1.3全等三角形的判定（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以全等三角形判定为核心，通过基础理解、技能应用、模型建构、综合拓展四层递进设计，实现从单一判定依据到实际问题解决的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|全等判定依据（ASA、SAS等）|选择题结合尺规作图情境，强化概念辨析| |技能应用|判定条件补充、简单证明|填空题与证明题结合，训练条件分析与逻辑推理| |模型建构|一线三等角、倍长中线等模型|典型模型题，培养几何直观与模型意识| |综合拓展|实际应用与多知识点综合|联系折叠椅子、秋千等生活情境，提升应用能力|

1.3全等三角形的判定 题型一 判定全等的依据 1．（2025·江阴市·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 2．（2026·鼓楼区·校级开学）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 3．（2025·沭阳县·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 题型二 判定全等的条件 1．（2025·沛县·期末）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件使得△ABC≌△DEF，下列添加的条件不正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠C＝∠F C．AD＝BE D．AC＝DF 2．（2025·盐都区·校级期末）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 3．（2025·清江·浦区月考）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“ASA”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　） A．AB＝DE B．BF＝CF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 4．（2025·盐城·月考）在下列条件中不能判断两个直角三角形全等的是（　　） A．已知两个锐角 B．已知一条直角边和一个锐角 C．已知两条直角边 D．已知一条直角边和斜边 5．（2025·沭阳县·校级期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝6 C．AB＝5，BC＝5，∠B＝60° D．AB＝5，∠A＝30°，∠B＝60° 题型三 全等三角形的判定 1．（2025·丹徒区·月考）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 2．（2026·亭湖区·三模）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 题型四 根据全等三角形的判定与性质求边长或角度 1．（2025·姜堰区·期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AE∥BF，AE＝BF．若AC＝2，CD＝3，则AB的长度是（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 2．（2025·鼓楼区·校级期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若∠1+∠2+∠3＝96°，则∠3的度数为（　　） A．49° B．48° C．47° D．32° 3．（2025·亭湖区·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 4．（2026·滨湖区·校级二模）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积． 5．（2026·淮阴区·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠B＝40°，∠F＝70°，求∠COE的度数． 题型五 全等三角形的应用 1．（2025·江阴市·校级月考）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度AC设计为45cm，此时BD的长度是（　　） A．30cm B．35cm C．40cm D．45cm 2．（2024·钟楼区·校级期中）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 3．（2025·工业园区·校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 题型一 平行线+线段中点构造全等 1．（2024·赣榆区·期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝6，CF＝4，则BD的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 题型二 一线三等角模型 1．（2025·南通·月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 2．（2026·海门区·校级模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（　　） A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm 3．（2024·海安市·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是　　． 题型三 倍长中线模型 1．（2026·梁溪区·一模）已知△ABC中，AB＝6，AC＝7，则中线AD的长可以是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024·玄武区·校级月考）如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为　　． 3．（2026·东台市·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 题型四 角平分线+垂直构造全等 1．（2025·徐州·月考）如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，连接CD且CD平分∠ACB，过点D作BE⊥CD，BE交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为（　　） A．3 B．1 C．2 D． 2．（2025·江阴市·校级月考）如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 题型五 手拉手模型 1．（2025·海安市·校级期中）如图，点A在线段BE上，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，C、D在线段BE同侧，分别连接BD、CE交于点M． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠BAC＝35°，求∠BME的度数． 题型一 全等三角形的判定与性质综合 1．（2026·鼓楼区·校级三模）如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 2．（2025·海州区·校级期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝（　　） A．5：4 B．4：3 C．3：2 D．1：1 3．（2025·鼓楼区·校级期末）问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为　　； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3全等三角形的判定 题型一 判定全等的依据 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 题型二 判定全等的条件 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 题型三 全等三角形的判定 1． 【答案】证明详见解析 【详解】证明：∵CB⊥AB， ∴∠ABC＝∠FBC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝CB， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 2． 【答案】（1）40°；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）可知：∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 题型四 根据全等三角形的判定与性质求边长或角度 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）22.5． 【详解】（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，即∠BCE＝∠DAB， 在△CEB与△AEF中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴AE＝CE，EF＝EB， ∵BE＝4，CF＝5， ∴EF＝4， ∴CE＝AE＝CF+EF＝9， ∴，则△ACF的面积为22.5． 5． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠COE的度数是70°． 【详解】（1）证明：∵点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：由（1）可得：△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝70°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AB∥DE，AC与DE交于点O， ∴∠COE＝∠A＝70°， ∴∠COE的度数是70°． 题型五 全等三角形的应用 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 题型一 平行线+线段中点构造全等 1．【答案】B 题型二 一线三等角模型 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】10 题型三 倍长中线模型 1．【答案】A 2．【答案】1.5 3． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析． 【详解】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）可知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 题型四 角平分线+垂直构造全等 1．【答案】D 2．【答案】B 题型五 手拉手模型 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）145°． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC+∠DAC＝∠EAD+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△BAD≌△CAE， ∴∠BDA＝∠CEA， ∵∠BAC＝35°， ∴∠BAC＝∠EAD＝35°， ∵∠BDA+∠DME+∠DHM＝∠CEA+∠EAD+∠AHE，∠DHM＝∠AHE， ∴∠DME＝∠EAD＝35°， ∵∠BME+∠DME＝180°， ∴∠BME＝180°﹣35°＝145°． 题型一 全等三角形的判定与性质综合 1．【答案】C 2．【答案】D 3． 【答案】（1）∠A＝∠C，理由详见解析；（2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由详见解析；②45°； （3）∠AEB的度数为90°α或90°α． 【详解】解：（1）∠A＝∠C，理由如下： ∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°， 又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE， ∴∠A＝∠C； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下： 由（1）可知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝90°，即∠FBE＝90°， ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°， 故答案为：45°； （3）∠AEB＝90°α或90°α，理由如下： 如图3，当点D在线段BC上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）可知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α，即∠FBE＝α， ∴∠AEB＝∠EFB90°α； 如图4，当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）可知：∠BAF＝∠ECB， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝α＝∠BAF+∠AFB， ∴∠ECB+∠CEB＝α，即∠FBE＝α， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°90°α； 综上，∠AEB的度数为90°α或90°α． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3全等三角形的判定 题型一 判定全等的依据 1．（2025·江阴市·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS 【答案】A 【详解】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是ASA． 故选：A． 2．（2026·鼓楼区·校级开学）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【详解】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF， ∴△ACD≌△BEF（SSS）， ∴∠MBN＝∠PAQ． 故选：B． 3．（2025·沭阳县·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【详解】解：由图可知：小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL， 综上，只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 题型二 判定全等的条件 1．（2025·沛县·期末）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件使得△ABC≌△DEF，下列添加的条件不正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠C＝∠F C．AD＝BE D．AC＝DF 【答案】B 【详解】解：∵BC∥EF，AC∥DF， ∴∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF（两直线平行，同位角相等）， 当AB＝DE或AD＝BE或AC＝DF均能推出△ABC≌△DEF， 当∠C＝∠F，不能推出△ABC≌△DEF，故B选项错误，不合题意． 故选：B． 2．（2025·盐都区·校级期末）如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【详解】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA， ∴若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故A不合题意； 若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故B不合题意； 若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故C不合题意； 若添加AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故D符合题意． 故选：D． 3．（2025·清江·浦区月考）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“ASA”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　） A．AB＝DE B．BF＝CF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【详解】解：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∵BC＝BF+FC，EF＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）， 添加∠B＝∠E，可根据ASA得出△ABC≌△DEF，故C符合题意． 故选：C． 4．（2025·盐城·月考）在下列条件中不能判断两个直角三角形全等的是（　　） A．已知两个锐角 B．已知一条直角边和一个锐角 C．已知两条直角边 D．已知一条直角边和斜边 【答案】A 【详解】解：A、已知两锐角相等，只能得到两三角形相似，不能判断两直角三角形全等，本选项符合题意； B、由两三角形为直角三角形，得到一对直角相等，再加上已知一条直角边及一对锐角相等，可用AAS或ASA判断出两直角三角形全等，本选项不合题意； C、根据两三角形为直角三角形，得到一对直角相等，再加上已知的两直角边相等，利用SAS可得出两直角三角形全等，本选项不合题意； D、由两三角形为直角三角形，根据已知的一条直角边及斜边相等，可利用HL判断两直角三角形全等，本选项不合题意． 故选：A． 5．（2025·沭阳县·校级期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝6 C．AB＝5，BC＝5，∠B＝60° D．AB＝5，∠A＝30°，∠B＝60° 【答案】A 【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，故该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，故该选项正确，不合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，故该选项正确，不合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，故该选项正确，不合题意． 故选：A． 题型三 全等三角形的判定 1．（2025·丹徒区·月考）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 【答案】证明详见解析 【详解】证明：∵CB⊥AB， ∴∠ABC＝∠FBC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝CB， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）． 2．（2026·亭湖区·三模）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 【答案】（1）40°；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）可知：∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 题型四 根据全等三角形的判定与性质求边长或角度 1．（2025·姜堰区·期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AE∥BF，AE＝BF．若AC＝2，CD＝3，则AB的长度是（　　） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】证明：∵AE∥BF， ∴∠A＝∠B， 又∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， 在△AED和△BFC中， ， ∴△AED≌△BFC（AAS）． ∴AD＝BC， ∴DB＝AC＝2， ∴AB＝AC+CD+DB＝2+3+2＝7． 故选：B． 2．（2025·鼓楼区·校级期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若∠1+∠2+∠3＝96°，则∠3的度数为（　　） A．49° B．48° C．47° D．32° 【答案】B 【详解】解：在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∵∠3＝∠ABC+∠BAC＝∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠3＝96°， ∴． 故选：B． 3．（2025·亭湖区·期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 【答案】D 【详解】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS），故A不合题意； ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣∠EAC，即∠BAE＝∠DAG， 在△ABF和△ADG中， ， ∴△ABF≌△ADG（ASA），故B不合题意； ∴BF＝DG， ∴BC﹣BF＝DE﹣DG，即FC＝GE，故C不合题意； 无法证明AG＝GC，故D符合题意． 故选：D． 4．（2026·滨湖区·校级二模）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）22.5． 【详解】（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，即∠BCE＝∠DAB， 在△CEB与△AEF中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴AE＝CE，EF＝EB， ∵BE＝4，CF＝5， ∴EF＝4， ∴CE＝AE＝CF+EF＝9， ∴，则△ACF的面积为22.5． 5．（2026·淮阴区·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠B＝40°，∠F＝70°，求∠COE的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠COE的度数是70°． 【详解】（1）证明：∵点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：由（1）可得：△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝70°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AB∥DE，AC与DE交于点O， ∴∠COE＝∠A＝70°， ∴∠COE的度数是70°． 题型五 全等三角形的应用 1．（2025·江阴市·校级月考）某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度AC设计为45cm，此时BD的长度是（　　） A．30cm B．35cm C．40cm D．45cm 【答案】D 【详解】解：∵椅子腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，撑开后的椅子宽度AC设计为45cm， ∴AO＝BO，DO＝CO， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴BD＝AC＝45cm． 故选：D． 2．（2024·钟楼区·校级期中）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【答案】A 【详解】解：由题意可得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， 由题意可得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 3．（2025·工业园区·校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D 【详解】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知：OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）， 即小丽距离地面的高度是1.4m． 故选：D． 题型一 平行线+线段中点构造全等 1．（2024·赣榆区·期中）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝6，CF＝4，则BD的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF＝4， ∵AB＝6， ∴DB＝AB﹣AD＝6﹣4＝2． 故选：B． 题型二 一线三等角模型 1．（2025·南通·月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】A 【详解】解：∵BF＝CD，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BFD≌△CDE（SAS） ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE， ∴∠B＝∠FDE＝65°＝∠C， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°． 故选：A． 2．（2026·海门区·校级模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（　　） A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【详解】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D， ∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（AAS）， ∴AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm， ∴DE＝CD﹣CE＝5﹣2＝3（cm）． 故选：C． 3．（2024·海安市·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是　　． 【答案】10 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∴∠EFD＝90°， ∴∠FED+∠EDF＝90°， ∵∠BDE＝90°， ∴∠BDC+∠EDF＝180°﹣∠BDE＝90°， ∴∠BDC＝∠FED， ∵∠C＝∠EFD＝90°，BD＝ED， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DF＝5， ∵EA＝ED，EF⊥AD， ∴AD＝2DF＝10． 故答案为：10． 题型三 倍长中线模型 1．（2026·梁溪区·一模）已知△ABC中，AB＝6，AC＝7，则中线AD的长可以是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝EB＝7， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE， ∴7﹣6＜AE＜7+6，即1＜AE＜13， ∴1＜2AD＜13，解得：0.5＜AD＜6.5， ∴中线AD的长可以是6． 故选：A． 2．（2024·玄武区·校级月考）如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为　　． 【答案】1.5 【详解】解：如图，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG， ∵D为BC中点， ∴△ADC的面积＝△ADB的面积，BD＝DC， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴△ADC的面积＝△BDG的面积，BG＝AC， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵EF＝2AD，AG＝2AD， ∴EF＝AG， ∵AE＝AB， ∴△AEF≌△BGA（SSS）， ∴△AEF的面积＝△ABG的面积＝3， ∴△ADC的面积＝△BDG的面积＝△ABD的面积△ABG的面积＝1.5． 故答案为：1.5． 3．（2026·东台市·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析． 【详解】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）可知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 题型四 角平分线+垂直构造全等 1．（2025·徐州·月考）如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，连接CD且CD平分∠ACB，过点D作BE⊥CD，BE交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为（　　） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠DCE， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△BDC≌△EDC（ASA）， ∴BD＝DE，BC＝CE＝4， ∵AC＝7， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE＝3， ∴BD＝DEBE． 故选：D． 2．（2025·江阴市·校级月考）如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 【答案】B 【详解】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵BP⊥AP， ∴∠BPA＝∠BPD＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝PD， ∴△BPD的面积△ABD的面积，△CPD的面积△CAD的面积， ∵△ABC的面积为4cm2， ∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△CPD的面积 △ABD的面积△CAD的面积 （△ABD的面积+△CAD的面积） △ABC的面积 4 ＝2（cm2）． 故选：B． 题型五 手拉手模型 1．（2025·海安市·校级期中）如图，点A在线段BE上，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，C、D在线段BE同侧，分别连接BD、CE交于点M． （1）求证：BD＝CE； （2）若∠BAC＝35°，求∠BME的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）145°． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC+∠DAC＝∠EAD+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△BAD≌△CAE， ∴∠BDA＝∠CEA， ∵∠BAC＝35°， ∴∠BAC＝∠EAD＝35°， ∵∠BDA+∠DME+∠DHM＝∠CEA+∠EAD+∠AHE，∠DHM＝∠AHE， ∴∠DME＝∠EAD＝35°， ∵∠BME+∠DME＝180°， ∴∠BME＝180°﹣35°＝145°． 题型一 全等三角形的判定与性质综合 1．（2026·鼓楼区·校级三模）如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 【答案】C 【详解】解：如图，连接AM，AF，ME，FE，过点A作AQ⊥BP于点Q，AN⊥BC于点N， 由作图可得：BM＝BF，ME＝FE， 又BE＝BE， ∴△BEM≌△BEF（SSS）， ∴∠PBA＝∠ABC， ∴∠PBC＝2∠ABC，故A正确，不合题意； ∵BM＝BF，∠ABM＝∠ABF，BA＝BA， ∴△ABM≌△ABF（SAS）， ∴AM＝AF，故B正确，不合题意； 无法判断CM⊥BP，故C符合题意； ∵∠PBA＝∠ABC，AQ⊥BP，AN⊥BC， ∴AQ＝AN， 又， ∴，故D正确，不合题意． 故选：C． 2．（2025·海州区·校级期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝（　　） A．5：4 B．4：3 C．3：2 D．1：1 【答案】D 【详解】解：如图1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，则AG为△ABC底边BC上的高， ∴∠AGB＝90°， ∵∠ABG＝40°， ∴∠BAG＝90°﹣40°＝50°． 如图2，过点F作FH⊥DE的延长线，垂足为H，则FH为△DEF底边DE上的高， ∴∠EHF＝90°， ∵∠DEF＝140°， ∴∠FEH＝180°﹣140°＝40°， ∴∠EFH＝90°﹣∠FEH＝90°﹣40°＝50°， 在△ABG和△FEH中， ， ∴△ABG≌△FEH（ASA）， ∴AG＝FH， ∵，，BC＝ED＝8， ∴S1＝S2， ∴S1：S2＝1：1． 故选：D． 3．（2025·鼓楼区·校级期末）问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为　　； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠A＝∠C，理由详见解析；（2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由详见解析；②45°； （3）∠AEB的度数为90°α或90°α． 【详解】解：（1）∠A＝∠C，理由如下： ∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°， 又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE， ∴∠A＝∠C； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下： 由（1）可知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝90°，即∠FBE＝90°， ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°， 故答案为：45°； （3）∠AEB＝90°α或90°α，理由如下： 如图3，当点D在线段BC上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）可知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α，即∠FBE＝α， ∴∠AEB＝∠EFB90°α； 如图4，当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）可知：∠BAF＝∠ECB， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝α＝∠BAF+∠AFB， ∴∠ECB+∠CEB＝α，即∠FBE＝α， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°90°α； 综上，∠AEB的度数为90°α或90°α． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $