数字型绝对值式子； 3.掌握数轴比较法、绝对值比较法，熟练比较任意两个有理数大小； 4.掌握正数、0、负数大小关系，精准掌握两个负数的大小比较法则。 ✅培优拔高课标要求 1.已知绝对值反向求原数，规避漏解，掌握分类讨论思想； 2.结合数轴判断字母正负，完成含字母、复合型绝对值化简； 3.活用绝对值非负性，解决求值、参数求解、定点求值题型； 4.理解绝对值距离含义，解决数轴距离、绝对值最值、综合排序压轴题型。 知识点01 绝对值 1. 定义 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作. 读作“ 的绝对值”. 2. 几何意义（必考） 数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作：。 核心本质：距离不为负数，因此绝对值具有非负性，即：。 3. 代数化简法则（去绝对值核心公式） 课本口诀：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 4. 基础必考结论 互为相反数的两个数绝对值相等： 绝对值等于本身的数：非负数（正数、0） 绝对值等于相反数的数：非正数（负数、0） 绝对值最小的有理数：0 练习 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 知识点02 有理数大小比较三大方法 方法一：数轴比较法（通用万能法） 数轴上，右边的数永远大于左边的数。 方法二：符号直接比较法（快速口算） 1.正数＞0，负数＜0，正数＞负数； 2.两个负数比较大小：绝对值大的负数，数值反而小。 方法三：负数标准化比较步骤 ①求两个负数绝对值→②比较绝对值大小→③绝对值越大，原负数越小。 练习 2．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 知识点03 培优专属绝对值核心性质 1.非负性模型（高频考点）：若，则（多个绝对值相加为0，每一项均为0） 2.距离含义：表示数轴上数、数两点之间的距离 3.解方程结论：若，则（双解）；若，则（唯一解） 4.等价结论：若，则或 练习 4．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 6．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 题型1 基础求值：直接求有理数绝对值 方法技巧 先判正负，再套代数法则，负数化简取相反数。 典例：求 解： 【典例1-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）有理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】________． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）__________________． 【变式1-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． 题型2 易错题：已知绝对值，反向求原数 方法技巧 正数绝对值对应一正一负两个数，0只有本身，切记不丢负解。 典例：若，求 解：或 易错警示：极易只写正数解，漏掉负数解。 【典例2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 【变式2-1】如果，那么_____． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则______． 【变式2-3】若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 题型3 基础必考：有理数大小排序比较 方法技巧 先分正负，正数直接大，负数比绝对值，绝对值越大数值越小。 典例1：比较和 解：，，故 典例2：将从小到大排序 解：化简，排序： 【典例3-1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）比较大小：___________2（填“”其中的一个）． 【典例3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）比较大小：_______（填“”“ ”或“”）． 【典例3-3】（25-26七年级上·广西河池·期末）在四个数，，，中，最小的数是______． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽六安·期末）比较大小：________0． 【变式3-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）比较大小：_____．（填“”或“”） 【变式3-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 题型4 培优重点：数轴辅助化简绝对值 方法技巧 数轴定符号→判断绝对值内部正负→依据法则去绝对值符号。 典例：数轴满足，化简 解：，则；，则，原式 【典例4】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【变式4-1】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【变式4-2】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简． 【变式4-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 题型5 高频培优：绝对值非负性求值 方法技巧 和为0，每一项绝对值单独为0，列方程求解。 典例：已知，求的值 解：由绝对值非负性得：，解得 原式 【典例5】）若，则______． 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则__________． 【变式5-2】已知，求的值． 【变式5-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 题型6分数负数大小比较（考试高频） 方法技巧 通分统一分母，再比较绝对值大小，反向判定原数大小。 典例：比较和 解：，，故 【典例6-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【典例6-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【典例6-3】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【变式6-1】（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【变式6-2】（23-24七年级上·山东聊城·阶段检测）比较大小： (1)与； (2)与． 【变式6-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 题型1 分类讨论：含字母绝对值化简（月考压轴） 方法技巧 找零点分段，以绝对值内部为0为分界点，分三类讨论 典例：化简 1.当时，，原式 2.当时，原式 3.当时，，原式 1.化简：. 2．（23-24七年级下·广西河池·期中）阅读下面材料，并解决有关问题 在实数范围内我们知道： 现在我们可以用这一结论来化解含有绝对值的代数式如化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为和的零点值）在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下三种情况： （1）   （2）   （3） 从而化简代数式，可分以下三种情况： ①时，原式 ②时，原式 ③时，原式 通过以上阅读，请你完成下列问题： (1)【仿一仿】的零点值是_______； (2)【分一分】要化简代数式可分为哪三种情况？它们分别是_______、_______和_______； (3)【试一试】按②的三种情况化简代数式． 3．（24-25七年级上·全国·暑假作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 题型2 绝对值最值培优模型 方法技巧 1.，当时，取最小值0，无最大值； 2.，当时，式子取最小值0； 3.拓展：存在最小值，无最大值。 4.（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 8．（24-25七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 题型3 数轴距离综合题型 方法技巧 ，代表数轴上动点到定点的距离，常用于动点压轴题。 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 10．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 11．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 12．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____． （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____． 【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____． 【拓展】（5）的最小值是____． 一、单选题 1．（2026·四川遂宁·中考真题）的绝对值是(     ) A． B． C． D． 2．（2026·安徽·中考真题）下列比0小的数是（     ） A．2 B．0 C． D．6 3．（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 二、填空题 5．（2025·江苏无锡·中考真题）___________． 6．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是______． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 8．（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 三、解答题 9．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）在有理数，，，0中，最小的数是___________． 2．（25-26七年级上·湖南常德·期末）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 3．（25-26七年级上·河南漯河·期末）计算：___________． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 6．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 7．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求的值． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，且表示a，b的两个点在数轴上原点的同侧，试比较a，b的大小． 9．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 10．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 11．（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 12．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 14．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $