第14章 全等三角形-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

第十四章全等三角形 知识·学习区 全等形 一能够完全重合的两个图形 0 定义一 能够完全重合的两个三角形 0表示符号一兰 全等三 角形 对应元素一对应顶点、对应边、对应角 -。全等三角形的对应边相等 0 性质 0 全等三角形的对应角相等 全等三角形 o边角边(SAS) 注意“SSA”“AAA”不能 判定两个三角形全等 -o角边角（ASA) 0一 般三角形 角角边(AAS) 三角形 全等的 边边边(SSS) 判定 SAS、ASA、AAS、SSS 直角三角形 HL(只适用于直角三角形) 角的平分线的作法 角的平 性质一角的平分线上的点到角两边的距离相等 分线 互联 判定一角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 5 重点班提分练数学八年级上册 技巧·提升区 扫码批改 ⊙重点题讲解 技巧提分1· 一线三等角模型 模型解读 ◇模型1三垂直模型 已知：如图，∠BDC= HD ∠BCA=∠CEA=90°， BC=AC. 结论：△BDC≌△CEA 图1 图2 图3 图4 （1)在三垂直模型中，常用“同角的余角相等”进 行倒角，从而证明对应角相等，进而证明三角形全等； P,名师点睛 （2)在三垂直模型中，证明三角形全等后，可得 对应边相等，进而得到线段之间的关系，例如，在 图1中有DE=BD+AE ◇模型2一线三等角模型 基本图形 同侧三等角 变形 异侧三等角 B D 33 2 已知：∠1=∠2=∠3，BC=AC, 已知：∠1=∠2=∠BCA,BC=AC. 结论：△BDC≌△CEA 结论：△BCE≌△CAF 在识别一线三等角模型的过程中，注意先找那条“一 P1名师点睛 线”，然后再区分是同侧三等角模型还是异侧三等 角模型 6 第十四章)全等三角形 模型演练 1.如图，点B,C,E在同一条直线上， 2.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD ∠B=∠E=∠ACF=60°，AB=CE, 且BC=CD.按照图中所标注的数 则与线段BC相等的线段是（ 据，阴影部分的面积S是（( ) A.AC A.50 B.AF A B.62 D 6 C.CF C.65 D.EF E D.68 3.如图，∠ACB=90°，AC=BC, 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC, AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E.若 DH⊥BH,AC⊥CD,垂足分别为B, AD=3,BE=1,求DE的长. H,C,AC=CD.若AB=3,BC=1,求 BH的长， 5.如图，A0⊥0M于点0，OA=4,点B为射线0M上的一个动点，分别 以OB,AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰三角形OBF、 等腰三角形ABE,OB⊥BF于点B,且AB⊥BE于点B,连接EF交 OM于点P.当点B在射线OM上移动时，求PB的长 0 7 重点班提分练数学八年级上册 技巧提分2手拉手模型 模型解读 ○模型1任意等腰三角形的手拉手模型 已知：△OAB,△OCD均是等腰三角形，OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD=a. 结论：①△OAC≌△OBD;②AC=BD;③LAEB=; ④EO平分∠AED (◇模型2等边三角形的手拉手模型 已知：△OAB,△OCD均是等边三角形. 结论：①△OAC≌△OBD;②AC=BD; ③∠AEB=60°；④E0平分∠AED ◇模型3等腰直角三角形的手拉手模型 已知：△OAB,△OCD均是等腰直角三角形， OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°. 结论：①△OAC≌△OBD;②AC=BD; ③∠AEB=60°；④EO平分∠AED 模型4构造手拉手模型 已知：△OAB是等腰三角形，OA=OB,∠AOB=a. 作辅助线：构造OD=OC,且∠COD=∠AOB=ax. 结论：①△OAC≌△OBD;②AC=BD;③LAEB=; ④EO平分LAED 第十四章)全等三角形 模型演练 1.如图，已知AD=AB,AE=AC, 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, AD⊥AB于点A,AE⊥AC于点A. BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG, 猜想线段CD与BE之间的数量关 AC的中点. 系与位置关系，并说明理由， (1)求证：△BDG≌△ADC; E (2)试判断DE与DF的关系，并说 D 明理由. 3.恒恒在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶 点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全 等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°，连接AC, BD相交于点M.恒恒发现这就是手拉手模型，易证△AOC≌△BOD,进 而可以得知：（1) G的值；(2)∠AMB的度数。请你帮恒恒完成解 答过程. B 9 重点班提分练数学八年级上册 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点 3.如图，课间荣荣拿着老师的等腰直 D在边BC上，CD=2BD,点E,F在 角三角尺玩，不小心掉到两条凳子 线段AD上，∠1=∠2=∠BAC,若 之间（凳子与地面垂直).已知 △ABC的面积为18，求△ACF与 DC=1.5,CE=2.求两条凳子的高 △BDE的面积之和. 度之和. E 2.如图，D为△ABC的边BC上一点， AB=AC,∠BAC=56°，且BF=DC, EC=BD,求∠EDF的度数. (10 第十四章)全等三角形 4.（1)如图1，在△ABC中，已知 :5.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一 ∠BAC=90°，AB=AC,直线I经 条直线，CA=CB,E,F分别是直线 过点A,BD⊥I,CE⊥I,垂足分 CD上两点，且∠BEC=∠CFA=a. 别为D,E.求证：DE=BD+CE. (1)若直线CD经过∠BCA的内部， (2)如图2，将(1)中的条件改为： 且E,F在射线CD上. 在△ABC中，AB=AC,D,A,E三 ①如图1，若∠BCA=90°，a= 点都在直线I上，且∠BDA=∠AEC= 90°，求证：BE=CF; ∠BAC=a,其中&为任意锐角或 ②如图2，若0°<∠BCA<180°，请 钝角.请问结论DE=BD+CE是否 添加一个关于a与∠BCA关系的 仍然成立？如成立，请你给出证明； 条件，使①中的结论仍然成立，并 若不成立，请说明理由。 说明理由 (2)如图3，若直线CD经过 ∠BCA的外部，ax=∠BCA.请提 E 出关于EF,BE,AF这三条线段数 图1 图2 量关系的合理猜想，并简述理由 图1 图2 图3 11）号×12×3=18 3.证明：如图，标注∠1，∠2，∠3，过点C作CM∥ EF,交AD的延长线于点M,则∠3=∠M. 在△EDF和△CDM中， r∠3=∠M, ∠EDF=∠CDM, ED=CD, 3 ∴.△EDF≌△CDMB2 D (AAS), ! ∴.EF=CM M .CM∥EF,EF∥AB,∴.CM∥AB,∴.∠1=∠M. .AD平分∠BAC,.∠1=∠2，.∠M= ∠2，.∴.CA=CM,∴.EF=AC. 4.解：如图，过点E作EF⊥A0于点F. .OE平分∠AOB, F EC⊥OB,EF⊥OA, D V、E EC=2, 0 ∴.EF=EC=2. .0E平分∠A0B,∠A0E=15°， .∴.∠C0E=∠A0E=15. .DE∥OB,∴.∠DE0=∠C0E=15°， .∠DE0=∠D0E=15°， ∴.∠FDE=∠DE0+∠DOE=30°，DE=OD. 又EF⊥A0,∴.OD=DE=2EF=4. 第十四章全等三角形 技巧·提升区 技巧提分1一线三等角模型 1.D.·∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+ ∠ECF，,∠B=∠E=∠ACF=60°， .∠ECF=∠BAC..·AB=CE,∴.△ABC≌ △CEF(ASA),∴.BC=EF 2.A.AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥ FH,∴.∠EAB=∠EFA=∠BGA=90. .·∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG= 90°，∴.∠EAF=∠ABG. r∠EFA=∠AGB, 在△EFA和△AGB中，∠EAF=∠ABG, LAE=BA, '.△EFA≌△AGB(AAS),.AF=BG=3,EF= AG=6. 同理，可得△BGC≌△CHD,则GC=HD= 4,BG=CH=3, .FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, ·S阴影都分=2×(6+4)×16-3×4-6×3=50. 3.解：·AD⊥CE,BE⊥CE,.∠ADC= ∠BEC=90°. .·∠BCE+∠DCA=90°，∠BCE+∠CBE= 90°，∴.∠DCA=∠CBE. r∠ACD=∠CBE, 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, LAC=CB. .△ACD≌△CBE(AAS), ∴.CE=AD=3,CD=BE=1,∴.DE=CE-CD= 3-1=2. 4.解：，AB⊥BC,DH⊥BH,∴.∠B=∠H=90° .AC⊥CD,∴.∠ACD=90°， ∴.∠ACB+∠DCH=90. .:∠ACB+∠BAC=90°，.∠DCH=∠BAC. 又AC=CD,∴.△ABC≌△CHD(AAS), ∴.CH=AB=3, ∴.BH=BC+CH=1+3=4. 5.解：如图，过点E作EN⊥BM, 0 垂足为N. .·∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°， ∴.∠AB0+∠BAO=∠AB0+ ∠NBE=90°， ∴.∠BAO=∠NBE ,·△ABE,△BFO均为等腰三角形， ∴.AB=BE,BF=BO. r∠BAO=∠EBN, 在△AB0和△BEN中， ∠AOB=∠BNE, AB=BE, .△ABO≌△BEN(AAS), ∴.BO=NE,BN=AO. ,BO=BF,∴.BF=NE. r∠FBP=∠ENP, 在△BPF和△NPE中，∠FPB=∠EPN, BF=NE, ∴.△BPF≌△NPE(AAS), BP=NP-2 BN. 1 又BNEA0,品BP=2A0=2×4=2 技巧提分2手拉手模型 1.解：CD=BE,CD⊥BE.理由如下： AD⊥AB,AE⊥AC, ∴.∠DAB=∠EAC=90° ∴.∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB. rAD=AB, 在△ACD和△AEB中，{∠CAD=∠EAB, AC=AE, ∴.△ACD≌△AEB(SAS), .CD=BE,∠ADC=∠ABE. 又∠AGD=∠FGB, ∴.∠BFD=∠BAD=90°，即CD⊥BE. 2.（1)证明：：AD⊥BC, .∴.∠ADB=∠ADC=90°. BD=AD, 在△BDG和△ADC中， ∠BDG=∠ADC, DG=DC, ∴.△BDG≌△ADC(SAS). (2)解：DE=DF,DE⊥DF.理由如下： 由(1)知△BDG≌△ADC. ∴.BG=AC,BD=AD,∠GBD=∠CAD. :E,F分别是BC,AC的中点BE=2BC AF=- C..RE-AF. BD=AD, 在△BED和△AFD中，{∠GBD=∠CAD, BE=AF, ∴.△BED≌△AFD(SAS), ∴.DE=DF,∠BDE=∠ADF ,∠BDE+∠EDG=90°， ∴.∠EDG+∠ADF=90°， ∴.DE LDF. 3.解：(1)∠A0B=∠C0D=40°， ∴.∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD, 即∠DOB=∠COA. OA=OB,OC=OD, ·.△COA≌△DOB(SAS), AC=BD,BD C =1. (2)·△COA≌△D0B, ∴.∠CAO=∠DBO. .∠A0B=40°， .∠OAB+∠AB0=140° ∴.在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+ ∠OAB+∠ABD)=180°-（∠DB0+∠OAB+ ∠ABD)=180°-140°=40° 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.解：.·∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+ ∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2= ∠FCA+∠CAF, ∴.∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA. r∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中，AB=CA, L∠BAE=∠ACF, ∴.△ABE≌△CAF(ASA), .S△ABB=S△AGP,， SAACF+SABDE=SAABE+SABDE 'S△ABC=18,CD=2BD, Sam-3×18=6. 65 .S△ACr+S△BDE=S△ABD=6. 2.解：，AB=AC, ∠B=LC=2×(180°-∠BMC)=2 (180°-56°)=62°. rBF=CD, 在△BFD和△CDE中，∠B=∠C, BD=CE, ∴.△BFD≌△CDE(SAS), ∴.∠BFD=∠CDE, ∴.∠FDB+∠CDE=∠FDB+∠BFD=18O°-∠B= 180°-62°=118°， ∴.∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC)=180°- 118°=62°. 3.解：由题意可得，∠ACD+∠DAC=90°， ∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°， 则∠DAC=∠BCE. r∠CDA=∠BEC, 在△ACD和△CBE中，∠DAC=∠ECB, AC=CB, ·.△ACD≌△CBE(AAS), .DC=BE=1.5,AD=CE=2, ∴.两条凳子的高度之和为AD+BE=1.5+ 2=3.5. 4.解：(1)BD⊥l,CE⊥1， ∴.∠BDA=∠AEC=90. 又∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， .∠CAE=∠ABD ∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中 ∠ADB=∠CEA, AB=AC, .△ABD≌△CAE(AAS), ∴.BD=AE,AD=CE. DE=AE+AD, .∴.DE=BD+CE. (2)成立. 证明：：∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, 66 .