陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

20252026学年度第二次月考七年级数学试题参考答案 一.选择题（每小题3分，共8小题，共计24分) 1.绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将 数据0.000698”用科学记数法表示为( ) A.0.698×10-3B.6.98×104 C.0.698×106 D.6.98×10-7 【解答】解：0.000698=6.98×104. 故选：B. 49 2.在下列各数：0.05005000500005..， 0.2,上，，31,27中，无理数的个 V100 11 数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解：无理数有：0.05005000500005.，1，V万，共有3个. 故选：B 3.小亮有两根长度为5cm和9c的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4 根木棒，你认为他应该选择( A.3cm B.4cm C.9cm D.16cm 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9-5<x<9+5, 即：4<x<14, 故选：C. 4.当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图）.已 知液面与底面平行，∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数为() A.30° B.40° C.50° D.70° 【解答】解：液面与底面平行， .∠1=∠2+∠3， ∠1=80°，∠2=40°， ∴.∠3=40°， 故选：B. 5.如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边 长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H.作第2个正方形EFGH,然后再 取正方形EFGH各边的四等分点M,，N,P,Q.作第3个正方形PQ,依此方法一直 继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区 域的概率是( 1/15 1 2 c. D. 16 【解答】解：：ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD, 取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH, ..AE=BF=CG=DH,AH=BE=CF=DG, SH=S.BR=S.CGR=S.DHG 同理得：Sa0=S.M=S.cv-SP' ·依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的 4 ÷将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是： 4 故选：C. 6.如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,且CD=6W3,点P 是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则PM+PN的值为() D M B C P\ A.36 B.3V3 C.6v6 D.65 【解答】解：连接PA, 设AB=AC=, .CDLAB,CD=6V3, ∴SA=)AB-CD=33, 2 S.ABC=S.APB+S.APC -4au+4c-w- m-PM+mPN-mPM+Pp=3, 1 2 2 ∴.PM+PN=6N3. 故选：D. D N M P 7.某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保 护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池 含电率=电池中的电量 ×100%)随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是 电池的容量 () 2/15 y 90% 80% 10% 0 40 120 x(分钟)》 A.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C.本次充电持续时间是120分钟 D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量，正确，不 符合题意： B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意： C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意： D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对 应的耗电量是70千瓦时， 10%到90%的电量变化对应的耗电量为70×906-106=56千瓦，错误，符合题意， 100% 故选：D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，将△BDC沿CD折叠，点B的对 应点E恰好落在AC边上.已知BC=6,AE=2,则DE的长为() C B4- A A.8 B.24 c. 7 7 D 7 【解答】解：如图，过D作DM⊥BC于点M,作DN⊥AC于点N, C M B4--.. A D ∴.∠DNE=∠CND=90°，∠BMD=∠AMD=90°， ·将△BDC沿CD折叠， ·∠BCD=∠ECD=∠4CB=45°，BD=CE=6, 2 .BD=DE, ∴.∠MCD=MDC=∠NCD=∠NDC=45°，AC=CE+AE=6+2=8,MD=DN, 3/15 .AB=VAC2+BC2=V82+62=10, 设BD=DE=x,点C到AB得距离为h,则AD=AB-BD=10-x, SmaCM-BDh,Sm号4CxDw-4Dxh, 2 6DM=xh,SDN=(10-h DM=DN=(0-x) P xh (10-x)h 6 8 30 解得：x= 7 DE=30 7 故选：C. 二.填空题（每小题3分，共6小题，共计18分） 9.如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是同位角相等，两直线平行， 【解答】解：由作图步骤可知， 图中∠1=∠2， 所以根据“同位角相等，两直线平行”可得所画直线与已知直线平行， 即这种画法依据是“同位角相等，两直线平行”. 故答案为：同位角相等，两直线平行 10.计算√81的平方根值为3· 【解答】解：√81=9， .9的平方根是±3， 即√81的平方根值为±3， 故答案为：3. 11.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度， 他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A;②沿河岸直走20m有 一棵树C,继续前行20m到达D处：③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C 树遮挡住的E处停止行走：④测得DE的长为12，那么河的宽度是12. 4/15 E 【解答】解：由题意可知BC=CD=20m,∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=∠DCE,DE的长 为12m, 在△ABC和△EDC中， '∠ACB=∠ECD BC=DC ∠ABC=∠EDC .△ABC=△EDC(AS4④， .AB=DE=12, 故答案为12. 12.己知(x+y)2=30,(x-y)2=6,则y=6 【解答】解：(x+y)2=30,(x-y)2=6, ∴.(x+y)2-(x-y)2=30-6, x2+2xy+y2-x2+2y-y2=24, 4y=24, y=6. 故答案为：6. 13.在△ABC中，AB=AC,D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O.如 果点O到边BC的距离为2，BC=16,那么AB的长为10， 【解答】解：如图，连接AO并延长交BC于点F, D B F :D、E分别是边AB、AC的中点， ∴.CD、BE是△ABC的中线， ∴.点O是△ABC的重心， .AF是△ABC的中线， .AB=AC, AF L BC,BF-CF-BC, 点O到边BC的距离为2， .OF=2, .∴.AO=2OF=4, .∴.AF=AO+OF=4+2=6, .BC=16, 5/15 BF=x16=8, .AB=VAF2+BF2=V6+82=10. 故答案为：10. 14.如图，点D,点E,点F分别是RABC的三边上的动点，若AB=5xcm,BC=12xcm, 120 AC=13xcm,则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：一y= 13 B C E 【解答】解：AB=5xc,BC=12xc,AC=13xcm, ∴.AB2+BC2=AC2 .∠B=90°. 点D,点E,点F分别是RABC的三边上的动点，求DE+DF+EF的最小值y与x的关 系式， .点D、E、F有两点重合在△ABC的某个顶点处， ①点D、F在点A处， (D)A(F) B(E) 图1 ,点A到BC的最小距离为AB, 点E在点B处 ∴.DE+DF+EF=2AB ②点D、E在点B处，作BM⊥AC于点M. A M(F) (D) B(E) 图2 :点B到AC的最小距离为BM, ∴.点F在点M处. ∴.DE+DF+EF=2BM. ③点E、F在点C处， 6/15 A (E) (D)L B 图3 C() 点C到BA的最小距离为CB, .点D在点B处 .DE+DF +EF=2CB. BC>AB>BM. ∴.DE+DF+EF的最小值为2BM. Suge =TAB.BC=1AC.BM. 1 2 .BM= 5x12x_60 13x13 DB+DF+EF的最小值y与x的关系式为：y-12 -x. 13 三.解答题（共13小题) 15.(1)计算：(3+√2)2-√6×(23+√6) 【解答】解：(3+√2)2-√6x(23+√6) =9+6W2+2-(6V2+6) =9+6W2+2-6N2-6 =5.… …3分 ②i-26 【解答】解：万×s-2+4÷5 =V2x18-2x2+243 =V36-2+⑧ =6-√2+22 =6十√2.…3分 16.先化简，再求值：[2x-+(2xr+2)÷(),其中x=3,y= 【解答】解：原式=4(x-)2-4(x2+y) =4(x2-2xy+y2)-4(x2+y) =-8xy,……3分 当x=3,y=时， 2 8=-83x(-2. …2分 7/15 17.如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P,使得∠BPC=2∠A. B 【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点P,则P点即为所求， P .PB=PA, ∠PBA=∠A, .·∠BPC=∠A+∠ABP=2∠A.… …图4分，作答1分 18.如图，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,CF=AE,DE=BF,求证：∠A=∠C, D C E B 【解答】证明：DE=BF, .DE+EF =BF +EF, .DF=BE,…l分 AE⊥BD,CF⊥BD, .∠CFD=∠AEB=90°，…1分 在△ABE和△CDF中， AB=CD ∠CFD=∠AEB, DF=BE △ABE≌△CDF(SAS,…2分 .∠A=∠C.…1分 19.小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC,如图，为了知道它的面积，他在封闭图 形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形 ABC以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如表： 石子落在圆内14 43 96 153 (含圆周上)的 次数m 石子落在阴影 23 91 186 300 内（含外边界） 的次数n 8/15 m:n 0.61 0.47 0.52 0.51 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时， 心的值越来越接近0.5（结果精确 到0.1)： (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+),则随着投掷次数的增大，小石子落在 圆内（含圆周上）的频率稳定在附近（结果用分数表示)： (3)根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）. C 【解答】解：(1)根据表格数据得，当投掷的次数很大时，”的值越来越接近0.5； n 故答案为：0.5；…1分 14 43 2)现察表格得：123038 3+97≈0.32 96 153 6+186≈0.34 153+300 ≈0.34， 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3左右，即小石子落在 圆内（含圆上）的频率值稳定在二左右： 3 故答案为： …2分 (3)设封闭图形的面积为a, 根据题意得×1-1 a3' 解得a=3π， 则3m-π×12=2π（平方米) 答：阴影部分的面积为2π平方米.…2分 20.如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF 与GD的延长线交于点H,∠I=∠B,∠2+∠3=180°. (1)求证：EH/AD: (2)若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求∠H的度数， B E 3 4 y G 【解答】(1)证明：∠1=∠B, .AB/1GD(同位角相等，两直线平行)， ∴.∠2=∠B4D(两直线平行，内错角相等)， .∠2+∠3=180°， 9/15 ∴.∠BAD+∠3=180°， .EH/AD;…3分 （2)解：EH/1AD, ∴.∠2=∠H（两直线平行，同位角相等)， .'∠2=∠BAD, .H=∠B4D,(等量代换) ∴.∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°， .☑H-∠4=10°， ∴.2∠4+10°=58°， ∴.∠4=24°， .∠H=34°.…3分 21.阅读并回答问题：为了化简√a±2历，我们尝试找到两个数m、n,使m2+n2=a且 m=√万，则可将a士2W万化为m2+n2±2m,即(m士m2,从而使得√a士2b化简. 例如，5+2W6=3+2+2W6=(W3)2+(W2)2+22×V3=(3+V2)2, 所以V5+26=V(5+√)=5+. 请仿照上例化简下列根式， (1)V4+2W3=;V19-4v15=: (2)计算： 1 1 1 十.十 V3+2W2V5+26V7+2129+220 V4051+22025×2026 【解答】解：(1)√4+25=V(5+1)2=V5+1; …1分 V19-4V15=V(15-2)2=M5-2;…1分 (2)原式 1 VW2+)3+4+5++ 2026+2025)V2+15+2、 =√2-1+√3-√2+√4-5+5-√4++2026-2025 =√2026-1；…4分 22.如图，在四边形ABCD中，AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,∠B=90°. (1)连接AC,求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. D 【解答】解：(1)AB=9,BC=12,∠B=90°， .AC=√AB2+BC2=V122+9=15;2分 (2)CD=17,AD=8,AC=15, 10/15 .AD2+AC2=82+152=64+225=289,CD2=172=289, ..AD+AC2=CD2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，…2分 Sg边形ABcD=S,ABc+SADC -LAB.BC+-AD-AC 2 =x9x12+号x8x15 .1 2 2 =114.…2分 23.如图，△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)求PAQ的度数. (2)若△4PQ周长为12，BC长为8，求PQ的长. Q P 【解答】解：（1)设☑PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=, .P和NQ分别垂直平分AB和AC, .AP=PB,AQ=CQ,…1分 ∴.∠B=∠BAP=x+z,，∠C=∠CAQ=x+y,…1分 ∠BAC=80°， .∠B+∠C=100°，…1分 即x+y+=80°，x+二+x+y=100°， ∴.x=20°， ∴.☑PAQ=20°；…1分 (2):△4PQ周长为12， .AQ+PQ+AP=12,…1分 .A0=CO,AP=PB, CQ+PQ+PB=12,…1分 即CQ+BQ+2PQ=12, BC+2PQ=12, BC=8, ∴.PQ=2. …1分 24.某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/(W.) 单价[元/(W· 第一档 0<x≤170 0.5 第二档 170<x≤260 0.6 第三档 x>260 0.8 (1)当170<≤260时，写出电费y（单位：元)与用电量x之间的表达式： 11/15 (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量. 【解答】解：(1)由题意得，当170<x≤260时， y=0.5×170+0.6(x-170)=0.6x-17,…3分 (2).170×0.5+0.6×(260-170)=85+54=139>127, .170<x≤260，…1分 设用电量为xkW·h,由题意得， 170×0.5+0.6×(x-170)=127, 解得x=240,…2分 答：某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW.h.…1分 25.如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8，将秋千AD 往前推送3m,如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8，秋千的绳 索始终保持拉直的状态。 Ch Ch 图1 图2 (1)求秋千AD的长度： (2)当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m,如图2求此时踏板离地的垂直高度N为 多少？ 【解答】解：(1)由题意知BF=1.8m,BC=3m,DE=0.81, BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE, .四边形BCEF是矩形， .∴.CE=BF=1.8m, .CD=CE-DE=1.8-0.8=1(m),…1分 .BC⊥AC, .∠ACB=90°， 设秋千的长度为xm,则AB=AD=x,AC=AD-CD=(x-1)m, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB, 即(x-1)2+32=x2, 解得x=5,…2分 即秋千AD的长度是5；…1分 (2)在Rt△ABC中，BC=4,AB=5m, ∴.由勾股定理得AC=31,…1分 AD=5m, .CD=AD-AC=5-3=2m,…1分 .CE=CD+DE=2+0.8=2.8m, ∴.BF=2.81,…1分 即此时踏板离地的垂直高度为2.8，……1分 26.（12分)问题发现： (1)如图①，线段AB=5,点P为平面内任意一点，连接PA,PB,则PA-PB的最大值为 问题探究： 12/15 (2)如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC=6, BD=DE=2,点E在AB上，连接CD,点M、N分别为AE、CD的中点，求N的长度 问题解决： (3)在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BCD绕点B顺时针旋转一周，在这个过 程中，连接4AE,取4AE的中点M,连接CM.请问CM-AE是否能取得最大值？如果能， 请求出最大值，并求出此时△ABE的面积.若不能，请说明理由 A A M B 图① 图② 图3 (第26题图) 【解答】解：(1)5 (2) D' 如上图所示，连接DM并延长使DM=DM,连接CD, M是AE中点 ∴AM=EM 在△DEM和△D'AM中 DM=D'M ∠DME=∠D'ME ME-MA △DEM≌△D'AM(SAS) DE=AD',∠DEM=LD'AM :△BDE和△ABC为等腰直角三角形 ∴.LDEB=LDBE-=∠BAC=∠CBA=45° ∴.LDEM=LD'AMf=135° ∴LD'AC=∠DBC=90° .DE=DB AD'=BD 在△D'AC和△DBC中 13/15 D'A-DB {∠D'AC=∠DBC AC=BC △D'AC≌△DBC(SAS) DC=CD,∠DCB=∠D'CA :LACB=90° ·∠DCB+∠ACD=90° LD'CA+∠ACD=90° 即∠D'CD=90° △D'CD为等腰直角三角形 M为DD中点 CMD90°，MCD)∠DCD=4 ∴.△MCD为等腰直角三角形 :N为CD中点 同理△MCN为等腰直角三角形 :MN-CN--CD 2 在Rt△BCD中 :∠CBD=90° :CD=VBC2+BD2=V6+2=210 N=√10 (3) D' C 小 如上图所示，连接DM并延长使DM=DM,连接CD', :M是AE中点 ..AM-EM 在△DEM和△D'AM中 DM-D'M ∠DME=∠D'ME ME=MA ·△DEM≌△D'AM(SAS) 14/15 ∴DE=AD',∠DEM=∠D'AM :∠D'AM什∠CAE+∠D'AC=360° 在五边形ACBDE中 LCBDHLCAE+LMED+LACB+LBDE-540 ..LD'AC=LDBC .DE-DB AD'=BD 在△D'AC和△DBC中 D'A=DB ∠D'AC=∠DBC AC=BC △D'AC≌△DBC(SAS) DC=CD',∠DCB=LD'CA :LACB=90° ∴.LDCB+∠ACD=90° ·∠D'CA+∠ACD=90° 即∠D'CD=90° “△DCD为等腰直角三角形 M为DD中点 ∠CMD-90,∠MCD=1∠DCD=45° :△MCD为等腰直角三角形 .∴MC=MD 1 MC-7AE-MD-ME 当M在DE延长线上时，MD-ME最大，最大值为DE-2 如下图 D' M 在Rt△ACD中 :LABD=90° ·AD=VBA2-BD2 V62-2-2i7 4E-217-2 4g548D--2小2=2-2 15/1520252026学年度第二学期期末考试 七年级 数学试题 (总分120分用时120分钟) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将 数据0.000000698”用科学记数法表示为() A.0.6987 B.6.98×10-6 C.0.698×10-7D.6.98×10- 49 2.在下列各数：0.05005000500005.（相邻两个5之间依次增加一个0）， ,0.2,1,万， V100 131 27中，无理数的个数是() 11 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.小亮有两根长度为5Cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4 根木棒，你认为他应该选择() A.3cm B.4cm C.9cm D.16cm 4.当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图）.已 知液面与底面平行，∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数为() A.30° B.40° C.50° D.70° 5.如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边 长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再 取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P，Q.作第3个正方形MNPQ,依此方法一直 继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区 域的概率是( B.I D. 1 3 c.! 4 16 6.如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,且CD=6V3,点P 是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则PM+PN的值为() A.36 B.3V3 C.6√6 D.6√3 0 G H D A M 3 E B P (第4题图) (第5题图) (第6题图) 7.某款纯电动汽车采取快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电 池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池含电 第1页（共5页） 案 电池中的电量×109%随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是(） 电池的容量 A.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C.本次充电持续时间是120分钟 D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，将△BDC沿CD折叠，点B的对 应点E恰好落在AC边上.已知BC=6,AE=2,则DE的长为() A.8 B. 24 7 c30 D.32 7 y 90% 80% 10% 0 40 120 x分钟) B4----- D (第7题图) (第8题图) 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是 10.√⑧1的平方根为 11.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度， 他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A;②沿河岸直走20m到 一棵树C,继续前行20m到达D处；3从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C 树遮挡住的E处停止行走：④测得DE的长为12m,那么河的宽度是一. 12.已知(x+)2=30,(x-)2=6,则y=一· 13.在△ABC中，AB=AC,D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O.如 果点O到边BC的距离为2，BC=16,那么AB的长为 14.如图，点D,点E,点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，若AB=5xcm,BC=12xcm, AC=I3xcm,则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为： D E (第9题图) (第11题图) (第14题图) 第2页（共5页） 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程) 15.6分)计算：(1)0+-65+同.(2万xs-2+÷5. 16.(5分)先化简，再求值：[2(x-+(2xy2+2÷(),其中x=3,y= 2 17.(5分)如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P,使得∠BPC=2∠A. (第17题图) 18.(5分)如图，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AE=CF,DE=BF,求证： ∠A=∠C. D E A B (第18题图) 19.(5分)小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC,如图，为了知道它的面积，他在 封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在 图形ABC以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如下表： 石子落在圆内（含圆周上)的次数m 14 43 96 153 … 石子落在阴影内（含外边界)的次数n 23 91 186 300 … m:n 0.61 0.47 0.52 0.51 。用雨 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 (结果精确到01)： (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+),则随着投掷次数的增大，小石子落 在圆内（含圆周上）的频率稳定在附近（结果用分数表示）： (3)根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）. A (第19题图) 20.(6分)如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边 上，EF与GD的延长线交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. 第3页（共5页） (1)求证：EH/AD; (2)若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求∠H的度数. E 10 4 A G (第20题图) 21.(6分)阅读并回答问题：为了化简Va士2Wb,我们尝试找到两个数m、n,使m2+n2=a 且m=√b,则可将a士2√b化为m2+n2±2m,即(m士)2，从而使得√a±2√b化简. 例如，5+2√6=3+2+2V6=(5)2+(V2)2+25x5=(5+52, 所以V5+2W6=√W3+V2)=5+2. 请仿照上例化简下列根式. (1)V4+2W3=:V19-4W15=: (2)计算： 1 1 1 1 三十…十 V3+2W2V5+2W6V7+2129+2204051+22025x2026 22.（6分)如图，在四边形ABCD中，AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,∠B=90°. (1)连接AC,求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. D B (第22题图) 23.(7分)如图，在△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)求∠PAQ的度数 (2)若△APQ的周长为12，BC长为8，求PQ的长. M B (第23题图) 第4页（共5页） 24.(7分)某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/(kW.) 单价[元/kW·] 第一档 0<x≤170 0.5 第二档 170<x≤260 0.6 第三档 x>260 0.8 (1)当170<x≤260时，写出电费y(单位：元)与用电量x之间的表达式： (2)某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量. 25.(8分)如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8，将 秋千AD往前推送3m(即CB=3m),如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF 为1.8m,秋千的绳索始终保持拉直的状态. D B M Q 图1 图2 (第25题图) (1)求秋千AD的长度： (2)当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m（即CM=4m),如图2求此时踏板离地的 垂直高度N为多少？ 26.(12分)问题发现： (1)如图①，线段AB=5,点P为平面内任意一点，连接PA,PB,则PA-PB的最大值为 问题探究： (2)如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC=6, BD=DE=2,点E在AB上，连接CD,点M、N分别为AE、CD的中点，求MN的长度. 问题解决： (3)在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BDE绕点B顺时针旋转一周，在这个过 程中，连接AE,取AE的中点M,连接CM,请问CM-AE是否能取得最大值？如果能， 请求出最大值，并求出此时△ABE的面积.若不能，请说明理由. 图① 图② 图③ (第26题图) 第5页（共5页）20252026学年度第二次月考七年级数学试题参考答案 一.选择题（每小题3分，共8小题，共计24分) 1.绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将 数据0.000698”用科学记数法表示为( ) A.0.698×10-3B.6.98×104 C.0.698×106 D.6.98×10-7 【解答】解：0.000698=6.98×104. 故选：B. 49 2.在下列各数：0.05005000500005..， 0.2,上，，31,27中，无理数的个 V100 11 数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解：无理数有：0.05005000500005.，1，V万，共有3个. 故选：B 3.小亮有两根长度为5cm和9c的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4 根木棒，你认为他应该选择( A.3cm B.4cm C.9cm D.16cm 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9-5<x<9+5, 即：4<x<14, 故选：C. 4.当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图）.已 知液面与底面平行，∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数为() A.30° B.40° C.50° D.70° 【解答】解：液面与底面平行， .∠1=∠2+∠3， ∠1=80°，∠2=40°， ∴.∠3=40°， 故选：B. 5.如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边 长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H.作第2个正方形EFGH,然后再 取正方形EFGH各边的四等分点M,，N,P,Q.作第3个正方形PQ,依此方法一直 继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区 域的概率是( 1/15 1 2 c. D. 16 【解答】解：：ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD, 取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH, ..AE=BF=CG=DH,AH=BE=CF=DG, SH=S.BR=S.CGR=S.DHG 同理得：Sa0=S.M=S.cv-SP' ·依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的 4 ÷将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是： 4 故选：C. 6.如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,且CD=6W3,点P 是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则PM+PN的值为() D M B C P\ A.36 B.3V3 C.6v6 D.65 【解答】解：连接PA, 设AB=AC=, .CDLAB,CD=6V3, ∴SA=)AB-CD=33, 2 S.ABC=S.APB+S.APC -4au+4c-w- m-PM+mPN-mPM+Pp=3, 1 2 2 ∴.PM+PN=6N3. 故选：D. D N M P 7.某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保 护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池 含电率=电池中的电量 ×100%)随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是 电池的容量 () 2/15 y 90% 80% 10% 0 40 120 x(分钟)》 A.本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B.本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C.本次充电持续时间是120分钟 D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量，正确，不 符合题意： B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意： C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意： D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对 应的耗电量是70千瓦时， 10%到90%的电量变化对应的耗电量为70×906-106=56千瓦，错误，符合题意， 100% 故选：D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，将△BDC沿CD折叠，点B的对 应点E恰好落在AC边上.已知BC=6,AE=2,则DE的长为() C B4- A A.8 B.24 c. 7 7 D 7 【解答】解：如图，过D作DM⊥BC于点M,作DN⊥AC于点N, C M B4--.. A D ∴.∠DNE=∠CND=90°，∠BMD=∠AMD=90°， ·将△BDC沿CD折叠， ·∠BCD=∠ECD=∠4CB=45°，BD=CE=6, 2 .BD=DE, ∴.∠MCD=MDC=∠NCD=∠NDC=45°，AC=CE+AE=6+2=8,MD=DN, 3/15 .AB=VAC2+BC2=V82+62=10, 设BD=DE=x,点C到AB得距离为h,则AD=AB-BD=10-x, SmaCM-BDh,Sm号4CxDw-4Dxh, 2 6DM=xh,SDN=(10-h DM=DN=(0-x) P xh (10-x)h 6 8 30 解得：x= 7 DE=30 7 故选：C. 二.填空题（每小题3分，共6小题，共计18分） 9.如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是同位角相等，两直线平行， 【解答】解：由作图步骤可知， 图中∠1=∠2， 所以根据“同位角相等，两直线平行”可得所画直线与已知直线平行， 即这种画法依据是“同位角相等，两直线平行”. 故答案为：同位角相等，两直线平行 10.计算√81的平方根值为3· 【解答】解：√81=9， .9的平方根是±3， 即√81的平方根值为±3， 故答案为：3. 11.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度， 他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A;②沿河岸直走20m有 一棵树C,继续前行20m到达D处：③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C 树遮挡住的E处停止行走：④测得DE的长为12，那么河的宽度是12. 4/15 E 【解答】解：由题意可知BC=CD=20m,∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=∠DCE,DE的长 为12m, 在△ABC和△EDC中， '∠ACB=∠ECD BC=DC ∠ABC=∠EDC .△ABC=△EDC(AS4④， .AB=DE=12, 故答案为12. 12.己知(x+y)2=30,(x-y)2=6,则y=6 【解答】解：(x+y)2=30,(x-y)2=6, ∴.(x+y)2-(x-y)2=30-6, x2+2xy+y2-x2+2y-y2=24, 4y=24, y=6. 故答案为：6. 13.在△ABC中，AB=AC,D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O.如 果点O到边BC的距离为2，BC=16,那么AB的长为10， 【解答】解：如图，连接AO并延长交BC于点F, D B F :D、E分别是边AB、AC的中点， ∴.CD、BE是△ABC的中线， ∴.点O是△ABC的重心， .AF是△ABC的中线， .AB=AC, AF L BC,BF-CF-BC, 点O到边BC的距离为2， .OF=2, .∴.AO=2OF=4, .∴.AF=AO+OF=4+2=6, .BC=16, 5/15 BF=x16=8, .AB=VAF2+BF2=V6+82=10. 故答案为：10. 14.如图，点D,点E,点F分别是RABC的三边上的动点，若AB=5xcm,BC=12xcm, 120 AC=13xcm,则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：一y= 13 B C E 【解答】解：AB=5xc,BC=12xc,AC=13xcm, ∴.AB2+BC2=AC2 .∠B=90°. 点D,点E,点F分别是RABC的三边上的动点，求DE+DF+EF的最小值y与x的关 系式， .点D、E、F有两点重合在△ABC的某个顶点处， ①点D、F在点A处， (D)A(F) B(E) 图1 ,点A到BC的最小距离为AB, 点E在点B处 ∴.DE+DF+EF=2AB ②点D、E在点B处，作BM⊥AC于点M. A M(F) (D) B(E) 图2 :点B到AC的最小距离为BM, ∴.点F在点M处. ∴.DE+DF+EF=2BM. ③点E、F在点C处， 6/15 A (E) (D) B 图3 C() 点C到BA的最小距离为CB, .点D在点B处 .DE+DF +EF=2CB. BC>AB>BM. ∴.DE+DF+EF的最小值为2BM. SMwe -1AB-BC=AC.DM. 2 ∴BM= 5x12x_60 x. 13x13 ÷DB+DF+EF的最小值y与x的关系式为：y-12 x. 3 三.解答题（共13小题) 15.(1)计算：(3+√2)2-√6x(2W3+√6) 【解答】解： (3+2)2-6x(23+√6) 9+6W2+) 62+の% +6W2+2 6N2-6 流 ………3分 【解答】解，5x⑧-2+5 =V2x18-2x 2+243 1冷 =B6-⑧ ∈6-V)Q√ 伤 3碗 =6+√2 …3分 16. 先化简，再求值：2-2x+20)(,其中x=3,= 不解答解.原武 4(x2-2xy+y2) 4(x2+y2) 伤 =-8x, ……3分 当x=3,y=- 时， 2 3电2次 分共的 7/15 17.如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P,使得∠BPC=2∠A. B A 【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点P 则P点即为所求， ☒ B 的 不连叩的 .PB=PA, ∠PBA=∠A, .·∠BPC=∠A+∠ABP=2∠A. …图4分，作答1分 18.如图，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,CF=AE,DE=BF,求证：∠A=∠C. D E B 【解答】证明：DE=BF, ∴.DE+EF=BF+EF, DF=BB................... …1分 图&AS不知吮 AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠CFD=∠AEB=90°， .1分 在△ABE和△CDF中， AB=CD ∠CFD=∠AEB, DF=BE 的 △ABE≌△CDF(SAS, 。。 2分 ∴∠A=∠C.… 1分 19.小南发现操场上有一个不规对的封闭图形ABC,如图，为了知道它的面积，他在封闭图 形内画出了一个半径为1的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形 ABC以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如表： 石子落在圆内14 43 96 153 (含圆周上)的 次数m 石子落在阴影 23 91 186 300 内（含外边界） 的次数n 8/15 m:n 0.61 0.47 0.52 0.51 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时， 心的值越来越接近0.5（结果精确 到0.1) (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+),则随着投掷次数的增大，小石子落在 圆内（含圆周上）的频率稳定在附近（结果用分数表示)： (3)根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）. C 【解答】解：（1)根据表格数据写 当投掷的次数很大时， 的值越来越接近0.5： 故答案为：0.5： 1分 14 96 153 (2)观察表格得： 14+23≈0.38 ≈0.32 43+91 96+186≈0.34， 153+300 ≈0.34，… 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3左右，即小石子落在 圆内（含圆上）的频率值稳定在左右： 故答案为： 1 2分 9问倦率寸即给港款 (3)设封闭图形的面积为a, 根据题意得×1-1 a3' 弹(.得骖不也为 解得a=3π， 则3m-π×12=2π（平方米) 共为 答：阴影部分的面积为2π平方米. 2分 20.如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边 点E在AB边上，点G在AC边上，EF 与GD的延长线交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. (1)求证：EH/AD: (2)若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求∠H的度数 B 楹3共妫 E 3 24 G 【解答】(1)证明：∠1=∠B, AB/GD(同位角相等，两直线平行)， ∴.Z2=∠B4D（两直线平行，内错角相等)， .Z2十Z3=180, .∴.∠BAD+∠3=180°， 芒3弥 H/AD:3分 （2)解：EH/1AD, 心<2=H(两直线平行，同位角相等)， .∠2=∠B4D, ∴.∠H=∠BAD,(等量代换) ∴.∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°， 91-Z4=10°， ∴.2∠4+10°=58°， ∴.∠4=24°， ∴.∠H=34°. …………… 3分 21.阅读并回答问题：为了化简√a±2历，我们尝试找到两个数m、n,使m2+n2=a且 m=√b,则可将a±2√b化为m2+n±2m,即(m±m2,从而使得√a士2√万化简. 例如，5+2W6=3+2+2W6=(3)2+(W2)2+2W2×V3=(3+√2)2， 所以V5+26=V(5+√)=5+万. 请仿照上例化简下列根式 邀24共质 (1)√4+2W3=:V19-415= (2)计算： 1 1 V3+22V5+26V7+212V9+220 4051+22025×2026 【解答】解：(1)√4+2W5=VW3+)2=5+1; 1分 V19-415=V(15-2)2=M5-2: 共吮 …1分 (2)原式 V2+) W5+2)V4+)"5+4 026+2025)2 V2+15+√2、 =√2-1+3-√2+√4-5+5 -V4 伤 .+V2026-V2025 7 =V2026-1;…4分 22.