专题02 不等式（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理不等式专题，涵盖等式与不等式性质、三个“二次”关系、基本不等式等核心内容，通过知识脑图搭建脉络，考点分层突破构建完整知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层设计，设母题探究结合考法深研，易错剖析标注忽视条件等陷阱，培养学生数学思维与运算能力。配套优题精练与技法点拨，助力学生自主复习，为教师提供精准教学辅助。

专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01一元二次不等式求解与综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02利用不等式性质求数（式）范围 技法点拨03基本不等式实际应用 技法点拨04不等式证明 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2026·安徽芜湖·二模）（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】 （2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即，成立， 综上，的取值范围是. 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【解析】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，. 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 难点破解 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是____． 【答案】4 【解析】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【解析】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 难点破解 【典例1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】因为不等式恒成立，所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 【典例2】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【解析】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或.故选：D 素养进阶·答题技法突破 题型01 一元二次不等式求解与综合应用 考情定位：贯穿新高考全题型，是函数、导数、集合、解析几何解题前置基础，必考工具类考点，多结合定义域、恒成立、参数范围综合命题． 核心考法：①常规一元二次不等式标准化求解；②分式、高次不等式数轴穿根求解；③结合集合运算、函数定义域综合应用；④不等式解集逆向求参数． 解题要点：所有二次不等式必先标准化（二次项系数为正）；含参不等式严格按系数、判别式、两根大小分层讨论；解集问题必结合数轴可视化规避范围失误． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即为即，故， 故解集为.故选：C. 【典例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：因为，而， 所以．故选：C． 方法二：因为，将代入不等式， 只有使不等式成立，所以．故选：C． 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确．故选：AD． 【典例2】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A选项， 因为，是正实数，所以，则， 又因为，所以，故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知，代入得， 两边平方得，即。 等号成立当且仅当，结合，解得，，故B选项正确. 对于C选项，， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以，故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此，，即， 故D选项错误. 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（2026·福建福州·模拟预测）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以． 【典例2】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】当时，不等式变为，即，解得， 又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即，解得， 又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 技法点拨02 利用不等式性质求数（式）范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 【典例1】（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，则.故选：C 【典例2】（25-26高三上·云南楚雄·期中）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确.故选：BD 技法点拨03 基本不等式实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 【典例1】（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 【典例2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米；(2) 【解析】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 技法点拨04 不等式证明 1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路． 2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 【典例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知正实数，满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为. （2）由，可得， 当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 则，从而. 【典例2】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1)2；(2)证明见解析 【解析】（1）由可得，即； 所以， 因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最小值为2. （2）令（其中为实数）， 因此可得; ; 又因为，所以， 因此， 即 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）若实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 所以，A选项错误. 当时，，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项正确. 根据不等式的性质可知，D选项错误.故选：C 【典例2】（25-26高三上·山东·阶段检测）（多选）已知非零实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】∵，∴，∴，A选项正确； 当时，，B选项错误； ∵，∴，C选项正确； 取，则，D选项错误.故选：AC. 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A 【典例2】（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确，故选：BCD. 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（25-26高三上·江苏徐州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，解得． 【典例2】（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是______. 【答案】 【解析】不等式，即，化简得， 等价于，解得， 所以不等式的解集. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【解析】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即，所以， 所以，则则的取值范围是.故选：D. 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 6．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 7．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 8．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此．故选：D． 二、多选题 9．（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 10．（2026·山东济宁·三模）已知，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【解析】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 11．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项. 【解析】对于A，由题可知不等式有意义须需，则， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由题意知,，故, 故不等式成立，D正确．故选：ACD 三、填空题 12．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【解析】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 13．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【解析】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 14．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 【答案】/ 【分析】利用不等式，结合基本不等式求解． 【解析】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 四、解答题 15．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）当时，或； ∵， ∴或； （2）∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． $专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01一元二次不等式求解与综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02利用不等式性质求数（式）范围 技法点拨03基本不等式实际应用 技法点拨04不等式证明 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2026·安徽芜湖·二模）（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】 （2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是____． 【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 【典例1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例2】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 素养进阶·答题技法突破 题型01 一元二次不等式求解与综合应用 考情定位：贯穿新高考全题型，是函数、导数、集合、解析几何解题前置基础，必考工具类考点，多结合定义域、恒成立、参数范围综合命题． 核心考法：①常规一元二次不等式标准化求解；②分式、高次不等式数轴穿根求解；③结合集合运算、函数定义域综合应用；④不等式解集逆向求参数． 解题要点：所有二次不等式必先标准化（二次项系数为正）；含参不等式严格按系数、判别式、两根大小分层讨论；解集问题必结合数轴可视化规避范围失误． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（2026·福建福州·模拟预测）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 技法点拨02 利用不等式性质求数（式）范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 【典例1】（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·云南楚雄·期中）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 基本不等式实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 【典例1】（25-26高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【典例2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 技法点拨04 不等式证明 1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路． 2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 【典例1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知正实数，满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 【典例2】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知. (1)求的最小值； (2)证明：. 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）若实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东·阶段检测）（多选）已知非零实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（25-26高三上·江苏徐州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是______. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为或，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·山东济宁·三模）已知，，为实数，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 11．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 13．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 14．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 四、解答题 15．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． $