∠ABD=∠CAE. r∠ABD=∠CAE, 在△ADB和△CEA中，{∠ADB=∠CEA, LAB=AC, .△ADB≌△CEA(AAS), ∴.AE=BD,AD=CE, .'DE=AE+AD=BD+CE. 5.(1)①证明：.∠BEC=∠CFA=a=90°， ∴.∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=90. 又∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°， .∠CBE=∠ACF. r∠BEC=∠CFA, 在△BCE和△CAF中，{∠CBE=∠ACF, BC=AC. .△BCE≌△CAF(AAS), .BE=CF. ②解：a+∠BCA=180°.理由如下： .∠BEC=∠CFA=a, ∴.∠BEF=180°-∠BEC=180°-ax. 又∠BEF=∠EBC+∠BCE, .∠EBC+∠BCE=180°-a. 又a+∠BCA=180° ∴.∠BCA=180°-a, .∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-， .∠EBC=∠FCA. r∠CBE=∠ACF, 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA, BC=CA, ∴.△BCE≌△CAF(AAS), .BE=CF. (2)解：EF=BE+AF.理由如下： ,∠BCA=, .∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-a. 又LBEC=a, ∴.∠EBC+∠BCE=180°-LBEC=180°-a, ∴.∠EBC=∠FCA, r∠EBC=∠FCA, 在△BEC和△CFA中， ∠BEC=∠CFA, BC=CA, ∴.△BEC≌△CFA(AAS), ∴.BE=CF,EC=FA, ∴.EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF. 第十五章轴对称 技巧·提升区 技巧提分1将军饮马模型 1.解：如图，连接BM. DE是AB的垂直平分线，∴.AM=BM, .∴.AM+CM=BM+CM. 当B,M,C在同一条直线上时，AM+CM取得 最小值，最小值为BC的长， 又AC=4,BC=6, ∴.△AMC周长的最小值=6+4=10 2.解：如图，连接AD,PA ,'AB=AC,BC=4,点D为BC 边的中点， .CD BD = 2 BC=2, AD⊥BC, B D ∴.∠ADB=90° :Sc-=28c·A0=7×4D=16,A0=8 EF垂直平分AC,点P为线段EF上的动 点，∴.PA=PC .PA+PD≥AD,∴.PC+PD≥8， ∴.PC+PD+CD≥10， ∴.PC+PD+CD的最小值为10，即△PCD周长 的最小值为10. 3.解：如图，作点M关于直 线CD的对称点G,过点 G作GN⊥AB于点N,GN 交CD于点P,则MP= B M GP,∴.MP+NP=GP+NP. 由垂线段最短，可知MP+NP的最小值 6 为NG. .△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°. GN⊥AB,∴.∠BNG=90°，∴.∠G=30. ,BN=9,∴.BG=2BN=18, ∴.MG=BG-BM=10, .MC=2MG=5, 2 .∴.AC=BC=BM+MC=13. 4,解：如图，作点P关于OA的对称点E,连接 EO,EM, ∴.EM=MP,∠MPO= ∠OEM,∠EOM=∠MOP. 作点P关于OB的对称点 0 F,连接NF,OF, ∴.PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF, .PM+PN+MN=EM+MN+NF>EF, 即当点E,M,N,F共线时，△PMN的周长 最小. 又∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF, ∠AOB=∠MOP+∠PON, ∴.∠EOF=2∠AOB. 又∠A0B=50°，∴.∠E0F=100° 在△E0F中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°， ∴.∠OEM+∠0FN=180°-100°=80°， .'∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, .∠MP0+∠OPN=80°，即∠MPN=80°. 技巧提分2等腰三角形分类讨论 1.D当底角的度数是顶角的2倍时，顶角的度 数是180÷(2+2+1)=36°； 当顶角的度数是底角的2倍时，底角的度数 是180÷(2+1+1)=45°，顶角的度数是45°× 2=90°. 综上，这个三角形的顶角是36°或90° 2.C设在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为 腰AC上的高，∠ABD=40° 当BD在△ABC内部时，如图1所示 BD为高，∴.∠ADB=90°， ∴.∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°.