如图，在四边形ABCD中， c-0 (1)连接AC,求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. D 【解答】解：(1)AB=9,BC=12,∠B=90° .AC=VAB2+BC2=V122+9=15;… …2分 2f4共货 (2)CD=17,AD=8,AC=15, 10/15 .AD+AC2=82+152=64+225=289,CD2=172=289, ..AD+AC2=CD2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， 2分 .SI边形ABcD=SABC+SADc =1AB.BC+AD.AC 1 -1x9x12+1x8x15 2 2 =114.… …2分 23.如图，△ABCBAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)求∠PAQ的度数. (2)若△4PQ周长为12，BC长为8，求PQ的长. 樱43共7 【解答】解：(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=, .P和NQ分别垂直平分AB和AC .AP=PB,A0=ce,........... 1分 ∴.∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ= 1分 .∠BAC=80°， .∠B+∠C=100°，… 分 即x+y+=80°，x+:+x+y 100° .x=20°， ∴.∠PAQ=20°： 1分 (2)△4PQ周长为12， ∴.AQ+PQ+AP=12, 1分 .A0=CO,AP=PB, ..CO+PO+PB=12, 1分 即CQ+B0+2P9=12, BC+2PQ=12, BC=8, ∴.PQ=2. 24.某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/(W·) 单价[元/(W.] 第一档 0<x≤170 0.5 第二档 170<x≤260 0.6 第三档 x>260 0.8 (1)当170<≤260时，写出电费y(单位：元) 47为 用由量x之 11/15 共夠 餐2东电 【解答解：()由题意 经负的电 ≤260时， y0.5×170+0.6(x-170 0.6x-17, …3分 (2).170×0.5+0.6×(260-170)=85+54=139>127 ∴.170<x≤260， 设用电量为xkW.h,由题意得 0不判邀扭|为 170×0.5+0.6×(x-170)=1272分 ⑤不弹能警吮 的 解得x=240, 合：某户12月N费是127元， 该户12月的用电量为240km.h. 25.如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8，将秋千AD 往前推送3m,如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8，秋千的绳 索始终保持拉直的状态。 盟4+4共笏 Ch 图1 图2 (1)求秋千AD的长度： (2)当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m,如图2求此时踏板离地的垂直高度N为 多少？ 【解答】解：(1)由题意知BF=1.8, BC=3m,DE=0.8m, BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE, .四边形BCEF是矩形， 矩币及这该入 .'CE BF=1.8m, ∴.CD=CE-DE=1.8-0.8=1(m), D=1发冷 BC⊥AC, .∠ACB=90°， T的阿20D-m共统不悠7 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB, 即(x-1)2+32=x 解得x=5, 扣吮. 即秋干D的长度定； (2)在Rt△ABC中，BC=4m,AB=5m, .由勾股定理得AC=31,…1分 AD=5m, .CD=AD-AC=5-3=2m,…1分 共坎.不信吮 .CE=CD+DE=2+0.8=2.8m, 即此时踏板离地的垂直高度为2.8m. 26.(12分)问题发现： (1)如图①，线段AB=5,点P为平面内任意一点，连接PA,PB,则PA-PB的最大值为 问题探究： 12/15 (2)如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC=6, BD=DE=2,点E在AB上，连接CD,点M、N分别为AE、CD的中点，求N的长度 问题解决： (3)在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BCD绕点B顺时针旋转一周，在这个过 程中，连接AB,取AB的中点M,连接CM.请问CM-AE是否能取得最大值？如果能， 请求出最大值，并求出此时△ABE的面积.若不能，请说明理由 A A M 图① 图② 图③ (第26题图) 【解答】解 (1)5 (2) 愜2h什4共2吹 如上图所示，连接DM并延长使DM=DM,连接CD, M是AE中点 ∴AM=EM 在△DEM和△D'AM中 DM=D'M ∠DME=∠D'ME ME-MA △DEM≌△D'AM(SAS) DE=AD',∠DEM=LD'AM :△BDE和△ABC为等腰直角三角形 ∴.LDEB=LDBE-=∠BAC=∠CBA=45° ∴.LDEM=LD'AMf=135° ∴.LD?AC-∠DBC=90° .DE=DB AD'=BD 在△D'AC和△DBC中 13/15 D'A-DB ∠D'AC=∠DBC AC=BC △D'AC≌△DBC(SAS) ∴DC=CD',∠DCB=∠D'CA 'LACB=90° ·.∠DCB+∠ACD=90° LD'CA+∠ACD=90° 即∠D'CD=90° △D'CD为等腰直角三角形 肠滋名样 M为DD'中点 LCMD-90 MCD-DCD ∴.△MCD为等腰直角三角形 阅卷邪根据具橘 :N为CD中点 同理△MCN为等腰直角三角形 .MN-CN--CD 2 密发过物 在Rt△BCD中 LCBD=90° ..CDo +BD2=V6+2=2V10 '☑ =√10 (3 D e回镀钕大 要发注肠 B 如上图所示，连接DM并延长使D'M=DM,连接C :M是AE中点 ..AM-EM 在△DEM和△D'AM中 名位老阖吊住 DM-D'M ∠DME=∠D'ME ME=MA 萝%-斥传 ·△DEM≌△D'AM(SAS) 序芳7 ∴DE=AD',∠DEM=∠D'AM :∠D'AM什∠CAE+∠D'AC=360° 在五边形ACBDE中 LCBDHLCAE+LMED+LACB+LBDE-540 ..LD'AC=LDBC .DE-DB AD'=BD 在△D'AC和△DBC中 D'A=DB ∠D'AC=∠DBC AC=BC △D'AC≌△DBC(SAS) DC=CD',∠DCB=LD'CA :LACB=90° ∴.LDCB+∠ACD=90° ·∠D'CA+∠ACD=90° 即∠D'CD=90° “△DCD为等腰直角三角形 M为DD中点 ∠CMD-90,∠MCD=1∠DCD=45° :△MCD为等腰直角三角形 .∴MC=MD 1 MC-7AE-MD-ME 当M在DE延长线上时，MD-ME最大，最大值为DE-2 如下图 D' M 在Rt△ACD中 :LABD=90° ·AD=VBA2-BD2 V62-2-2i7 4E-217-2 4g548D--2小2=2-2 15/15